2ª parte

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Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
1.3.1 El campo de la relatividad aditivo-ordinal: Origen primario o intuitivo y aplicación
concreta (parcial) de los números enteros
Los fenómenos y situaciones del apartado 1 forman parte de la ampliación “natural” a un contexto
relativo de la idea “el número representa una cantidad” (decimos que es natural porque se
ajusta al proceso de constitución del pensamiento numérico individual, a una parte importante del
proceso histórico y al proceso lógico de ampliación de la aritmética con números naturales). Aquí,
a diferencia del contexto absoluto, las cantidades son de dos cualidades opuestas y/o se concentran
a ambos lados de una referencia central que se toma como origen.
desde la comparación natural hasta el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤)
Lo que denominamos como relatividad aditivo-ordinal tiene su origen en una parte importante
del campo conceptual de los números naturales; en concreto, en la que intervienen comparaciones
y transformaciones cuantitativas aditivas y ordinales. Frases tan familiares como “tengo 2 años más
que tú”, “ha llegado tres puestos por detrás de ..”, “tenía 2 entradas, me han regalado tres más y he
perdido una”, “he ingresado 5000 ptas.”, “5 es 3 menos que 8” o “faltan cinco duros”, involucran
números naturales asociados a una adjetivación dual (más-menos, antes-después, delante-detrás,
ingreso-reintegro, etc.), lo que introduce ciertas diferencias con respecto a las características y usos
comunes de los números naturales en sentido absoluto, en su doble faceta cardinal y ordinal (“tengo
20 años”,“estoy en 2º lugar”,“en la rama hay 5 melocotones”, etc.).
El campo de la relatividad aditivo-ordinal alcanza a nociones métricas y numéricas, también llamadas
adjetivadas, dirigidas o relativas, que se pueden caracterizar mediante tres elementos: número
natural (cardinal u ordinal), origen o referencia y doble sentido que da lugar al doble signo. Su
amplitud es considerable y su fenomenología variada, abarcando:
• medidas “naturales relativas” (González, 1998)) (tipo 1a):
- para las que no existe una construcción matemática formal ni una simbolización
específica (se suelen utilizar números naturales o números con signo, dependiendo del caso);
- que no tienen una estructura de orden total sino parcial (no tiene sentido, por
ejemplo, comparar ganancias con pérdidas o bienes con deudas, si no es en valor absoluto)
- con las que se puede operar aditivamente mediante la suma de números naturales,
si se trata de números y medidas del mismo “signo” (“ayer perdí 3 y hoy he perdido 4; entre los dos
días he perdido 7”), o mediante reglas familiares y naturales de anulación-compensación de opuestos
(“si avanzo 3 km y luego retrocedo 2 km., en total avanzo 1 km.”).
• magnitudes y medidas basadas en simples escalas ordinales (temperaturas, cronologías,
etc.) (tipo 1b):
- se representan mediante números con signo;
- no tienen sentido o no son usuales las operaciones aritméticas entre ellas (sumar
temperaturas o años?).
• magnitudes y medidas que involucran la adición y el orden de los números enteros,
es decir, que tienen como modelo el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤). Se trata de la culminación
de esta “extensión natural”, intuitiva y contextualizada de los números naturales (tipo 1c):
- son las situaciones más “completas” o evolucionadas del campo de la relatividad
aditivo-ordinal (Ejemplos: puntuaciones en el juego del golf; saldos bancarios, etc.)
- teóricamente, presentan una estructura de orden total sin primer ni último elementos
y es posible operar aditivamente con ellas sin ninguna restricción.
limitaciones de la multiplicación
González Marí, J. L.
Segunda Prueba