2ª parte
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68 Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros se verifica que (- a) + a = 0, siendo a y - a números opuestos. En este nuevo conjunto numérico, que incluye a los naturales (números positivos), se han de definir las operaciones y una relación de orden de manera que se mantengan los resultados y propiedades anteriores. La suma de dos enteros positivos (números naturales) esta ya definida, por lo que sólo es necesario considerar los siguientes casos: a) Suma de un número positivo (a) y un número negativo (- b) a es solución de la ecuación x - a = 0 y -b es solución de la ecuación y + b = 0; sumando ambas ecuaciones se tiene: (x - a) + (y + b) = 0, o su equivalente: (x + y) + (b - a) = 0 si a ≤ b, y (x + y) - (a - b) = 0 si a > b. En resúmen: - Si a ≤ b, a + (- b) = - (b - a); solución de la ecuación (x + y) + (b - a) = 0; - Si a > b, a + (- b) = a - b; solución de la ecuación (x + y) - (a - b) = 0. b) Suma de dos números negativos (-a y -b) - a es solución de la ecua-ción x + a = 0 y - b es solución de la ecuación y + b = 0, por lo que (x + y) + (a + b) = 0, de donde se deduce que (- a) + (- b) = - (a + b). La novedad que se introduce es que todo elemento posee simétrico respecto a la suma, es decir, cualquiera que sea el número entero a, existe el número - a tal que a + (- a) = 0. Esta relación dota de significado al signo que antepone a estos números, pues - 3 es el opuesto respecto a la suma de 3 y viceversa, pudiéndose escribir: - (- 3) = 3. Este doble signo debe de entenderse como simétrico u opuesto respecto de la suma y no como símbolo de restar o como - x - = +. La resta se define a partir de la suma, ya que para cualesquiera números enteros a y b (positivos o negativos), a - b = a + (-b), siendo -b el simétrico de b respecto a la suma. El análisis de los casos es similar al que hemos realizado para la suma. Al igual que en la suma, la multiplicación de dos enteros positivos está ya definida, por lo que sólo es preciso considerar el caso de un número positivo por uno negativo y el de dos números negativos. Para ello se utiliza la propiedad distributiva y la relación a + (-a) = 0: 1) b (a + (-a)) = 0 = b a + b (-a); de donde b (-a) = - b a; 2) (-b)((-a) + a) = (-b) 0 = 0 = (-b)(-a) + (-b)a = (-b)(-a) + (-ba); de donde (-b)(-a) = b a Por último, es necesario definir una relación de orden que sea ampliación del orden en N. Si a y b son enteros positivos, a < b si, y sólo si, existe un número positivo c tal que a + c = b, o lo que es lo mismo, tal que (b - a) sea un número positivo (natural). Esta misma definición se puede extender a Z y analizar cada caso. Así, todo número negativo es menor que cero, pues: 0 - (- n) = n para cualquier n, por lo que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo. ¿Que ocurre si ambos son negativos?. Según la definición: (-b) < (-a) si, y sólo si, (-a) - (-b) = (-a) + b es positivo, lo que ocurre cuando a < b, por lo que (-b) < (-a) si, y sólo si, a < b. • Extensiones geométricas Los números negativos surgen en un marco geométrico para ampliar la semirrecta de los naturales (escala numérica) ó como objetos en sí mismos (vectores o “números dirigidos”). Ampliación de la escala numérica natural Para describir la posición de un punto sobre una recta se necesitan: un punto de referencia, dos sentidos y una unidad de medida que nos permita considerar distancias entre puntos. A partir del cero se construyen dos semirrectas, en una de las cuales se sitúan los números naturales de la forma ya conocida. Sobre la otra semirrecta se sitúan puntos simétricos a los anteriores (misma distancia a cero), a los que se les puede asociar unos nuevos números (negativos) que denotan distinto sentido al de los naturales o positivos. Se ha establecido así una escala en la recta y un nuevo conjunto numérico que es una ampliación del conjunto de los números naturales. A partir González Marí, J. L. Segunda Prueba
Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros 69 de aquí será necesario definir las operaciones aritméticas y una relación de orden. La adición se define como una aplicación de la escala o recta en sí misma, es decir, como una traslación a la derecha tantas unidades como indique el número a sumar, si es positivo, o como una traslación a la izquierda, si es negativo. Ejemplo: al sumar -3 o +2, tendremos las aplicaciones: +(-3): x x + (-3) ; +(+2): x x + (+2), que se pueden representar de la siguiente manera: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +(-3) +(-3) +(+2) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 0+(-3) +4+(-3) +6+(+2) Si utilizamos dos reglas que se deslizan, la suma es un cambio de origen; así, para sumar +3 situamos el cero de una recta frente al elemento +3 de la otra: -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +3 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 0+3 (+5)+3 De la definición dada para la suma se pueden extraer las siguientes relaciones: (-a) + (-b) = - (a + b); a + (-b) = a - b (si a > b o a = b); a + (-b) = - (b - a) (si a < b) La resta se puede definir de forma análoga a la suma: traslaciones a la izquierda si se resta un número positivo y a la derecha si restamos un número negativo. Se puede observar fácilmente que la resta es la operación inversa de la suma, puesto que a - b = a + (-b) (restar b es sumar -b). Igualmente se pueden establecer resultados tales como: a - (-b) = a + b y (-a) - b = - (a + b). La multiplicación se puede definir como una dilatación (multiplicar por un número positivo) y como una dilatación seguida de una inversión (multiplicar por un número negativo). multiplicar por 4 (se amplía la escala 4 veces) -2 -1 0 +1 +2 x(+4) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.(-2) 4.(-1) 4.0 4.(+1) 4.(+2) multiplicar por (-4) (se amplia la escala 4 veces y se invierte) -2 -1 0 +1 +2 x(-4) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 (-4).(-2) (-4).(-1) (-4).0 (-4).(+1) (-4).(+2) Univer- Didáctica de la Matemática sidad de Málaga
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de aquí será necesario definir las operaciones aritméticas y una relación de orden.<br />
La adición se define como una aplicación de la escala o recta en sí misma, es decir, como una<br />
traslación a la derecha tantas unidades como indique el número a sumar, si es positivo, o como una<br />
traslación a la izquierda, si es negativo. Ejemplo: al sumar -3 o +2, tendremos las aplicaciones:<br />
+(-3): x x + (-3) ; +(+2): x x + (+2), que se pueden representar de la siguiente manera:<br />
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8<br />
+(-3) +(-3) +(+2)<br />
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8<br />
0+(-3) +4+(-3) +6+(+2)<br />
Si utilizamos dos reglas que se deslizan, la suma es un cambio de origen; así, para sumar +3 situamos<br />
el cero de una recta frente al elemento +3 de la otra:<br />
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8<br />
+3<br />
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11<br />
0+3 (+5)+3<br />
De la definición dada para la suma se pueden extraer las siguientes relaciones:<br />
(-a) + (-b) = - (a + b); a + (-b) = a - b (si a > b o a = b); a + (-b) = - (b - a) (si a < b)<br />
La resta se puede definir de forma análoga a la suma: traslaciones a la izquierda si se resta un<br />
número positivo y a la derecha si restamos un número negativo. Se puede observar fácilmente que<br />
la resta es la operación inversa de la suma, puesto que a - b = a + (-b) (restar b es sumar -b).<br />
Igualmente se pueden establecer resultados tales como: a - (-b) = a + b y (-a) - b = - (a + b).<br />
La multiplicación se puede definir como una dilatación (multiplicar por un número positivo) y<br />
como una dilatación seguida de una inversión (multiplicar por un número negativo).<br />
multiplicar por 4 (se amplía la escala 4 veces)<br />
-2 -1 0 +1 +2<br />
x(+4)<br />
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
4.(-2) 4.(-1) 4.0 4.(+1) 4.(+2)<br />
multiplicar por (-4) (se amplia la escala 4 veces y se invierte)<br />
-2 -1 0 +1 +2<br />
x(-4)<br />
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8<br />
(-4).(-2) (-4).(-1) (-4).0 (-4).(+1) (-4).(+2)<br />
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