2ª parte

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$Comprensión del concepto de fracción - josé luis gonzález marí$

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66 Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros bre la esfera terrestre (longitudes, latitudes, meridianos, husos horarios) o las representaciones cartográficas son contextos similares que constituyen modelos de la recta numérica entera. • Cronología Tanto la edad como el tiempo horario en sus distintas facetas así como las diferentes cronologías, en particular la occidental basada en años anteriores o posteriores al nacimiento de Cristo, constituyen ejemplos de aplicación de la estructura de orden de los números enteros. • Otros: temperaturas; ascensores; bolsa; balanza de pagos, etc. Grupo aditivo y ordenado (adición y orden) • Saldos bancarios • Puntuaciones en el juego del golf Ejercicios y trabajos 3.3.1.a.- Completar la relación de modelos utilizando la biliografía recomendada. 3.3.1.b.- Construir las lineas generales de un secuencia didáctica para trabajar los números positivos y negativos utilizando el modelo de las fichas de dos colores. 3.3.1.c.- Elegir un modelo de cada uno de los grupos indicados y analizar qué <strong>parte</strong>s, operaciones y propiedades se ajustan plenamente al concepto matemático de número entero y cuáles plantean algún problema. Indica alguna alternativa didáctica para resolver dichos problemas. 3.3.1.d.- Utilizando un modelo de desplazamientos representa las siguientes operaciones: (- 2)+(+3); (-1)-(+4)+(-2); (-3)x(+2); (-2)x(-4). Comprueba mediante casos que se verifica la propiedad conmutativa para la suma y la multiplicación así como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. 3.3.1.e.- Completa e ilustra mediante ejemplos los modelos de escala numérica de los grupos: medidas en la naturaleza, cronologías y otros. Utiliza para ello algunos libros de texto del nivel correspondiente así como la bibliografía recomendada. 3.3.1.f.- Trabajo de investigación (individual o en grupo): Tomar una muestra adecuada de libros de texto y realizar un estudio descriptivo sobre los modelos y métodos no matemáticos utilizados en el desarrollo del tema de los números enteros. 3.3.2.- Métodos y modelos no formales en contextos matemáticos para la extensión de N a Z de acuerdo con el principio de permanencia de las leyes formales (Para una información más amplia, consultar González y otros (1990, caps. 4 y 6)) Existen, entre otros, los siguientes métodos y modelos simbólicos y semiconcretos no formales, agrupados de acuerdo con las tres principales vías matemáticas de acceso a los enteros (contexto fenomenológico 2, apartado 1.3): aritmética, algebraica y geométrica. • Extensión aritmética por el método inductivo experimental (extrapolación inductiva) El procedimiento consiste en construir tablas en las que se incluye un número suficiente de casos ya conocidos y nuevos casos cuyos resultados se obtienen por inducción o generalización de las regularidades observadas (extrapolación inductiva (Freudenthal, 1973, 1983)). Se <strong>parte</strong> de los números naturales (que se van a considerar como positivos) y de la operación de sustracción, es decir, de la insuficiencia de N para dar validez a expresiones como 0-1, 3-4, etc. Los enteros negativos se introducen mediante tablas de restas con números naturales como la siguiente: González Marí, J. L. Segunda Prueba
Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros 67 2-0=2 2-1=1 2-2=0 2-3= 2-4= 2-5= 2-6= . . . 1-0=1 1-1=0 1-2= 1-3= 1-4= 1-5= 1-6= . . . 0-0=0 0-1= 0-2= 0-3= 0-4= 0-5= 0-6= . . . En estas tablas se simbolizan y definen nuevos números (números negativos), estableciéndose a continuación un orden entre ellos, también por extrapolación inductiva; este orden será generalizado posteriormente a partir de la definición de orden en N (a < b si y sólo sí existe un número c tal que b = a + c). Las operaciones se definen también generalizando las regularidades que se observan en tablas como las siguientes para la suma y la resta: . . . 2+(-1)=1 2+0=2 2+1=3 . . . . . . 1-(-1)=2 . . . . . . 1+(-1)=0 1+0=1 1+1=2 . . . . . . 0-(-1)=1 . . . . . . 0+(-1)= 0+0=0 0+1=1 . . . . . . (-1)-(-1)=0 . . . . . . (-1)+(-1)= (-1)+0= (-1)+1=0 . . . . . . (-2)-(-1)=-1 . . . . . . (-2)+(-1)= (-2)+0= (-2)+1= . . . . . . (-3)-(-1)=-2 . . . en la que se pueden comprobar relaciones como: (- a) + (- b) = - (a + b); a + (- b) = (- b) + a = a - b; (- a) - b = - (a + b); a - (- b) = a + b; (- a) - (- b) = (- a) + b = b - a, que proporcionan las definiciones generales de suma y resta de cualquier par de números enteros. Con la multiplicación se utilizan, igualmente, hechos ya conocidos, dando lugar a tablas como la siguiente, en la que se pueden completar los huecos y generalizar los resultados: 2.(-2)= 2.(-1)= 2.0=0 2.1=2 2.2=4 1.(-2)=-2 1.(-1)=-1 1.0=0 1.1=1 1.2=2 0.(-2)=0 0.(-1)=0 0.0=0 0.1=0 0.2=0 (-1).(-2)= (-1).(-1)= (-1).0=0 (-1).1=-1 (-1).2= (-2).(-2)= (-2).(-1)= (-2).0=0 (-2).1=-2 (-2).2= Posteriormente, se pueden construir tablas de doble entrada como la siguiente, para comprobar las relaciones: (-a).(-b) = a.b y (-a).b = a.(-b) = -(a.b) y extender la multiplicación a cualquier par de números enteros. La división se define como la operación inversa de la multiplicación. -12 -9 -6 -3 3 6 9 12 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 12 9 6 3 -3 -6 -9 -12 • Extensión algebraica La ecuación x + a = b tiene solución en el conjunto de los números naturales para a ≤ b. Para que tenga siempre solución hemos de definir nuevos números (números negativos). Así, -1 es la solución de la ecuación x + 1 = 0; -2 es la solución de x + 2 = 0; etc.; es decir, -1 es el número que sumado a 1 da cero, -2 el que sumado a 2 da cero, etc. Por tanto, para cualquier número natural a Univer- Didáctica de la Matemática sidad de Málaga
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