2ª parte
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Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros<br />
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3.2.e.- La suma y la resta en una sola operación: adición algebraica. Justificar, utilizando la definición<br />
y las propiedades de la adición de números enteros, que la suma y la resta se reducen en<br />
realidad a una sola operación. ¿Qué es lo que hace esto posible?; ¿porqué no ocurre así con los<br />
números naturales? (una forma de hacerlo es demostrar el teorema siguiente: si a y b son números<br />
enteros cualesquiera, entonces a - b = a + (- b), lo que se consigue sumando b a ambos miembros y<br />
aplicando algunas propiedades de la adición).<br />
3.2.f.- Limitaciones de la división y la radicación de índice natural con números enteros: establecer<br />
en qué casos el cociente de dos números enteros o la raiz de índice natural de un número entero<br />
es otro número entero; ¿porque no ocurre esto en todos los casos?; ¿qué habría que hacer para<br />
poder dividir cualquier par de números enteros o extraer la raiz de índice natural de cualquier<br />
número entero?. Justificar las respuestas.<br />
3.2.g.- Mediante el estudio de los casos que se pueden presentar y aplicando la definición de valor<br />
absoluto, demostrar que si a y b son números enteros cualesquiera, se verifica: | a x b | = | a | x |<br />
b |. ¿Qué otras propiedades verifica el valor absoluto?.<br />
3.3. Modelización y representación de los conceptos y procedimientos<br />
La construcción o definición matemática formal es un recurso didáctico inviable para iniciar el<br />
proceso de enseñanza y aprendizaje de los números enteros cuando es necesario hacerlo, entre<br />
otros motivos porque los alumnos no tienen los conocimientos ni el nivel de reflexión matemática<br />
formal necesarios para ello. Además, dicha construcción es el resultado final de un proceso complejo<br />
en el que, por un lado, tienen cabida métodos y modelos no formales, semiconcretos o en<br />
contextos matemáticos, que son más intuitivos que la construcción rigurosa para comprobar la<br />
necesidad de la ampliación de los números naturales y para acceder a los números enteros, y, por<br />
otro, han intervenido aplicaciones concretas que son buenos modelos parciales del original y que<br />
tienen hoy día un uso extendido y una apreciable importancia social y cultural. En definitiva, para<br />
iniciar la enseñanza de los números enteros en el momento oportuno es prácticamente obligado<br />
utilizar, separadamente o de forma combinada, los dos tipos de modelos y representaciones que<br />
hemos mencionado; ambos constituyen aproximaciones “informales” que culminarán, si es necesario,<br />
en la construcción formal, de acuerdo con el siguiente proceso:<br />
a) prolongación “natural”, aunque limitada, de N, abarcando sus principales aplicaciones concretas<br />
(tipo 1) y/o ampliación no formal de N en contextos semiconcretos y matemáticos (tipo 2);<br />
los primeros atienden a necesidades sociales, culturales y de motivación didáctica inicial y los segundos,<br />
más abstractos, añaden coherencia y justificación matemática a los conceptos y procedimientos,<br />
completan las aproximaciones parciales y facilitan el despegue hacia lo formal;<br />
b) construcción formal motivada por el rigor y la validación matemática.<br />
En lo que sigue, abordamos los dos tipos de métodos y modelos del apartado a), en el bien entendido<br />
que se trata de una relación de la que sólo se podrá desarrollar una <strong>parte</strong> en el aula y que el<br />
orden de la exposición no tiene porqué ser el orden a seguir en el proceso didáctico.<br />
3.3.1.- Métodos y modelos no matemáticos (campo de la relatividad aditivo-ordinal) para<br />
comprender y utilizar en la práctica una <strong>parte</strong> de los números enteros<br />
“Todos los modelos (concretos o referidos a contextos no matemáticos) llegan a un punto en el<br />
que no se puede seguir con garantías. En este momento, los enteros deben haber llegado a ser<br />
números por sí mismos, obedeciendo a ciertas reglas que son independientes de los modelos utilizados.”<br />
(Leddy, 1977, pág. 28). Así, los modelos y representaciones de este apartado tienen limita-<br />
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