2ª parte

62
Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
La suma de dos números enteros se define mediante la suma de dos pares ordenados representantes
de cada una de las clases:
para y = (a, b), z = (c, d) números enteros, y + z = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Se demuestra que es compatible con la relación de equivalencia (el resultado es el mismo sean
cuales fueren los pares elegidos) y que verifica todas las propiedades de la estructura de grupo
conmutativo, es decir: es una ley de composición interna (la suma de dos enteros siempre es un
entero), es asociativa (se pueden sumar más de dos números enteros), posee elemento neutro (la
clase formada por todos los pares que tienen su primera y segunda proyección iguales), todo número
entero tiene simétrico para la adición (el que sumado con él da como resultado el elemento neutro)
y verifica la propiedad conmutativa.
A continuación se identifican los enteros positivos con los naturales, extendiéndose el orden natural
a Z, se demuestra que ambos conjuntos (N y Z+) son isomorfos para la suma (se comportan
igual y tienen las mismas propiedades) y se define la multiplicación de dos números enteros mediante
pares ordenados, de tal forma que la multiplicación de enteros positivos se comporte exactamente
igual que la multiplicación de naturales, lo que se consigue haciendo:
para y = (a, b) y z = (c, d) números enteros, y x z = (a, b) x (c, d) = (a x c + b x d, a x d + b x c)
Se demuestra que la operación así definida es una ley de composición interna, asociativa, conmutativa,
que posee elemento neutro (el número entero +1) y que se verifica la propiedad distributiva
del producto con respecto a la suma, con lo que se conservan las propiedades de N.
Otras operaciones y conceptos relacionados con los números enteros
A partir de la construcción formal se pueden definir otras operaciones aritméticas de uso frecuente,
tales como: la división, que se define como operación inversa a la multiplicación y que no
es una ley de composición interna (no todos los cocientes de números enteros dan como resultado
un número entero); la potenciación de exponente natural, que no es más que un producto reiterado
de la base tantas veces como indica el exponente y que es posible en todos los casos gracias a la
propiedad asociativa de la multiplicación; la radicación de índice natural, operación inversa a la
potenciación y cuyo resultado no siempre es un número entero.
Del mismo modo, la aparición del doble signo da lugar a un nuevo concepto asociado, como es
el de valor absoluto de un número entero, que se define de la siguiente forma: para cualquier a Z,
| a | = a si a > 0; | a | = 0 si a = 0 y | a | = - a si a < 0.
Ejercicios
3.2.a.- Efectuar, utilizando las definiciones formales, las siguientes operaciones:
(-3) + (+5); 0 - (-2); (+4) x (-5); (-6) : (-2).
3.2.b.- Demostrar las propiedades de la suma y el producto de números enteros así como la
propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
3.2.c.- Utilizando la definición por pares ordenados, demostrar que se cumple la regla de los
signos para la multiplicación.
3.2.d.- Partiendo de la definición en N, establecer la extensión del orden a Z y comprobar, mediante
el estudio de los casos que se pueden presentar, que dicho orden es total.
González Marí, J. L.
Segunda Prueba