2ª parte

Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
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Laplace 1749-1827 . . . . . . . .
Cauchy 1789-1857 . . . . . . . .
3.1.4.- Resultado final: Legalización y construcciones matemáticas del sistema de los números
enteros
La ampliación de las nociones numéricas entró en el siglo XIX en un terreno formal, puramente
matemático, en el que fué posible la admisión y legalización de los números negativos. Esto se consiguió
mediante el principio de permanencia de las leyes formales (Peacok (1791-1858), Hankel
(1867); citados y comentados en González y otros, 1990, págs. 48-49), que de forma simplificada y
particular dice lo siguiente: todas las reglas que se verifican para los números naturales deben
seguir verificándose para los nuevos campos numéricos, de manera que se conserven las definiciones
en el campo menos amplio como casos particulares de las nuevas definiciones en los campos
ampliados sin que exista contradicción.
La ampliación requiere identificar los números naturales con los positivos, añadir a estos los negativos
como opuestos para la adición en una estructura de orden total sin primer ni último elementos
y definir la multiplicación de manera que el producto de números positivos verifique las mismas
propiedades que el producto de números naturales y se cumpla la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la adición. Sobre esta idea general se construyen varias teorías a finales
del siglo XIX. Una de ellas, la conocida como teoría de los pares ordenados de Dedekind (1813-
1916), es la que se suele utilizar hoy día (una exposición clara de esta construcción, brevemente
comentada en el apartado 3.2, se puede encontrar en Godement (1967) y en Condamine (1971);
desarrollos más didácticos son los de Richardson (1976, pp. 107-115), Colectivo Periódica Pura
(1982, págs. 149-159), Nortes (1993, págs. 131-146) o González y otros (1990, págs. 105-122)).
Ejercicios
3.1.4.a.- Enumerar y resumir brevemente las diversas teorías matemáticas sobre los números enteros
que surgieron después de su legalización (utilizar, entre otros, el contenido del capítulo 2 de
González y otros (1990)).
3.1.4.b.- Completar lo incluído en el apéndice I de Colectivo Periódica Pura sobre la historia de
los signos + y -. Discutir la credibilidad de las distintas versiones.
3.2. Breves notas sobre la construcción formal usual del sistema de los números enteros
La ampliación de N a Z se realiza a partir del conjunto NxN (pares ordenados de números naturales),
entre cuyos elementos se establece una relación de equivalencia R llamada “equisustractividad”
(restas iguales), definida de la siguiente manera:
si (a, b) y (c, d) NxN, (a, b) R (c, d) si, y sólo si, a + d = b + c (o su equivalente: a - b = c - d)
Esta relación establece una partición en NxN en clases o conjuntos de pares ordenados, de tal
forma que en cada clase están todos los pares relacionados entre sí por R. El conjunto de todas las
clases o conjunto cociente NxN/R es el conjunto de los números enteros. Cada número entero es
pues una clase formada por todos los pares de naturales cuya diferencia ordenada (1ª menos 2ª
proyección) es la misma; ejemplos: la clase [(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), . .] representa al número
entero -3; la clase [(0, 0), (1, 1), (2, 2), . .] representa al número entero 0.
Univer-
Didáctica de la Matemática
sidad de Málaga