2ª parte

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Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
Ejercicios
3.1.3.a .- Completa la tabla anterior utilizando la información contenida en el capítulo 2 de
González y otros (1990).
3.1.3.b.- Ante el siguiente problema: “Hallar el valor de un número que añadido a 5 dé 2”, ¿qué
observaciones harían D‟Alembert, Viéte y Stevin y cómo lo resolverían, en su caso?.
• Los diversos intentos de justificación de la regla de los signos
En la época que estamos considerando, sobre todo en los últimos años, había una preocupación
especial por encontrar una justificación a lo que hoy conocemos como “regla de los signos” para la
multiplicación (que a veces se confunde con la regla de los paréntesis ( + (+ a) = + a; - (+ a) = - a;
+ (- a) = - a; - (- a) = + a)): “el producto de dos números de distinto signo es negativo y el producto
de dos números del mismo signo es positivo”; familiarmente se resume en las expresiones: (+ x
+ = +), (+ x - = -), (- x + = -), (- x - = +).
Se sabía que dichas reglas tenían que ser así, porque aparecían en la resolución de problemas y
en las manipulaciones algebraicas, pero no se disponía de una explicación satisfactoria y menos aún
de una demostración matemática. Posteriormente, con motivo de la construcción formal de los
números enteros, se vió que no es posible una demostración de la regla, resultando ser una convención
arbitraria para preservar el formalismo del cálculo (tiene que ser así si queremos que los números
enteros sean una extensión de los números naturales). A pesar de todo, se dieron durante esta
época numerosos intentos de justificación lógica o demostración matemática, pero todas encerraban
algún problema o dependían de la suposición arbitraria o convencional de alguna propiedad,
como ocurría con la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
Ejercicios y problemas
3.1.3.c.- Completa la siguiente tabla sobre intentos de justificación de la regla de los signos utilizando
la información contenida en el capítulo 2 de González y otros (1990).
3.1.3.d.- En la justificación de Stevin, a, b, c y d son longitudes. Si se sustituye a = 0 y b = 0 resulta
que (- b) (- d) = + bd; ¿está con ello “demostrada” la regla - x - = +?; ¿donde está el error?
(examinar las condiciones en las que la igualdad (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd es válida; en caso necesario,
consultar: Klein (1927, págs. 24-31)).
Autor Años Justificación
Stevin 1548-1620 mediante la igualdad: (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd basada en un razonamiento
geométrico sobre las áreas de la figura:
a
MacLaurin
Euler
c
b
1698-1746 a - a = a + (- a) = 0; n (a - a) = n a + n (- a) = n 0 = 0; de donde:
n (- a) = - n a; igualmente: - n (a - a) = - n a + (- n) (-a) = 0; de donde:
(- n) (- a) = n a.
1707-1783 b (- a) = - b a, ya que 3 deudas de a escudos es una deuda de 3a escudos;
- a b = (- a) (+ b) por conmutatividad; igualmente, (- a) (- b) = a b,
ya que, por eliminación, no puede ser negativo.
d
González Marí, J. L.
Segunda Prueba