2ª parte

Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros 

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Parte II: Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números 

enteros en la formación de Maestros de Educación Primaria 

1. Contextos, usos e importancia social y cultural de los números con signo 

1.1. Introducción 

Para empezar un tema como el de los números enteros lo lógico es disponer de algunos ejemplos 

iniciales que pongan de manifiesto la importancia social y cultural de estas nociones numéricas, 

pero aún no he podido hacerlo, puesto que los últimos dias han sido realmente negativos. Hace 

dos días me dispuse a ir a la biblioteca a las 9 a.m. para buscar ejemplos y mi coche no arrancó; 

había nevado 20 minutos antes y la temperatura era de 5 grados bajo cero. Dediqué el día a resolver 

unos problemas pendientes sobre compatibilidad de sistemas de ecuaciones, trigonometría, análisis 

y mecánica, pero tuve dificultades para representar en el intervalo (-2, 3) una función complicada 

y los dejé para terminarlos otro día 

Volví al dia siguiente, pero todo me salió mal. Tomé el ascensor para bajar al depósito en la 

planta -2 y se paró en la planta -1. Allí me encontré con un alumno que tenía que entregar un trabajo 

dentro de tres días si quería conseguir al menos los dos puntos que le faltaban para aprobar. Me 

pidió ayuda y se apostó conmigo mil pesetas a que no sabría la respuesta correcta a algunas de las 

cuestiones del trabajo. Yo accedí, pero perdí la apuesta. Me preguntó en que siglo tuvieron su 

apogeo los pitagóricos y cuál es la elevación del Mar Muerto; sin pensar contesté: el siglo VI y 300 

metros, a lo que me replicó que las respuestas correctas eran: el siglo VI a.c. y 300 metros bajo el 

nivel del mar. En ese momento sólo tenía 600 pesetas y un saldo en rojo en mi cuenta de 6.500 

ptas., por lo que aún le debo 400 pesetas. Para colmo, no estaban los libros que necesitaba y me fuí 

para continuar la partida de golf que inicié la semana pasada y que iba ganando con un tres bajo par 

en el décimo hoyo. Además de llegar seis minutos tarde porque mi reloj se paró, perdí la partida, 

quedando en penúltimo lugar con +5. 

Ya en mi casa, por la noche, me puse a hojear el periódico y me llevé una sorpresa desagradable 

cuando comprobé que el IBI iba a subir un 5%, que el IPC del mes anterior había superado en dos 

décimas al esperado y que el Málaga había perdido situándose el 14º con 5 negativos; pero, lo peor 

fué cuando leí que la empresa de mi esposa había tenido unas pérdidas de 2000 millones y que mis 

acciones habían bajado tres enteros. Decidí acostarme, olvidándome por completo de preparar los 

ejemplos para la clase. Tendré que empezar sin ellos, aunque aún tengo serias dudas de que realmente 

existan ejemplos completos, introductorios y elementales en los que se puedan ver claramente 

y estén justificadas todas y cada una de las propiedades de los números enteros. Pero, por otra 

parte, no es esta la única duda que tengo, porque . . : 

1.- ¿Es lo mismo 2 que +2?; ¿y 2 y -2?; ¿qué es un número negativo? 

2.- ¿Porqué "menos por menos es igual a más"? 

3.- ¿A qué situaciones y contextos corresponden las parejas (a, b) de números naturales?; ¿qué 

papel desempeñan estas situaciones en la construcción de los números enteros? 

4.- ¿Porqué se define la multiplicación de pares de números naturales de la forma: (a, b) x (c, d) 

= (ac + bd, ad + bc)?; ¿qué significado tiene la multiplicación de pares ordenados? 

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sidad de Málaga

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5.- ¿Qué tienen que ver los signos que anteceden a los números enteros con los signos de las 

operaciones de adición y sustracción?; ¿significan lo mismo?, ¿son diferentes? 

6.- ¿Sumar números naturales es la misma operación que sumar números enteros? 

7.- ¿Porqué no tiene sentido en algunos casos sumar o multiplicar temperaturas?; ¿qué sentido 

tiene que si multiplico dos deudas obtenga como resultado una fortuna? 

8.- ¿Porqué es tan difícil encontrar un ejemplo práctico de la multiplicación de números enteros 

como ley de composición interna? 

9.- ¿Hay algún campo, algún modelo con significado concreto, alguna situación cotidiana y real 

en la que se puedan ver claramente los números enteros con todas sus propiedades? 

10.- ¿Construcción formal?; ¿situaciones concretas de aplicación?; ¿qué aspectos habría que 

considerar?; ¿cómo secuenciarlos?; ¿en qué niveles? 

11.- ¿Porqué cometen los alumnos errores sistemáticos en la resolución de problemas en los que 

intervienen los números con signo?; ¿cuál es la naturaleza y el origen de dichos errores? 

12.- ¿Son correctos los ejemplos y situaciones problemáticas que se utilizan en el tratamiento 

didáctico usual de los números enteros?; ¿hay diferencias entre ellos?; ¿cuáles son esas diferencias?. 

Ejercicios 

1.1.a.- Elaborar una lista de las situaciones incluídas en el relato anterior que puedan servir como 

ejemplos de números positivos y negativos. Completar la lista con otras situaciones. 

1.1.b.- Redactar un relato similar al anterior suponiendo el caso contrario, es decir, si todo lo 

realizado o vivido por el profesor en los días indicados hubiera sido “positivo”. 

1.1.c.- Realizar una primera reflexión sobre los doce interrogantes, intentando dar una respuesta 

provisional a los mismos (al final del capítulo volveremos sobre ellos para comprobar la evolución 

de las ideas y conocimientos al respecto). 

1.2. Terminología 

En el texto del apartado anterior hemos empleado la terminología usual del lenguaje común escrito, 

en el que puede haber varias formas de expresar una misma cantidad, medida o número. En 

este sentido distinguiremos entre la expresión en lenguaje común y la expresión matemática, en la 

que unificamos la terminología utilizando el mismo símbolo (en nuestro caso un elemento del conjunto: 

Z = [. ., -2, -1, 0, +1, +2, . .]) para traducir al lenguaje matemático distintas expresiones en 

lenguaje común sobre la misma idea o hecho puntual (Ejemplo: al resolver un problema o ejercicio, 

escribimos +8 para expresar matemáticamente cualquiera de las siguientes expresiones en lenguaje 

verbal o escrito: “+8 ºC”, “una temperatura de +8 ºC”,“una temperatura de 8º”, “8º sobre cero” o 

“una temperatura positiva de 8º”). Por el contrario, la expresión matemática no hace referencia a 

contexto, medida o situación particular alguna, por lo que no es posible la traducción en sentido 

inverso si no se dispone de más información. Así, -3 podría ser la representación en lenguaje matemático 

de expresiones en lenguaje común tan diferentes como: “el ascensor ha bajado tres pisos”, 

“un saldo deudor de 3 pesetas” o “he perdido 3 canicas”. 

Cuando utilizamos la palabra “número” nos referimos a un objeto matemático y utilizaremos la 

simbolización matemática correspondiente; en otros casos, hablaremos de cantidades, medidas o 

números adjetivados o dirigidos para referirnos a aplicaciones concretas o particulares de los 

números. Por otra parte vamos a distinguir entre números enteros (o números relativos en terminología 

francesa), para referirnos a los elementos del conjunto Z con las cuatro operaciones aritméticas 

y todas las propiedades de su estructura algebraica (concepto matemático completo), y la idea 

González Marí, J. L. 

Segunda Prueba


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más general de números positivos y negativos o números con signo, para referirnos a nociones 

numéricas representadas mediante los numerales positivos y negativos, sin especificar operaciones, 

propiedades o estructuras. De este modo, cuando los números con signo se refieran a situaciones y 

fenómenos que se ajustan a la estructura de orden total, a la de semigrupo aditivo o en los que tienen 

sentido todas las propiedades de la estructura de anillo conmutativo y ordenado, hablaremos de 

números enteros; en los demás casos hablaremos de números naturales relativos. Esta distinción 

la hacemos por motivos meramente didácticos, ya que en matemáticas se suelen emplear los números 

enteros en todas las aplicaciones y modelos que se exponen en el presente capítulo. 

Por último, es usual, matemáticamente correcto y cómodo representar los números enteros positivos 

mediante los mismos símbolos que se utilizan para los números naturales. Dicha identificación 

no se realiza porque ambos tipos de números sean idénticos (la naturaleza, aplicaciones y significados 

concretos son diferentes), sino porque poseen las mismas propiedades (N y Z+ son conjuntos 

“isomorfos”). Sin embargo, aunque en el proceso educativo se debe tender a la identificación, 

puede resultar problemático realizarla prematuramente o no prestarle ninguna atención. No 

queremos establecer aquí ni el cuando ni el cómo sustituir +3 por 3, entre otras cosas porque depende 

del enfoque didáctico y de los tipos de situaciones que se utilicen; simplemente queremos 

llamar la atención sobre la conveniencia de analizar cuál es el momento oportuno para hacerlo y 

cómo hacerlo. A lo largo del capítulo aparecen indicaciones en tal sentido. 

Ejercicios 

1.2.a.- En los casos en que sea posible, elaborar una relación de expresiones alternativas en lenguaje 

común que tengan el mismo significado que las que se incluyen en el relato del apartado 1.1, 

indicando cuál sería en cada caso su representación en lenguaje matemático. 

1.2.b.- Analizar y discutir la posibilidad y variedad de expresiones alternativas en lenguaje 

común para los distintos tipos de situaciones relacionadas con los números con signo. 

1.3. Fenomenología de la relatividad aditiva y los números enteros 

Los números positivos y negativos o números con signo dan significado, son útiles u organizan 

un amplio conjunto de fenómenos que podemos estructurar en tres grandes apartados: 

1) fenómenos relacionados con magnitudes y cantidades relativas o “dirigidas” (campo de la 

relatividad aditivo-ordinal). 

Se representan mediante números con signo y verifican tan sólo una parte de las propiedades y 

estructuras de los números enteros; se pueden clasificar en los tres tipos siguientes: 

- 1a) basados en la noción de opuestos aditivos (comparaciones y transformaciones aditivas, 

situaciones duales y medidas naturales relativas (ganancias-pérdidas, ingresos-reintegros, etc); 

- 1b) basados en la estructura de orden total sin primer ni último elementos (orden de los 

números enteros) (temperaturas, números índices, cronología, otras escalas, etc.); 

- 1c) basados en la estructura de grupo aditivo y ordenado de los números enteros (adición 

y orden) (saldos bancarios, puntuaciones en el juego del golf, etc.); 

2) fenómenos matemáticos, de entre los que podemos destacar una parte de la aritmética, 

las manipulaciones algebraicas (ecuaciones, polinomios), cálculo (áreas negativas, integración), 

geometría (coordenadas), funciones trigonométricas, estadística (desviaciones, correlación), etc.; 

3) fenómenos de aplicación de las matemáticas a otros campos, tales como: mecánica, cinemática 

(distancias, velocidad y tiempo, presiones), electricidad, magnetismo, óptica o economía. 

Los números que caracterizan a los tipos de situaciones 1b, 1c, 2 y 3 son los números enteros. 

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1.3.1 El campo de la relatividad aditivo-ordinal: Origen primario o intuitivo y aplicación 

concreta (parcial) de los números enteros 

Los fenómenos y situaciones del apartado 1 forman parte de la ampliación “natural” a un contexto 

relativo de la idea “el número representa una cantidad” (decimos que es natural porque se 

ajusta al proceso de constitución del pensamiento numérico individual, a una parte importante del 

proceso histórico y al proceso lógico de ampliación de la aritmética con números naturales). Aquí, 

a diferencia del contexto absoluto, las cantidades son de dos cualidades opuestas y/o se concentran 

a ambos lados de una referencia central que se toma como origen. 

desde la comparación natural hasta el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤) 

Lo que denominamos como relatividad aditivo-ordinal tiene su origen en una parte importante 

del campo conceptual de los números naturales; en concreto, en la que intervienen comparaciones 

y transformaciones cuantitativas aditivas y ordinales. Frases tan familiares como “tengo 2 años más 

que tú”, “ha llegado tres puestos por detrás de ..”, “tenía 2 entradas, me han regalado tres más y he 

perdido una”, “he ingresado 5000 ptas.”, “5 es 3 menos que 8” o “faltan cinco duros”, involucran 

números naturales asociados a una adjetivación dual (más-menos, antes-después, delante-detrás, 

ingreso-reintegro, etc.), lo que introduce ciertas diferencias con respecto a las características y usos 

comunes de los números naturales en sentido absoluto, en su doble faceta cardinal y ordinal (“tengo 

20 años”,“estoy en 2º lugar”,“en la rama hay 5 melocotones”, etc.). 

El campo de la relatividad aditivo-ordinal alcanza a nociones métricas y numéricas, también llamadas 

adjetivadas, dirigidas o relativas, que se pueden caracterizar mediante tres elementos: número 

natural (cardinal u ordinal), origen o referencia y doble sentido que da lugar al doble signo. Su 

amplitud es considerable y su fenomenología variada, abarcando: 

• medidas “naturales relativas” (González, 1998)) (tipo 1a): 

- para las que no existe una construcción matemática formal ni una simbolización 

específica (se suelen utilizar números naturales o números con signo, dependiendo del caso); 

- que no tienen una estructura de orden total sino parcial (no tiene sentido, por 

ejemplo, comparar ganancias con pérdidas o bienes con deudas, si no es en valor absoluto) 

- con las que se puede operar aditivamente mediante la suma de números naturales, 

si se trata de números y medidas del mismo “signo” (“ayer perdí 3 y hoy he perdido 4; entre los dos 

días he perdido 7”), o mediante reglas familiares y naturales de anulación-compensación de opuestos 

(“si avanzo 3 km y luego retrocedo 2 km., en total avanzo 1 km.”). 

• magnitudes y medidas basadas en simples escalas ordinales (temperaturas, cronologías, 

etc.) (tipo 1b): 

- se representan mediante números con signo; 

- no tienen sentido o no son usuales las operaciones aritméticas entre ellas (sumar 

temperaturas o años?). 

• magnitudes y medidas que involucran la adición y el orden de los números enteros, 

es decir, que tienen como modelo el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤). Se trata de la culminación 

de esta “extensión natural”, intuitiva y contextualizada de los números naturales (tipo 1c): 

- son las situaciones más “completas” o evolucionadas del campo de la relatividad 

aditivo-ordinal (Ejemplos: puntuaciones en el juego del golf; saldos bancarios, etc.) 

- teóricamente, presentan una estructura de orden total sin primer ni último elementos 

y es posible operar aditivamente con ellas sin ninguna restricción. 

limitaciones de la multiplicación 


Segunda Prueba


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Se trata de un campo de aplicación parcial de los números enteros porque en ninguno de los tres 

tipos de situaciones descritas tiene sentido la multiplicación como ley de composición interna (en la 

que los dos factores y el resultado son de la misma naturaleza); ¿qué sentido tienen las multilicaciones: 

año x año, deuda x bien, saldo x saldo, pérdida x pérdida = ganancia?. 

Únicamente podemos encontrar ejemplos coherentes de la multiplicación como producto externo 

(factores de distinta naturaleza o de magnitudes diferentes o con significados distintos: “deshacer 

3 veces un retroceso de 5 pasos” ((-3)x(-5)) es lo mismo que “avanzar 15 pasos” (+15) o 

que “repetir 3 veces un avance de 5 pasos” ((+3)x(+5)); en un depósito se pueden plantear problemas 

en los que tienen sentido las multiplicaciones, pero siempre que los factores sean de distinta 

naturaleza: grifo (+) y desagüe (-), tiempo antes (-) y tiempo después (+); “quitar dos veces un 

saldo de -6” ((-2)x(-6)) es lo mismo que “añadir un saldo de +12”; etc.). 

Tradicionalmente, los tipos de situaciones descritos son tratados, o bien en el proceso didáctico 

usual de la aritmética con números naturales, o bien como ejemplos introductorios de los números 

enteros, pero, en realidad se trata de una vía de aplicación que se agota en la estructura aditiva y 

ordinal, quedando la justificación de la multiplicación y de la estructura completa de Z (anillo de 

integridad totalmente ordenado) para el campo de los fenómenos del apartado 2, el campo que 

realmente motivó la construcción formal del conjunto de los números enteros. 

1.3.2 Aritmética, Álgebra y Geometría: Origen histórico y campos de aplicación matemática 

de los números enteros 

Cuando aún no se conocían los números enteros (aunque sí los negativos), ya se resolvían, por 

medio de ecuaciones, problemas relacionados con algunas de las situaciones anteriores; también se 

resolvían ecuaciones en abstracto y se realizaban todo tipo de manipulaciones algebraicas. 

lo que motivó la ampliación de los naturales a los enteros 

En el campo de la actividad matemática, desligada con frecuencia de las magnitudes y de los 

significados concretos, aparecían coeficientes, raíces y operaciones que no encajaban con lo conocido 

hasta entonces y que, sin embargo, “funcionaban” y eran útiles, por lo que debían ser considerados, 

justificados, relacionados con el resto de conocimientos matemáticos e integrados junto a 

ellos en un todo coherente. Fueron“necesidades matemáticas” tales como: convertir la sustracción 

en una ley de composición interna (hacerla posible en todos los casos), resolver todo tipo de ecuaciones, 

representar geométricamente funciones en todo el plano sin ninguna restricción o encontrar 

una justificación a la regla de los signos para la multiplicación, conocida y aceptada por su utilidad 

en la resolución de ecuaciones, las que, entre otras, demandaron durante mucho tiempo la ampliación 

de los números naturales a los números enteros. 

fué necesario abandonar los intentos basados en la noción de cantidad 

Al mismo tiempo se pensaba que la ampliación debía constituir un modelo para el campo de la 

relatividad aditivo-ordinal, de acuerdo con la concepción de que el número expresa cantidad. Pero 

ninguno de los intentos de justificación en el terreno de las cantidades y magnitudes dió resultado; 

en primer lugar por las dificultades para dar una interpretación “real” a los números negativos como 

cantidades en todas las situaciones y, en segundo lugar, por los problemas mencionados con la 

multiplicación y la regla de los signos. 

los números enteros: objetos útiles para fenómenos matemáticos y sus aplicaciones 

La única justificación válida y completa vino por la vía estrictamente formal, es decir, para poder 

satisfacer las necesidades matemáticas indicadas era necesario ampliar los números naturales 

con todas sus propiedades, de manera que estas se conservaran intactas en el conjunto ampliado 

(ver apartado 3.2). Con estas condiciones, los números enteros y, en general, el doble signo dan 

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significado, son útiles u organizan un campo amplio de conocimientos y fenómenos matemáticos 

(tipo 2), de entre los que podemos destacar los siguientes: aritméticos (extensión de la sustracción 

en N; operaciones aritméticas con números con signo), algebraicos (ecuaciones y sistemas, polinomios), 

algebraico-geométricos (estudio y representación de funciones), geométricos (coordenadas, 

recta numérica) y, en general, todas aquéllas partes de la Matemática que se basan en los aspectos 

anteriores así como, indirectamente, la extensa gama de fenómenos de otros campos que utilizan 

los números enteros (aplicaciones no matemáticas (tipo 3)). 

El cuadro siguiente ilustra los tres tipos de fenómenos. La separación entre las estructuras de 

grupo y anillo sólo tiene por objeto separar los contextos y facilitar la representación. 

grupo aditivo ordenado anillo (completo) 

(Z, +, Š) (Z, +, x, Š) 

Matemáticas 

Z 

Álgebra; Geometría; 

N otras (2) 

Aplicaciones del 

Aplicaciones relatividad aditivo-ordinal Álgebra, la Geometría 

no matemáticas (1) etc. a Física y otras 

ciencias (3) 

Ejercicios 

1.3.a.- En la lista de situaciones del ejercicio 1.1.a agrupar las que se suelen representar mediante 

números naturales, números enteros y las que se refieren a medidas naturales relativas. 

1.3.b.- Los números con signo en la prensa. Enumera y describe brevemente los contextos, 

usos, terminología y tipos de fenómenos relacionados con los números positivos y negativos que 

aparecen en un ejemplar de prensa de información general. 

1.3.c.- Comprobar, mediante algunos ejemplos, las limitaciones de la multiplicación en las situaciones 

del campo de la relatividad aditivo-ordinal e investiga si existe algún caso en el que tenga 

sentido la multiplicación como ley de composición interna. 

1.3.d.- Ilustrar, mediante ejemplos adecuados, los problemas que pueden aparecer al intentar resolver 

ecuaciones sencillas suponiendo que sólo se conocen los números naturales. 

1.3.e.- Discutir en grupo y elaborar conclusiones acerca de la importancia social y cultural de 

los números con signo y de las limitaciones y dificultades que tendría una persona en nuestra sociedad 

que no dominara estas nociones numéricas. 

1.3.f.- Limitaciones de la fenomenología de los números enteros. Señalar las principales limitaciones 

y el alcance de los números enteros en cada uno de los contextos fenomenológicos analizados. 

Comentar brevemente la necesidad y pertinencia de nuevas extensiones numéricas. 

2 La relatividad aditivo-ordinal y los números enteros en el currículo 

La relatividad aditiva y los números positivos y negativos forman parte de un campo de conocimientos 

estrechamente relacionado, en sus inicios, con el campo conceptual aditivo. Así, presentan 

ciertas relaciones de dependencia con algunos aspectos de los números naturales (comparaciones, 

transformaciones, significados duales, etc.) y comparten con ellos, con los decimales y las fraccio- 


Segunda Prueba


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nes un núcleo fenomenológico común (relacionado con la relatividad aditivo-ordinal y con el campo 

conceptual de los números naturales relativos). Se trata, por tanto, de un contenido matemático 

cuyo desarrollo curricular se puede iniciar entre la Educación Primaria y la Educación Secundaria 

obligatoria, quedando su culminación formal, si es el caso, para cursos posteriores; de hecho, su 

ubicación en el diseño curricular y las orientaciones para su tratamiento didáctico varían de unas 

Comunidades a otras dentro del Estado español. 

El Real Decreto 1344/1991 de 6 de septiembre (B.O.E. 13/9/91), por el que el Ministerio establece 

el currículo para Educación Primaria, recoge los contenidos del Área de Matemáticas relacionados 

con los números enteros en el apartado titulado Números y operaciones. Asímismo, en 

dicho apartado se establecen los contenidos para el número natural y las operaciones con números 

naturales, una parte de los cuales, aquélla en la que intervienen comparaciones y transformaciones 

de medidas discretas y números naturales, son de especial importancia para el tema. 

Ejercicios 

2.a.- Elabora una lista de los distintos aspectos incluidos en dicho documento (objetivos, contenidos 

y criterios de evaluación) que estén relacionados con la relatividad aditiva y los números enteros. 

2.b.- Elabora un breve extracto de las orientaciones para la enseñanza de la parte de los números 

naturales que hemos denominado relatividad aditivo-ordinal y los números enteros que aparecen 

en el Decreto de Educación Primaria correspondiente a tu Comunidad Autónoma. 

2.c.- Analiza si los contenidos que aparecen en la siguiente tabla están relacionados con la relatividad 

aditivo-ordinal y los números enteros e incluye una breve explicación justificativa. Establece 

una secuenciación razonable de los mismos y completa la tabla, si es necesario, utilizando la información 

de los ejercicios anteriores y las orientaciones curriculares del capítulo dedicado a los 

números naturales. 

Conceptos Procedimientos Actitudes 

- Comparación entre números 

naturales mediante ordenación, 

representación gráfica y transformación 

de unos en otros. relaciones numéricas. 

- Necesidades y funciones de 

los números naturales y enteros. 

- Relaciones entre números 

(mayor que, menor que, igual a, 

etc.) y símbolos para expresarlas. 

- Noción de ecuación numérica. 

Notaciones. Valor relacional 

del signo igual. 

- La suma y la resta como resultados 

de transformaciones 

cuantitativas. Efectos de las 

operaciones aditivas sobre los 

números. 

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- Lectura y escritura de números 

enteros en diferentes contextos. 

- Identificación de situaciones 

cotidianas en las que se dan las 

operaciones de suma y resta 

como transformaciones. 

- Formulación y comprobación 

de conjeturas sobre la regla que 

sigue una serie o clasificación de 

números y construcción de series 

y clasificaciones de acuerdo 

con una regla establecida. 

- Curiosidad por indagar sobre 

el significado de los códigos 

numéricos y las regularidades y 

- Sensibilidad e interés por las 

informaciones y mensajes de 

naturaleza numérica, apreciando 

la utilidad de los números 

en la vida cotidiana. 

- Rigor en la utilización precisa 

de los símbolos numéricos 

Conceptos Procedimientos Actitudes

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- Números positivos y negativos. 

- Reglas de uso de la calculadora 

cuando intervienen números 

enteros. 

- Correspondencia entre lenguaje 

verbal, representación 

gráfica y notación numérica. 

- Utilzación de diferentes estrategias 

para resolver problemas 

con números positivos y negativos. 

- Explicación oral del proceso 

seguido en la resolución de problemas 

con números positivos y 

negativos. 

- Representación de situaciones 

mediante diferentes lenguajes 

(verbal, gráfico y numérico) y 

estableciendo correspondencias 

entre los mismos. 

- Estimación del resultado de un 

cálculo con números enteros y 

valoración de si la respuesta es 

razonable o no. 

- Perseverancia en la búsqueda 

de soluciones a un problema. 

- Confianza en el uso de la 

calculadora. 

3. Conceptos y representaciones 

3.1. Algunas consideraciones sobre la historia de los números con signo 

La historia de los números positivos y negativos, desde la aparición de las primeras nociones 

hasta su justificación y formalización matemática como números enteros en la segunda mitad del 

siglo XIX, ha sido larga y controvertida (González y otros, 1990, págs. 21-58); un proceso de más 

de 20 siglos caracterizado por la existencia de diferencias notables entre distintas civilizaciones en 

lo que se refiere a su concepción y utilidad y a la dificultad para justificarlos e integrarlos en el conjunto 

de conocimientos matemáticos. Así, mientras que los números negativos eran utilizados en 

algunas culturas orientales (China, India) para resolver problemas comerciales, en las civilizaciones 

griega, árabe y europea, aún siendo conocidos y utilizados como artificios de cálculo, eran rechazados 

o ignorados porque no encajaban con la idea: “el número expresa cantidad”. Distinguimos 

por tanto, al igual que hace Lizcano (1993), dos maneras de negatividad: la oriental, cuyo origen se 

encuentra en la civilización china, y la occidental, cuyo orígen se encuentra en la civilización griega 

y cuya evolución culminó con la construcción formal. 

3.1.1.- los números positivos y negativos en la matemática china 

China es, posiblemente, la primera civilización que usó cantidades negativas. Los primeros antecedentes 

se remontan al capítulo octavo de los “Nueve Capítulos del arte matemático” (“Jiu zhang 

suanshu”), cuya versión original es anterior a la dinastía de los Primeros Han (202 a. de C.). El 

origen se encuentra en prácticas antiguas de contabilidad y adivinación basadas en el manejo de 

palillos que se disponían sobre un tablero de cálculo o, simplemente, sobre un tapete. Uno de los 

propósitos de este tablero y del método de cálculo correspondiente (“fang cheng”) era la resolución 

manipulativa, mediante unas reglas de adición y sustracción basadas en las ideas de opuestos y 

de anulación, de lo que nosotros conocemos como sistemas de ecuaciones. 


Segunda Prueba


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• Palillos para representar cantidades 

Los nueve signos básicos se representaban disponiendo los palillos de la siguiente manera: 

| || ||| |||| ||||| | || ||| |||| 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

Las disposiciones de la fila superior se utilizaban para representar las unidades, las centenas y 

las posiciones impares, mientras que las de la fila inferior, se empleaban para las decenas, millares y 

posiciones pares; el cero se representaba mediante un hueco o espacio en blanco. Con este sistema 

posicional se podía expresar cualquier número o cantidad, como por ejemplo: 

18 ||| 27 || 

1029 |||| 516 ||||| 

Igualmente se utilizaban palillos de dos colores: rojos para los números o cantidades positivas 

(zheng) y negros para los números o cantidades negativas (fu), aunque a veces eran de un sólo 

color y la cantidad negativa se diferenciaba de la positiva mediante un palillo cruzado encima de la 

cantidad positiva correspondiente. 

• Planteamiento de un problema 

Mediante el sistema descrito y utilizando unas reglas y un método se resolvían problemas de varias 

ecuaciones con varias incógnitas. Para ello se establecían en el tablero tantas columnas de derecha 

a izquierda como relaciones lineales (ecuaciones) y tantas filas como “cosas” (incógnitas). En 

cada fila, de arriba a abajo, se situaban ordenadamente las cantidades (palillos) de cada cosa, siendo 

la última fila la que correspondía al total o término independiente de cada ecuación (shi). Veamos 

cómo se plantea el problema 1 del capítulo octavo. 

“Hay 3 manojos de cereal de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 1 manojo 

de calidad inferior, resultando 39 como medida de grano (shi) ; 2 manojos de 

calidad superior, 3 manojos de calidad media y 1 manojo de calidad inferior dan 34 

(shi); 1 manojo de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 3 manojos de calidad 

inferior dan 26 (shi). Encontrar la medida de grano contenida en un manojo de 

cada una de las tres calidades de cereal.”. 

que se resuelve mediante el sistema de ecuaciones: 3x + 2y + z = 39; 2x + 3y + z = 34; x + 2y + 

3z = 26, cuya disposición de palillos en el tablero es la siguiente: 

. C3 C2 C1 

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50 


calidad superior 

calidad media 

calidad inferior 

shi 

• Reglas de adición y sustracción y método de resolución 

La resolución de los problemas se realiza manipulativamente, aplicando unas reglas aritméticas 

de autor anónimo y siguiendo un método (fang cheng) que persigue hacer ceros (eliminar los palillos) 

las cantidades situadas en el triángulo superior izquierdo del tablero (en este caso, las dos cantidades 

superiores de la columna C3 y la cantidad superior de la columna C2). Estas reglas indican 

como sumar y restar números zheng y números fu, tanto entre sí como de wu (hueco; cero). La 

regla de sustracción dice (entre paréntesis se indican las expresiones occidentales): 

“- Cuando los nombres son el mismo, efectuar la sustracción ((+ n) - (+ m) = + (n - m); (- n) - 

(- m) = - (n - m)); 

- Cuando los nombres son diferentes, efectuar la suma ((+ n) - (- m) = + (n + m); (- n) - (+ m) = 

- (n + m)); 

- Un número zheng emparejado con wu se hace fu (0 - (+ n) = - n); 

- Un número fu emparejado con wu se hace zheng (0 - (- n) = + n)”. 

La regla de adición es la siguiente: 

“- Cuando los nombres son diferentes, efectuar la sustracción ((+ n) + (- m) = + (n - m); (- n) + 

(+ m) = (n - m)); 

- Cuando los nombres son el mismo, efectuar la suma ((+ n) + (+ m) = + (n + m); (- n) + (- m) = 

- (n + m)); 

- Un número zheng emparejado con wu se hace zheng (0 + (+ n) = + n); 

- Un número fu emparejado con wu se hace fu (0 + (- n) = - n)”. 

Para eliminar los palillos del triángulo superior izquierdo se multiplican todos los elementos de 

una columna por un número adecuado y, mediante el empleo de las reglas anteriores, se restan de 

los elementos correspondientes de otra columna tantas veces como sea necesario. En la resolución 

del problema 1 se empieza por anular el elemento superior de la columna central (C2), para lo que 

se multiplica cada elemento de dicha columna por 3 y se les resta dos veces los correspondientes 

elementos de la columna C1. Las sucesivas transformaciones quedan como sigue: 

1 2 3 (paso 1) 1 3 (paso 2) 3 (paso 3) 3 

2 3 2 (3 C2 - C1 - C1) 2 5 2 (3C3 - C1 ) 4 5 2 (5 C3 - 4C2 ) 5 2 

3 1 1 3 1 1 8 1 1 36 1 1 

26 34 39 26 24 39 39 24 39 99 24 39 

La resolución se efectúa, directamente para z (z = 99/36) y mediante sustituciones para x e y (y 

= (24.36 - 99.1)/5.36 = 153/36; x = (39.36 - 99.1 -153.2)/3.36 = 333/36). 

Ejercicios 

3.1.1.a.- Representa con palillos las siguientes cantidades: 14, -32, 208, -510. 


Segunda Prueba


51 

3.1.1.b.- Resuelve, utilizando el método de cálculo en el tablero (fang cheng) y las reglas zheng 

fu de adición y sustracción, el siguiente problema (problema 8 del capítulo octavo del libro de los 

“nueve capítulos”): “Al vender 2 vacas y 5 cabras para comprar 13 cerdos, hay un superávit de 

1000 monedas. El dinero obtenido de vender 3 vacas y 3 cerdos da justo para comprar 9 cabras. Al 

vender 6 cabras y 8 cerdos para comprar 5 vacas, hay un déficit de 600 monedas. ¿cuál es el precio 

de una vaca, una cabra y un cerdo?.”. 

3.1.2.- El modelo hindú de bienes y deudas 

Quizás influenciados por la cultura china, los hindúes consideraban los negativos como entidades 

aisladas con su aritmética correspondiente, utilizaban e interpretaban las raíces negativas de las 

ecuaciones y resolvían problemas de tipo práctico. Brahmagupta, en el 628 d. de C., establecía los 

algoritmos para efectuar operaciones aritméticas con los “bienes”, las “deudas” y la “nada”, indicando 

que: “una „deuda‟ restada de cero se convierte en un „bien‟ y un „bien‟ restado de cero se 

convierte en una „deuda‟”. 

3.1.3.- Los negativos y positivos en la cultura “occidental”hasta su legalización como 

números enteros 

Paralelamente al desarrollo de las ideas anteriores se producía un proceso distinto, plagado de 

dificultades, que se inició en la civilización griega y culminó en la cultura europea del siglo XIX. 

En la civilización griega se asociaba la idea de número a la de cantidad de magnitud, bajo cuyo 

enfoque el número negativo no tenía sentido porque representaba una “cantidad menor que nada”. 

Así, para Diofanto (350-250 a. de C.) no existían los números negativos, ya que consideraba, entre 

otros motivos, que “es imposible sustraer un segmento de otro menor que él”. 

En la civilización árabe se ignoraban los negativos como raíces o resultados de ecuaciones; se 

operaba con ellos como restas indicadas y no como entes aislados. Al mismo tiempo, en la época 

medieval europea (aprox. s. VI - s. XIII) se agudizaron los problemas anteriores, llegándose, incluso, 

a un rechazo generalizado de los números negativos en todas sus facetas. Esta situación empieza 

a cambiar con la llegada del Renacimiento (s. XVI), abriéndose una nueva etapa que perdura 

hasta la formalización de los números enteros en la segunda mitad del s. XIX. En el cuadro siguiente 

se incluyen algunos de los principales autores y hechos relevantes de esta época. 

Autor Años Concepción y hechos relevantes H 

e 

c 

h 

o 

s 

r 

e 

l 

e 

v 

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n 

Univer- 


sidad de Málaga

52 


Stiffel 1544 admite los negativos como coeficientes; opera con ellos pero; los 

considera “numeri absurdi” 

Cardano 1501-1576 no admite los negativos como coeficientes; admite raices negativas 

como “ficticias”; enuncia la regla de los signos. 

Viéte 1540-1603 no admite los negativos ni como coeficientes ni como raíces. 

Stevin 1548-1620 acepta los negativos como raíces y como coeficientes; transformaba 

ecuaciones con raíces negativas en ecuaciones con raíces positivas 

(“las raíces negativas de una ecuación son las raíces positivas de su 

transformada”); no tiene interpretabación para el número negativo 

aislado. 


Segunda Prueba 

t 

e 

s 

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r 

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53 

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( 

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( 

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= 

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- 

b 

c 

- 

a 

d 

+ 

b 

d 

a 

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Univer- 


sidad de Málaga

54 


b 

Girard 1590-1639 admite las raíces negativas de las ecuaciones por su utilidad. H 

a 

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Segunda Prueba


55 

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n 

o 

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sidad de Málaga

56 


D‟Alembert . . . Define las cantidades negativas como “menores que nada y precedidas 

del signo menos”; al mismo tiempo dice que no se puede concebir 

una cantidad menor que nada. En ecuaciones . . . 



u 

e 

d 

e 

n 

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x 

i 

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57 

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58 




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59 

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o 

. 

McLaurin 1698-1746 . . . . . . 

. 

. 

. 

. 

. 

Euler 1707-1783 . . . . . . 

. 

. 

. 

. 

. 

Carnot 1753-1823 . . . . . 

Cauchy 1789-1857 . . . . . . 

. 

. 

. 

. 

. 

Univer- 


sidad de Málaga

60 


Ejercicios 

3.1.3.a .- Completa la tabla anterior utilizando la información contenida en el capítulo 2 de 

González y otros (1990). 

3.1.3.b.- Ante el siguiente problema: “Hallar el valor de un número que añadido a 5 dé 2”, ¿qué 

observaciones harían D‟Alembert, Viéte y Stevin y cómo lo resolverían, en su caso?. 

• Los diversos intentos de justificación de la regla de los signos 

En la época que estamos considerando, sobre todo en los últimos años, había una preocupación 

especial por encontrar una justificación a lo que hoy conocemos como “regla de los signos” para la 

multiplicación (que a veces se confunde con la regla de los paréntesis ( + (+ a) = + a; - (+ a) = - a; 

+ (- a) = - a; - (- a) = + a)): “el producto de dos números de distinto signo es negativo y el producto 

de dos números del mismo signo es positivo”; familiarmente se resume en las expresiones: (+ x 

+ = +), (+ x - = -), (- x + = -), (- x - = +). 

Se sabía que dichas reglas tenían que ser así, porque aparecían en la resolución de problemas y 

en las manipulaciones algebraicas, pero no se disponía de una explicación satisfactoria y menos aún 

de una demostración matemática. Posteriormente, con motivo de la construcción formal de los 

números enteros, se vió que no es posible una demostración de la regla, resultando ser una convención 

arbitraria para preservar el formalismo del cálculo (tiene que ser así si queremos que los números 

enteros sean una extensión de los números naturales). A pesar de todo, se dieron durante esta 

época numerosos intentos de justificación lógica o demostración matemática, pero todas encerraban 

algún problema o dependían de la suposición arbitraria o convencional de alguna propiedad, 

como ocurría con la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. 

Ejercicios y problemas 

3.1.3.c.- Completa la siguiente tabla sobre intentos de justificación de la regla de los signos utilizando 

la información contenida en el capítulo 2 de González y otros (1990). 

3.1.3.d.- En la justificación de Stevin, a, b, c y d son longitudes. Si se sustituye a = 0 y b = 0 resulta 

que (- b) (- d) = + bd; ¿está con ello “demostrada” la regla - x - = +?; ¿donde está el error? 

(examinar las condiciones en las que la igualdad (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd es válida; en caso necesario, 

consultar: Klein (1927, págs. 24-31)). 

Autor Años Justificación 

Stevin 1548-1620 mediante la igualdad: (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd basada en un razonamiento 

geométrico sobre las áreas de la figura: 

a 

MacLaurin 

Euler 

c 

b 

1698-1746 a - a = a + (- a) = 0; n (a - a) = n a + n (- a) = n 0 = 0; de donde: 

n (- a) = - n a; igualmente: - n (a - a) = - n a + (- n) (-a) = 0; de donde: 

(- n) (- a) = n a. 

1707-1783 b (- a) = - b a, ya que 3 deudas de a escudos es una deuda de 3a escudos; 

- a b = (- a) (+ b) por conmutatividad; igualmente, (- a) (- b) = a b, 

ya que, por eliminación, no puede ser negativo. 

d 


Segunda Prueba


61 

Laplace 1749-1827 . . . . . . . . 

Cauchy 1789-1857 . . . . . . . . 

3.1.4.- Resultado final: Legalización y construcciones matemáticas del sistema de los números 

enteros 

La ampliación de las nociones numéricas entró en el siglo XIX en un terreno formal, puramente 

matemático, en el que fué posible la admisión y legalización de los números negativos. Esto se consiguió 

mediante el principio de permanencia de las leyes formales (Peacok (1791-1858), Hankel 

(1867); citados y comentados en González y otros, 1990, págs. 48-49), que de forma simplificada y 

particular dice lo siguiente: todas las reglas que se verifican para los números naturales deben 

seguir verificándose para los nuevos campos numéricos, de manera que se conserven las definiciones 

en el campo menos amplio como casos particulares de las nuevas definiciones en los campos 

ampliados sin que exista contradicción. 

La ampliación requiere identificar los números naturales con los positivos, añadir a estos los negativos 

como opuestos para la adición en una estructura de orden total sin primer ni último elementos 

y definir la multiplicación de manera que el producto de números positivos verifique las mismas 

propiedades que el producto de números naturales y se cumpla la propiedad distributiva de la multiplicación 

con respecto a la adición. Sobre esta idea general se construyen varias teorías a finales 

del siglo XIX. Una de ellas, la conocida como teoría de los pares ordenados de Dedekind (1813- 

1916), es la que se suele utilizar hoy día (una exposición clara de esta construcción, brevemente 

comentada en el apartado 3.2, se puede encontrar en Godement (1967) y en Condamine (1971); 

desarrollos más didácticos son los de Richardson (1976, pp. 107-115), Colectivo Periódica Pura 

(1982, págs. 149-159), Nortes (1993, págs. 131-146) o González y otros (1990, págs. 105-122)). 

Ejercicios 

3.1.4.a.- Enumerar y resumir brevemente las diversas teorías matemáticas sobre los números enteros 

que surgieron después de su legalización (utilizar, entre otros, el contenido del capítulo 2 de 

González y otros (1990)). 

3.1.4.b.- Completar lo incluído en el apéndice I de Colectivo Periódica Pura sobre la historia de 

los signos + y -. Discutir la credibilidad de las distintas versiones. 

3.2. Breves notas sobre la construcción formal usual del sistema de los números enteros 

La ampliación de N a Z se realiza a partir del conjunto NxN (pares ordenados de números naturales), 

entre cuyos elementos se establece una relación de equivalencia R llamada “equisustractividad” 

(restas iguales), definida de la siguiente manera: 

si (a, b) y (c, d) NxN, (a, b) R (c, d) si, y sólo si, a + d = b + c (o su equivalente: a - b = c - d) 

Esta relación establece una partición en NxN en clases o conjuntos de pares ordenados, de tal 

forma que en cada clase están todos los pares relacionados entre sí por R. El conjunto de todas las 

clases o conjunto cociente NxN/R es el conjunto de los números enteros. Cada número entero es 

pues una clase formada por todos los pares de naturales cuya diferencia ordenada (1ª menos 2ª 

proyección) es la misma; ejemplos: la clase [(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), . .] representa al número 

entero -3; la clase [(0, 0), (1, 1), (2, 2), . .] representa al número entero 0. 

Univer- 


sidad de Málaga

62 


La suma de dos números enteros se define mediante la suma de dos pares ordenados representantes 

de cada una de las clases: 

para y = (a, b), z = (c, d) números enteros, y + z = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 

Se demuestra que es compatible con la relación de equivalencia (el resultado es el mismo sean 

cuales fueren los pares elegidos) y que verifica todas las propiedades de la estructura de grupo 

conmutativo, es decir: es una ley de composición interna (la suma de dos enteros siempre es un 

entero), es asociativa (se pueden sumar más de dos números enteros), posee elemento neutro (la 

clase formada por todos los pares que tienen su primera y segunda proyección iguales), todo número 

entero tiene simétrico para la adición (el que sumado con él da como resultado el elemento neutro) 

y verifica la propiedad conmutativa. 

A continuación se identifican los enteros positivos con los naturales, extendiéndose el orden natural 

a Z, se demuestra que ambos conjuntos (N y Z+) son isomorfos para la suma (se comportan 

igual y tienen las mismas propiedades) y se define la multiplicación de dos números enteros mediante 

pares ordenados, de tal forma que la multiplicación de enteros positivos se comporte exactamente 

igual que la multiplicación de naturales, lo que se consigue haciendo: 

para y = (a, b) y z = (c, d) números enteros, y x z = (a, b) x (c, d) = (a x c + b x d, a x d + b x c) 

Se demuestra que la operación así definida es una ley de composición interna, asociativa, conmutativa, 

que posee elemento neutro (el número entero +1) y que se verifica la propiedad distributiva 

del producto con respecto a la suma, con lo que se conservan las propiedades de N. 

Otras operaciones y conceptos relacionados con los números enteros 

A partir de la construcción formal se pueden definir otras operaciones aritméticas de uso frecuente, 

tales como: la división, que se define como operación inversa a la multiplicación y que no 

es una ley de composición interna (no todos los cocientes de números enteros dan como resultado 

un número entero); la potenciación de exponente natural, que no es más que un producto reiterado 

de la base tantas veces como indica el exponente y que es posible en todos los casos gracias a la 

propiedad asociativa de la multiplicación; la radicación de índice natural, operación inversa a la 

potenciación y cuyo resultado no siempre es un número entero. 

Del mismo modo, la aparición del doble signo da lugar a un nuevo concepto asociado, como es 

el de valor absoluto de un número entero, que se define de la siguiente forma: para cualquier a Z, 

| a | = a si a > 0; | a | = 0 si a = 0 y | a | = - a si a < 0. 

Ejercicios 

3.2.a.- Efectuar, utilizando las definiciones formales, las siguientes operaciones: 

(-3) + (+5); 0 - (-2); (+4) x (-5); (-6) : (-2). 

3.2.b.- Demostrar las propiedades de la suma y el producto de números enteros así como la 

propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. 

3.2.c.- Utilizando la definición por pares ordenados, demostrar que se cumple la regla de los 

signos para la multiplicación. 

3.2.d.- Partiendo de la definición en N, establecer la extensión del orden a Z y comprobar, mediante 

el estudio de los casos que se pueden presentar, que dicho orden es total. 


Segunda Prueba


63 

3.2.e.- La suma y la resta en una sola operación: adición algebraica. Justificar, utilizando la definición 

y las propiedades de la adición de números enteros, que la suma y la resta se reducen en 

realidad a una sola operación. ¿Qué es lo que hace esto posible?; ¿porqué no ocurre así con los 

números naturales? (una forma de hacerlo es demostrar el teorema siguiente: si a y b son números 

enteros cualesquiera, entonces a - b = a + (- b), lo que se consigue sumando b a ambos miembros y 

aplicando algunas propiedades de la adición). 

3.2.f.- Limitaciones de la división y la radicación de índice natural con números enteros: establecer 

en qué casos el cociente de dos números enteros o la raiz de índice natural de un número entero 

es otro número entero; ¿porque no ocurre esto en todos los casos?; ¿qué habría que hacer para 

poder dividir cualquier par de números enteros o extraer la raiz de índice natural de cualquier 

número entero?. Justificar las respuestas. 

3.2.g.- Mediante el estudio de los casos que se pueden presentar y aplicando la definición de valor 

absoluto, demostrar que si a y b son números enteros cualesquiera, se verifica: | a x b | = | a | x | 

b |. ¿Qué otras propiedades verifica el valor absoluto?. 

3.3. Modelización y representación de los conceptos y procedimientos 

La construcción o definición matemática formal es un recurso didáctico inviable para iniciar el 

proceso de enseñanza y aprendizaje de los números enteros cuando es necesario hacerlo, entre 

otros motivos porque los alumnos no tienen los conocimientos ni el nivel de reflexión matemática 

formal necesarios para ello. Además, dicha construcción es el resultado final de un proceso complejo 

en el que, por un lado, tienen cabida métodos y modelos no formales, semiconcretos o en 

contextos matemáticos, que son más intuitivos que la construcción rigurosa para comprobar la 

necesidad de la ampliación de los números naturales y para acceder a los números enteros, y, por 

otro, han intervenido aplicaciones concretas que son buenos modelos parciales del original y que 

tienen hoy día un uso extendido y una apreciable importancia social y cultural. En definitiva, para 

iniciar la enseñanza de los números enteros en el momento oportuno es prácticamente obligado 

utilizar, separadamente o de forma combinada, los dos tipos de modelos y representaciones que 

hemos mencionado; ambos constituyen aproximaciones “informales” que culminarán, si es necesario, 

en la construcción formal, de acuerdo con el siguiente proceso: 

a) prolongación “natural”, aunque limitada, de N, abarcando sus principales aplicaciones concretas 

(tipo 1) y/o ampliación no formal de N en contextos semiconcretos y matemáticos (tipo 2); 

los primeros atienden a necesidades sociales, culturales y de motivación didáctica inicial y los segundos, 

más abstractos, añaden coherencia y justificación matemática a los conceptos y procedimientos, 

completan las aproximaciones parciales y facilitan el despegue hacia lo formal; 

b) construcción formal motivada por el rigor y la validación matemática. 

En lo que sigue, abordamos los dos tipos de métodos y modelos del apartado a), en el bien entendido 

que se trata de una relación de la que sólo se podrá desarrollar una parte en el aula y que el 

orden de la exposición no tiene porqué ser el orden a seguir en el proceso didáctico. 

3.3.1.- Métodos y modelos no matemáticos (campo de la relatividad aditivo-ordinal) para 

comprender y utilizar en la práctica una parte de los números enteros 

“Todos los modelos (concretos o referidos a contextos no matemáticos) llegan a un punto en el 

que no se puede seguir con garantías. En este momento, los enteros deben haber llegado a ser 

números por sí mismos, obedeciendo a ciertas reglas que son independientes de los modelos utilizados.” 

(Leddy, 1977, pág. 28). Así, los modelos y representaciones de este apartado tienen limita- 

Univer- 


sidad de Málaga

64 


ciones para ejemplificar, con la misma fidelidad y coherencia de principio a fin, la estructura completa 

de los números enteros, lo que no impide que, por su carácter intuitivo, su utilidad cotidiana y 

su potencialidad didáctica, sean utilizados también para ilustrar y trabajar la multiplicación, a pesar 

de los problemas formales o de coherencia derivados del desajuste en este punto con el original 

matemático. En lo que sigue, se incluye una breve exposición de algunos modelos, agrupados en 

las tres categorías que hemos utilizado en el apartado 1.3, epígrafe 1. 

Opuestos aditivos (adición) 

• Ganancias-pérdidas, haberes-deudas (tener-deber) o ingresos-reintegros bancarios, son algunos 

de los modelos más familiares de este grupo relacionados con el juego, la economía o los deportes. 

Todos tienen una estructura y unas propiedades similares; son buenos ejemplos para la adición 

de números con signo y se suelen complementar con otros aspectos o variables relacionadas, 

tales como los saldos o balances, con los que se pueden justificar de forma intuitiva los conceptos y 

propiedades de la adición y el orden (tercer tipo dentro de este apartado). 

• Cubos fríos y calientes 

Jencks y Peck (1977) proponen un modelo que se apoya en la mezcla de unidades o cubos 

"fríos" y "calientes" que añadidos o retirados de un caldero modifican la temperatura de la mezcla. 

Para la multiplicación se utiliza el recurso de “añadir o quitar tantas veces un número determinado 

de cubos frios o calientes” (multiplicación externa o adición reiterada). 

• Cargas positivas y negativas o partículas cargadas 

Cotter (1969) y, posteriormente, Battista (1983) utilizan el modelo de partículas cargadas, en el 

que, al igual que en el anterior, se trata de relacionar las operaciones con números dirigidos con 

alguna interpretación física,. Las acciones "aditivas" son coherentes con las operaciones aritméticas 

de adición y sustracción de números enteros, mientras que las acciones "multiplicativas" requieren, 

como siempre, de significados distintos para el multiplicando y el multiplicador, si bien se trata de 

un modelo que puede ser más convincente que otros (nótese que la partícula neutra (0) posee las 

dos cargas opuestas, con lo que tienen sentido expresiones como: 0-(-1)=+1 o 0-(+1)=-1; igualmente, 

de un campo cargado con un número conveniente de partículas neutras, cuya carga sigue 

siendo cero, se pueden efectuar substracciones como: 0-(-6) o 0-(+14)). 

+3 + -5 +3+(-5)=-2 +2 + -2 0 

+- 

+ + - - - +- +- + + - - +- 

+ - - - - +- 

-1 - +2 -1-(+2)=-3 0 +4 

+- - +- +- + + 

- +- + + - - +- +- + + 

+- -2x-2 +- 

(quitar 2 veces 2 cargas negativas) 

• Fichas de colores 

propuesto por Papy (1964) y por Dienes (1970), referenciados en González y otros (1990, págs. 

130 y sigtes.). 

• Ábaco 

Es un modelo similar al anterior basado en la división de la recta numérica en dos partes “disjun- 


Segunda Prueba


65 

tas” (estructura que denominamos “natural relativa” (González, 1998, caps. 7 y 8)). Las dos partes 

se representan por separado, como si fuera un ábaco vertical de dos varillas marcadas con los signos 

+ y - sobre las que se sitúan las cantidades y se realizan las operaciones. 

-5 +5 

-4 +4 -2 nivel 

-3 +3 cero 

-2 

-1 

+2 

+1 

- + - + 

modelo 

ábaco 

La novedad se encuentra en la utilización de una línea auxiliar horizontal (nivel cero) que marca 

la posición en la que se anulan por oposición las cantidades de signos contrarios emparejadas por 

debajo de ella. El resultado será la cantidad de fichas o marcas que quedan sin emparejar en la varilla 

positiva o en la negativa. Cuando no queda ninguna el resultado es cero. 

Escala numérica (orden) 

• Deplazamientos 

Existen numerosos modelos basados en desplazamientos sobre la recta numérica. Las interpretaciones 

que se utilizan suelen ser las siguientes: dar pasos hacia adelante o hacia atrás (sumandos 

positivos y negativos) y mirar a la derecha o a la izquierda (operaciones de suma o resta); para 

la multiplicación se utiliza el mismo recurso ya mencionado (Ejemplo: (+2)x(+3) significa “dar tres 

pasos hacia adelante, dos veces en la dirección positiva”). En definitiva, como ocurre en la mayoría 

de estos modelos se utilizan significados diferentes para los elementos en juego. Modelos similares 

son: escalera (Grupo albuquería, 1989) y“flipper” o saltador (Ettline y Smith, 1978), 

• Globo 

Janvier (1985) propone un modelo basado en un globo de aire caliente al que se le atan sacos de 

arena y/o globos de helio que le hacen bajar o subir. 

+1 +5 +5 

+5 +3 +2 +2 

(-2)x(-3) 

+3 -4 +2 

-4 -2 -3 -3 -5 -5 

Se combinan por tanto las subidas y bajadas del globo (desplazamientos en la recta) con las acciones 

de añadir o quitar elementos para configurar un sistema intuitivo en el que se siguen mezclando 

significados y operaciones de diferente naturaleza, aún incluso dentro de la estructura aditiva. 

En la figura se ilustran algunos ejemplos, si bien los globos y sacos podrían ser también de diferentes 

tamaños de acuerdo con los números. 

• Medidas en la naturaleza 

Las alturas sobre el nivel del mar, las medidas relativas sobre planos y mapas, la localización so- 

Univer- 


sidad de Málaga

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bre la esfera terrestre (longitudes, latitudes, meridianos, husos horarios) o las representaciones cartográficas 

son contextos similares que constituyen modelos de la recta numérica entera. 

• Cronología 

Tanto la edad como el tiempo horario en sus distintas facetas así como las diferentes cronologías, 

en particular la occidental basada en años anteriores o posteriores al nacimiento de Cristo, 

constituyen ejemplos de aplicación de la estructura de orden de los números enteros. 

• Otros: temperaturas; ascensores; bolsa; balanza de pagos, etc. 

Grupo aditivo y ordenado (adición y orden) 

• Saldos bancarios 

• Puntuaciones en el juego del golf 

Ejercicios y trabajos 

3.3.1.a.- Completar la relación de modelos utilizando la biliografía recomendada. 

3.3.1.b.- Construir las lineas generales de un secuencia didáctica para trabajar los números positivos 

y negativos utilizando el modelo de las fichas de dos colores. 

3.3.1.c.- Elegir un modelo de cada uno de los grupos indicados y analizar qué partes, operaciones 

y propiedades se ajustan plenamente al concepto matemático de número entero y cuáles plantean 

algún problema. Indica alguna alternativa didáctica para resolver dichos problemas. 

3.3.1.d.- Utilizando un modelo de desplazamientos representa las siguientes operaciones: (- 

2)+(+3); (-1)-(+4)+(-2); (-3)x(+2); (-2)x(-4). Comprueba mediante casos que se verifica la propiedad 

conmutativa para la suma y la multiplicación así como la propiedad distributiva de la multiplicación 

con respecto a la suma. 

3.3.1.e.- Completa e ilustra mediante ejemplos los modelos de escala numérica de los grupos: 

medidas en la naturaleza, cronologías y otros. Utiliza para ello algunos libros de texto del nivel 

correspondiente así como la bibliografía recomendada. 

3.3.1.f.- Trabajo de investigación (individual o en grupo): Tomar una muestra adecuada de libros 

de texto y realizar un estudio descriptivo sobre los modelos y métodos no matemáticos utilizados 

en el desarrollo del tema de los números enteros. 

3.3.2.- Métodos y modelos no formales en contextos matemáticos para la extensión de N a Z 

de acuerdo con el principio de permanencia de las leyes formales 

(Para una información más amplia, consultar González y otros (1990, caps. 4 y 6)) 

Existen, entre otros, los siguientes métodos y modelos simbólicos y semiconcretos no formales, 

agrupados de acuerdo con las tres principales vías matemáticas de acceso a los enteros (contexto 

fenomenológico 2, apartado 1.3): aritmética, algebraica y geométrica. 

• Extensión aritmética por el método inductivo experimental (extrapolación inductiva) 

El procedimiento consiste en construir tablas en las que se incluye un número suficiente de casos 

ya conocidos y nuevos casos cuyos resultados se obtienen por inducción o generalización de las 

regularidades observadas (extrapolación inductiva (Freudenthal, 1973, 1983)). Se parte de los 

números naturales (que se van a considerar como positivos) y de la operación de sustracción, es 

decir, de la insuficiencia de N para dar validez a expresiones como 0-1, 3-4, etc. Los enteros negativos 

se introducen mediante tablas de restas con números naturales como la siguiente: 


Segunda Prueba


67 

2-0=2 2-1=1 2-2=0 2-3= 2-4= 2-5= 2-6= . . . 

1-0=1 1-1=0 1-2= 1-3= 1-4= 1-5= 1-6= . . . 

0-0=0 0-1= 0-2= 0-3= 0-4= 0-5= 0-6= . . . 

En estas tablas se simbolizan y definen nuevos números (números negativos), estableciéndose a 

continuación un orden entre ellos, también por extrapolación inductiva; este orden será generalizado 

posteriormente a partir de la definición de orden en N (a 

que b = a + c). 

Las operaciones se definen también generalizando las regularidades que se observan en tablas 

como las siguientes para la suma y la resta: 

. . . 2+(-1)=1 2+0=2 2+1=3 . . . . . . 1-(-1)=2 . . . 

. . . 1+(-1)=0 1+0=1 1+1=2 . . . . . . 0-(-1)=1 . . . 

. . . 0+(-1)= 0+0=0 0+1=1 . . . . . . (-1)-(-1)=0 . . . 

. . . (-1)+(-1)= (-1)+0= (-1)+1=0 . . . . . . (-2)-(-1)=-1 . . . 

. . . (-2)+(-1)= (-2)+0= (-2)+1= . . . . . . (-3)-(-1)=-2 . . . 

en la que se pueden comprobar relaciones como: (- a) + (- b) = - (a + b); a + (- b) = (- b) + a = 

a - b; (- a) - b = - (a + b); a - (- b) = a + b; (- a) - (- b) = (- a) + b = b - a, que proporcionan las definiciones 

generales de suma y resta de cualquier par de números enteros. 

Con la multiplicación se utilizan, igualmente, hechos ya conocidos, dando lugar a tablas como la 

siguiente, en la que se pueden completar los huecos y generalizar los resultados: 

2.(-2)= 2.(-1)= 2.0=0 2.1=2 2.2=4 

1.(-2)=-2 1.(-1)=-1 1.0=0 1.1=1 1.2=2 

0.(-2)=0 0.(-1)=0 0.0=0 0.1=0 0.2=0 

(-1).(-2)= (-1).(-1)= (-1).0=0 (-1).1=-1 (-1).2= 

(-2).(-2)= (-2).(-1)= (-2).0=0 (-2).1=-2 (-2).2= 

Posteriormente, se pueden construir tablas de doble entrada como la siguiente, para comprobar 

las relaciones: (-a).(-b) = a.b y (-a).b = a.(-b) = -(a.b) y extender la multiplicación a cualquier par 

de números enteros. La división se define como la operación inversa de la multiplicación. 

-12 -9 -6 -3 3 6 9 12 

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 

12 9 6 3 -3 -6 -9 -12 

• Extensión algebraica 

La ecuación x + a = b tiene solución en el conjunto de los números naturales para a ≤ b. Para 

que tenga siempre solución hemos de definir nuevos números (números negativos). Así, -1 es la 

solución de la ecuación x + 1 = 0; -2 es la solución de x + 2 = 0; etc.; es decir, -1 es el número que 

sumado a 1 da cero, -2 el que sumado a 2 da cero, etc. Por tanto, para cualquier número natural a 

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sidad de Málaga

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se verifica que (- a) + a = 0, siendo a y - a números opuestos. En este nuevo conjunto numérico, 

que incluye a los naturales (números positivos), se han de definir las operaciones y una relación de 

orden de manera que se mantengan los resultados y propiedades anteriores. 

La suma de dos enteros positivos (números naturales) esta ya definida, por lo que sólo es necesario 

considerar los siguientes casos: 

a) Suma de un número positivo (a) y un número negativo (- b) 

a es solución de la ecuación x - a = 0 y -b es solución de la ecuación y + b = 0; sumando ambas 

ecuaciones se tiene: (x - a) + (y + b) = 0, o su equivalente: (x + y) + (b - a) = 0 si a ≤ b, y (x + y) - 

(a - b) = 0 si a > b. En resúmen: 

- Si a ≤ b, a + (- b) = - (b - a); solución de la ecuación (x + y) + (b - a) = 0; 

- Si a > b, a + (- b) = a - b; solución de la ecuación (x + y) - (a - b) = 0. 

b) Suma de dos números negativos (-a y -b) 

- a es solución de la ecua-ción x + a = 0 y - b es solución de la ecuación y + b = 0, por lo que (x 

+ y) + (a + b) = 0, de donde se deduce que (- a) + (- b) = - (a + b). 

La novedad que se introduce es que todo elemento posee simétrico respecto a la suma, es decir, 

cualquiera que sea el número entero a, existe el número - a tal que a + (- a) = 0. Esta relación dota 

de significado al signo que antepone a estos números, pues - 3 es el opuesto respecto a la suma de 

3 y viceversa, pudiéndose escribir: - (- 3) = 3. Este doble signo debe de entenderse como simétrico 

u opuesto respecto de la suma y no como símbolo de restar o como - x - = +. 

La resta se define a partir de la suma, ya que para cualesquiera números enteros a y b (positivos 

o negativos), a - b = a + (-b), siendo -b el simétrico de b respecto a la suma. El análisis de los casos 

es similar al que hemos realizado para la suma. 

Al igual que en la suma, la multiplicación de dos enteros positivos está ya definida, por lo que 

sólo es preciso considerar el caso de un número positivo por uno negativo y el de dos números 

negativos. Para ello se utiliza la propiedad distributiva y la relación a + (-a) = 0: 

1) b (a + (-a)) = 0 = b a + b (-a); de donde b (-a) = - b a; 

2) (-b)((-a) + a) = (-b) 0 = 0 = (-b)(-a) + (-b)a = (-b)(-a) + (-ba); de donde (-b)(-a) = b a 

Por último, es necesario definir una relación de orden que sea ampliación del orden en N. Si a y 

b son enteros positivos, a 

lo mismo, tal que (b - a) sea un número positivo (natural). Esta misma definición se puede extender 

a Z y analizar cada caso. Así, todo número negativo es menor que cero, pues: 0 - (- n) = n para 

cualquier n, por lo que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo. ¿Que 

ocurre si ambos son negativos?. Según la definición: (-b) < (-a) si, y sólo si, (-a) - (-b) = (-a) + b es 

positivo, lo que ocurre cuando a < b, por lo que (-b) < (-a) si, y sólo si, a < b. 

• Extensiones geométricas 

Los números negativos surgen en un marco geométrico para ampliar la semirrecta de los naturales 

(escala numérica) ó como objetos en sí mismos (vectores o “números dirigidos”). 

Ampliación de la escala numérica natural 

Para describir la posición de un punto sobre una recta se necesitan: un punto de referencia, dos 

sentidos y una unidad de medida que nos permita considerar distancias entre puntos. 

A partir del cero se construyen dos semirrectas, en una de las cuales se sitúan los números naturales 

de la forma ya conocida. Sobre la otra semirrecta se sitúan puntos simétricos a los anteriores 

(misma distancia a cero), a los que se les puede asociar unos nuevos números (negativos) que denotan 

distinto sentido al de los naturales o positivos. Se ha establecido así una escala en la recta y 

un nuevo conjunto numérico que es una ampliación del conjunto de los números naturales. A partir 


Segunda Prueba


69 

de aquí será necesario definir las operaciones aritméticas y una relación de orden. 

La adición se define como una aplicación de la escala o recta en sí misma, es decir, como una 

traslación a la derecha tantas unidades como indique el número a sumar, si es positivo, o como una 

traslación a la izquierda, si es negativo. Ejemplo: al sumar -3 o +2, tendremos las aplicaciones: 

+(-3): x x + (-3) ; +(+2): x x + (+2), que se pueden representar de la siguiente manera: 

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 

+(-3) +(-3) +(+2) 

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 

0+(-3) +4+(-3) +6+(+2) 

Si utilizamos dos reglas que se deslizan, la suma es un cambio de origen; así, para sumar +3 situamos 

el cero de una recta frente al elemento +3 de la otra: 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 

+3 

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 

0+3 (+5)+3 

De la definición dada para la suma se pueden extraer las siguientes relaciones: 

(-a) + (-b) = - (a + b); a + (-b) = a - b (si a > b o a = b); a + (-b) = - (b - a) (si a < b) 

La resta se puede definir de forma análoga a la suma: traslaciones a la izquierda si se resta un 

número positivo y a la derecha si restamos un número negativo. Se puede observar fácilmente que 

la resta es la operación inversa de la suma, puesto que a - b = a + (-b) (restar b es sumar -b). 

Igualmente se pueden establecer resultados tales como: a - (-b) = a + b y (-a) - b = - (a + b). 

La multiplicación se puede definir como una dilatación (multiplicar por un número positivo) y 

como una dilatación seguida de una inversión (multiplicar por un número negativo). 

multiplicar por 4 (se amplía la escala 4 veces) 

-2 -1 0 +1 +2 

x(+4) 

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

4.(-2) 4.(-1) 4.0 4.(+1) 4.(+2) 

multiplicar por (-4) (se amplia la escala 4 veces y se invierte) 

-2 -1 0 +1 +2 

x(-4) 

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 

(-4).(-2) (-4).(-1) (-4).0 (-4).(+1) (-4).(+2) 

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lo que se puede visualizar con dos reglas graduadas a distinta escala (una cuatro veces mayor 

que la otra), superpuestas y de tal forma que se pueda girar una sobre la otra 180 grados. 

Vectores o números dirigidos 

Dada una longitud entera a, existen dos vectores libres con el mismo módulo y sentidos opuestos, 

que simbolizaremos por +a (sentido a la derecha) y -a (sentido a la izquierda). De esta forma 

tenemos un conjunto de vectores libres que se designan por: .., -n, .., -2, -1, 0, 1, 2, ..., n, .. y que 

también se conoce como conjunto de números dirigidos. 

La suma se realiza poniendo el origen de un vector sobre el extremo del otro y encontrando el 

vector cuya longitud sea la suma de las longitudes y cuyo sentido sea el del mayor de los vectores 

sumandos. Los casos que se pueden presentar se ilustran en los siguientes gráficos; 

a) 

a 

-b 

b) 

-b 

a 

c) 

a+(-b) 

-b -a 

d) 

a 

(-b)+a 

b 

(-a)+(-b) 

a+b 

e) 

a 

f) 

a 

-b 

-a 

a+(-b) 

a+(-a)=0 

La resta se puede definir como la operación inversa a la suma, tal y como se ilustra en los siguientes 

ejemplos: 

a) 

-b 

a 

b) 

-a 

b 

a-(-b) 

(-a)-b 

De las definiciones anteriores se obtienen las siguientes relaciones en el campo numérico: 

(-a) + (-b) = - (a + b); a + (-b) = a - b (si a > b ó a = b, donde a y b son longitudes ) 

a + (-b) = - (b - a) (si a < b); a + (-a) = 0; a - (-b) = a + b; etc. 

La multiplicación plantea los mismos problemas de siempre; se ha de acudir a experiencias concretas 

que admitan representación vectorial (subidas y bajadas, comparaciones, aumentos y disminuciones, 

etc ) y seguir un proceso análogo al utilizado en el modelo de la escala numérica. 

En lo que se refiere al orden entre vectores, es preciso establecer la relación en términos aritmético: 

“dados dos vectores cualesquiera x e y, diremos que “x es menor que y” si y sólo sí x - y es 

un número dirigido positivo”. De esta definición se extraen las siguientes conclusiones: 

• 0 < a , pues a - 0 = a para cualquier a; 

• b < 0, pues 0 - (-b) = b para cualquier b; 


Segunda Prueba


71 

• b < -c si y sólo sí c 0 si c < b 

Por último, es de señalar la similitud existente entre esta ampliación de N y la construcción formal 

de Z; ambas se basan en la igualdad de distancias y en el orden. 

Ejercicios 

3.3.2.a.- En el procedimiento de ampliación de la escala numérica, comprobar, con ejemplos 

concretos de cada uno de los casos que se pueden presentar, que la multiplicación es conmutativa. 

Igualmente, definir una relación de orden para los números enteros a partir de la definición en N, 

analizando los distintos casos y estableciéndo algunas de sus propiedades. 

3.3.2.b.- Completar los casos de substracción en el modelo de vectores e ilustrar mediante 

ejemplos que la substracción es igual que la adición del minuendo y el vector opuesto al sustraendo. 

3.3.2.c.- En el modelo vectorial, completar el proceso de construcción para la multiplicación de 

vectores y para la división como operación inversa a la multiplicación. 

4.- Aprendizaje y enseñanza de los números con signo 

En este apartado vamos a completar las consideraciones didácticas abordando algunas cuestiones 

sobre el diagnóstico y el tratamiento de los errores y las dificultades en el aprendizaje, los principales 

materiales y recursos para el desarrollo del tema y algunos juegos y pasatiempos que pueden 

contribuir a facilitar el proceso de enseñanza y aprendizaje. 

4.1. Aprendizaje y desarrollo cognitivo de los conceptos y procedimientos: Obstáculos, 

errores y dificultades 

La situación del aprendizaje y de los conocimientos sobre los números con signo se puede determinar 

de forma aproximada observando la realización de una muestra variada de tareas y analizando 

los errores y las dificultades que aparecen. Veamos algunas indicaciones para ello. 

Algunos ejemplos sobre la sustracción de enteros que ponen de manifiesto la distancia entre 

el conocimiento “común”, “intuitivo” y el conocimiento matemático 

(Fuente: Bruno, Martinon (1994)) 

• Un edificio tiene 10 plantas por encima de la planta baja y 4 plantas de sótano. El ascensor estaba 

en la planta 8 y se movió hasta la planta 3 del sótano. ¿cuál fué el movimiento del ascensor?. 

Respuesta: -11 

- ¿cómo lo hiciste?: me imaginé el ascensor de mi bloque y utilicé la recta 

- hazlo con operaciones: -3 - 8 = -11 (no sabe explicarlo) (busca la operación que coincida 

con el resultado intuitivo). 

• La temperatura en Madrid es de 4 grados sobre cero y en Moscú de 7 grados bajo cero. ¿Qué 

debe ocurrir para que la temperatura en Madrid sea igual que la de Moscú?. 

Respuesta: tendría que bajar 11 

- ¿cómo lo hiciste?: conté la distancia entre los puntos en la recta 

- hazlo con operaciones: 4 - (- 7) = 11; pero . . me tiene que dar negativo: 4 - (- 7) = - 11; 

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72 


no está bien pero yo le añado el signo menos y me da (comete conscientemente un error en 

cálculo para obtener el resultado correcto). 

• Juan empieza una partida con 6 canicas y termina la partida debiendo 5 canicas. ¿Qué le ha 

ocurrido a Juan en esa partida?. 

Respuesta: que perdió 11 canicas 

- ¿cómo lo hiciste?: al final debía 5 y al principio tenía 6, entonces 6 + 5 = 11 

- explícalo con operaciones: - 5 - 6 = - 11; perdió las 6 que tenía y perdió otras 5 que son 

las que debía, entonces perdió 11 (cambia la estructura del problema). 

• Una persona nación en el año 15 antes de Cristo y murió en el año 7 antes de Cristo. ¿Cuántos 

años vivió?. 

Respuesta: vivió 22 años; - 15 - 7 = - 22 y da negativo porque vivió en pasado y ya está 

muerta (traducción literal del enunciado; identificación del signo de restar con el signo del 

número). 

Ejemplos de errores en el campo de los números con signo y origen de los mismos 

Existen diferentes causas que pueden actuar conjunta o separadamente: 

Origen epistemológico 

Muchos errores son debidos a la complejidad y limitaciones del conocimiento matemático: 

- la amplitud y diversidad de puntos de vista en torno a los números con signo (aplicaciones 

concretas, aplicaciones y necesidades matemáticas, construcción formal, etc.) 

- la diferente naturaleza de los números positivos y negativos (naturales vs. números con 

signo); el carácter especial del 0 y el 1 (a.0 = a; a+1= a; a+0=0; etc.); la no aceptación de 0 ni de 

números negativos como soluciones válidas en los problemas; 

- la dificultad especial de la sustracción (mezcla de signos y comprensión de la suma y la 

resta como la misma operación), que se constata en situaciones como las siguientes: 

- ignorar el signo del primer entero y luego sumar los numerales sin signo si el segundo 

es positivo y restarlos si es negativo. 

- restar los numerales sin signo y determinar después el signo de la respuesta. 

- ( - (- ) ) es + aplicado a cualquier sustracción: ( -8 - (-2) = 8 + 2). 

- confusión entre puntos y desplazamientos o entre espacios y puntos en la recta. 

- dificultad para entender que “restar una deuda es añadir una cantidad”. 

- la complejidad de la noción de valor absoluto. 

- la separación entre el conocimiento formal y el funcionamiento real de las aplicaciones. 

- la insuficiencia de recursos intuitivos aislados, como la recta numérica, para comprender la 

estructura y el funcionamiento de los números enteros. 

- las limitaciones y contradicciones derivadas de la ampliación numérica por el principio de 

permanencia de las leyes formales: 

- ausencia de demostración para la regla - x - = +; 

- / a + b / = / a / + / b / no es válida para números negativos; 00 y 0/0 están indeterminados; 

si a 

Origen curricular 

Hay errores que tienen su origen en las determinaciones curriculares y en el proceso educativo 

anterior: orientaciones, libros de texto, metodología, actuaciones del profesor, recursos, etc.: 

- la uniformidad de las definiciones y ejercicios propuestos pueden condicionar y limitar la 

riqueza y la complejidad de las concepciones asociadas a los números enteros; 


Segunda Prueba


73 

- la rigidez del currículo, los ejercicios-tipo repetitivos, la existencia de respuesta concreta y 

de respuesta única en la mayoría de los problemas, la evitación expresa de dificultades, la artificialidad 

de muchas tareas, la algoritmización excesiva así como el no conceder la importancia necesaria 

a la revisión de las tareas y a la verificación y análisis de la coherencia de las respuestas; 

- algunas de las causas citadas anteriormente son contractuales: el alumno sabe que se le piden 

unas respuestas determinadas que son las que sirven para la evaluación; 

Origen cognitivo y sociocultural (capacidades, actitudes, valores, creencias, etc.) 

- facilidad/dificultad especial para la visualización; diferencias en el nivel de desarrollo de la 

memoria; la capacidad de análisis y de síntesis o de comprensión verbal no es homogénea en todos 

los sujetos; la motivación o la situación anímica, familiar, etc. 

- el lenguaje común y su utilización en los problemas es causa de numerosos errores; 

Causas debidas a la existencia de “obstáculos” 

“Los errores son el efecto de un conocimiento anterior resistente al cambio (obstáculo)” (se 

pueden incluir aquí las causas enumeradas en los apartados anteriores). 

Glaeser (1981), en un estudio sobre el proceso histórico de los números enteros, encontró los 

seis obstáculos siguientes: 

1.- Incapacidad para manipular cantidades negativas aisladas; 

2.- Dificultad para dotar de significado a las cantidades negativas aisladas; 

3.- Dificultad para unificar la recta numérica (que se manifiesta por ejemplo en la consideración 

de la recta numérica como yuxtaposición de dos semirrectas opuestas); 

4.- Ambigüedad de los dos ceros (cero origen o relativo y cero absoluto o “natural”); 

5.- Deseo de un modelo unificado (búsqueda incesante de un modelo único para todas las 

situaciones y aplicaciones (concretas y matemáticas)); 

6.- Dificultad para superar el sentido concreto atribuído a los números; 

que se pueden reducir, básicamente, a uno sólo: “el número representa cantidad en sentido absoluto”; 

modelo familiar que ha sido y es causa de errores (Bell (1986); Iriarte y otros (1989); 

González y otros (1990, pp.152-165)) que denotan que los conocimientos “inferiores” no funcionan 

en el nuevo campo (números enteros) y que afectan: 

a) al propio concepto de número: el número representa cantidad (¿qué puede significar 

o representar el número -(-2)?; ¿qué número sumado a 5 da 2?); 

b) a la conceptualización y ejecución de las operaciones aritméticas: la suma como 

aumento, la sustracción como disminución, la multiplicación hace más grande y la división más 

pequeño; la sustracción de números enteros como operación separada de la adición; 

c) al orden: traslado del orden natural a los negativos (-4 es mayor que -2); diferencias 

al cruzar el cero en el manejo de temperaturas; la secuencia temporal como fuente de errores; 

d) a la simbolización: identificación de los símbolos literales con números positivos 

(-a no puede ser positivo); ignorar el signo; signo denota región; 

e) otros: Errores en situaciones de listas y escalas: "subir es aumentar", "confundir 

posición y movimiento"; errores en la combinación de movimientos y en la inversión de relaciones. 

Algunas vias generales para la prevención y el tratamiento didáctico de los errores 

El principal problema cognitivo y didáctico que se nos plantea es el siguiente: superar las ideas 

consolidadas sobre el número natural, sus operaciones, propiedades y aplicaciones, ligadas a la 

realidad, a la evidencia inmediata y a la intuición primaria basada en la identificación de número y 

Univer- 


sidad de Málaga

74 


cantidad. Para ello se pueden adoptar alguna o varias de las siguientes medidas: 

a).- Aprendizaje-enseñanza por descubrimiento e investigación 

- de tipo empírico: trabajo personal siguiendo el método de extrapolación inductiva. 

- seguir el siguiente proceso: 1.- tarea simple; 2.- análisis de la tarea mediante ejemplos; 3.- 

generalización; 4.- descripción verbal y simbólica; 5.- justificación. 

b).- Enseñanza diagnóstica mediante: 

- tareas críticas que incorporen los conceptos erróneos conocidos (detectar errores y provocar 

discusiones); a continuación siguen problemas similares de consolidación. 

- elegir una tarea realista que incorpore los conceptos erróneos conocidos, empleo de diagramas, 

sustitución de números fáciles, juegos, invención de preguntas, calificación de tareas (inversión 

de roles), tareas colectivas y feedback inmediato. 

c).- Análisis crítico del currículo: orientaciones, recursos, manuales, etc. 

d).- Seguir el siguiente esquema metodológico general: 

1.- comprensión, utilidad y significados de los números con signo, mediante: 

I.- Situaciones fenomenológicas socioculturales (modelos de aplicación práctica) 

II.- Situaciones manipulativo-representativas (recursos y materiales) 

III.- Situaciones lúdicas (Juegos y pasatiempos) 

2.- validación, institucionalización, práctica y extensión del conocimiento, mediante: 

IV.- Situaciones de validación e institucionalización (modelos semiconcretos y consideraciones 

formales). 

V.- Situaciones de consolidación, práctica y extensión (ejercicios y problemas) 

Ejercicios 

4.1.a.- Trabajo de grupo; Tomar una muestra de ejercicios y problemas variados sobre números 

con signo (se pueden utilizar varios libros de texto), proponer su realización a varios niños con 

edades y conocimientos adecuados (la ejecución se ha de realizar por el método de la entrevista 

individual) y analizar los resultados desde el punto de vista tratado en este apartado. 

4.1.b.- Trabajo individual: Llevar a cabo una reflexión sobre las dificultades personales con los 

números con signo (tareas más difíciles, errores usuales, aspectos no comprendidos, etc.). 

4.2. Materiales y recursos para la enseñanza 

• regletas transparentes y opacas 

Se trata de una variante de las conocidas regletas encajables, en la que el número de regletas se 

duplica por la introducción de un nuevo elemento o propiedad que da lugar a la división entre “regletas 

opacas” (números positivos) y “regletas transparentes” (números negativos). Las reglas de 

composición se establecen de acuerdo con las reglas de las operaciones aritméticas con números 

enteros (las regletas opacas y transparentes se anulan mutuamente por superposición). 

• reglas deslizantes 

Dos reglas graduadas ordinarias, convenientemente deslizadas o desplazadas una sobre la otra, 

permiten la realización manipulativa de cálculos de adición y sustracción. 

• algunos recursos 

- autobús escolar: A lo largo de diferentes paradas en las que suben y bajan personas, se 

puede describir, con la ayuda de gráficos y números, lo que pasa en cada una de ellas y lo que ocurre 

el final del recorrido. 

- garaje: salidas y entradas de vehículos y su relación con el número de vehículos estaciona- 


Segunda Prueba


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dos en cada momento. 

- prensa: deportes, bolsa, etc (Fernández, Rico (1989)). 

- termómetro: medir temperaturas a diversas horas; medir temperaturas de mezclas, hielo, 

agua, etc. 

• Recursos especiales 

Los números enteros como transformaciones se pueden trabajar utilizando el micromundo computerizado 

del lenguaje Logo. La adición de enteros se considera como composición de transformaciones 

o movimientos sobre la recta y la negación como un operador sobre enteros. 

• Otros recursos: 

- calculadora gráfica: permite visualizar distintas representaciones en el plano de coordenadas 

y utlizar pares ordenados de números enteros para representar puntos. 

- programas informáticos para representaciones geométricas. 

Ejercicios 

4.2.a.- Completar la relación de materiales y recursos didácticos consultando la bibliografía recomendada. 

4.2.b.- La prensa como recurso didáctico: construye una secuencia de actividades y trabajos individuales 

y de grupo en los que se utilice el periódico (construcción de murales, lectura e interpretación 

de gráficos, etc.) 

4.3. Juegos y pasatiempos 

• ruletas 

Juego por equipos basado en dos ruletas en las que aparecen números (positivos y negativos) y 

operaciones indicadas (suma, resta, etc.). Los equipos mueven por turno las ruletas y anotan los 

resultados parciales. Gana el equipo cuya puntuación global esté más alejada del cero. 

• "guiso" o "tejo" con números enteros 

Se trata de utilizar el conocido juego para introducir o practicar las cuatro operaciones básicas 

con números enteros (en lugar de los números del 1 al 9 se utilizan números con signo). 

• cuadrados mágicos y cartas 

Son interesantes los clásicos juegos de construcción de cuadrados mágicos, aunque esta vez con 

números positivos y negativos, y los juegos de cartas, como el conocido juego de las siete y media 

u otros en los que se utilicen números con signo y fichas de dos colores. 

• dados de números naturales y dos colores 

Por parejas se utilizan dos dados de colores diferentes (positivos y negativos) y un papel donde 

se dibuja la semirrecta natural. Partiendo de un punto suficientemente elevado, cada jugador tira 

los dos dados por turno, resta los dos números y avanza o retrocede, dependiendo del color del 

número mayor, tantos lugares como indica el resultado. Llega un momento en que pueden aparecer 

resultados que “se salen” de la semirrecta, lo que se aprovecha para discutir la necesidad de ampliación, 

dar nombres a los puntos por debajo de cero y seguir jugando con ellos. Gana el jugador 

que consigue sobrepasar el número -10. 

Ejercicios 

4.3.a.- Completar la relación de juegos y pasatiempos utilizando la bibliografía recomendada; en 

particular: Colectivo Periódica pura (1982) y González y otros (1990, cap. 7). 

Univer- 


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4.3.b.- Trabajo de grupo: Construir uno de los juegos citados, preparando el material necesario 

y estableciendo las reglas adecuadas, y desarrollarlo de forma práctica en clase. Exponer en común 

el resultado de la experiencia. 

5. Cuestiones y problemas 

1.- Realizar un estudio comparativo entre las reglas de adición y sustracción chinas (zheng fu) y 

el método de cálculo en el tablero (fang cheng) y la aritmética actual con números enteros. 

2.- Resuelve el problema: “El señor Ruiz tiene 56 años y su hijo 29. ¿Cuándo la edad del padre 

es doble de la del hijo?” (González y otros, 1990, pág. 161). Responde a las siguientes cuestiones: 

¿cuál sería la resolución y la interpretación del resultado por distintos autores y en épocas y culturas 

diferentes de la historia de los números negativos?; ¿cuál es la interpretación actual?; ¿a qué 

pueden ser debidas las diferencias?. 

3.- Utilizando el contenido del capítulo y las lecturas recomendadas responder razonadamente a 

los 12 interrogantes del apartado 1.1. Comparar los resultados con los del ejercicio 1.1.c. 

4.- Si admitimos que los números positivos y negativos representan cantidades en sentido absoluto 

(como los naturales) y una cantidad negativa es siempre menor que una positiva, ¿cómo explicar 

las siguientes expresiones: a) 1 / -1 = -1 / 1 b) -3 < 2 y, sin embargo, (-3) 2 > (2) 2 ?; ¿son razonables 

a la luz de dicho modelo?; ¿es necesario abandonarlo para admitir dichas expresiones como 

posibles?. Discutir en grupo y poner en común las conclusiones. 

5.- ¿Porqué no se puede definir la multiplicación de forma parecida a la suma, es decir: (a, b) x 

(c, d) = (a x c, b x d)?. ¿En qué falla esta definición?. Razonar la respuesta. 

6.- Al pasar de los naturales a los enteros hay una propiedad del valor absoluto que se pierde. 

¿Cuál es esta propiedad?; comprobar que se verifica con números naturales y que, sin embargo, no 

se verifica con números enteros en todos los casos. 

7.- Construye el esquema de una secuencia didáctica realista (que se pueda aplicar en un aula 

normal) para trabajar los números con signo desde el comienzo, excluyendo la construcción formal; 

elegir para ello el procedimiento, los modelos y los tipos de actividades más adecuados de acuerdo 

con el contenido del capítulo. 

6. Referencias y lecturas recomendadas 

Como información básica para conocer y comprender en detalle el contenido del capítulo así 

como para el desarrollo de la actividades propuestas, se recomienda la lectura completa de las referencias 

señaladas con dos asteriscos y sólo la de las partes relacionadas con el tema en las referencias 

señaladas con un asterisco. 

Bartolini, P. (1981) Addition and subtraction of directed numbers. Mathematics Teaching, nº 98, 

págs. 34-36. 

Battista (1983). A complete model for operations on integers. Arithmetic Teacher, v. 30, págs. 26- 

31. 

**Bell, A. (1986).- Enseñanza por diagnóstico. Algunos problemas sobre números enteros. Enseñanza 

de las Ciencias; 4(3): pp. 199-208. 

*Bruno, A.; Martinón, A. (1994).- Contextos y estructuras en el aprendizaje de los números negativos. 

Suma 16/1994, págs. 9-18. 

*Bruno, A.; Martinón, A. (1994).- La recta en el aprendizaje de los números negativos. Suma 


Segunda Prueba


77 

18/1994, págs. 39-48. 

**Colectivo Periódica Pura (1982).- Didáctica de los números enteros. Editorial Nuestra Cul-tura. 

Madrid. 

*Condamine, M. (1971).- Álgebre. Colección P. Vissio. Delagrave: París. 

Cotter, S. (1969).- Charged particles: a model for teaching operations with directed numbers. The 

Arithmetic Teacher, v. 16(5), págs. 349-353. 

*Dienes, Z. P. (1970).- La construcción de las matemáticas. Vicens-Vives: Barcelona. 

*Fernández, A.; Rico, L. (1989).- Prensa y Matemáticas. Madrid: Síntesis. 

*Freudenthal, (1983).- Didactical phenomenology of Mathematical structures. Dordrecht. Holland: 

D. Reidel Publishing Company. 

Glaeser, G. (1986).- Epistémologie des nombres relatifs. Recherches en Didactique des Mathématiques; 

2(3): pp. 303-346. 

*Godement, R. (1967).- Algebra. Tecnos: Madrid. 

**González y otros (1990).- Números enteros. Editorial Síntesis. Madrid. 

*González, J. L. (1998).- Números naturales relativos. Colección Mathema. Editorial Comares. 

Granada. 

**Grupo albuquería (1989).- Aproximación a los números enteros a partir de una escalera. Suma, 

nº 2, pp. 29-33. 

**Iriarte y otros (1989).- Obstáculos en el aprendizaje de los números enteros. Actas Congreso 

Enseñanza de las Ciencias. Santiago de Compostela; pp. 291-292. 

Janvier, C. (1985).- Comparison of models aimed at teaching signed integers. En: 9 Conference of 

the international group for the Psychology of Mathematics; Jul. 1985; 1/22-6: pp. 135 - 140. 

*Klein, F. (1927).- Matemática elemental desde un punto de vista superior. Madrid. 

*Lizcano (1993).- Imaginario colectivo y creación matemática. Editorial Gedisa. Barcelona. 

*Nortes, A. (1993).- Matemáticas y su Didáctica. Autor: Tema DM. Madrid. 

*Richardson, M. (1976).- Fundamentos de Matemáticas. CECSA. Madrid. 

Rossini, R. (1986).- A propos des nombres relatifs. Math. Ecole, 25(121), págs. 18 - 23. 

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sidad de Málaga

2ª parte

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