magnitud, cantidad, número y medida

Didáctica de la Aritmética Maestro en Educación Primaria Magnitud, cantidad, medida y número
Los conceptos de magnitud, cantidad, medida y unidad de medida y su relación
con el número
la medida de magnitudes. Valor formativo y funcional
La medida de magnitudes constituye una parte esencial del aprendizaje matemático. De un lado
por su valor funcional derivado de su aplicabilidad a diversos campos y situaciones (la medida de
magnitudes es elemento fundamental para comprender e interpretar adecuadamente la realidad; no
se concibe la vida cotidiana sin las magnitudes y la medida (volumen del depósito de un vehículo,
distancias a recorrer, peso, relaciones comerciales, superficies de viviendas, capacidad de una
copa, etc.)), de otro por su valor altamente formativo (se ejercitan constantemente la comparación,
el orden, el cálculo, el manejo de la información, etc.), y, por otro, “... por constituir elementos
básicos necesarios para la construcción de otros conocimientos matemáticos: numéricos, métricos,
geométricos, etc.” (Junta de Andalucía, 1992).
Pero, además, no es un tema exclusivamente matemático; las Ciencias Experimentales (la
medición es un acto fundamentalmente experimental), el Conocimiento del Medio Social (aforos
permitidos, legislación sobre envases, contenidos y capacidades de recipientes, la medida en
etiquetaje de envases, etc.; distancias y recorridos de eventos, etc.) y del Medio Natural (desnivel
entre bocas de un túnel, pendiente necesaria, distancias, cartografía, etc.), la Tecnología (aparatos
para medir, precisión de los aparatos de medida) y las Matemáticas (cálculos en el sistema métrico
decimal) desde distintos bloques temáticos (numeración, aritmética y geometría), se relacionan
entre sí en este tema interdisciplinar, campo privilegiado para el desarrollo de competencias y
capacidades básicas diversas y el tratamiento de numerosos temas transversales, como es el caso
de la Educación para el Consumo o la Educación Vial entre otros.
Magnitud
Una magnitud es una propiedad, característica física o atributo observable de los cuerpos, entes,
colecciones, fenómenos o situaciones, que se manifiesta en distintos grados o intensidades,
normalmente infinitos, cada uno de los cuales recibe el nombre de cantidad de magnitud.
Según su naturaleza hay dos tipos de magnitudes:
- Magnitudes fundamentales: son aquellas que son básicas, no dependen de otras y han
sido elegidas por su frecuencia de uso. Es el caso de la masa, la longitud y el tiempo.
- Magnitudes derivadas: son aquellas que se definen a partir de las magnitudes
fundamentales, dependen de ellas y pueden ser expresadas por fórmulas a partir de éstas (Ej.: v =
e / t (velocidad = espacio / tiempo)).
Teniendo en cuenta la forma en que se expresan, las magnitudes pueden ser:
- Magnitudes escalares: se definen exclusivamente mediante un número, como ocurre con
la temperatura o el tiempo.
- Magnitudes vectoriales: son aquellas que para definirlas hay que especificar, además de
un número o módulo, su dirección y sentido (Ej.: la velocidad).
Por otra parte, hay magnitudes con sustrato o soporte físico manejable (longitud, peso, superficie)
y sin dicho sustrato físico (tiempo, temperatura).
Cantidad
Una cantidad de una magnitud es una manifestación concreta o en un caso particular de la misma
(Ej.: una hoja de papel tamaño folio presenta en cada cara una cantidad específica de la magnitud
superficie. Dicha cantidad puede ser la misma cantidad de superficie de una baldosa cuadrada o de
la cantidad de papel del desarrollo plano de las caras de un cubo. Igualmente, dicha cantidad será
distinta de otras cantidades de la misma magnitud, como por ejemplo de la cantidad de superficie
del rectángulo de un campo de fútbol, que es mucho mayor).
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Todos los objetos con la misma cantidad de una magnitud se dice que son equivalentes respecto
de dicha magnitud o cualidad o que presentan dicha magnitud o cualidad en el mismo grado (Ej.:
objetos que pesan igual o coches que tiene la misma longitud entre ejes o personas que tienen
exactamente la misma estatura).
Comparación de cantidades
Las distintas cantidades de una magnitud se pueden comparar (de forma grosera, si es mayor,
menor o igual, mediante diferentes procedimientos según sea la magnitud, o de forma precisa
estableciendo la medida de cada una y efectuando posteriormente la diferencia en uno o en otro
sentido), ordenar (según su mayor o menor grado o intensidad; ej.: distintos pesos o longitudes se
pueden ordenar mediante la relación “menor o igual que”) y medir (establecer su valor, exacto o
aproximado, de una forma objetiva). Es necesario medir para comparar de forma precisa dos
cantidades de una magnitud.
Medir, medición y medida
Una propiedad fundamental de las cantidades de magnitudes es su capacidad para ser medidas.
Medir una cantidad de magnitud es asignarle una valoración numérica objetiva como resultado
de comparar dicha cantidad con el de una cantidad unitaria de la misma magnitud que se toma
arbitrariamente como referencia.
Medición: proceso de búsqueda y determinación de la valoración numérica objetiva. Se asocia con
la práctica de la medida, los instrumentos de medida, su lectura e interpretación y las técnicas
propias de cada tipo de magnitud (Ej.: ¿cómo se mide y con qué instrumento se mide .
Medida: resultado del proceso de medición en cada caso concreto. A veces se utiliza la palabra
medida para hacer referencia a los dos significados (proceso (como sinónimo de medición) y
resultado). Se habla de medida al referirnos a la expresión o representación del resultado de una
medición, aspecto en el que adquiere una importancia especial el sistema métrico o sistema de
representación de la medida (unidades, subunidades, etc. según sean las magnitudes (metro, litro,
kilo, etc.)).
Unidad de medida: cantidad arbitraria de una magnitud que se adopta por convenio para
comparar con ella cualquier otra cantidad de la misma magnitud en procesos de medición. Para las
longitudes se han empleado el "pie", la "yarda" o el "metro". Las unidades de medida se
establecen y son útiles por dos motivos:
- la realización de comparaciones precisas (mejor que las comparaciones groseras en más o
en menos, sin menospreciar su utilidad en algunas situaciones (esta sandía pesa más que esta pero
menos que aquélla, aunque hay mucha diferencia entre las dos más pequeñas . . ¿?));
- el acuerdo y la comunicación sobre mediciones precisas (todo el mundo sabe lo que
significa cuando se habla de una distancia de 50 metros).
Práctica de la Medida
Medir una cantidad de una magnitud requiere:
1.- establecer una cantidad unitaria o unidad de medida, lo que suele requerir previamente
de un consenso sociocultural si se trata de comunicar y hacer comprensible las actuaciones y sus
resultados;
2.- comparar la cantidad a medir con la unidad de medida, lo que conlleva dos tipos de
acciones, operaciones o determinaciones:
- una operación física propia de la magnitud (averiguar una distancia mediante una
cinta métrica, superponiendo pies, mediante una cuerda, utilizando un metro láser, etc.)
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- una operación matemática (cálculo aritmético) cuya finalidad es averiguar el
valor numérico que indica cuántas veces está contenida la unidad de medida en la cantidad a
medir.
3.- representar el valor concreto o medida que resulta del desarrollo de los pasos y
operaciones anteriores. Este valor concreto se expresa como un par formado por un número y la
denominación de la unidad utilizada para la medida o unidad de comparación empleando el
sistema métrico y los conjuntos numéricos;
Ejemplo: la longitud de una calle es de 45 metros significa que dicha calle posee una cantidad de
longitud equivalente a 45 veces la cantidad de longitud unitaria a la que llamamos metro y que se
ha establecido arbitraria y consensuadamente como unidad de medida de longitud. Dicho de otra
forma: si colocamos 45 cantidades de longitud iguales de 1 metro cada una, una a continuación de
otra, llegaríamos a formar una cantidad de longitud igual a la longitud de la calle.
El proceso de constitución de los conocimientos relacionados con el número y la medida de
magnitudes
La medida es el fruto de la necesidad de disponer de unos procedimientos y valores comunes para
poder comparar y evaluar de manera objetiva y precisa las cantidades de magnitudes. Cuando la
magnitud o atributo mensurable es la “cantidad discreta”, el cardinal de un conjunto de objetos
separados o la numerosidad de una colección, las diversas cantidades se representan mediante los
números naturales. Cada número natural representa una modalidad o cantidad de la magnitud,
“numerosidad” o “cardinalidad”.
Por el contrario, cuando la magnitud es continua (longitud, masa, capacidad, etc.), es necesario
definir una unidad de medida o cantidad unitaria con la que poder efectuar la comparación. Por
tanto, la medida es el resultado de utilizar el número para cuantificar las distintas cantidades de
una magnitud. Pero una cosa es el número (objeto matemático), otra la cantidad (estado de una
magnitud o cualidad medible; manifestación concreta de una magnitud) y otra la medida (síntesis
del número y la cantidad a través de la unidad de medida y la aritmética).. Es decir, intervienen
conceptos y objetos de diferente naturaleza:
- el número (objeto matemático),
- la cantidad (estado de una magnitud o cualidad medible;
manifestación concreta de una magnitud),
- la medida (síntesis del número y la cantidad a través de la
unidad de medida y la aritmética).
El proceso lógico de desarrollo inicial de estas nociones es largo y complejo y comienza con las
magnitudes o cualidades medibles discretas o separadas y continuas, se sigue con la constitución
del número como síntesis de procesos lógicos sobre diferentes numerosidades o cantidades y
termina con la aplicación del concepto de número para expresar de forma precisa la medida de
cantidades (figura 1).
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RESULTADOS
INSTRUMENTOS
EFECTOS
ACCIONES
CUALITATIVAS Y
CUANTITATIVAS
ORIGEN
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MAGNITUD
CANTIDAD
comparación
transformación
composición
orden
equivalencia
Unidad - Pluralidad
Composición
descomposición
ordinal
NÚMERO
cardinal
OPERACIONES
ARITMÉTICAS
APLICACIÓN
MEDIDA
Figura 1.- Esquema de conceptos y relaciones
Las principales etapas y conocimientos en el proceso son las que se mencionan a continuación:
Magnitud y cantidad
1.- identificación y diferenciación de atributos
Atributos o propiedades en general no medibles de los objetos y la realidad: color, forma (formas
geométricas básicas; otras formas), textura (rugoso, liso), utilidad, etc. y medibles, aunque sin
entrar en distinciones que vayan más allá de la mera identificación o diferenciación (distinguir
entre el peso, tamaño, longitud, color y volumen, por ejemplo) y de las comparaciones globales en
relación a un atributo (pesado-ligero, tamaño (grueso-delgado, grande-pequeño, alto-bajo, etc.),
mucho-poco, lleno-vacio, etc.);; estimación grosera (mucho, poco, etc.)
2.- Apreciación de la cualidad o atributo comparable o medible. Identificación y diferenciación de
atributos cuantificables o medibles (distinguir, a nivel intuitivo y perceptivo, entre masa, longitud,
superficie, capacidad, etc. como cualidades diferentes).
Clasificación de objetos por sus cualidades comparables y reconocimiento en un objeto de las diversas
cualidades medibles (una plancha cuadrada de madera tiene longitudes, masa, superficie, volumen, etc.)).
Cualidades medibles que un objeto no tiene o que no son pertinentes y las relaciones con el lenguaje
ordinario (Ejemplos: el peso no se expresa en litros o el número de años en kilos). Inconvenientes de las
cualidades no medibles (amor, desesperación, simpatía, color, belleza, etc.).
Identificación / diferenciación, clasificación, seriación / ordenación, correspondencias en:
- Atributos y propiedades no medibles (color, forma, textura, utilidad)
- Atributos y propiedades medibles (diferenciación peso, longitud, etc.) y continuación con las
comparaciones groseras (grueso-delgado, grande-pequeño, mucho-poco)
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3.- comparación directa e indirecta; comparaciones aproximadas; la cantidad unitaria;
Comparación perceptiva directa entre dos cantidades utilizando más y menos; comparación
perceptiva entre dos cantidades utilizando el despazamiento o la traslación de objetos para
comparar (emparejamiento manual; uso de un término intermedio (mano, dedo, pie, etc.);
comparación entre tres cantidades; operatividad de la propiedad transitiva; idea “estar entre”.
4.- seriación y ordenación de cantidades;
Apreciación perceptiva de cantidades diferentes. Comparación y ordenación utilizando los
términos más y menos. Seriaciones con cantidades. Ordenación parcial y total de cantidades.
5.- transformación, composición, descomposición y equivalencia de cantidades
Una cantidad se puede descomponer en otras más pequeñas (iguales o distintas). También se
puede formar la misma cantidad pero con distinta composición y comprobar que ambas son
equivalentes.
La secuencia anterior, no obstante, no se puede seguir al mismo tiempo con todas las magnitudes.
Así, el dominio de la longitud, la capacidad o el peso es anterior al de la superficie o el volumen.
El proceso descrito se continúa con la medida propiamente dicha sobre la base de lo tratado aquí y
una vez desarrolladas las nociones básicas sobre numeración, operaciones aritméticas y geometría,
necesarias para medir.
Numeración y operaciones aritméticas
La numeración, la escritura numérica y las reglas de los sistemas de numeración son
fundamentales para abordar las operaciones aritméticas elementales, en las que se pone de
manifiesto la faceta dinámica del número. Al mismo tiempo, la aritmética y la numeración
constituyen campos en los que se dan numerosos patrones y regularidades (series numéricas,
contar, etc.) que constituyen la puerta, en primer lugar a la aritmética generalizada y en segundo
lugar al álgebra en toda su extensión.
La construcción de las nociones numéricas constituye una de las tareas más complejas en los
primeros niveles. No en vano, confluyen toda una serie de aspectos abstractos y complejos que
culminarán con el dominio del número en sus distintas manifestaciones. Nos estamos refiriendo a
nociones, estructuras, capacidades y destrezas que se pueden resumir de la siguiente forma:
Comprender los números, las formas de representarlos, las relaciones entre ellos
y los conjuntos numéricos, lo que significa:
-contar con comprensión y darse cuenta de "cuántos hay" en colecciones de objetos;
-utilizar diversos modelos para desarrollar las primeras nociones sobre el valor posicional
y el sistema decimal de numeración;
-desarrollar la comprensión de la posición relativa y la magnitud de los números naturales,
y de los números ordinales y cardinales y sus conexiones;
-dar sentido a los números naturales y representarlos y usarlos de manera flexible,
incluyendo relacionar, componer y descomponer números;
-relacionar los nombres de los números y los numerales con las cantidades que
representan, utilizando varios modelos físicos y representaciones diversas;
y que se pueden agrupar en dos grandes bloques precursores del campo del cálculo aritmético:
- Campo conceptual numérico: relaciones entre el número y la cantidad; número cardinal como
propiedad de las colecciones o numerosidades; cantidad unitaria y unidad numérica como cardinal
del conjunto unitario; invarianza del número; número ordinal; composiciones y descomposiciones
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numéricas (inicio a las operaciones aritméticas). Tipos de números. Naturales, fracciones y
números decimales. Operaciones aritméticas, significados y propiedades; algoritmos de las
operaciones aritméticas; cálculo aritmético; estimación y aproximación en cálculo, etc.
- Representación numérica: las cifras; la secuencia numérica verbal; contar; nociones de unidad,
decena y centena; la escritura numérica; el sistema numérico posicional; numeración hablada y
escrita.
A partir de las cantidades discretas y la clasificación y ordenación de cantidades, el niño debe ir
construyendo las nociones de cardinal y ordinal como síntesis de procesos lógicos. Paralelamente,
deberá aprender las cifras y la secuencia numérica para practicar la acción de contar y su
aplicación para establecer el cardinal de conjuntos sencillos. La noción de decena y los números
de dos cifras llevarán a la noción de valor posicional y a la ampliación de las nociones numéricas
básicas.
Medida y unidad de medida
En este bloque se incluyen los aspectos propiamente métricos a partir del dominio de las
cualidades medibles, las cantidades y su comparación. Los contenidos aquí se referirán a aquéllos
aspectos en los que interviene el número y las operaciones aritméticas para obtener medidas o
estimaciones más precisas. Hay que dedicar aquí una atención especial a la Unidad de Medida
como solución a la necesidad de efectuar comparaciones precisas, bien utilizando una unidad
arbitraria (objetual (unidad no independiente del objeto concreto a ser medido), situacional
(mayor atención a la cualidad medible que al objeto) o figural (tamaño objeto – tamaño unidad), o
utilizando la unidad estándar a través de la partición de la cantidad a medir.
En el aprendizaje de la medida de magnitudes es muy importante la noción de unidad de medida y
los pasos para establecerla, que didácticamente pueden ser: 1º.- determinación experimental de la
medida de una cantidad concreta (longitud, masa, etc.); 2º.- comunicación (mensaje sobre la
medida obtenida para que los demás me entiendan); 3º.- validación (fabricación de un objeto
equivalente a esa medida o que tenga esa medida); 4º.- reflexión sobre la necesidad de una unidad
de medida que reúna los requisitos de universalidad, exactitud, etc.
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