Introducci´on a las transiciones de fase y a su simulaci´on

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inicial g 0 de g(E),por ejemplo g 0 (E) = 1 para todas las E, e usamos un procedimientoiterativo para construir unasecuencia deestimados g 1 ,g 2 ,... que converjanhaciala g(E) verdadera. Empecemos entonces con el estimado g 0 , y llevemos a cabo una simulación por un rato con la g enlaregla(36)reemplazadopor la g 0 ,que sí conocemos. Entonces laprobabilidaddeequilibrio que estamos simulandoesenrealidad P eq (σ) = C/g 0 (E(σ)). Contamos el númerodeveces H(E) quela simulación visita cada valor de E, que es proporcional a la probabilidad de encontrarse con energía E. Entonces por laconstrucción de laregla,la probabilidaddevisitar E converge a P 0 (E) = ∑ σ:H(σ)=E C g 0 (E(σ)) ∝ g(E) g 0 (E) , (37) donde g(E)eslaverdaderadensidaddeestados. Unamejoraproximacióndeladensidaddeestados es entonces g 1 (E) ∝ H(E)g 0 (E). (38) Aquíhayunsignodeproporcionalidadynodeigualdad,porqueelmétododejalibreunaconstante de normalización –como ya hemos visto, multiplicando todas las g(E) por la misma constante no afecta las propiedades termodinámicas calculadas. Para fijar esta constante, hay que utilizar más información del sistema, por ejemplo en el modelo de Ising sin campo en la red cuadrada, hay dos estados base con el mínimo de energía E = −2N, y por lo tanto sabemos que g(−2N) = 2, lo cual fija laconstante denormalización. Iteramosesteprocedimientocon g n (E)enlugarde g 0 (E)paraobtener g n+1 (E),yasíunasecuenciadeestimados g i que convergenala g verdadera. Parasabercuandopararse,sepuedechecarque el histograma sea“plano”,esdecir que seamás omenos constante dentrodealguna tolerancia. Este algoritmo se introdujo por Lee en 1993, y se llama muestreo entrópico. Eso se debe a que la entropía (microcanónica) S(E) está dado por S(E) = logg(E), y el algoritmo se puede reexpresaren términosdeS(E). Dehecho,enunprogramasetienequetrabajarconlogg(E),dadoqueg(E)puede tomar valoresrealmentegrandes. 9.3 Elalgoritmo deWang–Landau Elalgoritmo demuestreoentrópico funcionaenprincipio. Sinembargo,resultaque es muy lentoen la práctica. Por lo tanto ha habido mucho interés en una versión mucho más rápido del algoritmo quefueintroducidoporWangyLandauen2001. Suideafueladedejarque semodifique la g(E)en cadapasodelalgoritmo, y nosólo despuésde untiempo. Cuandoel álgoritmo visita la energía E, se actualizala densidad de estados para este valor de la energía: logg(E) → logg(E) +log f. (39) Aquí, f se llama el factor de modificación. Esta f determina qué tan preciso es el resultado, pero tambiénquétanlentaeslasimulación. Paralograrunasimulacióneficiente,sesueletomarlog f = 1 inicialmente. Despuésdeuntiempolargo,cuandoyasetieneunestimadodeladensidaddeestados, se modifica log f → log f/2, y así sucesivamente. Así que primero se encuentra una aproximación gruesa, y luego se va refinando. Una gran parte del trabajo que se ha llevado a cabo sobre este algoritmoconsiste enentendercómooptimizarlasecuenciadelas f paraacelerarelalgoritmo. Para los detalles deimplementacióndel algoritmo, se refierealartículooriginal deWang y Landau. La razón por la cual el algoritmo de Wang–Landau mejora el rendimiento es que las modificaciones de la g implican que haya una “fuerza” que empuja el algoritmo hacia valores de E que 24
todavíanose hanvisitado. Funciona como unamatraca: si el algoritmo visitaun valorde laenergía nuevo, entonces tiene una g(E) baja. Por lo tanto, es más difícil que regrese a un valor ya visitado, que por la actualización probablemente tiene un valor más alto de g. Así que se queda por más tiempo en el nuevo valor, lo cual le da una oportunidad de extenderse a un valor de E que todavía no ha visitado. Así, el algoritmo se esparceen el espacio de energías mucho más rápidamente, y así tambiénllegaal equilibriodeseadomás rápido. 9.4 Ubicación de transiciones defase Las transiciones de fase se pueden calcular desde las funciones termodinámicas buscando saltos en estas cantidades. Pero resulta más natural considerar sus derivadas. Por ejemplo, en el modelo de Ising sin campo, la cantidad de interés es la energía interna U = 〈E〉. Si tomamos la derivada de U con respecto a la temperatura T, entonces nos da la capacidad calorífica, C. Un salto en U en algun valor de T corresponderá a un pico en la curva de C para el mismo valor de T. La C se puede considerarcomo larespuestaenlavariabletermodinámica U al variarel parámetroT. Jugando con la expresión para el promedio 〈E〉 en términos de la suma sobre los estados microscópicos σ,resultaque C se puedeexpresarcomo sigue: C := ∂U ∂T ∝ 〈E2 〉 − 〈E〉 2 , (40) con una constante de proporcionalidad que se puede calcular exactamente. El último término, 〈 E 2 〉〈 − 〈E〉 2 , se puede escribir también como (E − 〈E〉) 2〉 . Por lo tanto, mide las fluctaciones de laenergíadesdesupromedio 〈E〉. Dadoque C,yengeneraltambiénotrasfuncionesderespuesta,se pueden expresar usando promedios, también se pueden calcular en simulaciones Monte Carlo tipo MetropolisotipoWang–Landau. Lospicosde C sonmásfácildebuscaryidentificarnuméricamentedesdelosdatosquelos saltos en la variable original. Por ejemplo, la figura 12 muestra la C en el modelo de Ising sin campo, como función de la temperatura T, para distintos tamaños L × L de una red cuadrada. Vemos que la posición del máximo converge cuando el tamaño del sistema crece a la temperatura crítica T c , mientras que la altura del pico divergeal infinito. Eso nos indica que paraun sistema infinitamente grande, habrá una divergencia de C. En otros modelos, no se conoce la ubicación de la transición, es decir la temperatura crítica, pero se puede utilizar un método de este índole para estimar donde está. Másinformaciónsobrelatransiciónsepuedeextraerdelamaneraenlaquesecambialaforma dela curvacercadelatransición cuandocrece L, usandolateoríadeescalamientodetamañofinito. Cuandohaymásparámetrosenelsistema,porejemploenelIsingconcampo,entoncessepuede hacerunWang–Landauconmás variables,por ejemploparacalcular g(E,M),el númerodeestados conenergíaEymagnetizaciónM. Deahísepuedencalcularfuncionestermodinámicascomofunción de T y h, y así obtener diagramas de fase del tipo mostrado en la sección anterior. Resulta no tan difícilcalculardiagramasdefaseaproximativos,peromuydifícilrefinarlosparatenermásprecisión. 10 Conclusiones El propósito de este mini-curso fue el de introducir el estudio de las transiciones de fase a través de las simulaciones porcomputadora. Se discutierondistintos puntos devista sobrelas transiciones de 25
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