Introducci´on a las transiciones de fase y a su simulaci´on

lafunción departición:
Z(β) = ∑e −βH(σ) . (29)
σ
Los términos en la suma dependen nada más de la energía H(σ) de cada configuración. Ahora
reordenemos los términos, agrupando todas las configuraciones que tienen el mismo valor E de la
energía H(σ),yluegosumando sobretodos los valoresdeesta E:
Z(β) = ∑
E
⎡
⎣
∑
σ:H(σ)=E
e −βH(σ) ⎤
⎦. (30)
Cada término individual en la suma interior ahora tiene el mismo valor de H(σ), y por lo tanto la
sumadaelvalorcomún e −βE ,multiplicadoporelnúmero g(E)deestostérminos, es decirdeconfiguraciones
conenergía E. Entonces la suma seconvierte en
Z(β) = ∑g(E)e −βE . (31)
E
La función g(E) que acabamos de introducir se llama la densidad de estados, o la degeneración.
Simplemente cuenta el número de estados microscópicos (configuraciones) del sistema que tienen
energíatotal E. Ahoralasuma(31)tienemuchomenostérminos. Porejemplo,enelmodelodeIsing
lasumaoriginaltenía2 N términos,perolasumanuevatienenadamás N términos,porquesepuede
mostrar que hay N valoresposibles delaenergíatotal enelmodelo deIsing.
Una vez que se cuente con la función g(E), se pueden calcular no sólo la Z(β) para cualquier
valorde β, esdecirparacualquiertemperatura T,usando(31),sinotambiénsepuedencalcular(casi)
cualquierfuncióntermodinámicadelsistema,tambiénparatodaslastemperaturas. Porejemplo,para
calcularelvalor promediode laenergía,reescribimos delamisma maneralaecuación
paradar
〈E〉 = 1
Z(β) ∑ σ
〈E〉 = 1
Z(β) ∑ E
E(σ)e −βH(σ) (32)
Eg(E)e −βE , (33)
lo cual involucra de nuevo la densidad de estados. Una vez que se conoce g(E), se puede evaluar
mediante esta ecuación la energía promedio 〈E〉, y de la misma manera para otras funciones termodinámicas.
Nóteseaquí que si semultiplica g(E)por unaconstante, noafectalos resultadospara
lasfunciones termodinámicas,yaqueelmismofactorapareceenelnumeradoryeneldenominador
(lafunción departición).
Sin embargo, todo lo anterior es muy formal, porque ¡desconocemos el valor de g(E)! Si lo
conociéramos, entonces tendríamos la solución exacta del modelo. En general se puede calcular
exactamente nada para sistemas pequeños nada más. Por lo tanto, hay que calcular la función g(E)
denuméricamente, que es loque haceel algoritmode Wang–Landau.
9.2 Elalgoritmo demuestreoentrópico
Wang y Landau introdujeron su algoritmo en 2001 para calcular directamente una aproximación a
la densidad de estados g(E). Su algoritmo se desarrolló basado en una serie de algoritmos anteriores,
de los cuales se destaca el de muestreo entrópico en 1993. Son algoritmos tipo Monte Carlo que
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