Introducci´on a las transiciones de fase y a su simulaci´on

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1.1 Metadelcurso Lameta de estemini-curso es la dedar unaintroducción a lastransiciones de faseyasu simulación por computadora. El enfoque es el de modelos sencillos que exhiben distintos tipos de transiciones de fase, estudiándolos a través de simulaciones numéricas, y viendo como las transiciones de fase influyen enlas propiedadesobservadasenestassimulaciones. Estos métodos numéricos hantenido mucho éxito en los últimos cuarenta años, y junto con enfoques analíticos aproximados nos han proporcionadouna grancantidaddeinformación sobrelaspropiedadesdelastransiciones defase. 2 La físicaestadística Para poder entender las transiciones de fase, que son fenómenos al nivel macroscópico, resulta necesario adoptar un punto de vista microscópico, viendo las propiedades de los átomos o moléculas que constituyen el material. Recordemos al respecto las palabras del famoso físico estadounidense RichardP.Feynman(1918–1988;premioNobel1965),enelprimercapítulodesusLecturesonPhysics: If, in some cataclysm, all scientific knowledge were to be destroyed, and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis (or atomic fact, or whatever you wish to call it) that all things are made of atoms — little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another. In that one sentence you will see an enormousamountofinformationabouttheworld,ifjust alittleimaginationandthinking are applied. [Si, en algún cataclismo, todo el conocimiento científico se destruyera, y solamente una frase se pudiera pasar a la siguiente generación de creaturas, ¿qué constatación contendría la mayor cantidad de información en el número mínimo de palabras? Yo creo queeslahipótesis atómica(oelhechoatómico,ocomoquieraquesellame),quetodaslas cosas están hechas de átomos – pequeñas partículas que se mueven constantemente y para siempre,atrayéndosecuandoestáncercalasunasalasotras,perorepelándosecuandosecomprimenlas unascontralasotras. Enestasolafrase,sepuedeverunacantidadenormedeinformación sobreelmundo, si se aplicasolamente unpocodeimaginación y pensamiento.] Aplicandoestoalastransicionesdefase,podemosreinterpretarlasdistintasformasmacroscópicas de las distintas fases como estructuras distintas al nivel microscópico, es decir como distintas formas dearreglarlos átomos que constituyenlasustancia. Larelaciónentrelaspropiedadesmicroscópicas y macroscópicas nos proporciona la física estadística. Es una teoría estadística, porque es necesario tomar promedios para poder relacionar las propiedades de un número de átomos del orden de 10 23 conelcomportamientomacroscópicoobservadoenelsistema entero. Lafísicaestadísticaformauna partemuy importante denuestroconocimiento delmundo. 3 Modelode un fluidomonatómico Para llegar a un entendimiento de las propiedades de las transiciones de fase desde un enfoque microscópico, es necesario usar modelos simplificados. Empecemos con un modelo microscópico 2
de un fluido monatómico, por ejemplo el argón. Escogemos el argón porque es uno de los fluidos más sencillos de modelar, dado que sus partículas elementales son átomos esféricos que no forman moléculas. Supongamos que hay N partículas,yque la partícula i tiene vector de posición r i y momento p i . Ladinámicadel sistema estádadapor el Hamiltoniano H(r,p) := K(p) +U(r), (1) donde r := (r 1 ,...r N ) representa las posiciones de todas las partículas, y p := (p 1 ,...p N ) sus momentos. K(p) es la energía cinética del sistema, que depende nada más de los momentos, y U(r) es la energía potencial, que depende nada más de las posiciones. Recordemos que el Hamiltoniano nos dalaenergíatotal de unaconfiguración microscópicadada.deunsistema. Laenergíapotencial provienedelas interaccionesentrelas partículas,yse puedeescribircómo U(r) = ∑ i u 1 (r i ) + ∑ i ∑ j u 2 (r i ,r j ) + ∑ i ∑ j ∑u 3 (r i ,r j ,r k ) + · · · . (2) k Aquí, u n es una función de interacción entre n partículas. El término más sencillo es u 1 (r i ), que representa una contribución a la energía proveniente de la posición de la partícula i en un campo externo. En este caso, la energía debida al campo al interactuar con una de las partículas no se ve afectada por la presencia de las otras partículas, y por lo tanto se puede escribir como una función deunapartículanadamás. Unejemploeslaenergíapotencialdebidaauncampogravitacional,que daríauna contribución u 1 (r i ) = mgr i,z , donder i,z es el componente de r i enladirecciónvertical. La contribución más importante en la energía de interacción proviene de las interacciones entre pares de partículas. Para partículas esféricas, la interacción u 2 (r i ,r j ), que es una función de las posiciones de las partículas números i y j, depende nada más de la distancia r ij := ‖r i −r j ‖ entre ellas. Paralossistemasqueconsideraremos,lasinteraccionesu n paran > 2sonpequeñas,ypuedenincorporarse en el término u 2 . Sin embargo, estos términos pueden llegar a ser importantes, por ejemplo enlossistemascoloidales. Asíllegamosalasiguienteexpresiónparalaenergíapotencialdelsistema: U(r) := ∑ i ∑ j>i u(r ij ). (3) Tomamos j > i enla segundasuma paraevitarcontar dos vecesel mismo pardepartículas. 3.1 Potencial modelo: elpotencial deLennard-Jones Ahora hay que fijar el potencial deinteracción por pares u(r) que correspondeal sistema de interés, donde r es la distancia entre dos átomos. ¿Cómo interactúanentre sí dos átomos de argón? Cuando estánmuy lejos el uno del otro, no interactúan, asíque u(r) → 0 cuandor → ∞. Cuandoestánmuy cercaelunodelotro,serepelanfuertemente,poreltraslapedesus nubesdeelectrones. Adistancias intermedias se atraen ligeramente por la fuerza de Van der Waals (o de dispersión): fluctuaciones en la posición de la nube de electrones de un átomo inducen un pequeño dipolo eléctrico, que a su vez induce un dipolo en un átomo cercano, creando una ligera atracción coulómbica entre los dos átomos. Laenergíadeestainteracciónse puedecalcularusandométodos dela mecánicacuántica,y se demuestraque decaeconla distanciar como r −6 . Por lo tanto, podemos modelar la interacción entre dos átomos de argón a una distancia r con el llamadopotencialdeLennard-Jones: [ ( σ ) 12 ( σ ) ] 6 u LJ (r) := 4ǫ − . (4) r r 3
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