Introducci´on a las transiciones de fase y a su simulaci´on

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7 Transiciones de fase en el modelo de Ising: propiedades termodinámicas Parainvestigarlastransicionesdefasedeunmodelo,esnecesariocalcularsusfuncionestermodinámicas para toda una gama de los parámetros del modelo, y ver donde parece haber unos comportamientos no-suaves. Como ejemplo tomaremos el modelo de Ising. Este modelo ha servido como un caso de prueba excelente para todo lo que es relacionado con el tema de las transiciones de fase. Hay resultados analíticos exactados y aproximativos, y también mucho trabajo simulacional. Por lo tanto, cualquier método numérico nuevo que se desarrolla se suele probar usando el modelo de Ising. Además,es un casosencillo que exhibe transiciones tanto de primer como de segundo orden, y dondelas diferenciasse entiendendemaneramás omenos sencilla. Por lotanto, nos enfocaremos aquí en una descripción de las transiciones de fase que exhibe este modelo. En esta sección, se describirán las propiedades termodinámicas de equilibrio del modelo; en la siguiente, se describirán laspropiedadesdinámicasquesevenenunasimulación, yque sepuedenutilizarparaidentificarel tipodetransición que hay enunmodelo. Empecemoscon elmodelo sinningún campoexterno,con elHamiltoniano H(σ) = −J ∑ σ i σ j . (26) 〈i,j〉 En la función de partición y en el cálculo de promedios, el Hamiltoniano siempre va acompañado por una β, en la combinación βH. Por lo tanto, el único parámetro físico que podemos variar es la combinación K := βJ = J/kT, que se llama la constante de acoplamiento. Si fijamos J = 1 para simplificar, entonces nos quedasolamente la temperatura T o su inverso β comoparámetro. 7.1 Transición de fasede segundoorden: temperaturacrítica Lafigura5demuestraelcomportamientoexactodelamagnetizaciónespontánea(esdecir,enausencia de campo) M en el modelo de Ising, como función de la temperatura, para una red de tamaño infinito (es decir, en el límite termodinámico, cuando el sistema microscópico converge a un sistema macroscópico, lo cual se puede describir con la termodinámica clásica). Cuando la temperatura T = 0, el sistema está completamente ordenado, y entonces M = 1. Conforme la temperatura T se incrementa,la Mdisminuye,porquehaycadavezmásruidotérmicoquerompeelorden,hastaque M alcanza0enelvalor T = T c ,latemperaturacrítica. Enestatemperaturahayunatransicióndefase desegundoorden,yaque lamagnetizaciónesunafuncióncontinua, perosu derivadadiverge. Para T > T c , lamagnetización M esestrictamente 0,yelsistema se encuentraenuna fasedesordenada. Para un sistema de tamaño finito L × L, hay que medir el promedio del valor absoluto de M, 〈|M|〉, dadoque M también puedetomar valoresnegativos. Esta cantidadtambiénestá dibujadaen lafigura5. SevequesucomportamientosigueelresultadoexactoparavaloresdeT abajodeT c yno demasiado cerca de T c , pero luego se aleja. Sin embargo, cuando uno toma un sistema más grande, esta cantidad converge al resultado exacto. En un sistema donde no se conoce el comportamiento exacto, se puede estimar la temperatura crítica y el comportamiento cerca de la transición usando una teoríadeescalamiento detamañofinito. Una cantidad como M, que es igual a cero por un lado de una transición, y es mayor que cero porel otrolado,sellamaunparámetrodeorden,yaque describelacantidadde“orden”quehay enel sistema –eneste caso,ordenmagnético. Engenerales difícilescoger unbuenparámetrode orden. 14

1 L = 16 L = 32 L = ∞ 0.8 Mespontnea 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T Figure5: Elparámetrodeorden–lamagnetizaciónespontánea M espontánea –paraelmodelodeIsing enunaredcuadradadetamañoinfinito,segúnelresultadoexactodeYang(PhysicalReview,1952). Se compara con resultados numéricos para 〈|M|〉 en sistemas de tamaño 16 ×16 y 32 ×32, evaluados usandoel algoritmodeWang–Landau(sección9). Lamaneraenlacual M → 0cuando T → T c secomportacercade T c comounaley depotencias, M ∼ (T c −T) β cuando T → T c . (27) El exponente β es uno de los llamados exponentes críticos que describen el comportamiento cerca de una transición de segundo orden. La β vale exactamente 1/8 para el modelo de Ising en dos dimensiones. Estos exponentesson interesantesporqueresultanseruniversales, es decirquetomanlos mismosvaloresparadistintossistemas. Porejemplo,unfluidoentresdimensionestambiéntieneun puntocríticoconunatransicióndesegundoorden. Losexponentesquedescribenelcomportamiento del fluido cerca de este punto son iguales a los del modelo de Ising en tres dimensiones. La razónse explicóconlateoríadelgrupoderenormalización,porlocualKennethG.WilsonganóelPremioNobel en1982. 7.2 Valor dela temperaturacrítica Se sabe por la solución exacta de Onsager del modelo de Ising para la red cuadrada sin campo externoqueocurreunatransicióndefasedesegundoordenenlatemperaturaT c . Además,seconoce exactamente el valor de la temperatura crítica T c . En términos de la constante de acoplamiento K := βJ = J/kT, está dadapor K c = 1 2 log(1 + √ 2) ≃ 0.44. Si ponemos la constante J de interacción iguala1,quesepuedeconsiderearuncambiodeunidades,ytambiéntrabajamosconunidadestales quelaconstantedeBoltzmannk = 1,entoncesobtenemos quelatemperaturacríticaes T c = 1/K c = 2/log(1 + √ 2) ≃ 2.269. Definiendo K ′ := βǫ = 4βJ = 4K, podemos convertir la temperaturacríticadel modelode Isisng enunaparael lattice-gas: K ′ c = 4K c ≃ 1.76. (28) 15

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