Introducción a la Teor´ıa de Invariantes Geométricos - Cimat

Introducción a la Teoría de Invariantes Geométricos
12 de diciembre de 2010
Claudia Reynoso
claudia@cimat.mx
Departamento de Matemáticas, Universidad de Guanajuato, Callejón Jalisco s/n, A.P. 402, C.P. 36000,
Guanajuato, Gto. México.
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Índice
1. Introducción 3
1.1. Sobre las notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Acciones en Variedades y Cocientes 5
3. La acción natural de un subgrupo finito en C n 8
3.1. Grupos Reductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Cocientes de Variedades Afines 14
4.1. Conjugación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Cocientes de Variedades Proyectivas 25
5.1. Ejemplos en Variedades Proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Criterio de Hilbert-Mumford 30
6.1. Ejemplos que hacen uso del Criterio de Hilbert-Mumford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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1. Introducción
Uno de los objetivos principales de la Teoría de Invariantes Geométricos (en inglés Geometric Invariant
Theory o GIT) es resolver problemas de clasificación de objetos en Geometría Algebraica.
El antecedente de la Teoría de Invariantes Geométricos es la Teoría de Invariantes; sin embargo, no hay
que olvidar que esta teoría proviene también de problemas geométricos. Entre otros grandes autores podemos
mencionar los trabajos hechos por David Hilbert en esta rama, dichos trabajos son aproximadamente
de 1890, podemos decir que sus resultados en esta área dieron origen a la teoría de ideales en anillos de
polinomios.
El problema fundamental en la teoría de invariantes es el siguiente: dada una acción “buena”de un grupo
G de automorfismos de un anillo de polinomios R, encontrar los elementos de R que quedan invariantes ante
la acción de G, estos elementos forman una subálgebra de R que denotaremos por R G . El objetivo esencial
es probar que R G es un álgebra finitamente generada y encontrar los generadores.
Ejemplo: Sea R = C[x 1 , ..., x n ] y denotemos por Σ n al grupo de permutaciones de {1, ..., n}. Tenemos la
siguiente acción:
C[x 1 , ..., x n ] × Σ n → C[x 1 , ..., x n ]
(f(x 1 , ..., x n ), σ) ↦→ f(x σ(1) , ..., x σ(n) ).
El conjunto de invariantes R Σ = {f ∈ C[x 1 , ..., x n ] : f(x 1 , ..., x n ) = f(x σ(1) , ..., x σ(n) ) ∀σ ∈ Σ}, que en
este caso se llama el anillo de funciones simétricas, es un subanillo de R. Este subanillo contiene a las
funciones simétricas elementales:
f 1 (x 1 , ..., x n ) = x 1 + · · · + x n
f 2 (x 1 , ..., x n ) =
∑
x i x j
.
1≤i

π : X → X/G
x ↦→ O(x) = {gx : g ∈ G}.
Si X es un espacio topológico, entonces, definiendo los abiertos U en X/G como aquellos conjuntos tales
que π −1 (U) es abierto en X, X/G es también un espacio topológico y π es una aplicación continua.
En el caso en que X es una variedad algebraica y G actúa de tal modo que en la órbita de un punto se
encuentren todos los objetos que deseamos identificar con él, uno esperaría que el conjunto de órbitas tuviera
una estructura algebraica y que la aplicación proyección fuera también algebraica. En general esto no es así.
La Teoría de invariantes geométricos estudia los casos en que es posible construir espacios que clasifiquen
los objetos en cuestión que a su vez sean variedades algebraicas, junto con un morfismo algebraico
de la variedad donde viven nuestros objetos a tal espacio. Como veremos más adelante, en general esto no
se consigue con el conjunto de órbitas en el que cada órbita sería un punto en el espacio clasificante, en
general vamos a tener el siguiente fenómeno: una órbita junto con las que se acumulen en ella representarán
el mismo punto en el cociente, al que por el momento llamaremos bueno (después precisaremos este concepto).
Podemos resumir lo anterior diciendo que el objetivo principal de TIG es resolver problemas de clasificación
en geometría algebraica, es decir, construir cocientes buenos cuyos puntos corresponden a clases de
isomorfismos (dadas por la acción) de los objetos a clasificar y con la ventaja de que dicho espacio refleje las
propiedades geométricas y algebraicas de los objetos que está clasificando.
1.1. Sobre las notas
El prerrequisito recomendable para hacer una lectura eficiente de este escrito es haber tomado un curso
básico de geometría algebraica en el que el lector haya adquirido un conocimiento general de los que
son las variedades algebraicas (afines y proyectivas), así como su anillo de funciones y los morfismos entre
ellas; esto implica, en particular, tener un conocimiento general de álgebra conmutativa y topología de
Zariski. En este apartado daremos un esquema general del modo en que se presentan los temas en estas notas.
Como ya hemos mencionado, nuestro objetivo general es dar una idea básica de la construcción de
cocientes con estructura algebraica por acciones de grupos en variedades algebraicas afines y proyectivas.
Empezaremos la exposición con las definiciones generales de acciones de grupos y cocientes bueno, categórico
y geométrico; esta parte puede resultar tediosa debido a la gran cantidad de conceptos que se introducen,
así que la sección 3 tiene el objetivo de aclarar un poco estos conceptos mediante el ejemplo particular de
acciones en espacios afines por grupos finitos.
La siguiente sección pretende dar una idea panorámica de los que son los grupos reductivos, estos grupos
tienen la gracia de que al actuar linealmente en una variedad algebraica es posible obtener cocientes buenos
en un abierto invariante de dicha variedad.
A continuación daremos la demostración del teorema de Nagata que nos dice que el álgebra de invariantes
por la acción de un grupo reductivo resulta finitamente generada; y, como consecuencia importante, probaremos
la existencia de un cociente bueno por la acción de un grupo reductivo en una variedad afín.
La siguiente sección expone un ejemplo clásico: la conjugación de matrices. Este ejemplo ilustra de manera
clara lo que está pasando geométricamente con las órbitas cuando construimos cocientes por acciones
de grupos. El objetivo de esta sección es observar que, cuando las órbitas son cerradas, la construcción del
cociente es inmediata pero en el caso de órbitas que se acumulan en otras resultan hechos realmente sorpren-
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dentes.
La siguiente meta es tratar de construir cocientes de variedades proyectivas por acciones de grupos reductivos,
esto en general no es posible a menos que eliminemos un cerrado de la variedad, el cerrado constituido
por los llamados puntos inestables. El complemento de este cerrado es el abierto de puntos semiestables y
en este conjunto invariante sí podremos construir un cociente bueno.
Una vez que hemos entendido por qué los puntos inestables representan una obstrucción para construir
cocientes en variedades proyectivas, daremos algunos ejemplos en los que describimos dichos puntos, con ello
veremos que estos puntos son degenerados en algún sentido, por ahora, ambiguo.
Describiremos enseguida un método desarrollado por David Hilbert y por David Mumford para encontrar
los puntos inestables de una acción, este método hace uso de los subgrupos a un parámetro del grupo, así que
le daremos este nombre. Terminaremos las notas con algunos ejemplos que muestran el poder del Método de
Subgrupos a un Parámetro descrito anteriormente.
1.2. Notación
1. Todos los anillos mencionados en las notas serán conmutativos con 1.
2. K será un campo algebraicamente cerrado de cualquier característica.
3. Denotaremos el espacio afín de dimensión n en el campo K por A(K) n y el espacio proyectivo de
dimensión n sobre K como P(K) n .
4. Sea X una variedad y sea U un abierto de X, entonces
A(U) = {f : U → K : f es una función regular}.
5. Si R es un anillo y f ∈ R entonces R f es la localización del anillo en f.
2. Acciones en Variedades y Cocientes
A continuación daremos todas las definiciones generales para poder plantear de un modo general el problema
que queremos estudiar, dichas definiciones incluyen la de grupo algebraico, acciones en variedades
algebraicas y, por supuesto, cocientes en geometría algebraica.
Lo referente a grupos algebraicos que se menciona a continuación puede ser consultado en [2] y [19].
Definición 1. Un grupo G se dice algebraico sobre un campo K si es una variedad algebraica sobre K
y las operaciones de multiplicación e inverso son morfismos algebraicos. Un grupo algebraico isomorfo a un
subgrupo cerrado de GL(n, K) se dice grupo algebraico lineal.
Aquí es necesario hacer la siguiente observación: todos los grupos algebraicos que manejaremos en el texto
serán lineales, de hecho esta es la clase de grupos algebraicos que tienen estructura de variedad afín. La clase
de grupos algebraicos que tienen estructura de variedad proyectiva son las llamadas variedades abelianas, un
tema de estudio fascinante que no tocaremos aquí.
Definición 2. Sean G 1 y G 2 grupos algebraicos, un homomorfismo de grupos algebraicos, es un homomorfismo
de grupos φ : G 1 → G 2 , que es morfismo de variedades algebraicas.
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Ejemplo 1. Los ejemplos clásicos de grupos algebraicos lineales son GL(n, K), SL(n, K), P GL(n, K) y
todo grupo finito, el cual, como sabemos, es subgrupo de un grupo de permutaciones Σ n y por lo tanto es
subgrupo de GL(n, K).
Definición 3. Una acción de un grupo algebraico G en una variedad X es un morfismo
tal que, para todo g 1 , g 2 ∈ G, x ∈ X,
σ : G × X → X
σ(g 1 , σ(g 2 , x)) = σ(g 1 g 2 , x)
y
σ(e, x) = x,
donde e es el elemento identidad de G. Para simplificar la notación escribiremos gx para referirnos a σ(g, x),
así que las condiciones anteriores se escriben:
g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 )x, ex = x.
Sea x ∈ X. Definimos el estabilizador de x y la órbita de x como
Est(x) = {g ∈ G : gx = x}
O(x) = {gx ∈ X : g ∈ G},
respectivamente. Diremos que el conjunto W ⊂ X es invariante por la acción de G si gW = {gw : w ∈
W } ⊂ W para todo g ∈ G.
Ejemplo 2. La aplicación:
GL(n, K) × A(K) n → A(K) n
(g, (x 1 , ..., x n )) ↦→ g(x 1 , ..., x n ),
que consiste simplemente en aplicar la transformación lineal g al punto (x 1 , ..., x n ) es una acción, la órbita
de un punto distinto de cero es A(K) n − {0} y la órbita de cero es simplemente el cero.
Sea X una variedad afín en A(K) n+1 o proyectiva en P(K) n y sea G un grupo algebraico lineal. Supongamos
que existe una acción
de G sobre X.
G × X → X
(g, x) ↦→ gx,
Definición 4. La acción anterior se dice lineal o que G actúa linealmente sobre X si existe un homomorfismo
de grupos
ρ : G → GL(n + 1, K)
tal que la acción de G en X es la acción inducida por
G × A(K) n+1 → A(K) n+1
(g, (x 0 , ..., x n )) ↦→ ρ(g)(x 0 , ..., x n ),
donde ρ(g)(x 0 , ..., x n ) es simplemente aplicar la transformación lineal ρ(g) en el punto (x 0 , ..., x n ).
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Ejemplo 3. La acción del ejemplo anterior es lineal.
El primer paso importante para llegar a la construcción de un cociente bueno de una variedad algebraica
por la acción de un grupo algebraico es considerar la acción inducida en el álgebra de funciones algebraicas
de la variedad. Dicha acción se describe a continuación, supongamos que el grupo algebraico lineal G actúa
en una variedad algebraica X, esta acción induce una acción en el álgebra de funciones de X, es decir en
A(X), de la siguiente manera:
A(X) × G → A(X)
(f, g) ↦→ f g : X → K
x ↦→ f(gx).
Definición 5. Un elemento f ∈ A(X) es invariante por la acción de G si f g (x) = f(x) para todo x ∈ X
y g ∈ G. Si W es un subconjunto abierto e invariante de X, definimos el conjunto A(W ) G := {f ∈ A(W ) :
f g (x) = f(x) ∀x ∈ W, ∀g ∈ G}.
Ahora vamos a dar las definiciones de cociente bueno, cociente categórico y espacio de órbitas, cada uno
de ellos juega un papel importante en los problemas de clasificación que queremos entender.
Definición 6. Un cociente bueno de X por G es una pareja (Y, φ) donde Y es una variedad y φ : X → Y
es un morfismo afín que satisface las siguientes condiciones:
1. φ es G-invariante.
2. φ es sobre.
3. Si U es un abierto de Y , entonces
es un isomorfismo de A(U) sobre A(φ −1 (U)) G .
φ ∗ : A(U) → A(φ −1 (U))
4. Si W es un subconjunto invariante y cerrado de X, entonces φ(W ) es cerrado.
5. Si W 1 , W 2 son subconjuntos de X, cerrados, invariantes y disjuntos, entonces
φ(W 1 ) ∩ φ(W 2 ) = ∅.
Definición 7. Un cociente categórico de X por G es un par (Y, φ), donde Y es una variedad y φ : X → Y
es un morfismo tal que:
1. φ es constante en las órbitas de la acción.
2. Para cada variedad Y 1 y morfismo φ 1 : X → Y 1 constante en órbitas, existe un único morfismo
χ : Y → Y 1 tal que χ ◦ φ = φ 1 . Es decir, el siguiente diagrama
X
φ
Y
φ 1
∃!χ
Y 1
conmuta.
Si, además, φ −1 (y) consiste de sólo una órbita para todo y ∈ Y entonces (Y, φ) se llama espacio de órbitas.
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Definición 8. Un cociente geométrico es un cociente bueno que es, además, un espacio de órbitas.
Todo cociente bueno es un cociente categórico, es decir, los cocientes buenos satisfacen una propiedad
universal. De hecho tenemos la siguiente proposición.
Proposición 1. (ver [15]) Sea (Y, φ) un cociente bueno de X por G. Entonces
1. (Y, φ) es un cociente categórico de X por G;
2. φ(x 1 ) = φ(x 2 ) si y sólo si O(x 1 ) ∩ O(x 2 ) ≠ ∅;
3. si la acción de G en X es cerrada, es decir, si todas las órbitas son conjuntos cerrados, entonces (Y, φ)
es un cociente geométrico.
Las construcciones de cocientes que haremos en estas notas estarán basadas en el hecho de que A(X) G
sea finitamente generada como K-álgebra, es decir, que existan elementos f 1 , ..., f s ∈ A(X) G tales que
A(X) G = K[f 1 , ..., f s ], esto significa que toda función invariante se puede escribir como un polinomio en
f 1 , ..., f s .
3. La acción natural de un subgrupo finito en C n
Lo primero que haremos para empezar a entender los conceptos que se presentaron en la sección anterior
es considerar el caso particular de acciones de grupos finitos en el espacio afín. El álgebra de funciones
polinomiales del espacio afín es el anillo de polinomios, así que para la construcción del cociente bueno
introducimos los polinomios invariantes y estudiamos el álgebra de polinomios invariantes. Si dicha álgebra
resulta ser finitamente generada, lo cual en el caso de grupos finitos es cierto, entonces podremos construir
el cociente bueno, en este caso debemos destacar que el cociente bueno coincidirá con el conjunto de órbitas
debido a que todas las órbitas son conjuntos cerrados de la misma dimensión.
Recordemos que todo grupo finito es subgrupo de algún grupo de permutaciones Σ n y, por tanto, es un
grupo algebraico lineal. Consideremos la acción natural del grupo finito G ⊂ GL(n, C) en el espacio afín
complejo A n (C) (por comodidad vamos a denotar este espacio por C n ):
G × C n → C n
⎛
⎜
(g, (x 1 , ..., x n )) ↦→ g⎝
lo que deseamos es construir un cociente bueno. El primer paso para hacer esta construcción es considerar
la acción inducida en el álgebra de funciones del espacio afín C n que, como sabemos, es C[x 1 , ..., x n ],
x 1
.
x n
⎞
⎟
⎠,
C[x 1 , ..., x n ] × G → C[x 1 , ..., x n ]
(f, g) ↦→ f g : C n → C
x ↦→ f(gx).
Adaptando las definiciones de función invariante a este caso tenemos que un polinomio f ∈ C[x 1 , ..., x n ]
es invariante bajo G si f(x) = f(gx) para todo g ∈ G y el conjunto de polinomios invariantes bajo G
será denotado por C[x 1 , ..., x n ] G .
Emmy Noether demostró en [16] el siguiente importante resultado.
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Teorema 1. C[x 1 , ..., x n ] G es finitamente generado como C-álgebra, es decir, existen polinomios f 1 , ..., f s ∈
C[x 1 , ..., x n ] tales que C[x 1 , ..., x n ] G = C[f 1 , ..., f s ].
Un caso particular lo tenemos cuando el grupo en cuestión es Σ n , en este caso se pueden construir
facilmente los generadores del álgebra de invariantes y en la demostración que damos enseguida, la cual se
puede encontrar en [3], se construye todo polinomio invariante como polinomio en los polinomios simétricos
elementales.
Teorema 2. Con la notación del ejemplo presentado en la introducción, tenemos que:
C[x 1 , ..., x n ] Σn = C[f 1 , ..., f n ].
Demostración. Usaremos en el conjunto de monomios el orden lexicográfico con x 1 > x 2 > ... > x n . Sea f
un polinomio simétrico no cero y sea T P (f) = ax α el término principal de f, es decir, el mayor término en
f. Lo primero que probaremos es que si α = (α 1 , ..., α n ), entonces α 1 ≥ α 2 ≥ ... ≥ α n . Para probar esto,
supongamos que α i < α i+1 y sea β = (α 1 , ..., α i+1 , α i , ..., α n ).
Como ax α es un término de f, entonces ax β es un término de f(..., x i+1 , x i , ...). Pero como f es simétrico,
entonces f(..., x i+1 , x i , ...) = f y, por lo tanto, ax β también es un término de f. Pero esto es imposible, pues
x β > x α . Hemos probado la afirmación.
Sea
h = f α1−α2
1 f α2−α3
2 · · · f αn−1−αn
n−1
para calcular el término principal de h primero notemos que T P (f r ) = x 1 x 2 · · · x r para 1 ≤ r ≤ n. Así que
f αn
n ,
T P (h) = T P (f α1−α2
1 f α2−α3
2 · · · f αn−1−αn
n−1 fn αn
)
= T P (f 1 ) α1−α2 T P (f 2 ) α2−α3 · · · T P (f n−1 ) αn−1−αn T P (f n ) αn
= x α1−α2
1 (x 1 x 2 ) α2−α3 · · · (x 1 x 2 · · · x n ) αn
= x α1
1 · · · xαn n = x α .
Se sigue, entonces que f y ah tienen el mismo término principal, y, entonces, si definimos el multigrado
de un polinomio F = ∑ α a αx α como multigrado(F ) = max{α ∈ Z n ≥0 : a α ≠ 0} (el máximo se toma
respecto al orden lexicográfico) multigrado(f − ah) < multigrado(f), siempre que f − ah ≠ 0.
Sea g 1 = f − ah, notar que g 1 es simétrico ya que f y h lo son. Si g 1 ≠ 0, podemos repetir este proceso
para obtener g 2 = g 1 − a 1 h 1 , donde a 1 es una constante y h 1 es un producto de las funciones simétricas
elementales, f 1 , ..., f n con alguna potencia. Y sabemos que T P (g 2 ) < T P (g 1 ) cuando g 2 ≠ 0. Continuando
de esta manera obtenemos una sucesión de polinomios f, g 1 , g 2 , ... con
multigrado(f) > multigrado(g 1 ) > multigrado(g 2 ) > ...
Esta suceción debe ser finita. Esto significa que el proceso termina y entonces g t+1 = 0 para algún t. Así que
f = ah + a 1 h 1 + ... + a t h t ,
lo cual prueba que f es un polinomio en las funciones simétricas elementales.
Ejercicio 1. Demuestra que un polinomio simétrico puede escribirse de manera única como un polinomio
en las funciones simétricas elementales f 1 , ..., f n . Concluye con esto que C[x 1 , ..., x n ] Σn es isomorfo como
C-álgebra a C[x 1 , ..., x n ].
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Regresando al caso general tenemos, gracias al teorema de Emmy Noether, que existen polinomios
f 1 , ..., f s ∈ C[x 1 , ..., x n ] tales que C[x 1 , ..., x n ] G = C[f 1 , ..., f s ] y si consideramos el ideal I = {h ∈ C[y 1 , ..., y s ] :
h(f 1 , ..., f s ) = 0 en C[x 1 , ..., x n ]}, entonces la correspodencia
ϕ : C n /G → Y
O(x) ↦→ (f 1 (x), ..., f s (x)),
donde Y es la variedad definida por I, es decir, Y = {(a 1 , ..., a s ) ∈ A(C) s : h(a 1 , ..., a s ) = 0 ∀h ∈ I}; es una
biyección (la demostración de este hecho puede encontrarse en el Teorema 10 del capítulo 4 de [3]), donde
C n /G = {O(x) : x ∈ C n }. Esto se debe principalmente a que la órbita de un punto es un conjunto finito y,
por tanto, es un conjunto cerrado y de hecho todas las órbitas tienen la misma dimensión. Esta condición
es muy fuerte y nos permite hacer construcciones de cocientes con hermosas propiedades; el ejemplo de las
matrices que se presenta en una sección posterior nos ayudará a entender la geometría del cociente cuando
las órbitas tienen en su cerradura otras órbitas.
Consideramos entonces la aplicación proyección seguida de la aplicación ϕ:
φ = ϕ ◦ π : C n → C n /G → Y
x ↦→ O(x) ↦→ (f 1 (x), ..., f s (x));
como ya hemos mencionado en la introducción, con la aplicación proyección podemos darle una topología a
C n /G del siguiente modo: un conjunto U ⊂ C n /G es abierto si y sólo si π −1 (U) es abierto en C n . Podemos
identificar las funciones continuas de C n /G a C con el álgebra de invariantes C[x 1 , ..., x n ] G . Entonces la
aplicación φ induce el siguiente morfismo de anillos:
φ ∗ : A(Y ) = C[y 1 , ..., y s ]/I → C[x 1 , ..., x n ] G = C[f 1 , ..., f s ] → A(C n ) = C[x 1 , ..., x n ]
h(y 1 , ..., y s ) + I = ¯h(y 1 , ..., y s ) ↦→ h(f 1 , ..., f n ) ↦→ h(f 1 (x 1 , ..., x n ), ..., f s (x 1 , ..., x n )).
Y tenemos el siguiente Teorema.
Teorema 3. La aplicación φ : C n
geométrico.
→ Y es un cociente bueno de C n por G. Más aun, este cociente es
Demostración. La aplicación:
φ : C n → Y
x ↦→ (f 1 (x), ..., f s (x)),
es claramente afín e invariante en las órbitas. La condición 2 de la definición 6 se sigue del hecho que ϕ es
sobre. Para demostrar la condición 3 vamos a usar el resultado que nos dice que todo abierto de Y puede
ser cubierto por los abiertos Y¯h = {y ∈ Y : ¯h(y) ≠ 0}, donde ¯h ∈ A(Y ); así que demostraremos el resultado
para estos abiertos:
φ ∗ (A(Y¯h)) = φ ∗ (A(Y )¯h) = π ∗ (C[x 1 , ..., x n ] G h(f 1,...,f s) ) =
(π ∗ (C[x 1 , ..., x n ] G )) h(f1(x 1,...,x n),...,f s(x 1,...,x n)) = C(x 1 , ..., x n ) G h(f 1,...,f s) =
A(C n h(f 1(x 1,...,x n),...,f s(x 1,...,x n)) )G = A(φ −1 (Y¯h)) G ,
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la inyectividad se sigue de la definición de φ ∗ . Podemos ver que φ es un morfismo finito y, por tanto, es un
morfismo cerrado, de aquí se sigue la condición 4.
Sean W 1 , W 2 subconjuntos de C n , cerrados, invariantes y disjuntos; supongamos que y ∈ φ(W 1 ) ∩ φ(W 2 ),
es decir, existen a ∈ W 1 y b ∈ W 2 tales que f j (a) = f j (b) para todo j = 1, ..., s, entonces tenemos que para
todo h, polinomio invariante por G, h(a) = h(b).
Como O(a) y O(b) son conjuntos cerrados disjuntos de C n entonces existe un polinomio f ∈ C[x 1 , ..., x n ]
tal que f |O(a) ≡ 1 y f |O(b) ≡ 0; consideremos el polinomio:
h f = 1
|G|
∑
f g ∈ C[x 1 , ..., x n ],
g∈G
es fácil ver que h f es un polinomio invariante, y h f (a) = 1, h f (b) = 0, lo cual es una contradicción. Hemos
probado que φ(W 1 ) ∩ φ(W 2 ) = ∅. Y con esto concluimos que φ : C n → Y es un cociente bueno.
Todas las órbitas de esta acción son conjuntos cerrados, así que, por la proposición 1, este cociente es
geométrico.
Vamos a finalizar esta sección con algunos ejemplos sencillos de lo que hemos expuesto hasta ahora.
Ejemplo 4. Hemos demostrado que C[x 1 , ..., x n ] Σn = C[f 1 , ..., f n ] donde f 1 , ..., f n son las funciones simétricas
elementales y, por el ejercicio 1 tenemos que I = {h ∈ C[y 1 , ..., y n ] : h(f 1 , ..., f n ) = 0 en C[x 1 , ..., x n ]} =
{0}, así que el cociente bueno de la acción natural de Σ n en C n es:
φ : C n → C n
Ejemplo 5. Consideremos el grupo cíclico:
{(
−1 0
C 2 =
0 −1
(x 1 , ...., x n ) ↦→ (f 1 (x 1 , ..., x n ), ..., f n (x 1 , ...., x n )).
) (
1 0
,
0 1
)}
⊂ GL(2, C).
Podemos probar que C[x 1 , x 2 ] C2 = C[x 2 1, x 2 2, x 1 x 2 ] y I = {h ∈ C[y 1 , y 2 , y 3 ] : h(x 2 1, x 2 2, x 1 x 2 ) = 0 en C[x 1 , ..., x n ]} =<
y 1 y 2 − y 2 3 >, así que el cociente bueno está dado por:
3.1. Grupos Reductivos
φ : C 2 → Y = {(y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ C 3 : y 1 y 2 = y 2 3}
(x 1 , x 2 ) ↦→ (x 2 1, x 2 2, x 1 x 2 ).
De acuerdo a lo expuesto en la sección anterior podemos intuir que la generación finita del álgebra de
invariantes nos permite construir cocientes de variedades por acciones de grupos algebraicos lineales pero,
¿todo grupo algebraico lineal satisface esta propiedad? ¿cuáles son los grupos algebraicos lineales que hacen
del álgebra de invariantes un álgebra finitamente generada? En esta sección vamos a dar las definiciones
y resultados básicos sobre la clase de grupos que tienen esta importante propiedad, dichos grupos son los
grupos reductivos.
En el Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en Paris en 1900, David Hilbert propuso una
lista de 23 problemas que marcarían gran parte del desarrollo de las matemáticas del siglo pasado. El problema
14 planteaba, entre otras cosas, lo que hemos venido mencionando sobre la generación finita del álgebra
11

de invariantes, Hilbert demostró que esto era así en algunos casos particulares.
El estudio de los grupos con esta propiedad atrajó y sigue atrayendo a muchísimos matemáticos importantes
que han contribuido al desarrollo de la teoría, entre ellos podemos mencionar a Masayoshi Nagata,
quien en el año 1958 presentó el primer contraejemplo al problema catorce de Hilbert (ver [14]), es decir, construyó
un álgebra finitamente generada y un grupo actuando en ella de tal modo que el álgebra de invariantes
no era finitamente generada (el lector interesado en este tema puede encontrar una buena introducción en
[18]).
En 1963 Masayoshi Nagata demostró la generación finita del álgebra de invariantes para los grupos
geométricamente reductivos (ver [13]), la demostración de este importante Teorema se verá en la siguiente
sección. Por ahora introducimos los conceptos de grupo geométricamente reductivo y grupo linealmente
reductivo.
Definición 9. Un grupo algebraico lineal G se dice geométricamente reductivo (linealmente reductivo)
si, para cada acción lineal de G en A(K) n , y cada punto v ∈ A(K) n , v ≠ 0, invariante por la acción
de G, exite f ∈ C[x 1 , ..., x n ], homogéneo, invariante, de grado mayor o igual a uno (igual a uno) tal que
f(v) ≠ 0.
Ejemplo 6. Todo grupo finito G es geometricamente reductivo: consideremos una acción lineal de G en
A(K) n y sea v ∈ A(K) n , v ≠ 0, invariante por la acción de G, existe f polinomio homogéneo tal que
f(v) = 1, entonces f G = 1 ∑
|G| g∈G f g es invariante, homogéneo y f G (v) = 1.
Ejemplo 7. El grupo aditivo G a , es decir, el grupo cuyos elementos son los elementos del campo K con la
suma, no es geometricamente reductivo. Este grupo puede verse como un subgrupo de GL(2, K) del siguiente
modo:
G a =
{( 1 a
0 1
consideremos la acción natural de G a en A(K) 2 , es decir,
)
}
∈ GL(2, K) : a ∈ K ;
G a × A(K) 2 → A(K) 2
( ( )
1 a
)
, (x
0 1 1 , x 2 ) ↦→ (x 1 + ax 2 , x 2 ),
el punto (1, 0) es invariante por G a . Supongamos que el grupo es geometricamente reductivo, entonces existe
un polinomio mónico e invariante f(x 1 , x 2 ) = a 0 x r 2 + a 1 x 1 x2 r−1 + ... + x r 1. Como f es invariante por G a
entonces f(x 1 , x 2 ) = f(x 1 + ax 2 , x 2 ) para todo a ∈ K, y esto implica que a 0 = a 0 + a 1 a + ... + a r−1 a r−1 + a r
para todo a ∈ K, lo cual es una contradicción pues un polinomio tiene un número finito de raices.
Ahora introducimos el concepto de grupo reductivo, en 1963 Masayoshi Nagata y Miyata en el artículo[11]
probaron que todo grupo geométricamente reductivo es reductivo, así que, en principio se tenía la generación
finita del álgebra de invariantes para un tipo especial de grupos reductivos.
Definición 10. Sea G un grupo algebraico lineal, un elemento u ∈ G se dice unipotente si existe un entero
r tal que (u − Id) r = 0, donde Id es la matriz identidad. El grupo G se llama unipotente si todos sus
elementos son unipotentes.
Ejemplo 8. El grupo aditivo G a es unipotente pues la matriz:
es nilpotente para todo a ≠ 0.
( 1 a
0 1
) ( 1 0
−
0 1
)
=
( 0 a
0 0
)
12

Definición 11. Sea G un grupo algebraico lineal, denotaremos por G u el subgrupo maximal, normal, unipotente
de G. El radical unipotente de G denotado por R u (G) es la componente conexa de la identidad
en G u .
Definición 12. Un grupo algebraico lineal G es reductivo si es conexo y R u (G) = {Id}
Ejemplo 9. El toro algebraico de dimensión n, es decir, (K ∗ ) n es reductivo. Si u = (u 1 , ..., u n ) ∈ (K ∗ ) n
es unipotente entonces existe un entero r tal que (u j − 1) r = 0 para todo j = 1, ..., n, y esto implica que
u j = 1 para todo j = 1, ..., n, así que R u ((K ∗ ) n ) = {(1, ..., 1)}. Obviamente el toro algebraico de dimensión
n es el subgrupo de matrices diagonales de GL(n, K).
Ejemplo 10. Los grupos GL(n, K), SL(n, K), P GL(n, K), así como los subgrupos finitos de GL(n, K) son
reductivos, la demostración completa de este hecho puede consultarse en [19]. Aquí vamos a demostrar con
detalle la reductividad para el grupo GL(2, K). Supongamos que existe u ∈ R u (GL(2, K)) distinto de la
identidad, entonces u es conjugada a una matriz de la forma:
u 0 =
( 1 a
0 1
con a ≠ 0, como R u (GL(2, K)) es normal entonces u 0 ∈ R u (GL(2, K)) y:
( ) ( ) ( ) −1 ( )
1 1 0 1 a 1 0 1 1
=
∈ R
a 0 a 0 1 0 a 0 1 u (GL(2, K)),
( )
( )
( ) ( )
1 0
1 1
1 1 1 0
puesto que la matrix
es conjugada de
tenemos que
=
1 1
0 1
0 1 1 1
R u (GL(2, K)), lo cual es una contradicción pues:
(( 2 1
1 0
) ( 1 0
−
0 1
)
,
)) 2 ( 1 0
= 2
0 1
)
.
( 2 1
1 0
Ejemplo 11. Evidentemente ningún grupo unipotente, conexo no trivial es reductivo, tal es el caso de G a .
Ejemplo 12. El subgrupo de GL(4, C) definido por
⎧⎛
⎞
⎫
1 b c bc
⎪⎨
G = ⎜ 0 1 0 c
⎪⎬
⎟
⎝ 0 0 a ab ⎠
⎪⎩
: a ∈ C∗ , b, c ∈ C
⎪⎭
0 0 0 a
no es reductivo. Consideremos el subgrupo U de G definido por la condición a = 1, entonces U es un subgrupo
algebraico lineal de G, se deja al lecto probar que U es abeliano y conexo. Sean:
)
∈
entonces
g =
⎛
⎜
⎝
1 b c bc
0 1 0 c
0 0 a ab
0 0 0 a
⎞
⎟
⎠ ∈ G
⎛
u = ⎜
⎝
1 β γ βγ
0 1 0 γ
0 0 1 β
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ ∈ U,
gug −1 =
⎛
⎜
⎝
1 β a −1 γ a −1 βγ
0 1 0 a −1 γ
0 0 1 β
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ ∈ U,
13

así que U es normal, y claramente sus elementos son unipotentes. Por lo tanto U ⊂ R u (G) y concluimos
que G no es reductivo.
En 1939 el matemático alemán Hermann Klaus Hugo Weyl había probado que en campos de característica
cero todo grupo reductivo es linealmente reductivo (ver [21]). Con todos estos resultados llegamos al siguiente
Teorema.
Teorema 4. Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo K de característica cero. Entonces lo siguiente
es equivalente:
1. G es reductivo
2. G es linealmente reductivo
3. G es geométricamente reductivo.
Para campos de característica arbitraria tenemos que William Haboush en [5] demostró, diez años después
de haber sido propuesta, la famosa Conjetura de Mumford, establecida en 1964, está conjetura decía que
todo grupo reductivo es geométricamente reductivo. Se tiene entonces el siguiente:
Teorema 5. Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo K. Entonces lo siguiente es equivalente:
1. G es reductivo
2. G es geométricamente reductivo.
La conclusión es que los grupos reductivos en campos algebraicamente cerrados de cualquier característica
hacen del álgebra de invariantes un álgebra finitamente generada. De hecho esta clase de grupos es la más
grande con esta propiedad, en el siguiente sentido: Vladimir Popov probó en [17] que si un G grupo tiene la
propiedad de que para toda álgebra finitamente generada y toda acción lineal de G en el álgebra, el álgebra
de invariantes es finitamente generada entonces G es reductivo.
4. Cocientes de Variedades Afines
Empezaremos esta sección dando la definición de acción racional en una K-álgebra. Como veremos más
adelante, toda acción lineal de un grupo algebraico en una variedad afín induce una acción racional en su
álgebra de funciones regulares; por otro lado, el teorema de Nagata nos garantiza la generación finita del
álgebra de invariantes bajo la acción racional de un grupo reductivo en un álgebra finitamente generada.
Definición 13. Sea G un grupo algebraico y R una K-álgebra. Una acción racional de G en R es una
aplicación
que satisface las siguientes propiedades:
R × G → R
(f, g) ↦→ f g ,
1. Para todo f ∈ R y g 1 , g 2 ∈ G, f g1g2 = (f g1 ) g2 y f e = f.
2. Dado g ∈ G, la aplicación f ↦→ f g es un automorfismo de K-álgebras de R.
3. Para cada elemento f ∈ R existe un subespacio vectorial de R de dimensión finita n, el cual contiene a
f, es invariante bajo G y sobre el cual G actúa mediante un morfismo de grupos algebraicos G → GL(n).
14

En el caso en que X es una variedad afín y actúa en ella un grupo reductivo G, el siguiente Teorema,
demostrado por Masayoshi Nagata en 1964 (ver [13]), tiene como consecuencia la existencia de una variedad
afín cuyos puntos en un abierto parametrizan a las órbitas cerradas y en el resto tenemos puntos que parametrizan
cerraduras de órbitas tal que en ellas se acumulan órbitas de dimensión menor; además existe un
morfismo algebraico de X a esta variedad afín invariante en órbitas y con otras propiedades análogas a las
de la aplicación proyección.
El Teorema fue demostrado originalmente para grupos geometricamente reductivos, después fue demostrada
la equivalencia de estos con los reductivos, enunciaremos el Teorema para estos últimos. Nosotros
presentaremos la demostración de este Teorema debido a la riqueza algebraica que contiene pero quien lo
desee puede omitir su lectura ya que ésta no es importante para entender las ideas que se presentan en el
resto de la exposición.
Teorema 6. (ver Teorema 3.4 de [15]) Sea G un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-álgebra
finitamente generada A. Entonces A G = {f ∈ A : f g = f ∀g ∈ G} es finitamente generada como K-álgebra.
Demostración. Para la demostración de este teorema usaremos los siguientes lemas sobre K-álgebras que no
demostraremos aquí, pero una buena referencia para consultar estas demostraciones es [4].
Lema 1. Sea A = ⊕ i≥0 A i una K-álgebra graduada. Entonces A es finitamente generada como K-álgebra
si y sólo si A + = ⊕ i>0 A i es finitamente generado como un ideal en A.
Lema 2. Sea A una K-álgebra finitamente generada, entera sobre una subálgebra B. Entonces A es un
B-módulo finito y B es finitamente generada como K-álgebra.
Lema 3. Sea A una K-álgebra, entera sobre una subálgebra B. Supongamos que A es un dominio y que el
campo de fracciones L de A es una extensión finitamente generada de K (i.e. existen elemento v 1 , ..., v n ∈ L
tales que L = K(v 1 , ..., v n ) ). Si B es una K-álgebra finitamente generada, entonces A es un B-módulo finito,
y entonces es una K-álgebra finitamente generada.
Lema 4. Consideremos las siguientes extensiones de campos K ⊂ L ⊂ K 1 y supongamos que K 1 es una
extensión finitamente generada de K. Entonces L es una extensión finitamente generada de K.
Ahora vamos a probar el siguiente lema de Nagata, fundamental en la prueba del Teorema. Supongamos
que G es un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-álgebra R finitamente generada.
Lema 5. Sea J un ideal de R, invariante por G. Si h + J ∈ (R/J) G , entonces h t + (J ∩ R G ) ∈ R G /(J ∩ R G )
para algún entero positivo t.
Observación 1. Tenemos que ver a R G /(J ∩ R G ) como una subálgebra de (R/J) G mediante el homomorfismo
de K-álgebras
φ : R G /(J ∩ R G ) → (R/J) G
h + (J ∩ R G ) ↦→ h + J,
cuyo núcleo es J ∩R G . Entonces este lema lo que está probando es que (R/J) G es entero sobre R G /(J ∩R G ).
Demostración. Sea h ∈ R, podemos suponer que h /∈ J, pues si h + J = J el resultado es trivial. Tenemos
que probar que existen h 0 ∈ R G y un entero positivo t tales que h 0 −h t ∈ J, pues de esta manera tendríamos
que h 0 + (J ∩ R G ) = h t + (J ∩ R G ).
Como G actúa racionalmente sobre R, el subespacio M de R generado por el conjunto {h g : g ∈ G} es
de dimensión finita, ya que si W h es el subsepacio de dimensión finita e invariante que existe para h, por la
definición de racionalidad, entonces < h g : g ∈ G >⊂ W h . Y claramente M es G-invariante.
15

Sea N = M ∩ J. Por hipótesis h /∈ J, entonces h /∈ N, pero h g − h ∈ N, ya que, debido a que f es
invariante por G, tenemos que h g − h ∈ J, para todo g ∈ G.
Si {h 2 , ..., h r } es una base del espacio vectorial N, entonces {h, h 2 , ..., h r } es una base de M. Veamos primero
que son linealmente independientes sobre K: λh + ∑ λ i h i = 0 implica que ∑ λ i h i = −λh ∈ J, así que
λ = 0 y λ i = 0 para todo i. Y, puesto que, para todo g ∈ G, h g − h = ∑ r
i=2 λ ih i , entonces {h, h 2 , ..., h r }
genera a M.
Entonces dim M = dim N + 1 y todo elemento de M puede escribirse de manera única como ah + h ′ , con
a ∈ K, h ′ ∈ N. Definimos entonces la siguiente aplicación lineal L : M → K, ah + h ′ ↦→ a, esta aplicación
lineal es G invariante, ya que (ah + h ′ ) g = ah + a(h g − h) + h ′g ∈ ah + N.
Sea M ∗ el espacio dual de M. Identifiquemos a M ∗ con K r con la base dual {h ∗ , h ∗ 2, ..., h ∗ r}, entonces el
elemento L corresponde a (1, 0, ..., 0) ∈ K r . Más aún, L es invariante respecto a la acción lineal de G en K r
inducida por la acción dada en M.
Gracias a que G es geométricamente reductivo existe un polinomio F ∈ K[x 1 , ..., x r ], homogéneo, invariante,
de grado t ≥ 1 tal que F (L) ≠ 0. Y esto implica que el coeficiente de x t 1 en F es distinto de cero;
supondremos que este coeficiente es 1.
Finalmente consideramos el siguiente homomorfismo de K-álgebras
χ : K[x 1 , ..., x r ] → R
x 1 ↦→ h
x i ↦→ h i (i ≥ 2).
Se ve fácilmente que este homomorfismo conmuta con la acción de G en K[x 1 , ..., x r ] y en R.
Tenemos que χ(F (x 1 , ..., x r )) = F (h, h 2 , ..., h r ) = h 0 ∈ R G , ya que F es invariante; y h 0 − h t pertenece
al ideal generado por h 2 , ...h r el cual está contenido en J
Regresemos ahora a la demostración del Teorema de Nagata. Como R es finitamente generada como K-
álgebra y G actúa racionalmente en R, entonces existen elementos f 1 , ..., f m ∈ R linealmente independientes
sobre K tales que:
1. R = K[f 1 , ..., f m ].
2. El subespacio vectorial de R generado por f 1 , ..., f m es invariante por G, y la acción de G en este
subespacio está dada por f g i = ∑ m
j=1 α ij(g)f j , donde G → GL(m, K), g ↦→ α ij (g), es un homomorfismo
de grupos algebraicos.
Esto se debe a que si W fi es el subespacio vectorial de dimensión finita, invariante, que contiene a f i , el
cual existe gracias a que G es geométricamente reductivo, entonces W =< f : f ∈ ⋃ n
i W f i
> es invariante y
< f 1 , ..., f n >⊂ W .
Sea S = K[x 1 , ..., x m ]. Podemos ver que existe una única acción racional de G en S tal que x g i =
∑ m
j=1 α ij(g)x j , para 1 ≤ i ≤ m y g ∈ G. Así que tenemos una acción de G en R y en S y el homomorfismo
de K-álgebras φ : S → R, x i ↦→ f i , conmuta con la acción, es decir, el siguiente diagrama:
16

G × S
S
I G ×φ
G × R R,
conmuta. Esto, en particular, implica que si F ∈ Ker(φ) y g ∈ G, entonces F g ∈ Ker(φ), pues, para 0 ∈ R,
tenemos que 0 g = 0. Entonces es suficiente probar el siguiente:
Teorema 7. Sea G un grupo algebraico lineal actuando racionalmente en S de tal manera que preserva
el grado de todo elemento homogéneo, y sea Q un ideal de S invariante por G. Entonces, para la acción
inducida en R = S/Q, R G es finitamente generada.
Demostración. Consideremos la acción de G en S y supongamos que existe un ideal homogéneo Q de S
invariante por G tal que R G = (S/Q) G no es finitamente generada.
Como S es un anillo Noetheriano podemos suponer que Q es un ideal maximal entre los ideales con
esta propiedad. Como Q es homogéneo, entonces R es también una K-álgebra graduada. Si J es un ideal
homogéneo, invariante de R, entonces J = J 1 /Q, donde J 1 es un ideal, homogéneo, invariante de S y Q ⊂ J 1 ,
así que, por la maximalidad de Q, tenemos que (R/J) G = ((S/Q)/(J 1 /Q)) G = (S/J 1 ) g es finitamente generada.
Por el lema 5, concluimos que (R/J) G es entero sobre R G /(J ∩ R G ) y, por el lema 2, tenemos que
φ
más aún
R G /(J ∩ R G ) es finitamente generada (1)
(R/J) G es un R G /(J ∩ R G )-módulo finito. (2)
Sea f un polinomio homogéneo no constante en R G . Si f no es un divisor de cero en R entonces afirmamos
que fR∩R G = fR G , ya que, como R G ⊂ R y f es invariante, entonces la contención fR G ⊂ R G ∩fR es clara
y sea fh ∈ R G , donde h ∈ R, entonces para todo g ∈ G, (fh) g = f g h g = fh g = fh, así que f(h g − h) = 0,
por tanto, h ∈ R G .
Entonces, si consideramos el ideal J = fR de R, el cual es homogéneo e invariante porque f lo es, tenemos,
por la ecuación (1) y por la igualdad anterior, que R G /fR G es finitamente generada y, por el lema 1, concluimos
que (R G /fR G ) + , es finitamente generado como ideal de R G /fR G . Y como (R G /fR G ) + = R G +/fR G ,
entonces R G + es finitamente generado como ideal de R G . Esto implica, nuevamente por el lema 1, que R G es
finitamente generada como álgebra, lo cual es una contradicción.
Para terminar la parte de la demostración en la que Q es homogéneo resta considerar el caso en el que
f es divisor de cero, es decir, el ideal I = {h ∈ R : fh = 0} ≠ {0}. Sea g ∈ G y sea h ∈ I, entonces
fh g = (fh) g = 0, así que I es invariante. Además el ideal I es homogéneo, pues si ∑ h i ∈ I, donde h i es
homogéneo de grado i, entonces ∑ fh i = 0 implica que fh i = 0, pues f es homogéneo. Por tanto, por la
ecuación (1), las álgebras
R G /(fR ∩ R g ) y R G /(I ∩ R g ),
son finitamente generadas. Así que existe una subálgebra R 1 de R G , finitamente generada, tal que los
homomorfismos naturales
17

R 1 → R G /(fR ∩ R g ) R 1 → R G /(I ∩ R g )
r 1 ↦→ r 1 + (fR ∩ R g ) r 1 ↦→ r 1 + (I ∩ R g ),
son sobre. Si R G /(fR∩R g ) = K[a 1 , ..., a s ] y R G /(I∩R g ) = K[b 1 , ..., b n ], entonces R 1 = K[a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b n ].
Notar que, por la ecuación (2), tenemos que (R/I) G es un R G /(I ∩ R G )-módulo finito. Sean c 1 , ..., c r
elementos de R cuyas imágenes en R/I generan este módulo.
Para todo g ∈ G, tenemos (fc i ) g = f g c g i = fcg i = fc i, ya que c g i −c i ∈ I. Así que fc i ∈ R G . Hemos probado
que R 1 [fc 1 , ..., fc r ] ⊂ R G . Sea h ∈ R G , entonces existe h 1 ∈ R 1 tal que h 1 + (fR ∩ R g ) = h + (fR ∩ R g ), es
decir, h − h 1 = fb, para algún b ∈ R. Así que
0 = (fb) g − fb = f(b g − b);
es decir, la imagen de b en R/I es invariante bajo G. Se sigue que existen f 1 , ..., f r ∈ R 1 tales que
b− ∑ f i c i ∈ I. Por tanto h = h 1 +fb = h 1 + ∑ ff i c i ∈ R 1 [fc 1 , ..., fc r ]. Concluimos que R 1 [fc 1 , ..., fc r ] = R G ,
por tanto, R G es finitamente generada, y esto es una contradicción.
Ahora vamos a analizar el caso general. Supongamos que Q es un ideal maximal, invariante en S tal que
R G = (S/Q) G no es finitamente generada. Si R G contiene un divisor de cero, obtenemos una contradicción
usando el caso homogéneo. Supongamos, entonces, que R G es un dominio entero.
Por el caso homogéneo tenemos que S G es finitamente generada, y, por el lema 5 tenemos que: R G es
entero sobre S G /(Q ∩ S G ). Así que, en vista del lema 3, es suficiente probar que el campo de fracciones L
de R G es una extensión finita de K.
Para esto, sea T = {r ∈ R : r no es divisor de cero en R}. Claramente T es un subconjunto multiplicativo
de R. Sabemos que R ⊂ R T y, como R G es un dominio, entonces M ∩ R G = {0} para todo ideal propio
M de R T .
Si M es un ideal maximal, entonces L puede ser identificado con un subcampo de R T /M. Por el lema 4,
es suficiente probar que R T /M es una extensión finita de K. Pero esto es consecuencia de que R T /M es el
campo de fracciones de R/(M ∩ R), que es una K-álgebra finitamente generada.
Ahora procederemos a aplicar este Teorema para la construcción del cociente bueno en variedades afines,
para ello consideremos la siguiente acción lineal de un grupo reductivo G en una variedad afín X que vive
en A(K) n y definida por el ideal I ⊂ K[x 1 , ..., x n ]:
G × X → X
(g, x) ↦→ gx,
como lo hemos venido mencionando, esta acción induce una acción en el anillo de funciones regulares o anillo
coordenado de X:
A(X) = K[x 1 , ..., x n ]/I × G → A(X)
(f, g) ↦→ f g : X → K
x ↦→ f(gx).
18

Como A(X) es finitamente generada, entonces, si G actúa racionalmente en A(X), tendríamos, por el Teorema
de Nagata, que A(X) G es finitamente generada, es decir, existen f 1 , ..., f s ∈ A G (X), tales que A G (X) =
K[f 1 , ..., f s ]. Como K[f 1 , ..., f s ] = K[y 1 , ..., y n ]/J, donde J = {h ∈ K[y 1 , ..., y s ] : h(f 1 , ..., f s ) ≡ 0 en K[x 1 , ..., x n ]},
entonces la variedad afín Y ⊂ A(K) s definida por J tiene como anillo coordenado al álgebra de invariantes
A G (X) y el morfismo de anillos:
φ ∗ : A(Y ) = K[y 1 , ..., y n ]/J → A(X)
h + J ↦→ h(f 1 , ..., f s ),
induce un morfismo algebraico φ : X → Y . En el Teorema 8 probaremos que (φ, Y ) es un cociente bueno.
Teorema 8. (ver pag. 61 de [15]) Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afín X, entonces
existe una variedad afín Y y un morfismo φ : X → Y tal que
1. φ es G − invariante, es decir, φ(gx) = φ(x) para todo g ∈ G.
2. φ es sobre.
3. Si U ⊂ Y es abierto entonces
es un isomorfismo sobre A(φ −1 (U)) G .
φ ∗ : A(U) → A(φ −1 (U))
f ↦→ f ◦ φ
4. Si W 1 y W 2 son subconjuntos invariantes, cerrados, disjuntos, entonces φ(W 1 ) ∩ φ(W 2 ) = ∅.
5. Si W es un subconjunto invariante, cerrado de X, entonces φ(W ) es cerrado.
Es decir, (Y, φ) es un cociente bueno.
Para la demostración del Teorema necesitaremos los siguientes lemas.
Lema 6. Sea G un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-álgebra R, finitamente generada. Si
f 1 , ..., f s ∈ R G y f ∈ ( ∑ f i R) ∩ R G , entonces f t ∈ ∑ f i R G para algún entero positivo t.
Demostración. Demostraremos el lema usando inducción en s. Para s = 1, sea f ∈ f 1 R ∩ R G ; entonces
f = f 1 f ∗ y f 1 (f ∗g − f ∗ ) = 0. Aplicando el lema 5 al ideal J = {h ∈ R : f 1 h = 0}, obtenemos f ∗∗ ∈ R G y un
entero positivo t tales que f 1 (f ∗∗ − f ∗t ) = 0. Así que f t = f t 1f ∗t = f t 1f ∗∗ ∈ f 1 R G .
Supongamos ahora que s > 1. Sea ¯R = R/(f 1 R) y sea ¯f la imagen de f ∈ R en ¯R. Así que si
f ∈ ( ∑ f i R) ∩ R G , obtenemos, por hipótesis de inducción, un entero positivo t tal que ¯f t ∈ ∑ s ¯f i=2 ¯RG i .
Entonces f t = ∑ s
i=0 f ih i , donde h i ∈ R y ¯h 2 , ..., ¯h s ∈ ¯R G .
Aplicamos ahora el lema 5 al ideal J = f 1 R y obtenemos un entero positivo u y un elemento h ∗ s ∈ R G
tales que ¯h u s = ¯h ∗ s. Se sigue que f tu − f u s h ∗ s ∈ ( ∑ s−1
i=1 f 1R) ∩ R G .
Aplicando nuevamente la hipótesis de inducción, obtenemos un entero positivo v tal que (f tu − fs u h ∗ s) v ∈
∑ s−1
i=1 f iR G . Por lo tanto f tuv ∈ ∑ s
i=1 f iR G .
El siguiente lema nos garantiza que toda acción lineal de un grupo algebraico G sobre una variedad X,
induce una acción racional de G sobre A(X).
19

Lema 7. Sea G un grupo algebraico lineal actuando en una variedad X, y sea W un subespacio vectorial de
A(X) de dimensión finita sobre K. Entonces
1. si W es invariante, la acción de G sobre W es lineal, y
2. en cualquier caso, W está contenido en un subespacio de A(X), de dimensión finita, invariante por la
acción de G.
Demostración. Sea W un subespacio vectorial de A(X), invariante por la acción de G, supongamos que
{f 1 , ..., f n } es una base de este espacio. Podemos entonces escribir de manera única
f g i =
n∑
ρ ij (g)f j , (3)
j=1
con ρ ij (g) ∈ K. Podemos ver fácilmente que la aplicación ρ : G → GL(n, K), g ↦→ (ρ ij (g)) determina un
homomorfismo de grupos, ya que f g1g2 = (f g1 ) g2 . Entonces la acción de G en W está dada por
(
n∑
λ i f i ) g =
i=1
n∑
i=1 j=1
n∑
λ i ρ ij (g)f j .
Lo que falta probar es que ρ es un morfismo de variedades algebraicas. Notemos primero que, como f 1 , ..., f n
son linealmente independientes, entonces, existen puntos x 1 , ..., x n ∈ X, tales que det(f j (x k )) ≠ 0. Así que
la ecuación (3) puede ser resuelta mediante (f i (gx k )) = (ρ ij (g))(f j (x k )), o, de modo equivalente,
(ρ i1 (g), ..., ρ in (g)) = (f i (gx 1 ), ..., f i (gx n ))A −1 ,
donde A = (f j (x k )). Así que ρ ij es una función regular en G.
Ahora probaremos la segunda parte del lema. Sea {f 1 , ..., f n } una base de W . Será suficiente probar que
el subespacio W 1 generado por {f g i : 1 ≤ i ≤ n, g ∈ G} es de dimensión finita.
Para esto definimos F i ∈ A(G × X) como F i (g, x) = f i (gx). Como A(G × X) = A(G) ⊗ A(X), entonces
podemos escribir F i como una suma finita de la forma F i = ∑ G ij ⊗ H ij , con G ij ∈ A(G) y H ij ∈ A(X).
Sea W 2 el subespacio generado por {H ij }. Como
f g i (x) = F i(g, x) = ∑ G ij (g)H ij (x),
se sigue que W 1 ⊂ W 2 . Pero W 2 es de dimensión finita, así que W 1 es de dimensión finita.
Lema 8. Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afín X y sean W 1 y W 2 subconjuntos de X,
G-invariantes, cerrados y disjuntos. Entonces existe f ∈ A(X) G tal que f(W 1 ) = 0, f(W 2 ) = 1.
Demostración. Sea h ∈ A(X) tal que h(W 1 ) = 0 y h(W 2 ) = 1. Por el lema (4) el subespacio vectorial de
A(X) generado por {h g : g ∈ G} es de dimensión finita. Si {h 1 , ..., h n } es una base de este espacio, entonces
podemos escribir
h g i = ∑ α ij (g)h j ,
donde g ↦→ (α ij (g)) es un morfismo de G al grupo general lineal. Este morfismo determina una acción lineal
de G en K n y el morfismo
ψ : X → K n
x ↦→ (h 1 (x), ..., h n (x))
20

es G-invariante, es decir, el diagrama
G × X
X
I G ×ψ
ψ
G × K n K n ,
conmuta.
Como < h g : g ∈ G >=< h 1 , ..., h n >, entonces para todo x ∈ W 1 y g ∈ G, h g (x) = h(gx) = 0, así que
h i (x) = 0 para todo i, por tanto ψ(x) = (h 1 (x), ..., h n (x)) = 0, es decir, ψ(W 1 ) = 0. Sean x, y ∈ W 2 y g ∈ G,
tenemos que h g (x) = h g (y) = 1, entonces h i (x) = h i (y) para todo i, por tanto ψ(W 2 ) es un punto invariante
v ∈ K n , con v ≠ 0.
Gracias a que G es geométricamente reductivo tenemos que existe f 1 ∈ K[x 1 , ..., x n ] G tal que f 1 (0) = 0
y f 1 (v) = 1. Entonces f = f 1 ◦ ψ ∈ A(X) G y tiene las propiedades requeridas.
Ahora podemos probar el Teorema.
Demostración. Por el lema la acción de G en A(X) es racional, así que por el Teorema de Nagata, A(X) G
es una K-álgebra finitamente generada. Probaremos que el par (Y, φ) definido anteriormente satisface las
condiciones del Teorema, es decir, es un cociente bueno:
1. Supongamos que existe g ∈ G y x ∈ X tales que φ(gx) ≠ φ(x). Entonces, como Y es afín, existe
f ∈ A(Y ) tal que
f(φ(gx)) ≠ f(φ(x)) es decir φ ∗ (f(gx)) ≠ φ ∗ (f(x)).
Esto contradice el hecho de que φ ∗ (f) ∈ A(X) G .
2. Sea y ∈ Y y sean f 1 , ..., f r generadores del ideal maximal en A(Y ) que corresponde a y. Se sigue del
lema 6 que ∑ f i R ≠ R; así que existe un ideal maximal de R que contiene a ∑ f i R. Si x es el punto
de X correspondiente a este ideal maximal, entonces f i (x) = 0 para todo i, entonces φ(x) = y.
3. Como lo vimos en la demostración de la existencia del cociente bueno para acciones de grupos finito, es
suficiente probar el isomorfismo para los abiertos de la forma U = Y f para algún f ∈ A(Y ) = A(X) G .
En este caso tenemos que φ −1 (U) = X f , entonces, puesto que A(Y f ) = A(Y ) f = (A(X) G ) f , tenemos
que probar que (A(X) G ) f = (A(X) f ) G , para todo f ∈ A(X) G . Lo cual es claro.
4. Sean W 1 y W 2 subconjuntos de X invariantes, cerrados y disjuntos, entonces existe, por el lema 8,
f ∈ A(X) G tal que f(W 1 ) = 0 y f(W 2 ) = 1. Considerando f como elemento en A(Y ) tenemos que
f(φ(W 1 )) = 0, f(φ(W 2 )) = 1;
así que φ(W 1 ) ⊂ f −1 (0), y φ(W 2 ) ⊂ f −1 (1), por lo tanto φ(W 1 ) ∩ φ(W 2 ) = ∅.
5. Sea W ⊂ X invariante y cerrado. Supongamos que existe y ∈ φ(W ) − φ(W ). Aplicando el resultado
anterior a los cerrados W 1 = W y W 2 = φ −1 (y) concluimos que φ(W ) ∩ {y} = ∅, lo cual es una
contradicción.
Terminaremos esta sección con el siguiente ejemplo sencillo de cociente bueno.
21

Ejemplo 13. Recordar el ejemplo 2 donde tenemos la acción natural:
GL(n, K) × A(K) n → A(K) n
(g, (x 1 , ..., x n )) ↦→ g(x 1 , ..., x n ),
el conjunto de órbitas consta de dos elementos, A(K) n /GL(n, K) = {A(K) n − {0}, {0}}, la órbita {0}
se acumula en A(K) n − {0} . Es fácil ver que los únicos polinomios invariantes por esta acción son los
constantes, es decir, A(A(K) n ) GL(n,K) = K y, por tanto, la variedad Y del Teorema anterior es un punto y
el morfismo φ es constante, esto significa que en el cociente bueno estamos identificando las dos órbitas.
4.1. Conjugación de Matrices
En esta subsección vamos a describir con detalle el ejemplo de la acción por conjugación del grupo general
lineal en el espacio de matrices, este ejemplo ilustra perfectamente lo que sucede geométricamente con las
órbitas en el cociente.
Sea X el conjunto de matrices cuadradas de tamaño n con coeficientes en C. Este conjunto es la variedad
afín A(C) n2 y en ella tenemos la acción por conjugación:
GL(n, C) × X → X
(G, A) ↦→ GAG −1 ,
la cual es lineal. Sea A ∈ X, entonces O(A) = {GAG −1 : G ∈ GL(n, C)} y Est(A) = {G ∈ GL(n, C) :
GAG −1 = A}; consideremos su polinomio característico χ A (t) = det(tI −A) = t n + ∑ n
j=1 (−1)i c j (A)t n−j . Los
coeficientes del polinomio característico son funciones c j : X → C continuas invariantes por la acción, pues el
polinomio característico es invariante ante conjugación, así que c j ∈ A(X) GL(n,C) = C[x 1 , x 2 , ..., x n 2] GL(n,C)
y de hecho se tiene que estas funciones generan al álgebra de invariantes, es decir:
C[x 1 , x 2 , ..., x n 2] GL(n,C) = C[c 1 , ..., c n ],
estos generadores son algebraicamente independientes, esto significa que
J = {h ∈ C[x 1 , ..., x n ] : h(c 1 , ..., c n ) ≡ 0 en C[x 1 , ..., x n ]} = {0}.
Entonces el Teorema de existencia de cocientes en variedades afines nos dice que (C n , φ) es el cociente bueno
de la acción, donde
φ : X → A(C) n = C n
A ↦→ (c 1 (A), ..., c n (A)).
La aplicación φ es invariante pues las funciones c i : X → C lo son, recordar que c n−1 (A) = traza A y
c n (A) = det A.
También sabemos que φ es sobre, en este caso podemos dar explícitamente un elemento en la preimagen
de un punto en C n . Para ello recordemos las siguientes definiciones: Una matriz A ∈ X es un endomorfismo
cíclico de C n si existe v ∈ C n tal que {v, Av, ..., A n−1 v} es base de C n , y que cualquier vector con esta
propiedad se llama vector cíclico para A.
Si v es un vector cíclico para A y si A n v = c 1 A n−1 v − c 2 A n−2 v + ... + (−1) n−1 c n v, entonces la matriz A
en la base {v, Av, ..., A n−1 v} es:
22

⎛
0 0 · · · 0 (−1) n−1 c n
⎞
0 . . . 0 1 c 1 1 0 · · · 0 (−1) n−2 c n−1
A (c1,...,c n) =
. 0 .. . .. . .
.
⎜
⎝
.
. .. . ⎟
.. 0 . ⎠
(4)
Dado (c 1 , ..., c n ) ∈ C n tenemos que la matriz A (c1,...,c n) tiene como polinomio característico a t n +
∑ n
j=1 (−1)j c j t n−j .
Este ejemplo es sumamente interesante ya que en él podemos estudiar cuidadosamente la geometría de
las órbitas que se acumulan en otras órbitas, este comportamiento de órbitas se repite en el caso general de
acciones en variedades afines.
Si φ(A) = φ(B), entonces no necesariamente O(A) = O(B). Por ejemplo las matrices
⎛
⎞⎛
⎞
a
a 1
a
a
⎜
⎝
b ⎟⎜
⎠⎝
b ⎟
⎠
. .. . ..
no son conjugadas entre sí, es decir, O(A) ≠ O(B), sin embargo A y B tienen el mismo polinomio característico.
Sea A = A s + A n la descomposición de Jordan de la matriz A, es decir, A s es la parte diagonalizable y
A n la parte nilpotente, debido a que los valores propios están en la matriz A s , tenemos que φ(A) = φ(A s ).
Sea a ∈ C ∗ y consideremos la matriz diagonal D = (1, a, ..., a n−1 ). Se tiene entonces que:
D −1 A s D = A s
D −1 A n D = aA n ,
así que D −1 AD = A s + aA n =: A a . Entonces para todo a ∈ C ∗ , A a ∈ O(A) y, por tanto, A 0 = A s ∈ O(A).
Si φ(A) = φ(B), entonces φ(A s ) = φ(B s ), así que existe G ∈ GL(n, C) tal que
A s = GB s G −1 y A s ∈ O(A) ∩ O(B).
Inversamente, si C ∈ O(A), tenemos, por la continuidad del polinomio característico, que φ(C) = φ(A) y,
por tanto O(A) ∩ O(B) ≠ ∅ implica que φ(A) = φ(B).
Hemos probado la siguiente proposición.
Proposición 2. Sean A, B ∈ X. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. O(A) ∩ O(B) ≠ ∅,
2. φ(A) = φ(B),
3. A y B tienen los mismos valores propios.
En general tenemos que la dimensión de una órbita es la dimensión del grupo menos la dimensión del
estabilizador del punto, así que en este caso dim O(A) = dim GL(n, C) − dim Est(A) = n 2 − dim Est(A).
La dimensión máxima que podemos tener para una órbita es n 2 − n, y se alcanza si los bloques de Jordan
de la matriz A son de tamaño máximo para todo valor propio. Por ejemplo, la órbita de la matriz
23

A = (λ 1 , λ 2 , ..., λ n ), donde λ i ≠ λ j para i ≠ j tiene dimensión n 2 − n.
Para continuar con el estudio de la geometría de la órbitas de esta acción es necesario caracterizar a las
matrices con órbitas cerradas.
Corolario 1. La órbita O(A) es cerrada en X si y sólo si A es diagonalizable.
Demostración. Sea A = A n + A s la descomposición de Jordan de A. Si O(A) es cerrada en X entonces,
A s ∈ O(A) y por tanto A = A s . Sólo resta probar que O(A s ) es cerrada en X. Sea B ∈ O(A s ) − O(A s ),
entonces O(B) ⊂ O(A s ) − O(A s ), como B y A s tienen los mismos valores propios entonces B tiene parte
nilpotente, así que dim O(B) > dim O(A s ) lo cual es una contradicción.
Así que la órbita de una matriz A no es cerrada en X si y sólo si A tiene parte nilpotente en su descomposición
de Jordan, y en O(A s ) − O(A s ) tendremos las órbitas de las matrices que tienen los mismos valores
propios de A pero con algún bloque de Jordan de tamanño estrictamente menor. Por ejemplo en la órbita
⎛
de ⎝
a 1 0
0 a 1
0 0 a
⎞
órbita es cerrada.
⎛
⎠ se acumula ⎝
a 1 0
0 a 0
0 0 a
⎞
⎠ y en la órbita de esta matriz se acumula ⎝
⎛
a 0 0
0 a 0
0 0 a
⎞
⎠ cuya
Concluimos que las matrices con órbitas cerradas que no van a estar en la cerradura de ninguna otra
órbita son las matrices con n valores propios distintos. Es decir, las matrices diagonalizables tal que la
dimensión de su órbita es maximal. Sea
X ′ = {A ∈ X : dim O(A) alcanza su valor máximo y O(A) es cerrada}
= {A ∈ X : A tiene n valores propios distintos}
este es un conjunto abierto en X, ya que es el conjunto de matrices cuyo polinomio característico tiene n
raices distintas, es decir, es el conjunto de matrices en el que el discriminante del polinomio característico es
distinto de cero. Consideremos la restricción del cociente bueno a este abierto:
φ |X ′ : X ′ → φ(X ′ )
A ↦→ (c 1 (A), ..., c n (A)),
es claro que la imagen inversa de todo punto (c 1 , ..., c n ) ∈ φ(X ′ ) es una única órbita, de hecho es la órbita de
la matriz diagonal con las n raices distintas de t n + ∑ n
j=1 (−1)j c j t n−j . Así que esta restricción es un cociente
geométrico.
Por ejemplo, en el caso de matrices de tamaño 2 el cociente bueno está dado por φ : X → C 2 , A ↦→
(traza(A), det(A)) y los distintos bloques de Jordan son los siguientes:
( ) ( ) ( )
a 1
a 0
a 0
A 1 = , A
0 a
2 = , A
0 a
3 =
0 b
( ) α β
donde a ≠ b. Tenemos que Est(A 1 ) = {
: α ∈ C
0 α
∗ , β ∈ C}, así que dim O(A 1 ) = 2, O(A 2 ) = {A 2 },
( ) α 0
Est(A 3 ) = {
: α, β ∈ C
0 β
∗ }, así que dim O(A 3 ) = 2. La órbita de A 2 , que es cerrada, se acumula
en la órbita de A 1 ; la órbita de A 3 es cerrada y no se acumula en ninguna otra. El cociente geométrico se
obtiene considerando las matrices cuya descomposición de Zariski es de la forma A 3 .
24

5. Cocientes de Variedades Proyectivas
Como hemos dicho anteriormente, en general no es posible construir un cociente bueno de una acción
lineal de un grupo algebraico lineal G sobre una variedad proyectiva, X ⊂ P n (K), sin embargo David Mumford
demostró que, después de eliminar ciertos puntos de la variedad, sí existe un cociente bueno para la
acción.
Recordemos que, a diferencia del caso afín, los únicos morfismos algebraicos de una variedad proyectiva al
campo son las funciones constantes, así que si G es un grupo reductivo actuando linealmente en la variedad
proyectiva X, consideraremos la acción inducida en el anillo de polinomios, es decir:
K[x 0 , ..., x n ] × G → K[x 0 , ..., x n ]
(f, g) ↦→ f g (x 0 , ..., x n ) = f(g(x 0 , ..., x n )).
Los puntos que debemos eliminar para cosntruir el cociente bueno se llaman inestables, forman un cerrado
de Zariski de la variedad y son aquellos que se anulan en todos los polinomios invariantes, homogéneos no
constantes, los puntos en el complemente se llaman semiestables, aquí sí es posible constuir un cociente bueno
y, más aun, en este abierto tendremos un subconjunto, también abierto, con el que podremos construir un
cociente geométrico, como es de esperarse, estos puntos son aquellos cuya órbita es cerrada en el conjunto
de semiestables y con dimensión grande, estos puntos se llaman estables. Las definiciones precisas vienen a
continuación.
Definición 14. Decimos que x ∈ X es:
1. semiestable si existe f, polinomio invariante, homogéneo, de grado mayor o igual que uno tal que
f(x) ≠ 0. Denotaremos el conjunto de puntos semiestables de X por X ss .
2. estable si es semiestable,
dim O(x) = dim G,
y O(x) es cerrada en X ss . El conjunto de puntos estables de X lo denotaremos por X s .
3. Los puntos que no son semiestables se denominan puntos inestables.
El principal Teorema de la Teoría Geométrica de Invariantes, escrito en el contexto de variedades proyectivas,
es el siguiente:
Teorema 9. (ver pag. 38 de [12]) Sea G un grupo reductivo actuando linealmente sobre una variedad
proyectiva X, entonces
1. Existe un cociente bueno (Y, φ) de X ss por G donde Y es proyectiva.
2. Existe Y s ⊂ Y abierto tal que φ −1 (Y s ) = X s y (Y s , φ) es un cociente geométrico de X s por G.
3. Si x 1 , x 2 ∈ X ss entonces
φ(x 1 ) = φ(x 2 ) ⇔ O(x 1 ) ∩ O(x 2 ) ∩ X ss ≠ ∅.
Antes de dar el esbozo de la demostración de este importante Teorema observemos lo siguiente: Sea
R = {f ∈ K[x 0 , ..., x n ] : f es homogéneo, invariante y no-constante}, entonces
X ss = ⋃
X f ,
f∈R
donde X f = {x ∈ X : f(x) ≠ 0}. Cada X f es un abierto afín de X invariante por la acción de G. Por lo
tanto, usando el caso de acciones en variedades afines, sabemos que existe un cociente bueno (Y f , φ f ) de X f
25

por G. Mediante estos cocientes podemos construir una variedad Y cubierta por los abiertos afines Y f y un
morfismo φ : X ss → Y que define un buen cociente de X ss por G.
Debido a lo anterior, en la demostración del Teorema, necesitaremos la siguiente proposición, que exhibe
las propiedades locales de los cocientes bueno y geométrico.
Proposición 3. (ver [15]) Los conceptos de cociente bueno y cociente geométrico son locales respecto a Y ,
es decir,
1. si (Y, φ) es un cociente bueno (cociente geométrico) de X por G y U es un abierto de Y , entonces
(U, φ) es un cociente bueno (cociente geométrico) de φ −1 (U) por G;
2. si φ : X → Y es un morfismo y {U i } es una cubierta abierta de Y tal que (U i , φ) es un cociente bueno
(cociente geométrico) de φ −1 (U i ) por G para todo i, entonces (Y, φ) es un cociente bueno (cociente
geométrico) de X por G.
Demostración. (Teorema 9) Si X ⊂ P(K) n , entonces el cono afín de X es la variedad afín definida por
̂X = {¯x ∈ A(K) n+1 : ¯x ∈ x ∈ X} ∪ {(0, ..., 0)}.
La acción de G en X induce una acción, G × ̂X → ̂X, (g, ¯x) ↦→ g¯x, en el cono afín de X.
1. Para demostrar esta parte usaremos los siguientes hechos generales sobre variedades proyectivas y K-
álgebras graduadas: Para todo elemento f ∈ A( ˆX) homogéneo, de grado positivo tenemos un abierto
afín X f en X. Sea R una subálgebra de A( ˆX) finitamente generada por elementos homogéneos y sea
X R = ⋃
X f .
Entonces existen una variedad proyectiva Y y un morfismo φ : X R → Y tales que
f∈R
a) Y está cubierta por conjuntos abiertos afines Y f , uno por cada elemento homogéneo de R de grado
positivo y A(Y f ) es isomorfo a (R f ) 0 := {h ∈ R f : h tiene grado cero};
b) φ −1 (Y f ) = X f y φ : X f → Y f es el morfismo correspondiente a la inclusión de (R f ) 0 en (A( ˆX) f ) 0 .
La acción de G inducida en A( ˆX) preserva el grado de cada elemento homogéneo. Así que R = A( ˆX) G
es una subálgebra homogénea de A( ˆX) y, por el Teorema de Nagata, es finitamente generada. Notemos
que X R = X ss y sea (Y, φ) el par que nos da la observación anterior.
Por el Teorema de Existencia de Cocientes en Variedades Afines, (b) y
((A( ˆX) G ) f ) 0 = ((A( ˆX) f ) 0 ) G ,
se sigue que (Y f , φ) es un cociente bueno de φ −1 (Y f ) = X f por G, para cada elemento homogéneo
f ∈ R G de grado positivo. Y por la proposición 3 tenemos que (Y, φ) es un cociente bueno de X ss por
G.
2. Sea Y s = φ(X s ) y sea Y 0 la unión de abiertos Y f para los cuales la acción de G en X f es cerrada,
es decir, las órbitas son cerradas en X f . Claramente X s ⊂ φ −1 (Y 0 ) y entonces Y s ⊂ Y 0 . Por la
proposición 3 y por la parte (3) de la proposición 1 tenemos que (Y 0 , φ) es un cociente geométrico de
X 0 = φ −1 (Y 0). Se sigue que X s = φ −1 (Y s ) y que
Y 0 − Y s = φ(X 0 − X s ).
26

Así que Y 0 − Y s es cerrado en Y 0 por la condición (iv) de cociente bueno, y Y s es abierto en Y 0 y,
por lo tanto, también es abieto en Y . Aplicando nuevamente la proposición 3 obtenemos que (Y s , φ)
es un cociente geométrico de X s .
3. Se sigue aplicando la segunda parte de la proposición 1.
5.1. Ejemplos en Variedades Proyectivas
El grupo de automorfismos del espacio proyectivo complejo de dimensión n, P(C) n es isomorfo a la
proyectivización del grupo general lineal GL(n + 1, C), es decir, es isomorfo a P GL(n + 1, C) (ver ejemplo
7.1.1 de [6]). La aplicación SL(n + 1, C) → P GL(n + 1, C), g ↦→ [g], que manda una matriz en su clase
de equivalencia, es una isogénia, esto significa que el núcleo es un conjunto finito, de hecho consta de las
matrices mútiplos de la identidad por una raíz n + 1-ésima de la unidad; esto nos permite, en el contexto
de teoría de invariantes, trabajar indistintamente con cualquiera de ellos, lo haremos con el grupo especial
lineal SL(n + 1, C) que, como veremos, es más fácil de manejar.
1. Considerar la acción natural:
SL(n + 1, C) × CP n → CP n
(g, (x 0 : ... : x n )) ↦→ g(x 0 : ... : x n ).
Que un polinomio f ∈ C[x 0 , ..., x n ] sea invariante para la acción significa que f(g(x 0 , ..., x n )) =
f((x 0 , ..., x n )) para todo g ∈ SL(n, C), pero esto sucede sólo si f es constante. Así que en este caso
tenemos que (CP n ) ss = ∅.
2. En este ejemplo vamos a considerar la proyectivización del espacio de matrices cuadradas de tamaño
n con coeficientes en C y la acción por conjugación de SL(n, C), estaremos haciendo referencia al caso
afín que vimos con detalles en una sección precedente.
Sea X la proyectivización del espacio de matrices cuadradas de tamaño n con coeficientes en C y
consideremos la acción:
SL(n, C) × X → X
(G, A) ↦→ GAG −1 .
Como vimos antes, todo polinomio invariante es un polinomio en los coeficientes del polinomio característico,
los cuales son homogéneos. Así que una matriz A es inestable si y sólo si se anula en todos
los coeficientes del polinomio característico, es decir, si su polinomio característico es t n . Así que la
matriz A es inestable si y sólo si todos sus valores propios son cero, como hemos excluido la matriz
cero para construir la proyectivización, entonces las matrices inestables serán aquellas cuya forma de
Jordan tiene ceros en la diagonal con al menos un bloque de Jordan de tamaño al menos 2.
Como en el caso afín la dimensión máxima de una órbita es n 2 − n, si una matriz A fuera estable
entonces la dimensión de su órbita sería la dimensión del grupo que en este caso es n 2 − 1, esto nos
está diciendo que para n > 1 no existen matrices estables, así que en este caso el cociente geométrico
de la acción será vacío. Para construir el cociente bueno de esta acción daremos la siguiente definición.
27

Definición 15. Sean k 1 , ..., k n ∈ N. Definimos el espacio proyectivo con pesos (k 1 , ..., k n ) como
el conjunto de órbitas de la acción
A este espacio lo denotaremos por P(C) (k1,...,k n).
C ∗ × C n − {(0, ..., 0)} → C n − {(0, ..., 0)}
(l, (x 1 , ..., x n )) ↦→ (l k1 x 1 , ..., l kn x n ).
Si det(tI − A) = t n + ∑ n
i=1 (−1)i c i (A)t n−i , entonces (P(C) (1,2,...,n) , φ) es el cociente bueno para la
acción, donde
φ : P(X) ss → P(C) (1,2,...,n)
A ↦→ (c 1 (A), ..., c n (A)).
El espacio proyectivo pesado aparece por la siguiente propiedad:
det(tI − A) = t n +
n∑
(−1) j c j (A)t n−j =⇒ det(tI − lA) = t n +
j=1
n∑
(−1) j l j c j (A)t n−j .
3. Sea C[x 0 , x 1 , ..., x n ] d = {f ∈ C[x 0 , ..., x n ] : f es homogéneo de grado d}. Entonces C[x 0 , x 1 , ..., x n ] d es
un espacio vectorial sobre C de dimensión N = ( )
n+d
d , y un elemento f es este espacio, define, salvo
múltiplo por un escalar no nulo, a la hipersuperficie V (f) = {p ∈ P(C) n : f(p) = 0} en P(C) n . Con esto
hemos demostrado que la proyectivización de este espacio vectorial parametriza a las hipersuperficies
de grado d en P(C) n , denotaremos este espacio por Hip d (n) el cual es isomorfo a CP N−1 .
Sea G = SL(n + 1, C), consideramos la siguiente acción de G en Hip d (n):
j=1
G × Hip d (n) → Hip d (n)
(g, f(x 0 , ..., x n )) ↦→ (gf)(x 0 , ..., x n ) := f(g −1 (x 0 , ..., x n )).
El objetivo de este ejemplo es demostrar que toda hipersuperficie no singular es semiestable. Recordar
que una hipersuperficie V (F ) ∈ Hip d (n) tiene una singularidad en el punto p ∈ CP n si y sólo si:
f(p) = 0,
∂f
∂x i
(p) = 0 ∀i = 0, ..., n.
Diremos que la hipersuperficie definida por f es no singular si no tiene puntos singulares. Notemos
que, por la fórmula de Euler:
df =
n∑
i=0
x i
∂f
∂x i
,
la primera ecuación puede ser eliminada. Si f es un elemento genérico en Hip d (n) y ∆ es el resultante
de los polinomios ∂f
∂x i
(ver [20]); entonces ∆ es un polinomio homogéneo de grado (n + 1)(d − 1) n en los
coeficientes de f, es decir, podemos ver a ∆ como elemento de C[y 0 , ..., y N ]. El polinomio ∆ se llama
el discriminante de Hip d (n) y su valor en f es cero si y sólo si los polinomios ∂f
∂x i
tienen un cero
común en CP n .
28

La variedad definida por ∆, es decir, V (∆) = {F ∈ Hip d (n) : ∆(F ) = 0} ⊂ Hip d (n), parametriza las
hipersuperficies en P(C) n de grado d que son singulares. En C[y 0 , ..., y N ] tenemos la acción inducida
de SL(n + 1, C):
C[y 0 , ..., y N ] × G → C[y 0 , ..., y N ]
(φ, g) ↦→ φ g : C N+1 → C
f ↦→ φ(gf),
y como f es singular en p si y sólo si gf es singular en g(p) entonces ∆ resulta ser un polinomio
invariante por esta acción. Dado que ∆ se anula en el conjunto de hipersuperficies singulares en P(C) n
de grado d, entonces hemos probado el siguiente:
Teorema 10. Toda hipersuperficie no singular es un punto semiestable para la acción de SL(n + 1, C)
en Hip d (n).
4. Una forma binaria de grado d es un polinomio homogéneo f d = a 0 x d + a 1 x d−1 y + ... + a d−1 xy d−1 +
a d y d ∈ C[x, y]. Así que, la proyectivización del espacio vectorial de formas binarias de grado d es
Hip d (1), y la hipersuperficie que define f d , es V (f d ) = {(α : β) ∈ P(C) 1 : f d (α, β) = 0} el cual es un
conjunto de d puntos (contando multiplicidad) en P(C) 1 . Como en el caso general, tenemos definida la
siguiente acción lineal:
SL(2, C) × Hip d (1) → Hip d (1)
(g, f(x, y)) ↦→ f(g −1 (x, y)).
Analizaremos el primer caso no trivial que corresponde a d = 3. En este caso el discriminante es el
polinomio:
∆(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = 27a 2 0a 2 3 − a 2 1a 2 2 − 18a 0 a 1 a 2 a 3 + 4a 0 a 3 2 + 4a 3 1a 3 ,
el cual satisface ∆ = 0 si y sólo si la forma binaria a 0 x 3 + a 1 x 2 y + a 2 xy 2 + a 3 y 3 tiene una raíz repetida.
Además ∆(Y 0 , Y 1 , Y 2 , Y 3 ) ∈ C[Y 0 , Y 1 , Y 2 , Y 3 ] es homogéneo de grado 4 e invariante por la acción, así que,
como ya habíamos visto en el ejemplo anterior:
Hip 3 (1) ∆ = {a 0 x 3 + a 1 x 2 y + a 2 xy 2 + a 3 y 3 ∈ Hip 3 (1) : ∆(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) ≠ 0} ⊂ Hip 3 (1) ss .
Como sabemos, dados x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 ∈ P(C) 1 tales que x i ≠ x j y y i ≠ y j si i ≠ j, existe un único
elemento g ∈ SL(2, C) tal que g(x i ) = y i para i = 1, 2, 3. Es decir, dadas dos formas binarias f 1 , f 2
de grado 3 con tres raíces distintas cada una de ellas, existe g ∈ SL(2, C) tal que gf 1 = f 2 . Así que
Hip 3 (1) ∆ consta de una única órbita.
Como Hip 3 (1) ∆ es un abierto de Hip 3 (1)(≃ P(C) 3 ), entonces dim Hip 3 (1) ∆ = 3 = dim SL(2, C). En
[8] podemos ver que todos los polinomios invariantes homogéneos, no constantes son de la forma k∆ r
para algún k ∈ C, y un entero positivo r. Entonces Hip 3 (1) ∆ = Hip 3 (1) ss , y esto implica también que
Hip 3 (1) ∆ = Hip 3 (1) ss = Hip 3 (1) s . Concluimos que los puntos inestables corresponden a las formas
binarias de grado 3 con al menos dos raices repetidas y que el cociente bueno es un punto.
29

6. Criterio de Hilbert-Mumford
En esta sección describiremos un criterio que nos permite encontrar los puntos inestables y estables de
una acción lineal dada, este criterio hace uso de los subgrupos a 1-parámetro del grupo y se debe basicamente
a los trabajos de David Hilbert y de David Mumford, es por esto que se conoce como el criterio de
Hilbert-Mumford.
Consideremos la acción lineal de un grupo reductivo G en una variedad proyectiva: G × X → X, (g, x) ↦→
gx y sea ̂X el cono afín de X. Empezaremos con la siguiente proposición, la cual caracteriza los puntos
semiestables y estables de acuerdo al comportamiento de la órbita del punto en el cono afín de la variedad.
Proposición 4. (ver Proposición 2.2 de [12]) Sea x ∈ X y sea ¯x ∈ ̂X en la clase de x, entonces:
1. x es semiestable si y sólo si 0 /∈ O(¯x).
2. x es estable si y sólo si 0 /∈ O(¯x) , la órbita de x es cerrada en X ss y dim O(x) = dim G.
Demostración. Sea x ∈ X y sea ¯x ∈ ̂X en la clase de x.
1. Supongamos que el punto x ∈ X es semiestable y sea f un polinomio, invariante, homogéneo de grado
positivo tal que f(x) ≠ 0. Entonces f(¯x) ≠ 0 y, por tanto, para todo y ∈ O(¯x), f(y) es una constante
no cero. Así que 0 /∈ O(¯x).
Supongamos que 0 /∈ O(¯x). Por el lema 8 existe un polinomio invariante f tal que f(0) = 0 y f(O(¯x)) =
1. Si f = f m + f m+1 + ... + f d donde f j es homogéneo de grado j, entonces m > 0 y existe i tal que
f i (¯x) ≠ 0. Entonces x es semiestable.
2. Esta parte es clara a partir de la definición de punto estable que dimos en la sección anterior.
Definición 16. Un subgrupo a un parámetro de G es un homomorfismo no trivial
de grupos algebraicos.
λ : K ∗ → G
Si λ es un subgrupo a 1-parámetro de G y si G actúa linealmente en una variedad X, entonces λ define
una representación de K ∗ en K n+1 :
C ∗ → GL(n + 1, K)
t ↦→ λ(t) : K n+1 → K n+1
v ↦→ λ(t)v,
donde, para simplificar la notación, consideramos λ(t) como elemento de GL(n + 1, K).
Proposición 5. La representación anterior es diagonalizable, es decir, existe {v 0 , ..., v n } base de K n+1 tal
que λ(t)v i = t ri v i , donde r i ∈ Z.
Demostración. Dado que K ∗ es un grupo conmutativo, entonces {λ(t)} t∈K ∗ es una familia conmutativa
de endomorfismos de K n+1 . Sea t 0 ∈ K ∗ una raíz m − ésima de la unidad, entonces λ(t 0 ) m es la matriz
identidad, por lo tanto λ(t 0 ) es diagonalizable. Sea K n+1 = ker(λ(t 0 ) − a 1 I) ⊕ ... ⊕ ker(λ(t 0 ) − a n+1 I) la
descomposición en subespacios propios lineales invariantes que define la diagonalización de λ(t 0 ).
30

Sea E ∈ {λ(t)} t∈K ∗ y sea j un entero positivo menor o igual que n + 1 y v ∈ ker(λ(t 0 ) − a j I), entonces
(λ(t 0 ) − a j I)Ev = Eλ(t 0 )v − a j Ev = E(a j v) − a j Ev = 0,
por lo tanto el subgrupo unidimensional ker(λ(t 0 ) − a j I) es invariante por E, entonces E es diagonalizable
con la misma base que λ(t 0 ). Sea {v 0 , ..., v n } la base que diagonaliza estos endomorfismos, puesto que K ∗ es
un grupo multiplicativo, entonces λ(t)v i = t ri v i donde r i ∈ Z.
Gracias a que la acción de G es lineal tenemos lo siguiente, si ¯x = ∑ n
i=0 a iv i , entonces λ(t)¯x =
∑ n
i=0 tri a i v i . Tomando esto en cuenta establecemos la siguiente definición.
Definición 17. Sea x ∈ X y λ un subgrupo a un parámetro de G, definimos la siguiente función:
µ(x, λ) := min{r i : a i ≠ 0}. (5)
Ahora mencionamos el siguiente Lema, cuya demostración es consecuencia inmediata de la definición de
la función µ.
Lema 9. (ver pag. 104 y 108 de [15]) Sea x ∈ X. Tomemos ¯x ∈ ̂X tal que ¯x ∈ x. Sea g ∈ G y λ un
subgrupo a 1-parámetro de G, entonces:
1. µ(x, λ) < 0 si y sólo si lím t→0 λ(t)¯x no existe
2. µ(x, λ) > 0 si y sólo si lím t→0 λ(t)¯x = 0.
3. µ(gx, λ) = µ(x, g −1 λg)
Demostración. Sea ¯x ∈ ̂X tal que ¯x ∈ x. Sean g ∈ G y λ un subgrupo a 1-parámetro de G, entonces:
1. µ(x, λ) ≥ 0 si y sólo si 0 r i para todo a i ≠ 0 y esto sucede si y sólo si lím t→0 λ(t)¯x = lím t→0
∑ ri
i=0 tri a i v i
exite.
2. µ(x, λ) > 0 si y sólo si 0 < r i para todo a i ≠ 0 y esto pasa si y sólo si lím t→0 λ(t)¯x = lím t→0
∑ ri
i=0 tri a i v i =
0
3. Supongamos que {gv 0 , ..., gv n } es una base que diagonaliza a λ, es decir, λ(t)gv i = t ri gv i , entonces
g −1 λ(t)gv i = g −1 (λ(t)gv i ) = g −1 (t ri gv i ) = t ri v i . Esto significa que {v 0 , ..., v n } es una base que
diagonaliza a g −1 λg. Entonces µ(gx, λ) = µ(x, g −1 λg).
Es claro que si existe un subgrupo a 1-parámetro λ tal que lím t→0 λ(t)¯x = 0, entonces x es un punto
inestable, esto debido a que este límite pertenece a O(¯x). El siguiente Teorema (cuya demostración no es
inmediata) es el recíproco de la afirmación anterior.
Teorema 11. (ver Teorema 2.1 de [12]) Si 0 ∈ O(¯x) entonces existe un subgrupo a un parámetro:
tal que lím t→0 λ(t)¯x = 0.
λ : K ∗ → G
Ahora establecemos el criterio de Hilbert-Mumford.
Teorema 12. (ver Teorema 4.9 de [15])
Sea G un grupo reductivo actuando linealmente en una variedad proyectiva X, entonces x ∈ X es:
1. semiestable si, y sólo si, µ(x, λ) ≤ 0 para todo λ, subgrupo a un parámetro de G. (inestable si, y sólo
si, existe un subgrupo a 1-parámetro λ de G tal que µ(x, λ) > 0.)
31

2. estable si, y sólo si, µ(x, λ) < 0 para todo λ, subgrupo a un parámetro de G.
Una de las facilidades que tenemos al trabajar con el grupo SL(n, K) es que sus subrupos a un parámetro
son diagonalizables, es decir:
Proposición 6. (ver [15]) Los subgrupos a un parámetro de SL(n, K) son de la forma
λ : K ∗ → SL(n, K)
⎛
⎞
t r1
⎜
t ↦→ g ⎝
. ..
⎟
⎠ g −1 ,
t rn
donde r 1 ≥ ... ≥ r n , r 1 + ... + r n = 0 y g ∈ SL(n, K).
De esta proposición y de la parte (3) de 9 podemos concluir la siguiente
Proposición 7. Si SL(n, K) actúa linealmente en una variedad proyectiva X, entonces x ∈ X es semiestable
(respectivamente estable) si y sólo si para todo subgrupo a un parámetro de la forma
λ : K ∗ → SL(n, K)
⎛
⎞
t r1
⎜
t ↦→ ⎝
. ..
⎟
⎠
t rn
donde r 1 ≥ ... ≥ r n , r 1 + ... + r n = 0 y todo g ∈ SL(n, K) tenemos que µ(gx, λ) ≤ 0 (respectivamente < 0).
6.1. Ejemplos que hacen uso del Criterio de Hilbert-Mumford
1. Recordemos la acción lineal de SL(2, C) en el espacio Hip d (1) de formas binarias de grado d:
SL(2, C) × Hip d (1) → Hip d (1), (g, f d (x, y)) ↦→ f d (g −1 (x, y)). De acuerdo a la proposición 7 tenemos
que la forma f d es inestable (no-estable) si y sólo si existen,
λ : C ∗ → SL(2, C),
t ↦→
( ) t 0
0 t −1 ,
subgrupo 1-parámetro y g ∈ SL(2, C) tales que µ(f d , g −1 λg) = µ(f d (g −1 (x, y)), λ) > 0 ( respectivamente
≥ 0). Si
λ(t)f d (g −1 (x, y)) = λ(t)(
d∑
a i x d−i y i ) =
i=0
d∑
t −r(d−i)+ri a i x d−i y i ,
entonces µ(f d (g −1 (x, y)), λ) = min{−rd + 2ri : a i ≠ 0}. Sea i 0 = min{i : a i ≠ 0}. Entonces µ = −rd +
2ri 0 > 0 (respectivamente ≥ 0) si y sólo si i 0 > d 2 (respectivamente i 0 ≥ d 2 ). Así que f d(g −1 (x, y)) =
∑ d
i=0 a ix d−i y i es semiestable (respectivamente estable) si y sólo si
i=0
d∑
d∑
f d (g −1 (x, y)) = a i x d−i y i = y [ d 2 +1] ( a i x d−i y i−[ d 2 +1] )
i=[ d 2 +1] i=[ d 2 +1]
d∑
d∑
(respectivamente f d (g −1 (x, y)) = a i x d−i y i = y [ d 2 ] ( a i x d−i y i−[ d 2 ] ));
i=[ d 2 ] i=[ d 2 ]
32

esto nos esta diciendo que el punto (1 : 0) ∈ P(C) 1 tiene multiplicidad mayor que d 2
+ 1 para la forma si
y sólo si es inestable y tiene multiplicidad mayor que d 2
si y sólo si la forma es no-estable. Concluimos
la siguiente proposición.
Proposición 8. La forma binaria de grado f d , es inestable (respectivamente no-estable) si y sólo si
tiene un cero de multiplicidad mayor que d 2 (respectivamente mayor o igual que d 2 ).
2. Consideremos ahora la acción de G = SL(3, C) en el espacio de curvas cúbicas planas Hip 3 (2): G ×
Hip 3 (2) → Hip 3 (2), (g, f(x 0 , x 1 , x 2 ) ↦→ f(g −1 (x 0 , x 1 , x 2 )). Denotaremos una curva cúbica plana por
f(x 0 , x 1 , x 2 ) =a 00 x 3 0 + a 10 x 2 0x 1 + a 01 x 2 0x 2 + a 20 x 0 x 2 1 + a 11 x 0 x 1 x 2
+a 02 x 0 x 2 2 + a 30 x 3 1 + a 21 x 2 1x 2 + a 12 x 1 x 2 2 + a 03 x 3 2
= ∑ a ij x 3−i−j
0 x i 1x j 2 .
Dejaremos al lector verificar las siguiente propiedades:
a) (1 : 0 : 0) es singular si y sólo si a 00 = a 10 = a 01 = 0.
b) (1 : 0 : 0) es un punto triple si y sólo si a 00 = a 10 = a 01 = a 20 = a 11 = a 02 = 0.
c) Si (1 : 0 : 0) es un punto doble, entonces las tangentes en este punto son las líneas definidas por
a 20 x 2 1 + a 11 x 1 x 2 + a 02 x 2 2 = 0. Puede suceder que definan una tangente doble.
d) Dado g ∈ G, x es un punto singular (doble, triple) de f si y sólo si gx es un punto singular (doble,
triple) de gf, además, g preserva líneas tangentes.
Usando estas propiedades demostraremos lo siguiente.
Proposición 9. Una curva cúbica plana es estable si y sólo si es no singular.
Demostración. Una curva cúbica plana no es estable si y sólo si es equivalente bajo G a una para la
cual µ(f, λ) ≥ 0, para algún subgrupo a un parámetro:
λ : C ∗ → SL(3, C)
t ↦→ diag(t r0 , t r1 , t r2 ),
donde r 0 ≥ r 1 ≥ r 2 y r 0 + r 1 + r 2 = 0, esto implica que −2 ≤ r0
r 2
µ(f, λ) = min{(i + j − 3)r 0 − ir 1 − jr 2 : a ij ≠ 0}.
≤ − 1 2
. Es fácil verificar que
Supongamos que f tiene un punto singular x, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que
x = (1 : 0 : 0), así que a 00 = a 10 = a 01 = 0. Si tomamos r 0 = 2, r 1 = r 2 = −1, entonces µ(f, λ) ≥ 0 y,
por tanto, f no es estable.
Supongamos que µ(f, λ) ≥ 0 para algún λ diagonal de la forma anterior, vamos a probar que f tiene
un punto singular. Se verifica fácilmente que µ(f, λ) ≥ 0 si y sólo si a 00 = a 10 = 0.
Supongamos que a 01 ≠ 0, entonces µ(f, λ) ≥ 0 y esto implica que −2r 0 − r 2 ≥ 0, esto pasa si y sólo si
r 1 = r 0 , r 2 = −2r 0 , podemos entonces suponer que r 0 = r 1 = 1 y r 2 = −2. Para estos valores de los r i ,
tenemos que µ(f, λ) = min{3(j − 1) : a ij ≠ 0}.
Sea j 0 = min{j : a ij ≠ 0}. Entonces j 0 ≥ 1, es decir,
µ(f, λ) ≥ 0 ⇒ a i0 = 0
Esto implica que f = x 2 f 1 para alguna curva de grado 2, entonces f es singular en la intersección de
x 2 y f 1 .
∀i.
33

3. Pinceles de cónicas: en este ejemplo vamos a introducir el concepto de pincel de curvas planas de grado
d, daremos a su conjunto estructura de variedad proyectiva y con la acción de cambio de coordenadas
caracterizaremos los pinceles inestables de grado 2 de acuerdo a su lugar base.
Definición 18. Sean A, B ∈ C[x, y, z] d , al conjunto L = {k 1 A + k 2 B|A ≠ B, (k 1 : k 2 ) ∈ P(C) 1 } se le
llama Pincel de curvas planas de grado d generado por A y B.
Debido a que podemos parametrizar a las curvas planas de grado d por P(C) ((d+1)(d+2)/2)−1 , enviando
un polinomio a sus coeficientes, entonces podemos ver a L como la línea en este espacio proyectivo que
pasa por A y B.
Definición 19. El lugar base del pincel L se define como
B(L) = V (A) ∩ V (B) = {p ∈ P(C) 2 |k 1 A(p) + k 2 B(p) = 0 ∀(k 1 : k 2 ) ∈ P(C) 1 }.
El teorema de Bezout nos da entonces la siguiente:
Proposición 10. Sea L un pincel de grado d definido por polinomios sin componentes en común,
entonces el conjunto base tiene a lo más d 2 puntos distintos.
Sea G d el conjunto de pinceles de grado d, daremos a este conjunto estructura de variedad algebraica
mediante las coordenadas de Plücker. Para ello tomamos L ∈ G d y A, B ∈ L dos puntos distintos en
L, entonces
A =
d∑
a i,j x i y j z d−i−j B =
i,j=0
d∑
b i,j x i y j z d−i−j ,
i,j=0
y con estos coeficiente construimos la matriz de 2 × (d + 1)(d + 2)/2:
( )
a0,0 a 0,1 · · · a 0,d · · · a d,0
b 0,0 b 0,1 · · · b 0,d · · · b d,0
y tomamos los siguientes determinantes de 2 × 2
( )
ai,j a
M i,j,k,l = det
k,l
= a
b i,j b i,j b k,l − a k,l b i,j .
k,l
Notemos que ( en total tenemos el siguiente ) número de combinaciones al formar los menores de tamanño
(d + 1)(d + 2)/2
2 × 2: N =
por lo que tenemos esa cantidad de coeficientes M
2
i,j,k,l . Ahora
bien, podemos darle el orden lexicográfico a los coeficientes M i,j,k,l y esto nos permitirá ver estos N
elementos como un elemento de P(C) N−1 .
Definición 20. Consideremos la siguiente función:
P : G d → P(C) N−1
L ↦→ P(L) = (M i,j,k,l ).
A la imagen de un pincel L bajo esta función se le llama coordenadas de Plücker para L.
34

Teorema 13. (ver [9]) Las coordenadas M i,j,k,l de L son, salvo multiplicación por un escalar no cero,
independientes de la elección de A y B. Mas aún, la aplicación:
es un encaje cerrado.
P : G d → P(C) N−1
Corolario 2. P(G d ) es una variedad proyectiva.
L ↦→ P(L) = (M i,j,k,l )
Ahora describiremos la acción lineal inducida de SL(3, C) en la variedad proyectiva P(G d ): SL(3, C)
actúa en C[x, y, z], C[x, y, z] × SL(3, C) → C[x, y, z], (f(x, y, z), g) ↦→ f(g(x, y, z)) = fg. Entonces
SL(3, C) actúa en G d de la siguiente manera:
G × G d → G d
(g, {k 1 A + k 2 B} (k1:k 2)∈P(C) 1) ↦→ {k 1Ag + k 2 Bg} (k1:k 2)∈P(C) 1,
y, por consiguiente, este grupo actúa en P(G d ). Para el caso de pinceles de cónicas, es decir, pinceles
de grado 2 podemos consultar en [1] la demostración del siguiente Teorema.
Teorema 14. Sea L A,B el pincel generado por las cónicas A y B sin componentes en común. Entonces,
P(L A,B ) es inestable si y sólo si B(L A,B ) contiene a lo más 3 puntos distintos.
Para el caso de pinceles de cúbicas existe un análisis detallado de pinceles inestables y estables que
también hace uso del método de subgrupos a un parámetro. Este análisis puede consultarse en [10].
Referencias
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Base. Aceptado para su publicación en Aportaciones Matemáticas de la SMM.
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35

[13] Masayoshi Nagata: Invariants of a group in a affine ring. J. Math Kyoto Univ. 3, 1963/64.
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[17] Vladimir Popov: On Hilberts Theorem on Invariants. Dolk. Akad. Nauk SSSR 246, no. 3, 2008.
[18] Graciela Reyes: El problema 14 de Hilbert. Tesis de Licenciatura, Universidad de Guanajuato, 2008.
[19] Walter Ferrer Santos, Álvaro Rittatore: Actions and invariants of algebraic groups. CRC Press, 2005.
[20] B. Sturmfels: Introduction to Resultants. Proc. Sympos. Appl. Math., Vol. 53, pages 25-39, Amer. Math.
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[21] Hermann Weyl: The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University
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