Tema 1 Intro y Tensor de Esfuerzos - Centro de Geociencias ::.. UNAM
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El <strong>Tensor</strong> <strong>de</strong> los <strong>Esfuerzos</strong> <br />
y <br />
los esfuerzos principales
Existen dos tipos principales <strong>de</strong> fuerzas en un contínuo:<br />
<br />
1. Fuerzas <strong>de</strong> cuerpo. Actúan en cualquier parte <strong>de</strong>l cuerpo y son<br />
proporcionales al volúmen o a la masa.<br />
<br />
2. Fuerzas <strong>de</strong> superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está<br />
afuera <strong>de</strong>l volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son<br />
proporcionales a cada elemento <strong>de</strong> superficie
El concepto <strong>de</strong><br />
Tracción<br />
F = fuerza ejercida por el<br />
material que se encuentra<br />
afuera <strong>de</strong> V<br />
n = normal al elemento <strong>de</strong><br />
superficie dS
La tracción sirve para cuantificar la fuerza <strong>de</strong> contacto (por u. <strong>de</strong><br />
área) con la que las partículas <strong>de</strong> un lado <strong>de</strong> una superficie actúan en<br />
las partículas <strong>de</strong>l otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente<br />
es paralela a n<br />
La tracción se <strong>de</strong>fine entonces como:<br />
Notar que la tracción tiene la misma<br />
orientación que la Fuerza y es función <strong>de</strong><br />
la normal que <strong>de</strong>fine la superficie
Ahora consi<strong>de</strong>remos estos<br />
casos<br />
O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto<br />
<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong> interacción.<br />
En general tenemos un número infinito <strong>de</strong> tracciones una para cada<br />
posibilidad <strong>de</strong> plano. Entonces ¿qué hacemos?<br />
Necesitamos un mecanismo que nos permita obtener la tracción para<br />
cualquier orientación <strong>de</strong> plano
Tracciones en las caras <strong>de</strong> un paralelepípedo orientado con los ejes coor<strong>de</strong>nados.<br />
T<br />
(i)<br />
j ;<br />
i = normal al plano don<strong>de</strong> actúa T; j = componente <strong>de</strong> T<br />
es el vector tracción actuando en la superficie cuya normal es positiva en la dirección ê j<br />
El tensor <strong>de</strong> esfuerzos σ ji<br />
Las filas <strong>de</strong>l tensor son los tres vectores <strong>de</strong> tracción.<br />
<br />
El esfuerzo entonces es la fuerza por unidad <strong>de</strong> área que el material afuera (hacia adon<strong>de</strong> apunta ň) <strong>de</strong> la superficie<br />
ejerce en el material a<strong>de</strong>ntro.
Tracciones en las caras <strong>de</strong> un tetrahedro orientado con los ejes coor<strong>de</strong>nados.<br />
La tracción no necesariamente<br />
es perpendicular (ortogonal) al<br />
plano en que actúa.<br />
Por medio <strong>de</strong>l balance <strong>de</strong> tracciones en las caras <strong>de</strong> un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las<br />
direcciones <strong>de</strong> los ejes coor<strong>de</strong>nados po<strong>de</strong>mos encontrar la tracción en un plano con una inclinación arbitraria.<br />
Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la tracción en la cara inclinada.
El <strong>Tensor</strong> <strong>de</strong> esfuerzos está <strong>de</strong>finido como:<br />
Tener cuidado con la notación en los textos,<br />
T (1) ≠ T 1<br />
El tensor <strong>de</strong> esfuerzos es simétrico:<br />
σ ij = σ ji
El <strong>Tensor</strong> <strong>de</strong> esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l medio<br />
que nos interesa.<br />
Por ejemplo, los componentes <strong>de</strong> la Tracción en un elemento arbitrario <strong>de</strong> superficie dS cuya<br />
normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando los elementos<br />
correspondientes <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos por los cosenos directores <strong>de</strong> la normal al área don<strong>de</strong><br />
actúa y sumando el resultado.<br />
Esto nos da cada componente <strong>de</strong> T , i = 1…3<br />
Notar que es la transpuesta <strong>de</strong> σ ij,<br />
pero como es simétrico, no<br />
importa
<strong>Esfuerzos</strong> normales:<br />
<br />
σ 11 , σ 22 , σ 33<br />
<br />
<strong>Esfuerzos</strong> <strong>de</strong> corte o cizalla:<br />
<br />
σ 12 , σ 21 , σ 13 , σ 31 , σ 23 , σ 32 o también τ 12 , τ 21 , τ 13 , τ 31 , τ 23 , τ 32
Sobre la convención <strong>de</strong> signos en los<br />
componentes <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos<br />
<strong>Esfuerzos</strong> normales:<br />
Los que producen tensión<br />
son positivos.<br />
<strong>Esfuerzos</strong> <strong>de</strong> corte:<br />
Si pensamos en un<br />
elemento cúbico, la<br />
dirección positiva <strong>de</strong> los<br />
esfuerzos <strong>de</strong> corte<br />
correspon<strong>de</strong> a la dirección<br />
positiva <strong>de</strong>l eje si el<br />
esfuerzo <strong>de</strong> tensión que<br />
actúa en la cara está en la<br />
dirección positiva <strong>de</strong>l eje<br />
coor<strong>de</strong>nado (cara<br />
positiva). Si el esfuerzo <strong>de</strong><br />
tensión tiene una<br />
dirección opuesta a la<br />
dirección positiva <strong>de</strong>l eje<br />
coor<strong>de</strong>nado entonces la<br />
dirección positiva <strong>de</strong>l<br />
esfuerzo <strong>de</strong> corte es<br />
opuesta.
Sobre la convención <strong>de</strong> signos en los<br />
componentes <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos<br />
NOTA:<br />
En el caso <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong><br />
Mohr la convención pue<strong>de</strong><br />
ser diferente.<br />
La dirección positiva <strong>de</strong><br />
los esfuerzos <strong>de</strong> corte<br />
correspon<strong>de</strong> a aquellos<br />
esfuerzos que tien<strong>de</strong>n a<br />
crear una rotación en el<br />
sentido <strong>de</strong> las manecillas<br />
<strong>de</strong>l reloj.
Simetrías por las cuales po<strong>de</strong>mos no tomar en cuenta todos los componentes.<br />
El torque <strong>de</strong> este par<br />
¡ Pero todas estas tracciones<br />
son positivas !<br />
Queda contrarrestado por el torque<br />
<strong>de</strong> este par
Siguiendo la convención<br />
<strong>de</strong> signos los esfuerzos <strong>de</strong><br />
corte positivos en las caras<br />
visibles <strong>de</strong>l cubo <strong>de</strong> la<br />
figura coinci<strong>de</strong>n con la<br />
dirección <strong>de</strong> los ejes<br />
coor<strong>de</strong>nados. Pero en las<br />
caras ocultas estarían al<br />
revés.<br />
<br />
El equilibrio <strong>de</strong> momentos<br />
(torques) se usa para<br />
reducir el número <strong>de</strong><br />
componentes<br />
in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l<br />
esfuerzo, <strong>de</strong> manera que<br />
sólo nos quedan 6.
Trataremos ahora <strong>de</strong> ver cómo po<strong>de</strong>mos manipular estas ecuaciones.<br />
En algunos casos lo que vamos a requerir es el esfuerzo normal y el <strong>de</strong> cizalla en un plano<br />
dado, conociendo el tensor <strong>de</strong> esfuerzos.<br />
Ecuación <strong>de</strong> Cauchy, componentes <strong>de</strong>l vector tracción
De manera que<br />
La tracción (esfuerzo) normal al plano <strong>de</strong> interés está dada por la proyección <strong>de</strong>l<br />
vector tracción a la normal al plano (es <strong>de</strong>cir el producto punto):<br />
Lo que nos resulta en:
Expandiendo y consi<strong>de</strong>rando la simetría <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos:<br />
El esfuerzo <strong>de</strong> corte sobre el plano se pue<strong>de</strong> encontrar simplemente por trigonometría :<br />
Lo que resulta en:
Ahora bien, recor<strong>de</strong>mos que un vector permanece igual sin importar el sistema coor<strong>de</strong>nado<br />
en que se refiere, sin embargo los componentes <strong>de</strong>l vector pue<strong>de</strong>n ser expresados en otro<br />
sistema coor<strong>de</strong>nado por medio <strong>de</strong> la transformación:<br />
De manera similar, un tensor se pue<strong>de</strong> expresar en un sistema diferente por medio <strong>de</strong> la<br />
transformación matricial:
Supongamos un bloque <strong>de</strong> material con caras perpendiculares a los ejes x 1 y x 2 sometido a<br />
sólo esfuerzos normales σ 1 y σ 2 , <strong>de</strong> forma que el tensor es diagonal:<br />
Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos <strong>de</strong> forma que<br />
Por ejemplo, si σ 1 = 1 y σ 2 = -1 y θ = 45°:
Es <strong>de</strong>cir, el estado <strong>de</strong> esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos<br />
normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos <strong>de</strong> corte:<br />
Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema <strong>de</strong> ejes coor<strong>de</strong>nados,<br />
45˚ en este caso.
Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado <strong>de</strong> esfuerzos, po<strong>de</strong>mos encontrar un sistema<br />
<strong>de</strong> ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales (¡eliminamos los esfuerzos <strong>de</strong> corte!).<br />
<br />
A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama<br />
ejes <strong>de</strong> esfuerzos principales.<br />
<br />
Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos <strong>de</strong>l álgebra vectorial<br />
(búsqueda <strong>de</strong> valores y vectores principales).<br />
<br />
Para este caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales <strong>de</strong> las caras<br />
<strong>de</strong>finidas por los ejes coor<strong>de</strong>nados <strong>de</strong>l sistema que buscamos, esto lo po<strong>de</strong>mos expresar como:<br />
(Fijarse que sólo varían por un factor <strong>de</strong> escala):
Esta ecuación se pue<strong>de</strong> re-escribir como:<br />
σ<br />
n − λn<br />
=<br />
ij j i<br />
0<br />
Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (<strong>de</strong> que los<br />
valores sean cero) se requiere que el siguiente <strong>de</strong>terminante sea igualado a cero<br />
(esto nos va a dar la ecuación normal que <strong>de</strong>fine los valores característicos):
Las componentes <strong>de</strong> n son los vectores principales <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos<br />
(ejes <strong>de</strong> esfuerzos principales) y los valores λ , asociados a cada eje, nos dan<br />
las magnitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los esfuerzos principales. La ecuación (<strong>de</strong>terminante<br />
igualado a cero) para encontrar estos valores pue<strong>de</strong> escribirse como:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
don<strong>de</strong> las I´s son los llamados “invariantes” <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> esfuerzos. Se llaman<br />
así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema <strong>de</strong> referencia.
Los Invariantes están <strong>de</strong>finidos por:
Los esfuerzos principales<br />
tienen una magnitud dada<br />
por los valores<br />
principales y se pue<strong>de</strong>n<br />
encontrar las tres<br />
superficies<br />
perpendiculares en las<br />
cuales NO HAY<br />
ESFUERZOS DE CORTE.<br />
En el nuevo sistema el<br />
estado <strong>de</strong> esfuerzos queda<br />
<strong>de</strong>finido como<br />
= 0
Ejercicio:<br />
Si los invariantes están dados por:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¿Cuáles serían los invariantes en un sistema <strong>de</strong> esfuerzos principales?
Se pue<strong>de</strong>n encontrar las direcciones <strong>de</strong> un plano para el cual existe el<br />
máximo esfuerzo <strong>de</strong> corte (problema <strong>de</strong> máximos y mínimos entre el<br />
esfuerzo <strong>de</strong> corte contra el ángulo <strong>de</strong>l plano). Para dicho plano el valor<br />
<strong>de</strong>l esfuerzo máximo <strong>de</strong> corte (notar que no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> σ 2 ) es:<br />
Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º<br />
<strong>de</strong> las direcciones (ejes) <strong>de</strong> los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las<br />
direcciones <strong>de</strong> los ejes <strong>de</strong>l máximo y mínimo esfuerzo principal son<br />
(1,0,0) y (0,0,1), los planos <strong>de</strong>l máximo esfuerzo <strong>de</strong> corte serían:<br />
Es <strong>de</strong>cir, los cosenos directores <strong>de</strong> un plano a 45º <strong>de</strong> i y j, siendo i y j las<br />
direcciones <strong>de</strong> los esfuerzos principales.
Sin embargo, <strong>de</strong>bido a la cohesión <strong>de</strong><br />
los materiales geológicos, la ruptura<br />
ocurre generalmente a planos más<br />
cercanos a las dirección <strong>de</strong>l eje σ 1 .<br />
<br />
Aproximadamente a 25º<br />
La fractura ocurriría aquí
El campo <strong>de</strong> esfuerzos asociado a los tipos <strong>de</strong> fallamiento suponiendo que el plano<br />
<strong>de</strong> máximo esfuerzo <strong>de</strong> corte es a 45º <strong>de</strong> los esf principales.<br />
Falla normal<br />
Falla inversa<br />
Vista <strong>de</strong> lado<br />
Vista <strong>de</strong> planta<br />
Falla <strong>de</strong> rumbo
Definimos el Esfuerzo Promedio como:<br />
Y el Esfuerzo <strong>de</strong>sviador o <strong>de</strong>viatórico:<br />
Condición Litostática:
Para una prueba triaxial <strong>de</strong><br />
laboratorio tendríamos<br />
⎡σ<br />
1<br />
0 0 ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
0 σ<br />
3<br />
0<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
0 0 σ ⎥<br />
3 ⎦<br />
Por lo que el esfuerzo <strong>de</strong>sviador nos queda:<br />
⎡ σ1 + 2σ<br />
3<br />
⎤ ⎡ 2 ⎤<br />
⎢σ<br />
1<br />
−<br />
0 0 0 0<br />
3<br />
⎥ ⎢−<br />
3 ⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ σ1 + 2σ<br />
3<br />
1<br />
0 σ<br />
3<br />
− 0<br />
⎥<br />
= ( σ1 −σ<br />
3)<br />
⎢<br />
0 − 0<br />
⎥<br />
⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ σ1 + 2σ<br />
3<br />
1<br />
0 0 σ<br />
3<br />
− ⎥ ⎢ 0 0 − ⎥<br />
⎢⎣<br />
3 ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
3⎥⎦<br />
Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ 1<br />
– σ 3 como parámetro <strong>de</strong> esfuerzo
• Al esfuerzo <strong>de</strong>viatórico (o <strong>de</strong>sviador) también se le pue<strong>de</strong>n obtener sus<br />
valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma<br />
orientación que los <strong>de</strong>l tensor original<br />
<br />
• Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso <strong>de</strong> la columna <strong>de</strong> roca)<br />
recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kPa = 1 bar (por ejemplo<br />
una llanta se infla a ~ 200 kPa que son 2 bar).<br />
<br />
Entonces a una profundidad <strong>de</strong> 3 km en la corteza tenemos:<br />
P = - ρ g z = -(3 x 10 3 kg m -3 )(9.80 m seg -2 )(3 x 10 3 m) ≈ -90 x 10 6 Pa<br />
= -90 MPa ( o sea 0.9 kbar)<br />
<br />
<br />
O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar <strong>de</strong> presión
Ejercicio. Correr las rutinas <strong>de</strong> matlab tomadas <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong><br />
Pollard y Fletcher (cap.6). :<br />
<br />
• stresshole.m (cálculo <strong>de</strong> esfuerzos alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un agujero<br />
circular) y<br />
• stressdisk.m (cálculo <strong>de</strong> esfuerzos en un disco <strong>de</strong> cierto<br />
grosor cargado en las orillas por tracciones compresivas<br />
puntuales)<br />
<br />
y analizar las ecuaciones utilizadas.