CAPITULO 7.- LA TRANSFORMADA z.

CAPITULO 7.-
LA TRANSFORMADA z.
7.1 Introducción.
7.2 La transformada z.
7.3 Propiedades de la región de convergencia.
7.4 Propiedades de la transformada z.
7.5 Inversión de la transformada z.
7.6 Análisis mediante transformadas de sistemas LTI.
7.7 Estructuras de programación para implementar sistemas
en tiempo discreto.
7.8 La transformada z unilateral
7.1 Introducción.
Generalizamos la representación senoidal compleja de la DTFT
Caracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales
*señales no absolutamente sumables
(ej. : respuesta impulso de un sistema inestable)
Propiedades
Función de transferencia
Estudio de las características de sistemas
Obtención de estructuras de programación para implementar sistemas
en tiempo discreto en computadoras
1

2
7.2 La transformada z.
Ω
=
j
e
r
z
)
(
)
cos(
]
[ n
sen
r
j
n
r
z
n
x
n
n
n
Ω
+
Ω
=
=
( ) ( )
)
(
)
(
)
(
cos
)
(
]
[
)
(
)
(
]
[
)
(
]
[
)
(
:
)
(
;
:
:
)
(
}
{
]
[
)
(
)
(
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
*
]
[
]}
[
{
]
[
)
(
)
(
)
(
Ω
Ω
Ω
Ω
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
+
Ω
+
+
Ω
=
=
=
=
=
=
=
⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
−
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
j
n
j
n
j
n
j
n
z
j
n
z
j
z
j
k
k
n
n
n
k
k
n
n
k
k
k
k
n
k
re
n
sen
r
z
H
j
re
n
r
re
H
n
y
e
r
e
z
H
z
e
z
H
n
y
e
z
H
z
k
h
z
H
tico
catacterís
valor
z
H
tica
catacterís
función
z
tica
caracterís
relación
z
z
H
z
H
z
k
h
z
H
z
z
H
z
z
k
h
z
k
h
n
y
k
n
x
k
h
n
x
n
h
n
x
H
n
y
φ
φ
φ
φ
φ
Figure 7.1 (p. 554)
Real and imaginary parts of the signal z n .

H ( z)
=
z = re
H ( re
h[
n]
r
jΩ
jΩ
−n
∞
∑
n=
−∞
) =
1
h[
n]
=
2π
j
h[
n]
z
∞
∑
n=
−∞
∫
−n
h[
n]
( re
DTFT
←⎯
⎯ →H(
re
H ( z)
z
n−1
jΩ
−n
jΩ
dz
=
∞
−n
∑[
h[
n]
r ]
n=
−∞
−n
1 π
jΩ
jΩ
n
h[
n]
r = ∫ H ( re ) e dΩ
2π
−π
n
r π
jΩ
jΩ
n 1
h[
n]
= ∫ H ( re ) e dΩ
=
2π
−π
2π
jΩ
dz = jre dΩ
= jz
dΩ
; z = r
Tiempo
Continua (t)
Discreta [n]
Periódica (t,n)
)
)
Discreta (k)
∫
π
−π
e
H ( re
− jΩ
n
jΩ
) ( re
jΩ
n
) dΩ
No periódica (t,n)
jkω0t
x(
t)
∑ X [] k e
k
∞
=
= −∞
1 T
− jkω0t
X [] k = x(
t)
e dt
T ∫0
ω0 2π
T = ⇒
FS FT
∫
x(t) periodo T
DTFS DTFT
jkΩ0n
x[
n]
= ∑ X[
k]
e
k = N
1
− jkΩ0n
X[
k]
= ∑ x[
n]
e
N n=
N
2π
x[n] y X[k] periodo N ⇒ Ω0
=
N
1 π
x[
n]
= ∫ X
2π
−π
∞
jΩ
− jΩn
X ( e ) = ∑ x[
n]
e
n=
−∞
jΩ
X ( e ) tiene periodo 2π
∞ 1
jωt
x(
t)
= X ( jω)
e dω
2π
−∞
∫ ∞
− jωt
X (
jω
) = x(
t)
e dt
−∞
Continua (ω,Ω)
r
r
jΩ
jΩn
( e ) e dΩ
7.2a cont.
No periódica (k,ω)
Periódica (k,Ω)
Frecuencia
3

X ( z)
=
1
x[
n]
=
2π
j
z
x[
n]
←⎯→
X ( z)
x[
n]
z
−n
∞
∑
n=
−∞
x[
n]
z
−n
X ( z)
z
= x[
n]
r
−n
condición necesaria
∫
n−1
dz
⇒
∞
∑
n=
−∞
r=
1
⎯⎯→
x[
n]
r
X ( e
7.2b cont.
−n
jΩ
) = X ( z)
|
r
⎯⎯→
ROC
0∏
∏
M
k = 1
jΩ
z=
e
−1
−M
−1
b + + + b − c
k = k z
0 b1z
K bM
z
( 1 )
1
X ( z)
= =
−1
−N
N
1+
a z + + a
−
N z
1
1 K
( 1−
d z )
Figure 7.2 (p. 556)
Illustration of a signal that has a ztransform,
but does not have a
DTFT.
(a) An increasing exponential
signal for which the DTFT does not
exist.
(b) The attenuating factor r –n
associated with the z-transform. (c)
The modified signal x[n]r –n is
absolutely summable, provided that
r > α, and thus the z-transform of
x[n] exists.
k
DTFT
a
= α
4

Ejemplo 7.2
n
Determine la transformada z de la señal : x[
n]
= α u[
n]
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) en
el plano z
X ( z)
=
∞
∑
n=
−∞
x[
n]
z
−n
=
1
z > α ⇒ X ( z)
=
1−
α z
∞
∑
n=
−∞
n
α u[
n]
z
−1
−n
z
=
z −α
=
a=
α
∞
∑
n=
0
n
⎛α
⎞
⎜ ⎟ =
⎝ z ⎠
Ejemplo 7.3
n
Determine la transformada z de la señal : x[
n]
= −α
u[
−n−
1]
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) en
el plano z
X ( z)
=
k = −n
∞
∑
n=
−∞
x[
n]
z
−n
k
= −
n
α u[
−n
−1]
z
∞
⎛ z ⎞
X ( z)
= −∑⎜
⎟
k = 1 ⎝α
⎠
∞
⎛ z ⎞
= 1−
∑⎜
⎟
k=
0 ⎝α
⎠
1
z < α ⇒ X ( z)
= 1−
−1
1−
zα
z
=
z −α
∞
∑
n=
−∞
k
a=
α
−n
= −
−1
∑
n=
−∞
n
⎛α
⎞
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
5

Problema 7.1
Determine la transformada z de la señal :
n
x[
n]
= −u[
−n−
1]
+ 1( / 2)
u[
n]
Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) en
el plano z
⎛ 3 ⎞
z⎜
2z
− ⎟
z z
2
X ( z)
= + =
⎝ ⎠
1 1 1
z −
z − ⎛ ⎞
⎜ z − ⎟(
z −1)
2 ⎝ 2 ⎠
,
1
< z < 1
2
7.3 Propiedades de la región de convergencia
La ROC se relaciona con las características de una señal z[n] en el
dominio del tiempo, se utiliza para encontrar transformadas inversas.
La ROC no pede contener ningún polo.
La ROC para una señal de duración finita incluye el plano z completo,
excepto posiblemente z=0 y/o z = ∞
Supongamos que x[n] no es cero únicamente en el intervalo
n ≤ n ≤ n
1
⇒
X ( z)
=
∑ = n n2
n=
n1
La única señal cuya ROC es el plano z es :
2
x[
n]
z
−n
x[ n]
=
cδ
[ n]
6

7.3 Propiedades de la región de convergencia
Señales de duración infinita y acotadas
Señal lateral derecha : x[n]=0 para n< n 1
La ROC es de la forma |z|>r +
Señal lateral izquierda : x[n]=0 para n>n 2
La ROC es de la forma |z|

Transformadas de z básicas (1)
Señal Transformada
x[
n]
1
2πj
∫
δ[n]
n−1 = X ( z)
z dz
∑ ∞
X [ z]
= x[
n]
z
n=
−∞
1
−n
1
−
1−
z
1
−1
1−
α z
−1
α z
−1
2
( 1−
α z )
−1
1−
z cosΩ1
−1
−2
1−z
2cosΩ1
+ z
−1
z senΩ1
−1
−2
1−z
2cosΩ1
+ z
−1
1−
z r cosΩ1
−1
2 −
1−z
2r
cosΩ1
+ r z
−1
z rsenΩ1
−1
2
1−z
2r
cosΩ
+ r z
ROC
Toda z
u[n] 1
z > 1
n
α u[n]
n n
α u[n]
[cos( Ω1n)]
u[
n]
[ sen( Ω1n)]
u[
n]
[ r cos( 1n)] u[
n]
n
Ω
[ r sen(
1n)] u[
n]
n
Ω
Señal
1
2
−2
Transformada bilateral
z > α
z > α
z > 1
z > 1
z > r
z > r
Transformadas bilaterales para señales que son distintas
de cero para n

9
X(z)Y(z)
no
X(z/α)
vea abajo
aX(z)+bY(z)
Y(z)
X(z)
Transformada
unilateral
X(z)Y(z)
X(1/z)
X(z/α)
aX(z)+bY(z)
Y(z)
X(z)
Transformada
bilateral
x[n]*y[n]
|α|R x
α n x[n]
1/ R x
x[-n]
ax[n]+by[n]
R x excepto posibl.para |z|=0,inf.
x[n-k]
R x excepto posibl. En la suma o
eliminación de z=0
nx[n]
R y
y[n]
R x
x[n]
ROC
Señal
Propiedades de la transformada z
)
(z
X
z k
−
)
(z
X
dz
d
z
−
y
x
R
R
menos
al ∩
y
x
R
R
menos
al ∩
Propiedades de corrimiento en el tiempo de la transformada z unilateral
0
,
]
1
[
]
1
[
]
0
[
]
[
0
,
]
1
[
]
1
[
]
[
]
[
1
1
1
>
∀
+
−
−
−
−
−
⎯→
←
−
>
∀
+
−
+
+
+
−
+
−
⎯→
←
−
−
−
+
−
−
k
z
k
x
z
x
z
x
k
n
x
k
z
x
z
k
x
k
x
k
n
x
k
k
z
k
z
u
u
X(z)
z
X(z)
z
k
k
L
L
)
(z
X
dz
d
z
−
7.5 Inversión de la transformada z
7.5.1 EXPANSIONES EN FRACCIONES SIMPLES
i
m
i
z
n
i
i
m
i
z
n
i
r
i
i
i
i
i
i
i
k
k
k
z
n
k
k
k
k
k
z
n
k
k
N
k k
k
N
k
k
M
M
N
N
M
M
d
z
ROC
con
z
d
A
n
u
d
m
m
n
n
A
d
z
ROC
con
z
d
A
n
u
d
m
m
n
n
A
z
d
A
z
d
A
z
d
A
veces
r
d
d
z
ROC
con
z
d
A
n
u
d
A
d
z
ROC
con
z
d
A
n
u
d
A
z
d
A
z
X
N
M
z
d
z
b
z
b
b
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
B
z
A
z
X
<
−
⎯→
←
−
−
−
−
+
+
−
>
−
⎯→
←
−
−
+
+
−
−
−
⇒
<
−
⎯→
←
−
−
−
>
−
⎯→
←
−
=
<
−
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
∑
∏
|
|
)
1
(
]
1
[
)
(
)!
1
(
)
1
(
)
1
(
|
|
)
1
(
]
[
)
(
)!
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
,
,
)
1
(
,
1
:
|
|
1
]
1
[
)
(
|
|
1
]
[
)
(
;
1
)
(
,
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
K
K
K
K
K
K

∑ ∞
= −∞
X ( z)
= x[
n]
z
n
−n
7.5a cont.
La relación entre la ROC asociada con X(z) y cada polo determina
si la transformada inversa lateral derecha o la lateral izquierda se
eligen para cada término.
La propiedad de linealidad indica que la ROC de X(z) es la intersección
de las ROC asociadas con los términos individuales en la
expansión en fracciones parciales.
Comparamos la localización de cada polo con la ROC de X(z).
7.5.2 EXPANSIONES EN SERIE DE POTENCIAS
∑ ∞
= −∞
X ( z)
= x[
n]
z
n
∑ ∞
−n
7.5b cont.
ROC |z|>a −n
X ( z)
= x[
n]
z señal lateral derecha
n=
−∞
ROC |z|

Problema 7.24
Utilice el método de la expansión en fracciones simples para
calcular la inversa de la siguiente transformada z :
x[
n]
=
2
z − 3z
X ( z)
=
2 3
z + z −1
2
;
1
< z < 2
2
2
−1
z − 3z
1−
3z
A B
X ( z)
= =
= +
2 3 3 −1
−2
1 −1
z + z −1
1+
z − z 1−
z
1+
2z
2 2
2
1 = A + B
1 }
− 3 = 2A
− B
2
A = −1
, B = 2
−1
2
X ( z)
= + −1
1 −1
1−
z
1+
2z
2
n
⎛ 1 ⎞
n
x[
n]
= −⎜
⎟ u[
n]
− 2(
−2)
u[
−n
−1]
⎝ 2 ⎠
Problema 7.28
Utilice la expansión en serie de potencias para calcular la inversa
de la siguiente transformada z :
X ( z)
=
∑
k=
0
∞
∞
∑
k = 0
⎛ 1
⎜ z
⎝ 4
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2k
−2
k
⎞
⎟
⎠
=
∞
∑
k = 0
δ[
n − 2k]
=
k
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
{
z
−2k
( 1/
2)
0
=
n
∞
∑
k=
0
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
−1
1
X ( z)
= ; z >
1 −2
1−
z
4
2k
n=
2k
∞
−2k
z
=
, si n par y n > 0
, si n impar
⎡
⎢
⎢⎣
∞
∑∑
n=
0 k=
0
1
2
2k
⎛ 1 ⎞ ⎤
⎜ ⎟ δ[
n − 2k]
⎥z
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
−n
11

Problema 7.28b
Utilice el método de la expansión en fracciones simples para
calcular la inversa de la siguiente transformada z :
1
X ( z)
=
1 −2
1−
z
4
; z >
1
−1
( A + B)
+ ( B − A)
z
1 A B
X ( z)
= = + = 2
1 −2
1 −1
1 −1
1 −2
1−
z 1+
z 1−
z 1−
z
4 2 2
4
A + B = 1 1
} A = B = ⇒
B − A = 0 2
⎡
⎤
1 ⎢ 1 1 ⎥
X ( z)
= ⎢ +
2 1 1
⎥
−1
−1
⎢1+
z 1−
z ⎥
⎣ 2 2 ⎦
n n
n
1 ⎡⎛
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ( 1/
2)
, si n par y n > 0
x[
n]
= ⎢⎜−
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥u[
n]
= {
2 ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
0 , si n impar
7.6 Análisis mediante transformadas
de sistemas LTI
Examinaremos la relación entre función de transferencia y las
Características entrada-salida de sistemas LTI en tiempo discreto.
Y ( z)
y [ n]
= h[
n]
* x[
n]
⇒ Y ( z)
= H ( z)
X ( z)
; H ( z)
=
X ( z)
* Relación entre la función de transferencia y la ecuación en diferencias
N
∑
k = 0
k
Y ( z)
a y[
n − k]
=
N
∑
k = 0
a
k
z
−k
M
∑
k = 0
= X ( z)
b x[
n − k]
k
M
∑
k = 0
b z
k
−k
z
←⎯→
⇒
N
∑
k = 0
a
k
z
−k
Y ( z)
=
Y ( z)
H ( z)
= =
X ( z)
Función de transferencia racional
∑
∑
∑
k = 0
M
M
k = 0
N
k = 0
a
b z
k
k
k
b z
z
−k
−k
−k
1
2
X ( z)
12

H ( z)
=
si
b
0
M
∑
k = 0
N
∑
k = 0
z
h[
n]
←⎯→
X ( z)
1
b z
a
k
k
z
−k
−k
k = 1
~
b
=
= b = L = b
p−1
k = 1
N
k = 1
= 0
( 1−
c z
( 1−
d z
si a0
= a1
= L = al−1
= 0 ⇒
~ − p M − p
−1
b z ∏ ( 1−
c z )
k = 1 k
H ( z)
=
−l
N −l
−1
z ( 1−
d z )
∏
∏
∏
k
M
⇒
k
k
;
−1
−1
)
)
;
~ b
b =
a
~ b
b =
a
polo de orden
cero de orden l
p
l
0
0
p − ésimo en z = 0
− ésimo en z = 0
7.6a cont.
: factor de ganancia
Debemos conocer la ROC para calcular h[n].
La ecuación en diferencias no brinda información de la ROC
Deberán conocerse otras características del sistema : la estabilidad o
la causalidad
•Relación de la función de transferencia y
7.6b cont.
la descripción en variables de estado
⎡ q1(
t)
⎤
⎡ Q1(
z)
⎤
q[n
+ 1] = Aq[n]
+ bx[n]
⎢
q t
⎥
⎢
Q z
⎥
t ⎢ 2(
)
⎥ z
z ⎢ 2(
)
; q(
) = ←⎯→
q
~
( ) = ⎥
y[n] = cq[n]
+ Dx[n]
⎢ M ⎥
⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣qN
( t)
⎦
⎣QN
( z)
⎦
z
q[n
+ 1] = Aq[n]
+ bx[n]
←⎯→
zq
~
( z)
− Aq
~
( z)
= bX
( z)
( zI
− A)
q
~
( z)
= bX
( z)
−
q
~
1
( z)
= ( zI
− A)
bX
( z)
z
y[n] = cq[n]
+ Dx[n]
←⎯→Y
( z)
= cq
~
( z)
+ D X ( z)
−1
Y ( z)
= [ c(
zI
− A)
b + d]
X ( z)
= H ( z)
X ( z)
−1
H ( z)
= c(
zI
− A)
b + d
La función de transferencia es invariante para una transformación
del vector de estado del sistema.
}
⇒
13

•Estabilidad y causalidad
7.6c cont.
CAUSAL ⇒ h[
n]
= 0 ∀n
< 0
z
h[
n]
←⎯→
H ( z)
⇒ h[
n]
: tranformadas
inversas laterales derechas
ESTABLE
7.6d cont.
h[n] es absolutamente sumable y existe su DTFT.
La ROC debe incluir el circulo de unitario en el plano z
Un polo dentro del circulo unitario aporta a la respuesta al impulso
un término lateral derecho que decae exponencialmente.
Un polo fuera del circulo unitario aporta a la respuesta al impulso
un término lateral izquierdo que decae exponencialmente.
14

7.6e cont.
Sistemas ESTABLES Y CAUSALES
Deben tener sus polos dentro del circulo unitario.
Dichos polos aportan términos exponenciales decrecientes laterales
derecho o causales a la respuesta al impulso.
•Sistemas inversos
y[
n]
= h[
n]
* x[
n]
x[
n]
= h
h
−1
H
−1
−1
[ n]
* y[
n]
[ n]
* h[
n]
= δ[
n]
1
( z)
= =
H ( z)
⇒
N
∑
k = 0
M
∑
k = 0
⇒
⇒
a
k
b z
k
Y ( z)
= H ( z)
X ( z)
z
−k
−k
X ( z)
= H
H
−1
= ~
b
k = 1
M
−1
( z)
H ( z)
= 1
N
∏
∏
k = 1
Sistema de FASE MÍNIMA :
todos sus ceros y polos están dentro
del circulo unitario, el sistema y su
inverso son estables y causales.
( z)
Y ( z)
( 1−
d z
k
−1
( 1−
c z
k
)
−1
)
;
~ b
b =
a
0
7.6f cont.
0
15

7.7 Estructuras de programación para
implementar sistemas en tiempo discreto
H ( z)
z
} ⇒ Y ( z)
= H ( z)
X ( z)
⇒ y[
n]
←⎯→Y
( z)
z
x[
n]
←⎯→
X ( z)
Hay muchas implementaciones de diagramas de bloques diferentes
que corresponden a un sistema con una característica entrada-salida.
Elegir optimizando criterios asociados con el cálculo :
-Número operaciones,
-Sensibilidad del sistema a los redondeos numéricos de los cálculos
En las representaciones mediante diagramas de bloques del Capitulo 2
implementamos sistemas descritos por ecuaciones en diferencia
Teníamos las operaciones :
Corrimiento en el tiempo, operador S (z -1 en transformadas z)
Multiplicación por constante
Sumas
Figure 2.33 (p. 162)
Block diagram representation of a discrete-time LTI system
described by a second-order difference equation.
Forma I directa
w[
n]
= b0x[
n]
+ b1x[
n −1]
+ b2x[
n − 2]
y[
n]
= −a1
y[
n −1]
− a2
y[
n − 2]
+ w[
n]
y[
n]
= −a1
y[
n −1]
− a2
y[
n − 2]
+ b0x[
n]
+ b1x[
n −1]
+ b2x[
n − 2]
y[
n]
+ a1y[
n −1]
+ a2
y[
n − 2]
= b0x[
n]
+ b1x[
n −1]
+ b2x[
n − 2]
n ≥ 0 ⇒ y[
−1],
y[
−2]
C.
I.
16

17
7.7a cont.
2
2
1
1
2
2
1
1
0
2
2
1
1
0
2
2
1
1
2
1
0
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
1
)(
(
.
.
0
]
2
[
]
1
[
0
]
2
[
]
1
[
]
[
]
2
[
]
1
[
]
[
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
−
=
−
⇒
≥
−
+
−
+
=
−
+
−
+
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
X
z
Y
z
H
z
b
z
b
b
z
X
z
a
z
a
z
Y
z
da
transforma
la
aplicando
nulas
I
C
y
y
n
n
x
b
n
x
b
n
x
b
n
y
a
n
y
a
n
y
Forma directa I
7.7b cont.
Para obtener la forma directa II :
[ ] [ ]
[ ]
2
2
1
1
2
2
2
1
1
0
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
0
2
2
1
1
2
2
1
1
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
=
+
+
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
=
z
a
z
a
z
H
z
b
z
b
b
z
H
z
F
z
H
z
Y
z
X
z
H
z
F
z
X
z
H
z
H
z
Y
z
H
z
H
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
X
z
Y
z
H
Forma directa II

Implementación en cascada
H ( z)
=
Implementación en paralelo
H ( z)
=
7.7c cont.
M
−k
∑b
M
k z ~
−1
b
= ∏ ( 1−
c
p
k=
k z )
k 0 1 =
=
N
N
− ∏ Hi
( z)
1
−k
∑ ∏ − d
i=
a
k = k z
1
k z ( 1 )
1
k=
0
Las H i (z) contienen subconjuntos distintos de ceros y polos de H(z).
Los H i (z) son de primero o segundo orden.
1
M
M
−k
−k
∑bk
z ∑bk
z
p
k = 0 a0
k = 0
=
=
N
N
− ∑ H i ( z)
1
−k
∑ ∏ − d
i=
a
k = k z 1
k z ( 1 )
1
k = 0
Cada H i (z) contiene un conjunto distinto de los polos de H(z), uno
o dos polos.
Problema 7.39
Dado el sistema definido por la ecuación en diferencias, dibuje una
implementación de diagrama de bloques como una combinación en
paralelo de secciones de segundo orden con coeficientes de valores
reales.
n
n
n
n
⎛ 1 ⎞ ⎛ j ⎞ ⎛ − j ⎞ ⎛ 1 ⎞
h[
n]
= 2⎜
⎟ u[
n]
+ ⎜ ⎟ u[
n]
+ ⎜ ⎟ u[
n]
+ ⎜−
⎟ u[
n]
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2 1 1 1
H[
z]
= + + +
1 −1
j −1
j −1
1 −1
1−
z 1−
z 1+
z 1+
z
2 2 2 2
1 −1
3 + z
2 2
H[
z]
= + = H1(
z)
+ H 2(
z)
1 −2
1 −2
1−
z 1+
z
4 4
18

Problema 7.39a
1
3+
z
H 2
1(
z)
=
1
1−
z
4
7.8 La transformada z unilateral.
X ( z)
= ∑ ∞
n=
0
x[
n]
z
zu
x[
n]
←⎯→
X ( z)
−n
;
−1
−2
;
2
H 2(
z)
=
1
1+
z
4
depende solo de x[
n]
, ∀n
≥ 0
Apropiada en problemas que incluyan señales y sistema causales
No necesitamos usar ROC.
Permite estudiar sistemas descritos por ecuaciones en diferencias
con condiciones iniciales no nulas.
Para señales causales coinciden las transformadas z bilateral y
unilateral.
Satisface las mismas propiedades que la transformada z bilateral
excepto la propiedad de corrimiento.
−2
19

20
7.8a cont.
Propiedad de corrimiento
0
,
]
1
[
]
1
[
]
0
[
]
[
0
,
]
1
[
]
1
[
]
[
]
[
]
1
[
]
1
[
)
(
]
[
)
(
]
1
[
]
[
]
1
[
]
[
]
1
[
]
1
[
]
1
[
]
1
[
]
[
)
(
]
[
)
(
;
]
1
[
]
[
1
1
1
1
0
1
0
)
1
(
1
1
0
0
0
>
∀
+
−
−
−
−
−
⎯→
←
−
>
∀
+
−
+
+
+
−
+
−
⎯→
←
−
+
−
⎯→
←
−
⎯→
←
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
−
+
−
=
−
=
=
=
−
=
−
−
+
−
−
−
−
∞
=
−
−
∞
=
+
−
−
=
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
k
z
k
x
z
x
z
x
k
n
x
k
z
x
z
k
x
k
x
k
n
x
x
n
x
z
X
n
x
z
X
z
x
z
m
x
z
x
z
m
x
x
z
n
x
x
z
n
x
z
n
w
z
W
z
n
x
z
X
n
x
n
w
k
k
z
k
z
z
z
m
m
m
m
n
m
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
X(z)
z
X(z)
z
X(z)
z
k
k
1
L
L
7.8b cont.
Solución de ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales
Las condiciones iniciales se incorporan como una propiedad de
corrimiento en el tiempo.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
[
]
[
]
[
,
],
2
[
],
1
[
]
[
0
,
]
1
[
]
1
[
]
[
]
[
)
(
)
(
1
0 1
0
0
0
0
1
1
z
Y
z
Y
z
A
z
C
z
X
z
A
z
B
z
Y
z
m
k
y
a
z
C
z
b
Z
B
z
a
z
A
z
X
z
B
z
C
z
Y
z
A
k
n
x
b
k
n
y
a
N
y
y
y
iniciales
s
condicione
N
X(z)
z
k
n
x
causal
sistema
k
z
x
z
k
x
k
x
k
n
x
n
f
N
m
m
N
m
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
M
k
z
k
N
k
k
k
z
k
z
u
u
+
=
−
=
+
−
=
=
=
=
+
⎯→
←
−
=
−
−
−
−
⇒
⎯→
←
−
⇒
>
∀
+
−
+
+
+
−
+
−
⎯→
←
−
∑∑
∑
∑
∑
∑
−
=
−
+
=
=
−
=
−
=
=
−
−
+
−
−
L
L X(z)
z k

Ejemplo 7.23_1
Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €
El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %
A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensuales
Determinar el balance al final de cada mes
Calcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balance
se haga cero.
Sea :
ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1,005
x[n] ingreso/adeudo mensual
y[n] balance después del ingreso/adeudo mensual
y[-1]=10.000 € condición inicial
Hay un retardo de 2 entre el índice temporal “n” y el índice del mes
y[n] representa el balance de la cuenta al principio del mes ”n+2”
El primer adeudo de 100 € lo realizaremos al principio del mes 13
(n=11)
Ejemplo 7.23_1a
y[
n]
− ρ y[
n −1]
= x[
n]
−1
Y ( z)
− ρ[
y[
−1]
+ z Y ( z)
] = X ( z)
−1
( 1−
ρ z ) Y ( z)
= X ( z)
+ ρ y[
−1]
X ( z)
ρ y[
−1]
Y ( z)
= + −1
−1
1−
ρ z 1−
ρ z
−11
z −100z
x[
n]
= −100u[
n −11]
←⎯→
X ( z)
= −1
1−
z
−11
−100z
1.
005(
10.
000)
( f ) ( n)
Y ( z)
=
+
= Y ( z)
+ Y ( z)
−1
−1
−1
( 1−
z )( 1−1,
005z
) 1−1,
005z
−11
−11
20.
000z
20.
000z
10.
050
Y ( z)
= − +
−1
−1
−1
1−
z 1−1,
005z
1−1,
005z
y[
n]
= 20.
000u[
n −11]
− 20.
000(
1,
005)
n−11
n
u[
n −11]
+ 10.
050(
1,
005)
u[
n]
El balance se hace cero al sacar dinero al principio del mes 163
21

Figure 7.30a (p. 601)
Solution to Example 7.23_1, depicted as a function of the
month. (a) Account balance at the start of each month
following possible withdrawal.
Figure 7.30b (p. 601)
(b) Natural response.
22

Ejemplo 7.23_2
Figure 7.30c (p. 602)
Forced response.
Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €
El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %
A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensuales
Determinar el balance al final de cada mes
Calcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balance
se haga cero.
Sea :
ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1.005
x[n] ingreso/adeudo mensual
y[n] balance después del ingreso/adeudo mensual
mes=1 , n=0 , y[0]=10.000 €
Hay un retardo de 1 entre el índice temporal “n” y el índice del mes
y[n] representa el balance de la cuenta en el mes ”n+1”
El primer adeudo de 100 € lo realizaremos en el mes 13 (n=12)
23

24
Ejemplo 7.23_2a
]
12
[
)
005
.
1
(
000
,
20
]
12
[
000
,
20
]
[
)
005
,
1
(
000
.
10
]
[
005
,
1
1
000
.
20
1
000
.
20
005
,
1
1
000
.
10
)
(
)
005
,
1
1
)(
1
(
100
005
,
1
1
000
.
10
)
(
1
100
000
.
10
)
(
]
12
[
100
]
[
000
.
10
]
[
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
]
[
]
1
[
]
[
12
1
12
1
12
1
1
1
12
1
1
12
1
1
1
−
−
−
+
=
−
−
−
+
−
=
=
−
−
−
−
=
−
−
=
⎯→
←
−
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
n
u
n
u
n
u
n
y
z
z
z
z
z
z
Y
z
z
z
z
z
Y
z
z
z
X
n
u
n
n
x
z
z
X
z
Y
z
X
z
Y
z
z
X
z
Y
z
z
Y
n
x
n
y
n
y
n
n
z
δ
ρ
ρ
ρ
ρ
El balance se hace cero al sacar dinero el mes 163
Problema 7.17

Problema 7.20
Problema 7.21
25

Problema 7.24
Problema 7.29
26

Problema 7.31
Problema 7.31
27

Problema 7.32
Problema 7.38
28

Problema 7.39
Problema 7.41
29

Problema 7.42
Problema 7.42
30