Radicales

Introducción a Radicales 

Simplificando Radicales 

Operaciones de Radicales 

Exponentes Racionales 

Radicales 

Dra. Karen R. Ríos-Soto 

Departamento de Ciencias Matemáticas 

Universidad de Puerto Rico - Mayaguez 

AFAMaC, 6 de septiembre de 2010 

Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales

Outline 





1 Introducción a Radicales 

Definición de Raíz Cuadrada 

Radicales con Variables y Enésimas Raices 

2 Simplificando Radicales 

Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales 

Simplificación de Radicales con Variables 

3 Operaciones de Radicales 

4 Exponentes Racionales 


Introducción 







Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación 

inversa, elevando un número a una potencia. 

El cuadrado de 5 es 5 2 = 25. 

El cuadrado de −5 es (−5) 2 = 25. 

El cuadrado de 1 

2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 

La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 5 2 = 25. 

La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5) 2 = 25. 

La raíz cuadrada de 1 1 

4 es 2 , pues 

1 2 1 

2 = 4 . 


Introducción 












2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 





1 2 1 

2 = 4 . 


Introducción 












2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 





1 2 1 

2 = 4 . 


Introducción 












2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 





1 2 1 

2 = 4 . 


Introducción 












2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 





1 2 1 

2 = 4 . 


Introducción 












2 es 

1 2 1 

2 = 4 . 





1 2 1 

2 = 4 . 








Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El 

símbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadrada 

positiva o principal de un número. Por ejemplo, 

√ 25 = 5 

El símbolo − √ es utilizado para la raíz cuadrada negativa. 

Por ejemplo, 

− √ 25 = −5. 








Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El 

símbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadrada 

positiva o principal de un número. Por ejemplo, 

√ 25 = 5 

El símbolo − √ es utilizado para la raíz cuadrada negativa. 

Por ejemplo, 

− √ 25 = −5. 


Outline 
















Raíz Cuadrada 

Definition 







La raíz cuadrada positiva o principal de un número positivo a 

se escribe como √ a. El negativo de la raíz cuadrada de a se 

escribe − √ a. 

√ a = b solo si b 2 = a y b > 0 

Además, la raíz cuadrada de 0, se escribe √ 0, es 0. 

El símbolo √ es llamado el radical o el signo de radical. La 

expresión dentro del radical es llamada el radicando. Una 

expresión que contiene un radical es llamada un expresión 

radical. 






Raices Cuadradas Irracionales 



¿La raíz cuadrada de un número negativo existe? 

Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es 

−4? 

NO 

Por ende, √ −4 no es un número real. 

Definition 

La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. 

Números tales como 1, 4, 9, 16 y 4 

25 son cuadrados perfectos. 

Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un 

número racional. 

Por ejemplo, √ 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional. 











−4? 

NO 


Definition 

















−4? 

NO 


Definition 

















−4? 

NO 


Definition 

















−4? 

NO 


Definition 

















−4? 

NO 


Definition 








Ejemplo 1 





Halle cada raíz cuadrada. 

a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 

Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales 


Radicales con Variables y Enésimas Raices

Ejemplo 1 






a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 




Ejemplo 1 






a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 




Ejemplo 1 






a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 




Ejemplo 1 






a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 




Ejemplo 1 






a. √ 36 

b. − √ 5 

c. 

9 

100 

d. − √ 64 

e. √ 0 

f. √ −25 




Outline 




















Radicales con Varibles 



Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que 

aparecen en el radicando de una expresión radical, 

representan sólo números positivos. 

y 2 = y pues (y) 2 = y 2 . 

√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 . 

√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 . 












y 2 = y pues (y) 2 = y 2 . 

√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 . 

√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 . 












y 2 = y pues (y) 2 = y 2 . 

√ x 8 = x 4 pues (x 4 ) 2 = x 8 . 

√ 9z 2 = 3z pues (3z) 2 = 9z 2 . 


Ejemplo 2 







Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable 

representa un número positivo. 

a. √ x 2 

b. √ x 6 

c. 16y 6 

d. − 

 

y 4 

25 


Ejemplo 2 









a. √ x 2 

b. √ x 6 

c. 16y 6 

d. − 

 

y 4 

25 


Ejemplo 2 









a. √ x 2 

b. √ x 6 

c. 16y 6 

d. − 

 

y 4 

25 


Ejemplo 2 









a. √ x 2 

b. √ x 6 

c. 16y 6 

d. − 

 

y 4 

25 


Otras Raices 







Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas. 

Por ejemplo, como 2 3 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8. 

En símbolos escribimos: 

3√ 8 = 2 - El número 3 es llamado el índice. 

3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 

Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número 

negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 


Otras Raices 











3√ 27 = 3, pues (3) 3 = 27. 

3√ −64 = 4, pues (−4) 3 = −64. 


negativo. 








Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es 

un número natural. 

En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribe 

como n√ a. 

El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada. 











como n√ a. 












como n√ a. 



Ejemplo 3 





Simplifica las siguientes expresiones. 

a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Ejemplo 3 






a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Ejemplo 3 






a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Ejemplo 3 






a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Ejemplo 3 






a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Ejemplo 3 






a. 

3√ 

−27 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

 

3 1 

125 

4√ 

16 

5√ 

−32 

3√ −8 

4√ 81 




Outline 






















Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no 

contiene cuadrados perfectos (diferente de 1). 

Por ejemplo, √ 20 no está simplificado por que 

√ 20 = √ 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto. 

Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12. 

Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16. 












Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12. 

Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16. 












Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12. 

Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16. 












Notar que √ 9 · 16 = √ 144 = 12 y √ 9 · √ 16 = 3 · 4 = 12. 

Por ende, √ 9 · 16 = √ 9 · √ 16. 








Regla del Producto y Cociente para Radicales 

Definition 

Si n√ a y n√ b son números reales, entonces 

Definition 

n√ a · b = n √ a · n√ b. 

Si n√ a y n√ b son números reales y b = 0, entonces 

 

n a 

b = 

n√ 

a 

n√ . 

b 








Regla del Producto y Cociente para Radicales 

Definition 


Definition 

n√ a · b = n √ a · n√ b. 


 

n a 

b = 

n√ 

a 

n√ . 

b 


Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 







Simplificación de Radicales con Variables

Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 








Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 








Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 








Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 








Ejemplo 4 

Simplifica. 

a. √ 54 

b. √ 35 

c. 

d. 

e. 

f. 

3 

64 

3√ 54 

3√ 18 

 

4 3 

16 








Outline 
















Ejemplo 5 







Simplifica. Asumir que las variables representan números 

positivos. 

a. √ x 5 

b. 8y 2 

c. 

45 

x 6 


Ejemplo 5 








positivos. 

a. √ x 5 

b. 8y 2 

c. 

45 

x 6 


Ejemplo 5 








positivos. 

a. √ x 5 

b. 8y 2 

c. 

45 

x 6 






Suma y Resta de Radicales 

La suma y resta de radicales sólo se puede hacer cuando los 

radicales son similares. 

Definition 

Radicales similares son expresiones radicales que tienen el 

mismo índice y el mismo radicando. 

Por ejemplo, 5 √ 3 + 2 √ 3 se puede simplificar pero 4 √ 7 + 4 3√ 7 

no. 


Ejemplo 6 

Simplifica. 

a. √ 10 − 6 √ 10 





b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7 

c. √ 50 + √ 8 

d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x 


Ejemplo 6 

Simplifica. 

a. √ 10 − 6 √ 10 





b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7 

c. √ 50 + √ 8 

d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x 


Ejemplo 6 

Simplifica. 

a. √ 10 − 6 √ 10 





b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7 

c. √ 50 + √ 8 

d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x 


Ejemplo 6 

Simplifica. 

a. √ 10 − 6 √ 10 





b. 2 3√ 7 − 5 3√ 7 − 3 3√ 7 

c. √ 50 + √ 8 

d. 2 √ x 2 − √ 25x + √ x 






Multiplicando y Diviendo Radicales 

Regla del Producto para Radicales: 

Definition 


n√ a · n √ b = n√ a · b. 

Regla del Cociente para Radicales: 

Definition 


n√ 

a 

n√ = 

b n 

 

a 

b 

siempre que b = 0. 






Multiplicando y Diviendo Radicales 

Regla del Producto para Radicales: 

Definition 


n√ a · n √ b = n√ a · b. 

Regla del Cociente para Radicales: 

Definition 


n√ 

a 

n√ = 

b n 

 

a 

b 

siempre que b = 0. 


Ejemplo 7 





A. Multiplica y simplifica de ser posible. 

a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 

B. Halle el producto y simplifique. 

a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 

C. Divida y simplifique de ser posible. 

a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 


Ejemplo 7 






a. √ 3 · √ 15 

3√ 3 

b. 4 · √ 18 


a. ( √ x + √ 2)( √ 3 − √ 2) 

b. ( √ 5 − 7)( √ 5 + 7) 


a. 

b. 

√ 100 

√ 10 

√ 12x 3 

√ 3x 






Racionalizando 

Para eliminar el radical del denominador en una expresión 

radical, multiplicamos tanto el denominador como el 

numerador por el mismo número diferente de cero. 

Equivalente a multiplicar la fracción por 1. 

Por ejemplo, en 

numerador por √ 2. 

√ 5 

√ 2 = 

√ 5· √ 2 

√ 2· √ 2 = 

√ 5 

√ 2 multiplicamos el denominador y el 

√ 10 

2 

Este proceso se conoce como racionalización. 













√ 5 

√ 2 = 

√ 5· √ 2 

√ 2· √ 2 = 

√ 5 


√ 10 

2 














√ 5 

√ 2 = 

√ 5· √ 2 

√ 2· √ 2 = 

√ 5 


√ 10 

2 














√ 5 

√ 2 = 

√ 5· √ 2 

√ 2· √ 2 = 

√ 5 


√ 10 

2 














√ 5 

√ 2 = 

√ 5· √ 2 

√ 2· √ 2 = 

√ 5 


√ 10 

2 







Para racionalizar el denominador que es una suma o resta 

tenemos que multiplicar tanto el numerador como el 

denominador por el conjugado del denominador. 

El conjugado de un número a + √ b es a − √ b. 

Recordar la diferencia de cuadrados, esto es 

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 

Por ejemplo, 

2 

4 + √ 3 = 

2(4 − √ 3) 

(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3) 

13 











(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 

Por ejemplo, 

2 

4 + √ 3 = 

2(4 − √ 3) 

(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3) 

13 











(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 

Por ejemplo, 

2 

4 + √ 3 = 

2(4 − √ 3) 

(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3) 

13 











(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 

Por ejemplo, 

2 

4 + √ 3 = 

2(4 − √ 3) 

(4 + √ 3)(4 − √ 3) = 2(4 − √ 3) 

13 


Ejemplo 8 





Racionalizar el denominador. 

2 a. √7 

 

1 b. 18x 

3√ 

7 

c. 

d. 

e. 

3√ 3 

√ 

√5+4 5−1 

√ 

√ 7√ 

8+ 2 


Ejemplo 8 






2 a. √7 

 

1 b. 18x 

3√ 

7 

c. 

d. 

e. 

3√ 3 

√ 

√5+4 5−1 

√ 

√ 7√ 

8+ 2 


Ejemplo 8 






2 a. √7 

 

1 b. 18x 

3√ 

7 

c. 

d. 

e. 

3√ 3 

√ 

√5+4 5−1 

√ 

√ 7√ 

8+ 2 


Ejemplo 8 






2 a. √7 

 

1 b. 18x 

3√ 

7 

c. 

d. 

e. 

3√ 3 

√ 

√5+4 5−1 

√ 

√ 7√ 

8+ 2 


Ejemplo 8 






2 a. √7 

 

1 b. 18x 

3√ 

7 

c. 

d. 

e. 

3√ 3 

√ 

√5+4 5−1 

√ 

√ 7√ 

8+ 2 







La raíz cuadrada de un número a se puede expresar como √ a 

y en forma exponencial como a 1/2 . 

Definition 

Si n es un entero positivo y n√ a es un número real, entonces 

a 1/n = n√ a. 

En general, si m y n son números enteros con n > 0 y si a es 

un número positivo, entonces 

a m/n = (a 1/n ) m = ( n√ a) m 


Ejemplo 9 





Escribe en forma radical y después simplifica. 

a. 25 1/2 

b. −16 1/4 

c. 4 3/2 

d. (−9) 2/3 


Ejemplo 9 






a. 25 1/2 

b. −16 1/4 

c. 4 3/2 

d. (−9) 2/3 


Ejemplo 9 






a. 25 1/2 

b. −16 1/4 

c. 4 3/2 

d. (−9) 2/3 


Ejemplo 9 






a. 25 1/2 

b. −16 1/4 

c. 4 3/2 

d. (−9) 2/3 






Si el exponente es un número racional negativo utilizar la 

siguiente definición. 

Definition 

Si a −m/n es un número real diferente de cero, entonces 

a −m/n = 1 

. 

am/n Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales

Ejemplo 10 





Escribe cada expresión como un exponente positivo y 

entonces simplifica. 

a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4 


Ejemplo 10 







a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4 


Ejemplo 10 







a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4 


Ejemplo 10 







a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4 


Ejemplo 10 







a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4 


Ejemplo 10 







a. (36) −1/2 

b. (16) −3/4 

c. 51/3 

5 2/3 

d. (x 1/4 ) 12 

x c. 1/5 

x −4/5 

 

y 3/5 2 

d. 

z 1/4

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