x - Medellín
x - Medellín x - Medellín
INTEGRACIÓN NUMÉRICA N Trapecios Simpson ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2. 2. 42211 2. 2. 42211 6 2. 42211 2. 42215 2. 2. 42283 10 42211 20 42211 4 42210 Problema 2. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmula de integración numérica del tipo 1 ∫ 0 f n () x dx ≈ ∑ A j f ( x j ) 6 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín j= 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro. Solución: De acuerdo con ele método de los coeficientes indeterminados, la fórmula buscada es del tipo: ∫ 1 0 () x dx ≈ A f () 0 + B f ( 1 / 4) + C f ( 1 / 2) + D f ( 3 4) + E f () 1 f $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! ! ! ! ! ! / ! ! ! " Formula donde A , B, C y D son coeficientes por determinar. Ahora bien, la fórmula buscada será exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 si y solamente si es exacta para las funciones polinómicas básicas de 2 3 4 grado ≤ 4 : 1, x , x , x y x . Luego las siguientes ecuaciones permitirán determinar los coeficientes A , B, C, D y E : E E E E E T T T T T 1 ⎛ ⎞ () 1 = 0 ⇔ A⋅1 + B ⋅1+ C ⋅1+ D ⋅1+ E ⋅1 = 1 ⎜ ⎟ ⎜ = ↑ ∫1dx ⎟ f ( x) ≡1 ⎝ 0 ⎠ 1 1 1 3 1 ⎛ ⎞ () x = 0 ⇔ A⋅ 0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1 = ⎜ ⎟ ⎜ = ↑ 4 2 4 2 ∫ xdx ⎟ f ( x) = x ⎝ 0 ⎠ 2 ( x ) 3 ( x ) 4 ( x ) 1 1 1 9 1 ⎛ ⎞ 2 = 0 ⇔ A⋅ 0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1 = ⎜ ⎟ ⎜ = ↑ 16 4 16 3 ∫ x dx ⎟ ⎝ 0 ⎠ f ( x) = x2 1 1 1 27 1 ⎛ ⎞ 3 = 0 ⇔ A⋅ 0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1 = ⎜ ⎟ ⎜ = ↑ 64 8 64 4 ∫ x dx ⎟ ⎝ 0 ⎠ f ( x) = x3 1 1 1 81 1 ⎛ ⎞ 4 = 0 ⇔ A⋅ 0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1 = ⎜ ⎟ ⎜ = ↑ 256 16 256 5 ∫ x dx ⎟ ⎝ 0 ⎠ f ( x) = x4 El sistema lineal resultante de 5 ecuaciones en las 5 incógnitas A , B, C, D y E tiene solución única.
MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch. Para trabajar en DERIVE, primero defina f () x : = 1, y FORMULA : = A f ( 0) + B f ( 1 / 4) + C f ( 1 / 2) + D f ( 3 / 4) + E f ( 1) . Si simplifica la formula para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado ≤ 4 : f () x : = 1 ; () x x f : = ; 2 f () x : = x ; 3 f () x : = x : 4 f () x : = x , se obtiene la expresión del lado izquierdo de cada una de las ecuaciones listadas antes. Se resuelve el sistema lineal resultante en la instrucción: _ I ( M , [ 1 , 1 1 1 1 2 , 3 , 4 , 5 ] ) Tal solución es: RESUELVA : Simplify, siendo M la matriz de coeficientes del sistema. 7 = 90 A , 16 32 = = 45 90 B , Luego la fórmula obtenida es: 1 ∫ 0 f 2 12 = = 15 90 C , 1 90 16 32 = = 45 90 D , 7 = 90 E . () x dx ≈ [ 7 f () 0 + 32 f ( 1 ) + 12 f ( 1 ) + 32 f ( 3 ) + 7 f () 1 ] que es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 . 4 b) Verifique que la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado 5. Solución: Como la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 , entonces para verificar que la fórmula es exacta para todos los polinomios de grado 5 es suficiente verificar que la 5 formula es exacta para el polinomio básico de grado 5, x : 0 ⎡ ⎢ 90 ⎢⎣ 5 5 5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 5 1 ⎡15360⎤ 5 () 0 + 32⎜ ⎟ + 12⎜ ⎟ + 32⎜ ⎟ + 7() 1 = FÓRMULA( x ) 1 5 1 1 x dx = = 7 = ∫ 6 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ La fórmula NO es exacta para todos los polinomios de grado 6, pues 1 6 1 55 x dx = ≠ = ∫ 0 7 384 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 7 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ FÓRMULA 4 90 ⎢ 1024 ⎥ ⎣ ⎦ 6 ( x ) c) Aproxime ln 2 , usando la fórmula obtenida en a) y calcule el error que se comete en la aproximación: 2 1 x Solución: Como ln 2 = ∫ dx , y la formula obtenida esta definida para integrales en el intervalo [ 0, 1] , 1 empezamos definiendo el siguiente cambio de variable x = t + 1 , dx = dt , con lo cual 2 1 = 1 90 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ln 2 = ∫ dx = ∫ dt ≈ FÓRMULA⎜ ⎟ x t + 1 ⎝ t + 1⎠ 0 ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 ⎞⎥ 4367 ⎢7⎜ ⎟ + 32⎜ ⎟ + 12⎜ ⎟ + 32⎜ ⎟ + 7⎜ ⎟⎥ = = 0.693174603... ⎢ ⎝ 0 + 1⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ 1 1 6300 1 1 1 ⎝ + ⎠⎥ ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
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MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.<br />
Para trabajar en DERIVE, primero defina f () x : = 1,<br />
y<br />
FORMULA : = A f ( 0) + B f ( 1 / 4)<br />
+ C f ( 1 / 2)<br />
+ D f ( 3 / 4)<br />
+ E f ( 1)<br />
.<br />
Si simplifica la formula para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado ≤ 4 : f () x : = 1 ;<br />
() x x<br />
f : = ;<br />
2<br />
f () x : = x ;<br />
3<br />
f () x : = x :<br />
4<br />
f () x : = x , se obtiene la expresión del lado izquierdo de cada<br />
una de las ecuaciones listadas antes.<br />
Se resuelve el sistema lineal resultante en la instrucción:<br />
_ I ( M , [ 1 , 1 1 1 1<br />
2 , 3 , 4 , 5 ] )<br />
Tal solución es:<br />
RESUELVA : Simplify, siendo M la matriz de coeficientes del sistema.<br />
7<br />
=<br />
90<br />
A ,<br />
16 32<br />
= =<br />
45 90<br />
B ,<br />
Luego la fórmula obtenida es:<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
f<br />
2 12<br />
= =<br />
15 90<br />
C ,<br />
1<br />
90<br />
16 32<br />
= =<br />
45 90<br />
D ,<br />
7<br />
=<br />
90<br />
E .<br />
() x dx ≈ [ 7 f () 0 + 32 f ( 1 ) + 12 f ( 1 ) + 32 f ( 3 ) + 7 f () 1 ]<br />
que es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 .<br />
4<br />
b) Verifique que la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado 5.<br />
Solución: Como la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 , entonces para<br />
verificar que la fórmula es exacta para todos los polinomios de grado 5 es suficiente verificar que la<br />
5<br />
formula es exacta para el polinomio básico de grado 5, x :<br />
0<br />
⎡<br />
⎢<br />
90 ⎢⎣<br />
5<br />
5<br />
5<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
5 1 ⎡15360⎤<br />
5<br />
() 0 + 32⎜<br />
⎟ + 12⎜<br />
⎟ + 32⎜<br />
⎟ + 7()<br />
1 =<br />
FÓRMULA(<br />
x )<br />
1<br />
5 1 1<br />
x dx = = 7<br />
=<br />
∫<br />
6<br />
⎝ 4 ⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎝ 4 ⎠<br />
La fórmula NO es exacta para todos los polinomios de grado 6, pues<br />
1<br />
6 1 55<br />
x dx = ≠ =<br />
∫<br />
0<br />
7<br />
384<br />
Universidad Nacional de Colombia - Sede <strong>Medellín</strong> 7<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
FÓRMULA<br />
4<br />
90 ⎢ 1024 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
6 ( x )<br />
c) Aproxime ln 2 , usando la fórmula obtenida en a) y calcule el error que se comete en la aproximación:<br />
2<br />
1<br />
x<br />
Solución: Como ln 2 = ∫ dx , y la formula obtenida esta definida para integrales en el intervalo [ 0, 1]<br />
,<br />
1<br />
empezamos definiendo el siguiente cambio de variable x = t + 1 , dx = dt , con lo cual<br />
2<br />
1<br />
=<br />
1<br />
90<br />
1<br />
1 1<br />
⎛ 1 ⎞<br />
ln<br />
2 = ∫ dx = ∫ dt ≈ FÓRMULA⎜<br />
⎟<br />
x t + 1<br />
⎝ t + 1⎠<br />
0<br />
⎡<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⎢<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎛ 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 ⎞⎥<br />
4367<br />
⎢7⎜<br />
⎟ + 32⎜<br />
⎟ + 12⎜<br />
⎟ + 32⎜<br />
⎟ + 7⎜<br />
⎟⎥<br />
= = 0.693174603...<br />
⎢ ⎝ 0 + 1⎠<br />
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ 1 1 6300<br />
1 1 1<br />
⎝ + ⎠⎥<br />
⎢<br />
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟<br />
⎣<br />
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
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