x - Medellín

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
N Trapecios Simpson ⎟
⎝ 3 ⎠
2. 2. 42211
2. 2. 42211
6 2. 42211 2. 42215
2. 2. 42283
10 42211
20 42211
4 42210
Problema 2. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmula de
integración numérica del tipo
1
∫
0
f
n
() x dx ≈ ∑ A j f ( x j )
6 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
j=
1
⎛ 1 ⎞
⎜
que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.
Solución: De acuerdo con ele método de los coeficientes indeterminados, la fórmula buscada es del tipo:
∫
1
0
() x dx ≈ A f () 0 + B f ( 1 / 4)
+ C f ( 1 / 2)
+ D f ( 3 4)
+ E f () 1
f
$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! ! ! ! ! !
/
! ! !
"
Formula
donde A , B,
C y D son coeficientes por determinar. Ahora bien, la fórmula buscada será exacta para
todos los polinomios de grado ≤ 4 si y solamente si es exacta para las funciones polinómicas básicas de
2 3 4
grado ≤ 4 : 1, x , x , x y x .
Luego las siguientes ecuaciones permitirán determinar los coeficientes A , B,
C,
D y E :
E
E
E
E
E
T
T
T
T
T
1
⎛ ⎞
() 1 = 0 ⇔ A⋅1
+ B ⋅1+
C ⋅1+
D ⋅1+
E ⋅1
= 1 ⎜ ⎟
⎜
=
↑
∫1dx
⎟
f ( x)
≡1
⎝ 0 ⎠
1
1 1 3 1 ⎛ ⎞
() x = 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
4 2 4 2 ∫ xdx
⎟
f ( x)
= x
⎝ 0 ⎠
2 ( x )
3 ( x )
4 ( x )
1
1 1 9 1 ⎛ ⎞ 2
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
16 4 16 3 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x2
1
1 1 27 1 ⎛ ⎞ 3
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
64 8 64 4 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x3
1
1 1 81 1 ⎛ ⎞ 4
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
256 16 256 5 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x4
El sistema lineal resultante de 5 ecuaciones en las 5 incógnitas A , B,
C,
D y E tiene solución única.