x - Medellín
x - Medellín x - Medellín
INTEGRACIÓN NUMÉRICA ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA APROXIMACIÓN I. Regla de los Trapecios: El error total al aplicar la regla de los Trapecios para aproximar el valor de la longitud del arco L de la elipse es E T 3 h = − 12 Nf ′ b − a 12 2 () ξ = −h f ′′ () ξ ⎛ ⎞ con ∈ ⎜0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ π ξ , = es decir, el error al aproximar L mediante la regla de los Trapecios con N 10 , es 3 4 E T π 2 ⎛ π ⎞ = −⎜ ⎟ 2 f ′ ⎝ 20 ⎠ 12 2 Como f () t = 2 1− cos t , entonces f ′′ () t y f ′ () t () ξ = es como se indica en la siguiente figura: = ⎛ ⎞ con ∈ ⎜0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ π 3cos ξ , ( h = ) 3sen 4 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 2 t − π 20 3 2 2 ( 3sen t + 1) 2 3sen t + 1 De acuerdo con la gráfica se tiene que Max f () t = f () 0 = 3 , así que E T ⎡ π ⎤ t∈⎢0, 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 ′ ⎛ π ⎞ π ≤ ⎜ ⎟ 3 = 0. 0096... < 0. 05 = 5× 10 ⎝ 20 ⎠ 24 ′ 2 t −2 . La gráfica de la función lo que garantiza, despreciando errores de redondeo, que el número 42211 2. aproxima al valor exacto de L con una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta.
MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch. ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ II. Regla de Simpson ⎜ ⎟ : El error total al aplicar la regla de Simpson ⎜ ⎟⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 es decir, valor de la longitud del arco L de la elipse es 2 Como f () t = − t , y E T 3 2 1 cos 4 indica en figura siguiente: entonces Max ⎡ π ⎤ t∈⎢0, 2 ⎥ ⎣ ⎦ f 5 h N ( iv) 4 b − a ( iv) ⎛ ⎞ = − f () ξ = −h f () ξ con ∈ ⎜0 ⎟ 90 2 180 ⎝ 2 ⎠ π ξ , E T 4 ⎛ π ⎞ π ( iv) ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ f () ξ con ∈ ⎜0 ⎟ ⎝ 20 ⎠ 360 ⎝ 2 ⎠ π ξ , ( iv) f () t ( iv) ( iv) () t = f () 0 = 39 , así que ET 4 1 para aproximar el es una función muy complicada, pero su gráfica es como se ⎛ π ⎞ π ≤ ⎜ ⎟ 39 = 2. 07... × 10 ⎝ 20 ⎠ 360 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 5 −4 < 5× 10 lo que garantiza, despreciando los errores de redondeo, que el número 2. 42211 aproxima al valor exacto de L con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas (4, 2, 2). ⎛ 1 ⎞ para distintos valores Otros resultados obtenidos utilizando las reglas de los Trapecios y Simpson ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ de N son ( iv ) y = f () t −4
- Page 1 and 2: MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar
- Page 3: MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar
- Page 7 and 8: MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar
INTEGRACIÓN NUMÉRICA<br />
ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA APROXIMACIÓN<br />
I. Regla de los Trapecios: El error total al aplicar la regla de los Trapecios para aproximar el valor<br />
de la longitud del arco L de la elipse es<br />
E T<br />
3<br />
h<br />
= −<br />
12<br />
Nf<br />
′<br />
b − a<br />
12<br />
2 () ξ = −h<br />
f ′′ () ξ<br />
⎛ ⎞<br />
con ∈ ⎜0<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
π<br />
ξ ,<br />
=<br />
es decir, el error al aproximar L mediante la regla de los Trapecios con N 10 , es<br />
3<br />
4<br />
E T<br />
π<br />
2<br />
⎛ π ⎞<br />
= −⎜<br />
⎟<br />
2 f ′<br />
⎝ 20 ⎠ 12<br />
2<br />
Como f () t = 2 1−<br />
cos t , entonces f ′′ () t<br />
y f ′<br />
() t<br />
() ξ<br />
= es como se indica en la siguiente figura:<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
con ∈ ⎜0<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
π<br />
3cos<br />
ξ , ( h = )<br />
3sen<br />
4 Universidad Nacional de Colombia - Sede <strong>Medellín</strong><br />
2<br />
t<br />
−<br />
π<br />
20<br />
3<br />
2<br />
2 ( 3sen<br />
t + 1)<br />
2 3sen<br />
t + 1<br />
De acuerdo con la gráfica se tiene que Max f () t = f () 0 = 3 , así que<br />
E T<br />
⎡ π ⎤<br />
t∈⎢0,<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
2<br />
′<br />
⎛ π ⎞ π<br />
≤ ⎜ ⎟ 3 = 0.<br />
0096...<br />
< 0.<br />
05 = 5×<br />
10<br />
⎝ 20 ⎠ 24<br />
′<br />
2<br />
t<br />
−2<br />
. La gráfica de la función<br />
lo que garantiza, despreciando errores de redondeo, que el número 42211<br />
2. aproxima al valor exacto de<br />
L con una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta.
Change language