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INTEGRACIÓN NUMÉRICA 16 − 3x 4 − x de discontinuidad de la función f definida por () 2 f 2 Universidad Nacional de Colombia - Sede <strong>Medellín</strong> x 1 2 2 = para ∈[ 0, 2] 2 1 16 − 3x (pendiente infinita!), un intento de aproximar L es calculando dx 2 2 4 − x ∫ − 2 ε 0 x , está en x = 2 con ε > 0 pequeño. Haciendo los cálculos de esta integral para distintos valores de ε , aplicando las reglas de los Trapecios y ⎛ 1 ⎞ con N = 10 , se obtienen los resultados que aparecen en la siguiente tabla: Simpson ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ b = 2 − ε Trapecios ⎛ 1 ⎞ Simpson ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 1. 9 2. 10730 2. 09374 1. 99 2. 57033 2. 45433 1. 999 3. 66209 3. 18809 1. 9999 7. 08111 5. 46804 Las instrucciones en DERIVE para los cálculos anteriores, son: Trapecio ( f () x , x, a, b, 10) ; ( f () x , x, a, b, 10) Simpson : approX. Estos resultados indican que no es una estrategia apropiada la que se intentó para aproximar la longitud − L (Por qué? Observe que f () b → +∞ cuando b → 2 ). Otra forma de resolver el problema planteado es parametrizando la elipse: 2 2 x y ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ + = 1 ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 4 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ Una parametrización de la cuarta parte de la longitud de la elipse indicada en el dibujo es En este caso la longitud L viene dada por L = = π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 ⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ 4 2 ⎛ dy ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ 2 ( 1− cos t) 2 + cos dt = 2 ⎧x = 2cost π ⎨ , 0 ≤ t ≤ ⎩y = sent 2 π 2 ∫ 0 t dt = 2 ( − 2sent ) + ( cost ) π 2 ∫ 0 2 4 − 3cos 2 2 2 t dt = dt = π π 2 ∫ 0 4sen t + cos 2 3 2 ∫ 2 1− cos tdt 4 0 $ ! ! # ! ! " integral elíptica de segunda clase 2 2 t dt
MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch. 3 2 ⎡ ⎤ Si f () t = 2 1− cos t , entonces f es continua en el intervalo finito 4 ⎢0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ π ⎛ 1 ⎞ las reglas de los Trapecios y Simpson ⎜ ⎟ para aproximar la longitud L. ⎝ 3 ⎠ Si N = 10 , entonces el tamaño de paso es b − a π = = N 20 ⎡ ⎤ intervalo ⎢0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ π , son: x 0 = 0 , x 1 π = , x 2 20 2π = , 20 3π 3 = 20 7π x 7 = , x 8 20 8π = , x 9 20 9π = y x 10 20 10π π = = . 20 2 Al aplicar la regla de los Trapecios, se obtiene: h ⎧ L ≈ ⎨ f 2 ⎩ () 0 = 2. 42211 ⎛ ⎞ Al aplicar la regla de Simpson ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ h ⎧ L ≈ ⎨ f 3 ⎩ () 0 = 2. 42211 , , así que se pueden aplicar h , así que los puntos de la partición en el x , ⎛ ⎛ π ⎞ ⎞ ⎜Trapecio ⎜ f () t , t, 0, , 10⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ 4π = 20 x , Universidad Nacional de Colombia - Sede <strong>Medellín</strong> 3 4 5 5π = 20 x , ⎛ 6π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 8π ⎞ ⎛ 9π ⎞⎤ ⎫ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥ ⎬ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦ ⎭ 6 6π = 20 x , ⎛π ⎞ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 4π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + f ⎜ ⎟ + 2 ⎢ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ + 2 ⎡ ⎢ ⎣ 1 , se obtiene: ⎛π ⎞ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 9π ⎞⎤ + f ⎜ ⎟ + 4 ⎢ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ ⎛ 6π ⎞ ⎛ 8π ⎞⎤ ⎫ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥ ⎬ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦ ⎭ ⎛ ⎛ π ⎞ ⎞ ⎜ Simpson ⎜ f () t , t, 0, , 10⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ 3 2 1 cos 4 2 En DERIVE para producir la tabla de valores de la función f () t = − t , ejecutamos la ⎛ ⎡ ⎞ ⎜ 3 ⎤ π π ⎟ ⎜ ⎢ , 2 1− cos ⎥ , t , 0, , ⎟ ⎝ ⎣ 4 ⎦ 2 20 ⎠ 2 instrucción VECTOR t t :approX. (Con DERIVE: Calculus-Integrate:approX, aplicado a la integral en consideración, produce el valor aproximado L ≈ 2. 42211)
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