Examen Departamental Junio 2006

Materia: Métodos Numéricos
Semestre: Febrero-Junio 2006
Examen: Departamental
Nombre del Alumno:
Fecha:
Resuelve 7 de los siguientes 10 ejercicios.
1. (a) Determina en que intervalo deberá estar un numero real ˜x para aproximar
con un error relativo menor o igual que 10 −4 al numero x = √ 2.
(b) Calcula el error absoluto y el error relativo entre x = π y ˜x = 22/7.
2. Resuelve con aritmética de redondeo a cuatro cifras decimales el sistema de
ecuaciones lineales
1,130x − 6,990y = 14,20
1,013x − 6,099y = 14,22
3. (a) ¿Qué tipo de matrices tienen una factorización de Cholesky?
(b) Obtén la factorización Cholesky de la matriz A, donde
⎡
A = ⎣
4
−1
−1
4
⎤
0
−1 ⎦
0 −1 4
4. Considera la sucesión x1 = 1
2 , xn+1 = cos(xn). ¿Converge esta sucesión en
el intervalo [0, 3π
4 ]? Justifica tu respuesta. ¿Que propiedad (con respecto a la
función cos(x)) tiene el punto de convergencia.
5. (a) Usa el método de la biseción para encontrar la raíz de
x 3 + 14x − 6 = 0
en el intervalo [0, 1] con un error relativo menor o igual a 10 −2 .
(b) Usa el método de Newton-Raphson con x0 = 3
4 para encontrar la raíz de
x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0
con un error absoluto menor o igual a 10 −1 .
6. Construye los polinomios interpolantes de Lagrange para aproximar la siguiente
función. f(x) = e 2x Cos(2x), x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6, n = 2.
7. Da los primeros 3 polinomios de Legendre.
Av. Universidad 1001. Col. Chamilpa
Cuernavaca, Morelos. C. P. 62209

8. La regla trapezoidal esta dada por la formula
x1
f(x)dx = h
2 [f(x0) + f(x1)] − h3 ′′
f (ξ)
12
x0 ≤ ξ ≤ x1.
x0
Encuentra un h tal que el error relativo entre el valor exacto de la integral I y su
valor aproximado via la regla trapezoidal sea menor que 10 −2 , donde
I =
1
0,5
x 4 dx.
9. Por medio de la integración de Romberg calcula R3,3 para la integral
1,5
1
x 2 dx
10. En la cuadratura gaussiana se aproxima la integral
por medio de la fórmula
1
−1
f(x)dx
n
cif(xi).
i=1
(a) ¿Qué relación tienen los nodos xi con el polinomio de Legendre?
(b) Da una fórmula para calcular los ci.
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