Regla de la Cadena

Ejemplo: ¿En que dirección desde (0, 1) crece más rápido f(x, y) = x 2 − y 2 ?
Solución: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, −2)
Ahora cuando hablamos de los conjuntos φ niveles f(x, y) = k, si tenemos que
c(t) ∈ f
∴ f ′ (c(t)) = 0
∴ ∇f(c(0)) · v = 0
Si v es un vector tangente t = 0 entonces ∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel.
El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R 3 → R una aplicación C 1 y
sea (x0, y0, z0) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f(x, y, z) = k, k = cte.
Entonces ∇f(x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si v es el
vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x0, y0, z0 entonces ∇f · v = 0
Demostración: Sea c(t) en S, entonces f(c(t)) = k. Sea v como en la hipotesis entonces
v = c ′ (0) ∴ 0 = d
df f(c(t))
∇f(c(0)) · v
t=0
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