Regla de la Cadena

Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u 2 + v 2 − w donde u(x, y, z) =
x 2 y, v(x, y, z) = y 2 , w(x, y, z) = e −xz asi
∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
+ +
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x = 2x2y(2xy) + ze −xz
Teorema: Si f : R 3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen.
La derivada
direccional en x en la dirección v esta dada por Dfv(x) = gradf(x) · v =
∂f
∇f(x) · v =
∂x (x)
∂f
v1 +
∂y (x)
∂f
v2 +
∂z (x)
v3
Demostración: Sea c(t) = x + tv de manera f(x + tv) = f(c(t)) aplicando el caso
particular de la regla de la cadena df(c(t))
= ∇f(c(t)) · d(t)
dt
por otro lado c(0) = f(x), c ′ (t) = v ∴ c ′ (0) = v asi que
df(x + tv
Dfv(x) =
dt
= ∇f(x) · v
Ejemplo: Sean f(x, y, z) = z2e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector
1
unitario v = √3 , 1 √ ,
3 1
√ en (1,0,0)
3
Solución :
t=0
∇f · v = (2xe −yz , −zx 2 e −yz , −yx 2 e −yz ) (1,0,0) ·
= (2, 0, 0)
= 2
√ 3
√3 1 , 1 √ ,
3 1
√
3
√3 1 , 1 √ ,
3 1
√
3
Teorema: ‘Supongamos que ∇f(x) = 0. Entonces ∇f(x) apunta en la dirección a lo largo de
la cual f crece mas rapido.
Demostración: Si v es una recta unitaria, la razón de cambio de f en la dirección v esta
dada por ∇f(x) · v y ∇f(x) · v = ∇f(x)v cos θ = ∇f(x) cos θ donde θ es el
ángulo entre ∇f(x), v. Este es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f(x),
son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f
va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la dirección en la cual f decrece
más rápido, habremos de proceder en la dirección −∇f(x).
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