Regla de la Cadena

Caso particular de la regla de la cadena
Supongamos que C : R → R 3 es una trayectoria diferencias y f : R 3 → R. Sea h(t) = f(c(t)) =
f(x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = x(t), y(t), z(t). Entonces
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Esto es ∂h
∂t = ∇f(c(t)) · c′ (t) donde c ′ (t) = (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
Demostración: Por definición ∂h
∂t (t0) = lím
t→0
h(t) − h(t0)
t − t0
= f(c(t)) − f(c(t0))
t − t0
h(t) − h(t0)
t − t0
= f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
t − t0
=
sumando y restando
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) + f(x(t0), y(t), z(t))
−f(x(t0), y(t0), z(t)) + f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
Aplicando el Teorema del Valor Medio
t − t0
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) = ∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0))
∂x
f(x(t0), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t)) = ∂f
(x(t), d, z(t))(y(t) − y(t0))
∂y
f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0)) = ∂f
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0))
∂z
∴ (∗) =
∂f
(x(t)−y(t))
(c, y(t), z(t)) ∂x t−t0
+
∂f
(y(t)−y(t0))
(x(t), d, z(t)) ∂y t−t0
+
∂f
(z(t)−z(t0))
(x(t), y(t), e) ∂z t−t0
tomando el lím y por la continuidad de las parciales
t→t0
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
1
. . . (∗)