Regla de la Cadena
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Ahora cuando hab<strong>la</strong>mos <strong>de</strong> los conjuntos <strong>de</strong> nivel f(x, y = k), si tenemos que c(t)ɛf<br />
f(c(t)) = K ∴ f ′ (c(t)) = 0<br />
∴ ∇f(c(0)) · v = 0<br />
Si v es un vector tangente t=0 entonces<br />
∇f es ortogonal a los conjuntos <strong>de</strong> nivel<br />
El gradiente es normal a <strong>la</strong>s superficies <strong>de</strong> nivel. Sea f : R 3 → R una aplicación C 1 y sea (x0, y0, z0) un<br />
punto sobre <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> nivel S <strong>de</strong>finida por f(x, y, z) = k, k = cte. Entonces ∇f(x0, y0, z0) Es normal<br />
a <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> enivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 <strong>de</strong> una trayectoria c(t)<br />
con c(0) = (x0, y0, z0) entonces ∇f · v = 0.<br />
Dem: Sea c(f) en S, entonces f(c(t)) = K.<br />
Sea v como en <strong>la</strong> hipotesis entonces<br />
v = c ′ (0) ∴ 0 = d<br />
dt f(c′ <br />
<br />
(t)) ∇f(c(0)) · v<br />
3<br />
t=0