Regla de la Cadena

Aplicando el T.V.M.
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) = ∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0))
∂x
f(x(t0), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t)) = ∂f
(x(t), d, z(t)(y(t) − y(t0))
∂y
f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0)) = ∂f
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0))
∂y
∴ ∗ = ∂f
∂f
∂f
(c, y(t), z(t))(x(t)−x(t0))+ (x(t), d, z(t))(y(t)−y(t0))+
∂x ∂y ∂z (x(t), y(t), e)(z(t)−z(t0)) tomando
lím t → t0 y por la continuidad de las parciales
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u2 +v2−w donde u(x, y, z) = x2y, v(x, y, z) =
y2 , w(x, y, z) = e−xz así ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
+ +
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x = 2x2y(2xy) + ze −xy
n
1=1
Ejemplo:¿En que dirección desde (0, 1) crece mas rapido f(x, y) = x2 − y2 ?
Sol: El gradiente es ∇f = (2x, −2y) (0,1) = (0, 2)
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