Regla de la Cadena

Regla de la Cadena
Teorema: Si f : R3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La
derivada direccional en x en la dirección v está dada por
∂f
Dfv(x) = gradf(x) · v = ∇f(x) · v =
∂x (x)
∂f
v1 +
∂y (x)
∂f
v2 +
∂z (x)
v3
Dem: Sea c(t) = x + tv de manera f(x + tv) = f(c(t)) aplicando el caso particular de la regla de la cadena
df(c(t))
= ∇f(c(t)) · d(t)
dt
por otro lado c(0) = f(x), c ′ (t) = v por lo tanto c ′ (0) = v, así que
Dfv(x) =
df(x + tv)
dt
t=0
= ∇f(x) · v
Ejemplo: Sean f(x, y, z) = z 2 e −yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector unitario
v = ( 1 √ 3 , 1 √ 3 , 1 √ 3 ) en (1, 0, 0)
Solución:
∇f · v = (2xe −yz , −zx 2 e −yz , −yx 2 e −yz ) (1,0,0) · ( 1 √ 3 , 1 √ 3 , 1 √ 3 ) = (2, 0, 0)( 1 √ 3 , 1 √ 3 , 1 √ 3 ) = 2 √ 3
Teorema: Supongamos que ▽f(x) = 0. Entonces ∇f(x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f
crece mas rapido.
Dem: Si v es un vector unitario, la razón de cambio de f en la direccón de v esta dada por ∇f(x) · v y
∇f(x) · v = ∇f(x)vCosθ = ∇f(x)Cosθ donde θ es el ángulo entre ∇f, v. Esta es máximo cuando
θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f son paralelos. En otras palabras , si queremos movernos en una direcciön
en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la direcciön en la cual f decrece más
rapido, habemos de proceder en la dirección ∇f.
Caso particular de la regla de la cadena
Supongamos que C : R → R 2 es una trayectoria diferenciable y f : R → R. Sea h(t) = f(c(t)) =
f(x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces
Esto es ∂h
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
∂t = ∇f(c(t)) · c′ (t) donde c ′ (t) = (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
Dem: Por definición dh
dt (t0)
h(t) − h(t0)
h(t) − h(t0)
= lím
sumando y restando =
t→0 t − t0
t − t0
f(c(t)) − f(c(t0))
=
t − t0
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
=
t − t0
f(x(t), y(t), z(t))
t − t0
+ −f(x(t0), y(t), z(t)) + f(x(t0), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t)) + f(x(t0)), y(t0), z((t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
t − t0
1
(∗)

Aplicando el T.V.M.
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) = ∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0))
∂x
f(x(t0), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t)) = ∂f
(x(t), d, z(t)(y(t) − y(t0))
∂y
f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0)) = ∂f
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0))
∂y
∴ ∗ = ∂f
∂f
∂f
(c, y(t), z(t))(x(t)−x(t0))+ (x(t), d, z(t))(y(t)−y(t0))+
∂x ∂y ∂z (x(t), y(t), e)(z(t)−z(t0)) tomando
lím t → t0 y por la continuidad de las parciales
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u2 +v2−w donde u(x, y, z) = x2y, v(x, y, z) =
y2 , w(x, y, z) = e−xz así ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
+ +
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x = 2x2y(2xy) + ze −xy
n
1=1
Ejemplo:¿En que dirección desde (0, 1) crece mas rapido f(x, y) = x2 − y2 ?
Sol: El gradiente es ∇f = (2x, −2y) (0,1) = (0, 2)
2

Ahora cuando hablamos de los conjuntos de nivel f(x, y = k), si tenemos que c(t)ɛf
f(c(t)) = K ∴ f ′ (c(t)) = 0
∴ ∇f(c(0)) · v = 0
Si v es un vector tangente t=0 entonces
∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel
El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R 3 → R una aplicación C 1 y sea (x0, y0, z0) un
punto sobre la superficie de nivel S definida por f(x, y, z) = k, k = cte. Entonces ∇f(x0, y0, z0) Es normal
a la superficie de enivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t)
con c(0) = (x0, y0, z0) entonces ∇f · v = 0.
Dem: Sea c(f) en S, entonces f(c(t)) = K.
Sea v como en la hipotesis entonces
v = c ′ (0) ∴ 0 = d
dt f(c′
(t)) ∇f(c(0)) · v
3
t=0

Caso particular de la regla de la cadena
Supongamos que C : R → R 3 es una trayectoria diferencias y f : R 3 → R. Sea h(t) = f(c(t)) =
f(x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = x(t), y(t), z(t). Entonces
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Esto es ∂h
∂t = ∇f(c(t)) · c′ (t) donde c ′ (t) = (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
Demostración: Por definición ∂h
∂t (t0) = lím
t→0
h(t) − h(t0)
t − t0
= f(c(t)) − f(c(t0))
t − t0
h(t) − h(t0)
t − t0
= f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
t − t0
=
sumando y restando
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) + f(x(t0), y(t), z(t))
−f(x(t0), y(t0), z(t)) + f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0))
Aplicando el Teorema del Valor Medio
t − t0
f(x(t), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t), z(t)) = ∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0))
∂x
f(x(t0), y(t), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t)) = ∂f
(x(t), d, z(t))(y(t) − y(t0))
∂y
f(x(t0), y(t0), z(t)) − f(x(t0), y(t0), z(t0)) = ∂f
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0))
∂z
∴ (∗) =
∂f
(x(t)−y(t))
(c, y(t), z(t)) ∂x t−t0
+
∂f
(y(t)−y(t0))
(x(t), d, z(t)) ∂y t−t0
+
∂f
(z(t)−z(t0))
(x(t), y(t), e) ∂z t−t0
tomando el lím y por la continuidad de las parciales
t→t0
∂h
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + +
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
1
. . . (∗)

Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u 2 + v 2 − w donde u(x, y, z) =
x 2 y, v(x, y, z) = y 2 , w(x, y, z) = e −xz asi
∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w
+ +
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x = 2x2y(2xy) + ze −xz
Teorema: Si f : R 3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen.
La derivada
direccional en x en la dirección v esta dada por Dfv(x) = gradf(x) · v =
∂f
∇f(x) · v =
∂x (x)
∂f
v1 +
∂y (x)
∂f
v2 +
∂z (x)
v3
Demostración: Sea c(t) = x + tv de manera f(x + tv) = f(c(t)) aplicando el caso
particular de la regla de la cadena df(c(t))
= ∇f(c(t)) · d(t)
dt
por otro lado c(0) = f(x), c ′ (t) = v ∴ c ′ (0) = v asi que
df(x + tv
Dfv(x) =
dt
= ∇f(x) · v
Ejemplo: Sean f(x, y, z) = z2e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector
1
unitario v = √3 , 1 √ ,
3 1
√ en (1,0,0)
3
Solución :
t=0
∇f · v = (2xe −yz , −zx 2 e −yz , −yx 2 e −yz ) (1,0,0) ·
= (2, 0, 0)
= 2
√ 3
√3 1 , 1 √ ,
3 1
√
3
√3 1 , 1 √ ,
3 1
√
3
Teorema: ‘Supongamos que ∇f(x) = 0. Entonces ∇f(x) apunta en la dirección a lo largo de
la cual f crece mas rapido.
Demostración: Si v es una recta unitaria, la razón de cambio de f en la dirección v esta
dada por ∇f(x) · v y ∇f(x) · v = ∇f(x)v cos θ = ∇f(x) cos θ donde θ es el
ángulo entre ∇f(x), v. Este es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f(x),
son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f
va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la dirección en la cual f decrece
más rápido, habremos de proceder en la dirección −∇f(x).
2

Ejemplo: ¿En que dirección desde (0, 1) crece más rápido f(x, y) = x 2 − y 2 ?
Solución: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, −2)
Ahora cuando hablamos de los conjuntos φ niveles f(x, y) = k, si tenemos que
c(t) ∈ f
∴ f ′ (c(t)) = 0
∴ ∇f(c(0)) · v = 0
Si v es un vector tangente t = 0 entonces ∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel.
El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R 3 → R una aplicación C 1 y
sea (x0, y0, z0) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f(x, y, z) = k, k = cte.
Entonces ∇f(x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si v es el
vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x0, y0, z0 entonces ∇f · v = 0
Demostración: Sea c(t) en S, entonces f(c(t)) = k. Sea v como en la hipotesis entonces
v = c ′ (0) ∴ 0 = d
df f(c(t))
∇f(c(0)) · v
t=0
3