tema 4: heteroscedasticidad y normalidad - Departamento de ...
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PUBLICACIONES DE 3 er CURSO<br />
Licenciatura: L.A.D.E.<br />
Asignatura: ECONOMETRÍA II<br />
TEMA 4: HETEROCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD<br />
Autores: Mª Isabel Ayuda, Ana Angulo y Jesús Mur<br />
Profesores: Mª Isabel Ayuda, Ana Angulo<br />
<strong>Departamento</strong>: ANÁLISIS ECONÓMICO<br />
Curso Académico<br />
2006/07<br />
Facultad <strong>de</strong> Ciencias Económicas y Empresariales<br />
_<br />
Universidad <strong>de</strong> Zaragoza<br />
1
TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD<br />
1.- Introducción<br />
2.- Causas y consecuencias <strong>de</strong> la <strong>heteroscedasticidad</strong><br />
3.-Contrastes <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong><br />
3.1.- Contraste <strong>de</strong> White<br />
3.2.- Contraste LM <strong>de</strong> Breusch-Pagan<br />
3.3.- Contraste <strong>de</strong> Goldfeld y Quandt<br />
4.- Soluciones posibles<br />
5.- Predicción<br />
6.- Contrastes <strong>de</strong> Normalidad<br />
2
TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD<br />
1.- INTRODUCCIÓN<br />
Diremos que un MLG presenta <strong>heteroscedasticidad</strong> cuando la<br />
varianza <strong>de</strong> la perturbación aleatoria <strong>de</strong> dicho mo<strong>de</strong>lo no se<br />
mantiene constante para todas las observaciones (muestrales)<br />
consi<strong>de</strong>radas.<br />
Var( ui<br />
) = σ i<br />
y = Xβ + u<br />
E(<br />
u)<br />
= 0<br />
V ( u)<br />
= E(<br />
uu′<br />
) = V<br />
siendo V la matriz diagonal siguiente:<br />
Habitualmente:<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
σ1<br />
⎜ 0<br />
V = ⎜<br />
⎜ M<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
σ<br />
0<br />
2<br />
2<br />
M<br />
0<br />
2<br />
L<br />
L<br />
O<br />
L<br />
para i = 1, 2, ..., T<br />
σ<br />
0<br />
0<br />
M<br />
2<br />
T<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
σ = σ f ( X )<br />
2 2<br />
i mi<br />
3
2.- CAUSAS Y CONSECUENCIAS DE LA<br />
HETEROSCEDASTICIDAD<br />
• CAUSAS<br />
(a) La presencia <strong>de</strong> comportamientos atípicos,<br />
(b) Errores <strong>de</strong> especificación en el mo<strong>de</strong>lo.<br />
(c) El hecho habitual <strong>de</strong> que cuanto mayores son los valores <strong>de</strong><br />
alguna <strong>de</strong> las variables <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo cabe esperar que mayor<br />
será la dispersión absoluta <strong>de</strong> la variable endógena.<br />
• CONSECUENCIAS<br />
Las mismas que en un mo<strong>de</strong>lo con matriz <strong>de</strong> varianzas y<br />
covarianzas no escalar<br />
4
EJEMPLO DE HETEROSCEDASTICIDAD<br />
5
3.- CONTRASTES DE HETEROSCEDASTICIDAD<br />
H : HOMOSCEDASTICIDAD σ = σ ∀i<br />
0<br />
1<br />
2 2<br />
i<br />
H : HETEROSCEDASTICIDAD σ ≠ σ ∀ i<br />
3.1.- CONTRASTE DE WHITE<br />
2 2<br />
i<br />
1.- Se estima el mo<strong>de</strong>lo original por MCO. Obtenemos los<br />
residuos:<br />
uˆ<br />
t<br />
2.- Se calcula el R 2 <strong>de</strong> la siguiente regresión:<br />
ˆ = + + ... + + + ... + + + ... +ε<br />
2 2 2<br />
ut γ1 γ2X2t γkXkt γk+ 1X 2t γ2k−1X kt γ2kX2tX3t<br />
t<br />
Variables ORIGINALES<br />
Variables al CUADRADO<br />
Términos CRUZADOS<br />
Xit<br />
X<br />
2<br />
it<br />
Xit X jt<br />
3.- Cálculo <strong>de</strong>l estadístico:<br />
2 2<br />
W = TR χ ( p − 1)<br />
as<br />
6
p es el número <strong>de</strong> parámetros <strong>de</strong> posición en la regresión<br />
auxiliar<br />
Fijado un nivel <strong>de</strong> significación ε:<br />
W ≤ χ ⇒ No rechazo <strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> homoscedasticidad<br />
2<br />
ε<br />
( p − 1)<br />
2<br />
W > χε<br />
( p − 1) ⇒ R<br />
echazo <strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> homoscedasticidad<br />
(aceptación <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong>)<br />
7
3.2.- CONTRASTE DE BREUSCH - PAGAN<br />
La hipótesis alternativa se basa:<br />
σ<br />
2 * ′ *<br />
i = h( z′<br />
iα)<br />
= h(<br />
α1<br />
+ zi<br />
α<br />
z ′ =<br />
( 1, Z2 ,..., Z )<br />
i i pi<br />
Las variables ri Z <strong>de</strong>ben <strong>de</strong> seleccionarse a priori.<br />
Habitualmente<br />
H<br />
H<br />
0<br />
A<br />
: α<br />
: α<br />
*<br />
*<br />
= 0<br />
≠ 0<br />
zi = xi<br />
1<br />
2<br />
2<br />
BP = SE ~ χ ( p − 1)<br />
as<br />
don<strong>de</strong> SE es la suma explicada <strong>de</strong> la regresión:<br />
uˆ<br />
~<br />
σ<br />
2<br />
i<br />
2<br />
= z<br />
* ′ *<br />
i α<br />
+ ε<br />
siendo x β los residuos MCO <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo original y<br />
ˆ<br />
u ˆi = Yi<br />
− ′ i<br />
~ 2<br />
σ el estimador máximo verosímil <strong>de</strong>l parámetro <strong>de</strong> dispersión.<br />
i<br />
)<br />
8
Fijado un nivel <strong>de</strong> significación ε:<br />
BP ≤ χ ⇒ No rechazo <strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> homoscedasticidad<br />
2<br />
η<br />
( p − 1)<br />
2<br />
BP > χε<br />
( p − 1) ⇒ R<br />
echazo <strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> homoscedasticidad<br />
(aceptación <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong>)<br />
9
3.3.- CONTRASTE DE GOLDFELD – QUANDT<br />
La hipótesis <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong> es:<br />
σ = σ f ( X )<br />
2 2<br />
i mi<br />
La varianza crece (<strong>de</strong>crece) con los valores <strong>de</strong> X mi .<br />
Procedimiento:<br />
1. Or<strong>de</strong>nar la muestra <strong>de</strong> acuerdo a X mi .<br />
2. Eliminar las c observaciones<br />
⎛T −c⎞ ⎛T −c⎞<br />
centrales: ⎜ ⎟+ c+ ⎜ ⎟ c<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
T /3<br />
3. Estimar el mo<strong>de</strong>lo para la primera y la última submuestra:<br />
SR1 y SR2<br />
4. Obtención <strong>de</strong>l estadístico <strong>de</strong> contraste:<br />
SR<br />
2 T−c T−c GQ = Fε<br />
( − k; − k)<br />
2 2<br />
SR1<br />
Fijado un nivel <strong>de</strong> significación ε, la regla <strong>de</strong> actuación será la<br />
siguiente:<br />
10
•<br />
⎛T−c T−c ⎞ ⎛T−c T−c ⎞<br />
⎜ −k; −k⎟ ⎜ −k; −k⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠<br />
ε ε<br />
F1 − /2 ≤GQ≤ F /2 ⇒ No rechazo <strong>de</strong> la<br />
hipótesis nula <strong>de</strong> homoscedasticidad<br />
• En caso contrario rechazamos la hipótesis nula<br />
11
4.- SOLUCIONES POSIBLES<br />
1.- Mejorar la especificación <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo<br />
2.-Estimación en mo<strong>de</strong>los con <strong>heteroscedasticidad</strong><br />
• Patrón <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong> conocido:<br />
σ = σ X<br />
2 2<br />
i<br />
2<br />
mi<br />
, i = 1, 2, ..., T<br />
siendo Xm una variable exógena cualquiera.<br />
En este caso, la matriz Ω será igual a:<br />
2<br />
m1<br />
⎛<br />
⎜<br />
X<br />
⎜ 0<br />
Ω = ⎜<br />
⎜ M<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
X<br />
0<br />
2<br />
m2<br />
M<br />
0<br />
⎛ 1 0 L 0 ⎞<br />
⎛X 1<br />
1 0 0<br />
m<br />
m L ⎞ ⎜ X<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
0 0 1<br />
⎟<br />
0<br />
⎜<br />
X m2<br />
L 0 −1<br />
⎜ L<br />
X<br />
⎟<br />
P= ⎟P<br />
= m2<br />
⎜ M M O M ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ M M O M ⎟<br />
0 0 X ⎟<br />
⎝ L mT ⎠ ⎜<br />
0 0 1 ⎟<br />
⎜ L<br />
X ⎟<br />
⎝ mT ⎠<br />
L<br />
L<br />
O<br />
L<br />
X<br />
0<br />
0<br />
M<br />
2<br />
mT<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
12
MCG<br />
1.<br />
( ) y<br />
Ω<br />
X<br />
X<br />
Ω<br />
X<br />
β<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
−<br />
−<br />
− ′<br />
′<br />
=<br />
G<br />
2. MCO en el mo<strong>de</strong>lo transformado:<br />
*<br />
*<br />
*<br />
u<br />
β<br />
X<br />
y +<br />
=<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
−<br />
mT<br />
T<br />
m<br />
m<br />
T<br />
X<br />
Y<br />
X<br />
Y<br />
X<br />
Y<br />
Y<br />
Y<br />
Y<br />
/<br />
/<br />
/<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
*<br />
*<br />
2<br />
*<br />
1<br />
M<br />
M<br />
y<br />
P<br />
y *<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
−<br />
mT<br />
kT<br />
mT<br />
T<br />
mT<br />
m<br />
k<br />
m<br />
m<br />
m<br />
k<br />
m<br />
m<br />
kT<br />
T<br />
T<br />
k<br />
k<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
X<br />
L<br />
M<br />
M<br />
M<br />
L<br />
L<br />
L<br />
M<br />
M<br />
M<br />
L<br />
L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
22<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
21<br />
1<br />
1<br />
*<br />
*<br />
2<br />
*<br />
1<br />
* 2<br />
*<br />
22<br />
*<br />
12<br />
* 1<br />
*<br />
21<br />
*<br />
11<br />
1<br />
1<br />
1<br />
X<br />
P<br />
X *<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
−<br />
mT<br />
T<br />
m<br />
m<br />
T<br />
X<br />
u<br />
X<br />
u<br />
X<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
/<br />
/<br />
/<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
*<br />
*<br />
2<br />
*<br />
1<br />
M<br />
M<br />
u<br />
P<br />
u *<br />
• Patrón <strong>de</strong> <strong>heteroscedasticidad</strong> <strong>de</strong>sconocido<br />
MCGF<br />
13
5.- PREDICCIÓN<br />
Y = ′ β + u<br />
0<br />
x 0<br />
0<br />
Si había <strong>heteroscedasticidad</strong> según patrón:<br />
E ( Y0<br />
)<br />
=<br />
x 0 ′<br />
β<br />
E ( u0<br />
) = 0<br />
( )<br />
E u = σ f( X )<br />
2 2<br />
0 m0<br />
⎛ Euu ( 1 0)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Euu ( )<br />
E( uu0) = = ω =<br />
⎜ M ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
Euu ( )<br />
⎜ 2 0 ⎟ 2<br />
σ 0<br />
⎝ T 0 ⎠<br />
El predictor óptimo <strong>de</strong> E Y ) es:<br />
( 0<br />
Y x βˆ<br />
ˆ = ′<br />
0 G<br />
El predictor óptimo <strong>de</strong> Y0<br />
es:<br />
0<br />
G<br />
ˆ<br />
Yˆ<br />
= x′ βˆ + ωΩ ′ uˆ= x′ β ˆ<br />
−1<br />
0G 0 G G 0 G<br />
σ = σ f ( X )<br />
2 2<br />
i mi<br />
14
6.- CONTRASTES DE NORMALIDAD<br />
- ESTADÍSTICO DE JARQUE-BERA.<br />
H : NORMALIDAD<br />
0<br />
H : NO NORMALIDAD<br />
1<br />
2 2<br />
1 2<br />
6 24 as<br />
⎡g g ⎤<br />
JB = T ⎢ + ⎥ χ<br />
⎣ ⎦<br />
2<br />
(2)<br />
Don<strong>de</strong> y son los coeficientes <strong>de</strong> asimetría y<br />
g<br />
g1 2<br />
curtosis <strong>de</strong> los residuos MCO, respectivamente:<br />
∑ ∑<br />
3 4<br />
uˆ ˆ<br />
t ut<br />
g1 = ; g 3 2 = −3<br />
4<br />
% σ % σ<br />
Fijado un nivel <strong>de</strong> significación ε.<br />
JB ≤ χ ⇒No<br />
rechazo <strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> <strong>normalidad</strong><br />
2<br />
ε<br />
(2)<br />
JB > χ ⇒rechazo<br />
<strong>de</strong> la hipótesis nula <strong>de</strong> <strong>normalidad</strong><br />
2<br />
ε<br />
(2)<br />
SI FALTA NORMALIDAD<br />
• Estimadores no eficientes<br />
• No inferencia estadística<br />
• Estimación MV no válida<br />
15