tema 4: heteroscedasticidad y normalidad - Departamento de ...

PUBLICACIONES DE 3 er CURSO
Licenciatura: L.A.D.E.
Asignatura: ECONOMETRÍA II
TEMA 4: HETEROCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD
Autores: Mª Isabel Ayuda, Ana Angulo y Jesús Mur
Profesores: Mª Isabel Ayuda, Ana Angulo
Departamento: ANÁLISIS ECONÓMICO
Curso Académico
2006/07
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
_
Universidad de Zaragoza
1

TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD
1.- Introducción
2.- Causas y consecuencias de la heteroscedasticidad
3.-Contrastes de heteroscedasticidad
3.1.- Contraste de White
3.2.- Contraste LM de Breusch-Pagan
3.3.- Contraste de Goldfeld y Quandt
4.- Soluciones posibles
5.- Predicción
6.- Contrastes de Normalidad
2

TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD
1.- INTRODUCCIÓN
Diremos que un MLG presenta heteroscedasticidad cuando la
varianza de la perturbación aleatoria de dicho modelo no se
mantiene constante para todas las observaciones (muestrales)
consideradas.
Var( ui
) = σ i
y = Xβ + u
E(
u)
= 0
V ( u)
= E(
uu′
) = V
siendo V la matriz diagonal siguiente:
Habitualmente:
2
⎛
⎜
σ1
⎜ 0
V = ⎜
⎜ M
⎜
⎝ 0
σ
0
2
2
M
0
2
L
L
O
L
para i = 1, 2, ..., T
σ
0
0
M
2
T
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
σ = σ f ( X )
2 2
i mi
3

2.- CAUSAS Y CONSECUENCIAS DE LA
HETEROSCEDASTICIDAD
• CAUSAS
(a) La presencia de comportamientos atípicos,
(b) Errores de especificación en el modelo.
(c) El hecho habitual de que cuanto mayores son los valores de
alguna de las variables del modelo cabe esperar que mayor
será la dispersión absoluta de la variable endógena.
• CONSECUENCIAS
Las mismas que en un modelo con matriz de varianzas y
covarianzas no escalar
4

EJEMPLO DE HETEROSCEDASTICIDAD
5

3.- CONTRASTES DE HETEROSCEDASTICIDAD
H : HOMOSCEDASTICIDAD σ = σ ∀i
0
1
2 2
i
H : HETEROSCEDASTICIDAD σ ≠ σ ∀ i
3.1.- CONTRASTE DE WHITE
2 2
i
1.- Se estima el modelo original por MCO. Obtenemos los
residuos:
uˆ
t
2.- Se calcula el R 2 de la siguiente regresión:
ˆ = + + ... + + + ... + + + ... +ε
2 2 2
ut γ1 γ2X2t γkXkt γk+ 1X 2t γ2k−1X kt γ2kX2tX3t
t
Variables ORIGINALES
Variables al CUADRADO
Términos CRUZADOS
Xit
X
2
it
Xit X jt
3.- Cálculo del estadístico:
2 2
W = TR χ ( p − 1)
as
6

p es el número de parámetros de posición en la regresión
auxiliar
Fijado un nivel de significación ε:
W ≤ χ ⇒ No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
2
ε
( p − 1)
2
W > χε
( p − 1) ⇒ R
echazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
(aceptación de heteroscedasticidad)
7

3.2.- CONTRASTE DE BREUSCH - PAGAN
La hipótesis alternativa se basa:
σ
2 * ′ *
i = h( z′
iα)
= h(
α1
+ zi
α
z ′ =
( 1, Z2 ,..., Z )
i i pi
Las variables ri Z deben de seleccionarse a priori.
Habitualmente
H
H
0
A
: α
: α
*
*
= 0
≠ 0
zi = xi
1
2
2
BP = SE ~ χ ( p − 1)
as
donde SE es la suma explicada de la regresión:
uˆ
~
σ
2
i
2
= z
* ′ *
i α
+ ε
siendo x β los residuos MCO del modelo original y
ˆ
u ˆi = Yi
− ′ i
~ 2
σ el estimador máximo verosímil del parámetro de dispersión.
i
)
8

Fijado un nivel de significación ε:
BP ≤ χ ⇒ No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
2
η
( p − 1)
2
BP > χε
( p − 1) ⇒ R
echazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
(aceptación de heteroscedasticidad)
9

3.3.- CONTRASTE DE GOLDFELD – QUANDT
La hipótesis de heteroscedasticidad es:
σ = σ f ( X )
2 2
i mi
La varianza crece (decrece) con los valores de X mi .
Procedimiento:
1. Ordenar la muestra de acuerdo a X mi .
2. Eliminar las c observaciones
⎛T −c⎞ ⎛T −c⎞
centrales: ⎜ ⎟+ c+ ⎜ ⎟ c
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
T /3
3. Estimar el modelo para la primera y la última submuestra:
SR1 y SR2
4. Obtención del estadístico de contraste:
SR
2 T−c T−c GQ = Fε
( − k; − k)
2 2
SR1
Fijado un nivel de significación ε, la regla de actuación será la
siguiente:
10

•
⎛T−c T−c ⎞ ⎛T−c T−c ⎞
⎜ −k; −k⎟ ⎜ −k; −k⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
ε ε
F1 − /2 ≤GQ≤ F /2 ⇒ No rechazo de la
hipótesis nula de homoscedasticidad
• En caso contrario rechazamos la hipótesis nula
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4.- SOLUCIONES POSIBLES
1.- Mejorar la especificación del modelo
2.-Estimación en modelos con heteroscedasticidad
• Patrón de heteroscedasticidad conocido:
σ = σ X
2 2
i
2
mi
, i = 1, 2, ..., T
siendo Xm una variable exógena cualquiera.
En este caso, la matriz Ω será igual a:
2
m1
⎛
⎜
X
⎜ 0
Ω = ⎜
⎜ M
⎜
⎝ 0
X
0
2
m2
M
0
⎛ 1 0 L 0 ⎞
⎛X 1
1 0 0
m
m L ⎞ ⎜ X
⎟
⎜ ⎟ ⎜
0 0 1
⎟
0
⎜
X m2
L 0 −1
⎜ L
X
⎟
P= ⎟P
= m2
⎜ M M O M ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ M M O M ⎟
0 0 X ⎟
⎝ L mT ⎠ ⎜
0 0 1 ⎟
⎜ L
X ⎟
⎝ mT ⎠
L
L
O
L
X
0
0
M
2
mT
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
12

MCG
1.
( ) y
Ω
X
X
Ω
X
β
1
1
1
ˆ
−
−
− ′
′
=
G
2. MCO en el modelo transformado:
*
*
*
u
β
X
y +
=
Donde:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
mT
T
m
m
T
X
Y
X
Y
X
Y
Y
Y
Y
/
/
/
2
2
1
1
1
*
*
2
*
1
M
M
y
P
y *
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
mT
kT
mT
T
mT
m
k
m
m
m
k
m
m
kT
T
T
k
k
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
L
M
M
M
L
L
L
M
M
M
L
L
2
2
2
2
22
2
1
1
1
21
1
1
*
*
2
*
1
* 2
*
22
*
12
* 1
*
21
*
11
1
1
1
X
P
X *
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
mT
T
m
m
T
X
u
X
u
X
u
u
u
u
/
/
/
2
2
1
1
1
*
*
2
*
1
M
M
u
P
u *
• Patrón de heteroscedasticidad desconocido
MCGF
13

5.- PREDICCIÓN
Y = ′ β + u
0
x 0
0
Si había heteroscedasticidad según patrón:
E ( Y0
)
=
x 0 ′
β
E ( u0
) = 0
( )
E u = σ f( X )
2 2
0 m0
⎛ Euu ( 1 0)
⎞
⎜ ⎟
Euu ( )
E( uu0) = = ω =
⎜ M ⎟
⎜ ⎟
Euu ( )
⎜ 2 0 ⎟ 2
σ 0
⎝ T 0 ⎠
El predictor óptimo de E Y ) es:
( 0
Y x βˆ
ˆ = ′
0 G
El predictor óptimo de Y0
es:
0
G
ˆ
Yˆ
= x′ βˆ + ωΩ ′ uˆ= x′ β ˆ
−1
0G 0 G G 0 G
σ = σ f ( X )
2 2
i mi
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6.- CONTRASTES DE NORMALIDAD
- ESTADÍSTICO DE JARQUE-BERA.
H : NORMALIDAD
0
H : NO NORMALIDAD
1
2 2
1 2
6 24 as
⎡g g ⎤
JB = T ⎢ + ⎥ χ
⎣ ⎦
2
(2)
Donde y son los coeficientes de asimetría y
g
g1 2
curtosis de los residuos MCO, respectivamente:
∑ ∑
3 4
uˆ ˆ
t ut
g1 = ; g 3 2 = −3
4
% σ % σ
Fijado un nivel de significación ε.
JB ≤ χ ⇒No
rechazo de la hipótesis nula de normalidad
2
ε
(2)
JB > χ ⇒rechazo
de la hipótesis nula de normalidad
2
ε
(2)
SI FALTA NORMALIDAD
• Estimadores no eficientes
• No inferencia estadística
• Estimación MV no válida
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