Tema 4. Heteroscedasticidad - Departamento de Análisis Económico

PUBLICACIONES DE 3º CURSO
Licenciatura: L.E.
Asignatura: ECONOMETRÍA II
Tema: Trasparencias Tema 4: Heteroscedasticidad y
normalidad
Grupos: 35, 36 y 37
Profesores: Mª Isabel Ayuda, Majed Atwi, Monia Ben-
Kaabia
Departamento de ANÁLISIS ECONÓMICO
Curso Académico 2011/12
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TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD
1.- Introducción
2.- Causas y consecuencias de la heteroscedasticidad
3.-Contrastes de heteroscedasticidad
3.1.- Contraste de White
3.2.- Contraste LM de Breusch-Pagan
3.3.- Contraste de Goldfeld y Quandt
4.- Soluciones posibles
5.- Contrastes de Normalidad
2

TEMA 4: HETEROSCEDASTICIDAD Y NORMALIDAD
1.- INTRODUCCIÓN
Diremos que un MLG presenta heteroscedasticidad cuando la
varianza de la perturbación aleatoria de dicho modelo no se
mantiene constante para todas las observaciones (muestrales)
consideradas.
Var( ui
) i
y
E(
u)
Xβ
0
2
para i = 1, 2, ..., T
u
V ( u)
E(
uu)
V
siendo V la matriz diagonal siguiente:
Habitualmente:
2
1
0
V
0
0
2
2
0
0
0
2
T
3

f ( X )
2 2
i mi
2.- CAUSAS Y CONSECUENCIAS DE LA
HETEROSCEDASTICIDAD
CAUSAS
(a) La presencia de comportamientos atípicos,
(b) Errores de especificación en el modelo.
(c) El hecho habitual de que cuanto mayores son los valores de
alguna de las variables del modelo cabe esperar que mayor
será la dispersión absoluta de la variable endógena.
CONSECUENCIAS
Las mismas que en un modelo con matriz de varianzas y
covarianzas no escalar
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EJEMPLO DE HETEROSCEDASTICIDAD
5

3.- CONTRASTES DE HETEROSCEDASTICIDAD
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD
H : HETEROSCEDASTICIDAD
1
3.1.- CONTRASTE DE WHITE
1.- Se estima el modelo original por MCO. Obtenemos los
residuos: u ˆt 2.- Se calcula el R 2 de la siguiente regresión:
uˆ X ... X X ... X X X ...
2 2 2
t 1 2 2t k kt k1 2t 2k1 kt 2k 2t 3t
t
Variables ORIGINALES it X
Variables al CUADRADO
Términos CRUZADOS Xit X jt
X
3.- Cálculo del estadístico:
2
it
W TR
2 2
( p 1)
as
6

p es el número de parámetros de posición en la regresión
auxiliar
Fijado un nivel de significación :
W No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
2
( p 1)
2
( p 1)
W
Rechazo
de la hipótesis nula de homoscedasticidad
(aceptación de heteroscedasticidad)
7

3.2.- CONTRASTE DE BREUSCH - PAGAN
La hipótesis alternativa se basa:
2 * *
i h( zi
α)
h(
1
zi
α
z
1, Z2 ,..., Z
i i pi
Las variables ri Z deben de seleccionarse a priori.
Habitualmente zi xi
H
H
0
A
: α
: α
*
*
0
0
1
BP SE ~
2 as
2
( p 1)
donde SE es la suma explicada de la regresión:
siendo
uˆ
~
2
i
2
z
* *
i α
i
x βˆ
uˆ i Yi
i
los residuos MCO del modelo original y
2
~
el estimador máximo verosímil del parámetro de dispersión.
)
8

Fijado un nivel de significación :
BP No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad
2
( p 1)
2
( p 1)
BP
Rechazo
de la hipótesis nula de homoscedasticidad
(aceptación de heteroscedasticidad)
9

3.3.- CONTRASTE DE GOLDFELD – QUANDT
La hipótesis de heteroscedasticidad es:
f ( X )
2 2
i mi
La varianza crece (decrece) con los valores de X mi .
Procedimiento:
1. Ordenar la muestra de acuerdo a X mi .
T c T c
2. Eliminar las c observaciones centrales: c
2 2
3. Estimar el modelo para la primera y la última submuestra:
SR1 y SR2
4. Obtención del estadístico de contraste:
SR
2 Tc Tc GQ F
( k; k)
2 2
SR1
Fijado un nivel de significación , la regla de actuación será la
siguiente:
10

Tc Tc Tc Tc
k; k k; k
2 2 2 2
F1 /2 GQ F /2 aceptación
de la
hipótesis nula de homoscedasticidad
En caso contrario no aceptamos la hipótesis nula
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4.- SOLUCIONES POSIBLES
1.- Mejorar la especificación del modelo
2.-Estimación en modelos con heteroscedasticidad
Patrón de heteroscedasticidad conocido:
X , i = 1, 2, ..., T
2 2 2
i mi
siendo Xm una variable exógena cualquiera.
En este caso, la matriz Ω será igual a:
P
1
X
0
Ω
0
1
X
0
0
2
m1
m1
X
0
2
m2
0
0
1
X
0
m2
X
0
0
2
mT
0
0
1
X
mT
12

13
MCG
1. y
Ω
X
X
Ω
X
β
1
1
1
ˆ
G
2. MCO en el modelo transformado:
*
*
*
u
β
X
y
Donde:
mT
T
m
m
T
X
Y
X
Y
X
Y
Y
Y
Y
/
/
/
2
2
1
1
1
*
*
2
*
1
y
P
y *
mT
kT
mT
T
mT
m
k
m
m
m
k
m
m
kT
T
T
k
k
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
2
2
2
22
2
1
1
1
21
1
1
*
*
2
*
1
* 2
*
22
*
12
* 1
*
21
*
11
1
1
1
X
P
X *
mT
T
m
m
T
X
u
X
u
X
u
u
u
u
/
/
/
2
2
1
1
1
*
*
2
*
1
u
P
u *
Patrón de heteroscedasticidad desconocido
MCGF

3. Estimación por MCO con inferencia robusta a la
heteroscedasticidad.
Se estima el modelo original: yt 1 2x2 t ... kxkt
ut
Si hay problema de heteroscedasticidad:
Los EMCO son insesgados
.
Pero problemas en las varianzas de los estimadores: Ahora
calcularemos las respectivas varianzas estimadas robustas a la
heteroscedasticidad.
Así podremos efectuar cualquier contraste de hipótesis acerca del
valor de los parámetros, es decir calcular los estadísticos tipo t y F
Para calcular las varianzas robustas a heteroscedasticidad se
construye una regresión auxiliar para cada regresor. Utilizaremos
el conjunto de vectores de residuos:
y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
t 12x2t ... kxkt ut ,
U (
u1, u2,... uT)
1 ˆ ˆ ˆ ˆ
11 12x2t ... 1kxkt 1t 1( 11, 12,... 1T)
x ˆ ˆ ˆ ˆ
2t 2122x2t ... 2kxkt 2t 2 (
21, 22,... 2T)
x3t 3132x2t ... ˆ ˆ ˆ ˆ
3kxkt3t 3( 31, 32,... 3T)
...
x ˆ ˆ ˆ ˆ
kt k1k2x2t... kkxkt kt k( k1, k2,... kT
)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ 1tutˆ 2tut
ˆ ( ˆ
ˆ ˆ ktut
Var 1) , Var( 2 2 2)
,... Var(
)
2 2
k
( ˆ ) ( ˆ )
( ˆ )
2 2 2 2 2 2
1t 2t
En E-views:
Quick/Estimate Equation/ Y C X2 X3 / options/
heteroskedasticity Consist…/ White.
2 2
kt
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5.- PREDICCIÓN
Y β u
0
x 0
0
Si había heteroscedasticidad según patrón:
E ( Y0
)
x 0
β
El predictor óptimo de
E ( u0
) 0
E u f( X )
2 2
0 m0
Euu ( 1 0)
Euu ( )
E uu ω
Euu ( )
2 0 2
( 0)
0
T 0
E ( Y0
) es:
Y x βˆ
ˆ
0G
El predictor óptimo de Y 0 es:
0
G
ˆ
Yˆ
xβˆ ωΩ uˆxβ ˆ
1
0G 0 G G 0 G
f ( X )
2 2
i mi
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6.- CONTRASTES DE NORMALIDAD
- ESTADÍSTICO DE JARQUE-BERA.
H0 : NORMALIDAD
H : NO NORMALIDAD
1
2 2
1 2
6 24 as
g g
JB T
2
(2)
Donde 1 g y g 2 son los coeficientes de asimetría y
curtosis de los residuos MCO, respectivamente:
3 4
uˆ ˆ
t ut
g1 ; g 3 2 3
4
Fijado un nivel de significación .
JB No rechazo de la hipótesis nula de normalidad
2
(2)
2
(2)
JB rechazo
de la hipótesis nula de normalidad
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