No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte ...

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El conjunto de los números irracionales, cumple los axiomas: Para la adición: 1. La conmutatividad, 2. La asociatividad, Para el producto: 3. La conmutatividad, 4. La asociatividad. 5. Distributividad, 6. Axiomas de orden 10, 11 y 12. No posee elemento neutro en la suma ya que el número cero no es irracional. Al igual que los números racionales no cumplen el axioma de completitud. Un hecho de destacar muy significante es, no siempre la operación aritmética de dos números irracionales da como resultado otro irracional. Ejemplo: • El producto de 2 × 2 = Pruébelo para la suma. 2 por el mismo es: 2 ( 2 ) = 2, pero 2∉I. Otra propiedad importante que cumple el conjunto de los números reales es la densidad, es decir dados dos números reales siempre existe otro entre ellos. Los números racionales y los irracionales también son densos mientras que los naturales y los enteros no lo son, ya que si tomamos dos elementos consecutivos nunca existirá otro elemento de ese conjunto entre ellos, por lo tanto la densidad no la cumplen. 62
LEYES DE LOS SIGNOS Existen una serie de leyes a respetar cuando se estén realizando las operaciones básicas con los números reales, ellas son: Para la multiplicación: • ×+ = + + , por ejemplo ( + 2 ) × ( + 3) = + 6 • ×− = + − , por ejemplo ( − 2 ) × ( − 3) = + 6 Signos iguales resultado positivo. • ×− = − + , por ejemplo ( + 2) × ( − 3) = −6 • ×+ = − − , por ejemplo ( − 2) × ( + 3) = −6 Signos diferentes resultado negativo. Para la división: • ÷+ = + + 4 + ; = + 2 + 2 + , por ejemplo ( 4 ) ÷ ( + 2) = + 2 • ÷− = + − , por ejemplo ( 4 ) ÷ ( − 2) = + 2 Signos iguales resultado positivo. • ÷− = − + , por ejemplo ( 4) ÷ ( − 2) = −2 • ÷+ = − − 4 − ; = + 2 − 2 + 4 + ; = −2 − 2 − , por ejemplo ( 4) ÷ ( + 2) = −2 Signos diferentes resultado negativo. − 4 − ; = −2 + 2 Es bueno destacar que se puede representar un número negativo de tres maneras posibles, ellas son: 63
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