No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte ...

No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte de números de los reales,
ejemplo el conjunto A = { x∈
Q/ 0 ≤ x ≤ 2 }
Ocurre que
2
no pertenece al conjunto, por tanto no tiene supremo ya que
2
61
es un
número irracional. De hecho existen infinitos números irracionales que se encuentran en el
conjunto A.
El conjunto de los números racionales es cerrado con las operaciones básicas ya que
siempre que se operan dos números racionales da otro número racional. Veamos esa
demostración:
• “ La suma de dos números racionales es otro número racional”
Demostración:
Sean dos números racionales cualesquiera
b , d ≠ 0 ,entonces su suma es
a c ad + bc
+ =
b d bd
a
b
y
c
, con a,b,c y d números enteros y
d
Como el producto de dos números enteros da otro entero y la suma de dos números enteros
da otro entero tenemos:
a c ad + bc
+ = =
b d bd
e
f
,
con
ad + bc = e
y
bd
= f ,
con
e,
f ∈ Z
En consecuencia hemos demostrado que la suma de números racionales da como resultado
otro número racional.
Demuéstrelo para el producto.
0
2

El conjunto de los números irracionales, cumple los axiomas:
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad,
Para el producto:
3. La conmutatividad,
4. La asociatividad.
5. Distributividad,
6. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
No posee elemento neutro en la suma ya que el número cero no es irracional. Al igual que
los números racionales no cumplen el axioma de completitud.
Un hecho de destacar muy significante es, no siempre la operación aritmética de dos
números irracionales da como resultado otro irracional.
Ejemplo:
• El producto de
2
×
2
=
Pruébelo para la suma.
2
por el mismo es:
2 ( 2 ) = 2,
pero 2∉I.
Otra propiedad importante que cumple el conjunto de los números reales es la densidad, es
decir dados dos números reales siempre existe otro entre ellos. Los números racionales y
los irracionales también son densos mientras que los naturales y los enteros no lo son, ya
que si tomamos dos elementos consecutivos nunca existirá otro elemento de ese conjunto
entre ellos, por lo tanto la densidad no la cumplen.
62

LEYES DE LOS SIGNOS
Existen una serie de leyes a respetar cuando se estén realizando las operaciones básicas
con los números reales, ellas son:
Para la multiplicación:
• ×+ = +
+ , por ejemplo ( + 2 ) × ( + 3)
= + 6
• ×− = +
− , por ejemplo ( − 2 ) × ( − 3)
= + 6
Signos iguales resultado positivo.
• ×− = −
+ , por ejemplo ( + 2) × ( − 3)
= −6
• ×+ = −
− , por ejemplo ( − 2) × ( + 3)
= −6
Signos diferentes resultado negativo.
Para la división:
• ÷+ = +
+ 4
+ ; = + 2
+ 2
+ , por ejemplo ( 4 ) ÷ ( + 2)
= + 2
• ÷− = +
− , por ejemplo ( 4 ) ÷ ( − 2)
= + 2
Signos iguales resultado positivo.
• ÷− = −
+ , por ejemplo ( 4) ÷ ( − 2)
= −2
• ÷+ = −
− 4
− ; = + 2
− 2
+ 4
+ ; = −2
− 2
− , por ejemplo ( 4) ÷ ( + 2)
= −2
Signos diferentes resultado negativo.
− 4
− ; = −2
+ 2
Es bueno destacar que se puede representar un número negativo de tres maneras posibles,
ellas son:
63

1
− 2
Tercera forma.
1
− Primera forma
2
− 1
Segunda forma y
2
Cada una de ellas representa la misma cantidad, y por ello es bueno tener presente este
hecho a la hora de resolver los problemas que más adelante se presentarán.
Estrategia para la Enseñanza de las Leyes de los Signos
Las leyes de los signos fueron definidas tácitamente por el francés Nicolás Chuquet en el siglo XV de nuestra
era, se definió así para que funcionen las operaciones con los números positivos y los negativos, es decir se
debe cumplir como verdad verdadera los siguientes casos para así evitar posibles contradicciones, ellas son:
Más por más es más,
Menos por menos es más,
Más por menos es menos y
Menos por más es menos.
Esto es muy abstracto para que los estudiantes en la primera y hasta en la segunda etapa de
la Educación Básica le vean sentido y por ende sea significativo, es por ello que en estos
casos las estrategias didácticas apropiadas son de gran utilidad para el logro de los
aprendizajes duraderos en los alumnos.
Estrategia...
64

E
xiste una isla por las costas del Atlántico llamada Pacifica, en ella existen ciudadanos
buenos a los cuales se les asocia el signo más “+” y ciudadanos malos a los cuales se
les asocia el signo menos “-“; los ciudadanos buenos eran aquellas personas las
cuales trabajaban, estudiaban, deportistas, artistas, niños y ancianos, mientras que los
ciudadanos malos eran los asesinos, ladrones, malandros, vagos y políticos. Se acordó en
el consejo supremo de la isla que salir de la isla era equivalente al signo menos “-“,
mientras que entrar equivale al signo más “+”.
Los barcos que llegaban a la isla traían y se llevaban a personas, entonces el Rey
interesado por saber lo beneficioso o perjudicial de este hecho hizo el siguiente análisis:
☺ Si un ciudadano bueno ”+” entra a Pacifica “+”, esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( + )( + ) = + ,
☺ Si un ciudadano malo “-“ sale de Pacifica “-“ , esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( − )( − ) = + ,
Si un ciudadano malo ”-” entra a Pacifica “+”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( − )( + ) = − y
Si un ciudadano bueno ”+” sale de Pacifica “-”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( + )( − ) = − .
Luego el Rey resumiendo este análisis en una tabla obtuvo el siguiente resultado:
Ciudadano bueno
( + )
Ciudadano malo
( − )
Entra a Pacifica
( + )
+
_
Sale de Pacifica
( − )
_
+
65

Entonces el Rey concluye que el producto de signos iguales es positivo, mientras que el
producto de signos diferentes es negativo y “colorín colorado esta estrategia ha
terminado”.
FRACCIONES
x
Una fracción es una expresión de la forma donde x e y pertenecen a los números
y
enteros, además “y” debe ser diferente de cero. ¿Por qué?.
A la variable “x” se le conoce como numerador o dividendo y a la variable “y”
denominador o divisor.
Variable algebraicamente se define a toda aquella letra que le podemos asignar
arbitrariamente cualquier valor numérico.
ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES
Cuando sume o reste fracciones se encontrará con dos casos posibles, cada uno de ellos
tiene su forma particular de solución:
Caso 1: Si los denominadores de las fracciones son iguales, se escribe el mismo
denominador y se suman o restan los numeradores.
a b c a ± b ± c
sean a,
b,
c,
e ∈ R, con e ≠ 0,
entonces ± ± =
e e e e
Ejemplo:
1 7 12 1 + 7 − 12 − 4
+
− = =
5 5 5 5 5
66

Caso 2: Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se procede siguiendo la
siguiente regla.
sean a,
b,
c,
d ∈ R,
Ejemplo:
2 3
+ =
5 6
2
con b,
d ≠ 0,
( 6)
+ 5(
3)
12 + 15 27
= =
5(
6)
30 30
entonces
a c ad ± bc
± =
b d bd
MULTIPLICACION DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones se multiplica numerador con numerador y denominador con
denominador es decir, la multiplicación de fracciones es lineal.
a c ac
sean a,
b,
c,
d ∈ R, con b,
d ≠ 0,
entonces ⋅ =
b d bd
Ejemplo:
5 9
× =
2 4
5
2
( 9)
=
( 4)
8
45
DIVISION DE FRACCIONES
Para dividir fracciones se multiplica en cruz, numerador de la primera fracción por
denominador de la segunda fracción y denominador de la primera por numerador de la
segunda es decir, la división de fracciones es cruzada.
a c ad
sean a,
b,
c,
d ∈ R, con b,
c,
d ≠ 0,
entonces ÷ =
b d bc
Ejemplo:
5 9 5
÷ =
3 7 3
( 7)
35
=
( 9)
27
Existe una forma de transformar las divisiones en multiplicaciones, esta consiste en invertir
el orden de la segunda fracción, es decir el numerador pasa a ser denominador y el
denominador a ser numerador.
67

a c a d ad
sean a,
b,
c,
d ∈ R, con b,
c,
d ≠ 0,
entonces ÷ = ⋅ =
b d b c bc
Ejemplo:
5 9 5 7 5
÷ = × =
3 7 3 9 3
( 7)
35
=
( 9)
27
Antes de comenzar con el trabajo operacional es bueno señalar que es indispensable el
dominio adecuado de las tablas de multiplicar, existe la siguiente estrategia para el
dominio de dicho prerequisito:
1. Construya una tabla de 10x10 como la siguiente:
*
68

2. Colóquese en la primera fila y primera columna los números del 1 al 9:
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. Ahora, en la segunda fila coloquen los números de 1 en 1; en la segunda fila de 2 en
dos; en la fila 3 de tres en tres y así sucesivamente con el resto de filas.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
4. Ya tenemos construida las tablas de multiplicar. Para conseguir el resultado de una
multiplicación determinada procedemos de la siguiente manera:
¿Cuánto es 9x7?. Ubicamos primero la fila 9, luego la columna 7, el sitio donde se intercepte esta fila con la
columna es el resultado deseado.
69

2)
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
La casilla de intersección nos indica 63, por lo tanto su resultado es 63. Este proceso se
aplica de manera análoga para resolver cualquier multiplicación que necesitemos.
Ejercicios resueltos:
Efectúe lo siguiente:
1)
1 5 1×
7 + 2 × 5 7 + 10 17
+ =
= =
2 7 2 × 7 14 14
Como es una suma de fracciones de diferentes denominadores, se aplicó la regla
respectiva.
Columna 7
⎡3 2 ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎡3
× 4 − 5 × 2 ⎤ ⎡6
× 1 + 5 × 7 ⎤ ⎡12 −10
⎤ ⎡ 6 + 35⎤
⎢ − 7
= × =
5 4 ⎥ × ⎢ +
5 ⎥ = ⎢
×
5 4 ⎥ ⎢ 5 1 ⎥ ⎢ 20 ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ × ⎦ ⎣ × ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 2 ⎤ ⎡41⎤
2 × 41 82
= ⎢ = =
20
⎥ × ⎢
5
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 20 × 5 100
Fila 9
70

3)
⎡ 1 5⎤
⎡ 3⎤
⎡1×
4⎤
⎡4
× 3⎤
⎢ ÷ + 4
=
2 4 ⎢ × = +
⎣
⎥
⎦ ⎣ 8⎥
⎦
⎢
⎣2
× 5⎥
⎦
⎢
⎣ 8×
1⎥
⎦
32 + 120
= =
80
4
10
152
80
12 4×
8 + 10×
12
+ =
=
8 10×
8
En el mundo matemático debemos casi siempre pensar en lo siguiente. “ Será que esto lo
puedo hacer de manera más sencilla”. Observemos que una fracción generalmente se puede
copiar como otra equivalente pero más pequeña. Esto se puede realizar gracias al teorema
de la simplificación.
CRITERIO DE SIMPLIFICACION
abc ab
Sean a , b,
c,
d,
e ∈R , entonces = , con c,
d,
e ≠
cde de
Observe que en esencia lo que se hizo fue eliminar la variable “ c ”, esto se puede hacer
siempre y cuando todos los elementos del numerador estén multiplicando entre si y todos
los elementos del denominador también lo hagan y además exista un elemento que esté
arriba y abajo a la vez.
Aquí se presenta un error muy común a la hora de aplicar este criterio maravilloso,
a + bc
≠
ade
bc
.
de
Aquí no se puede eliminar la variable “ a ” ya que ella en el numerador está
sumando, por lo tanto no cumple las condiciones del Criterio de Simplificación, luego no
se puede eliminar.
4)
⎡12
1⎤
⎡25
10 ⎤ ⎡13⎤
⎡15
⎤ 13 × 15
⎢ +
= =
5 5⎥
× ⎢ −
×
26 26⎥
= ⎢ 5 ⎥ ⎢26⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 5 × 26
0.
71

Obsérvese que el 15 y el 26 se pueden descomponer en producto de otros números
llamados números primos ♣ o factores primos de un número dado, luego aplicamos el
criterio de simplificación si es posible.
13×
5 × 3
=
5 × 13 × 2
3
2
1 7 23 22 7
5) + − + 2 − + =
3 4 12 6 18
Con lo que conocemos hasta ahora debemos agrupar en pares y luego ir resolviendo así,
•
•
•
1 7 4 + 21 25
+ = =
3 4 12 12
23 − 23 + 24 1
− + 2 = =
12 12 12
22 7 11 7
− + = − + =
6 18 3 18
Así tenemos que,
1 7 23 22 7
+ − + 2 − +
3 4 12 6 18
Resolviendo el lado derecho,
=
( − 11)
18 + 21 −198
+ 21 − 177 59
= = = −
3×
18 54 54 18
25 1 59
+ −
12 12 18
25 1 59 26 59 13 59 13 × 18 − 6 × 59 234 - 354 − 120
+ − = − = − =
= = =
12 12 18 12 18 6 18 6 × 18 108 108
Simplificando,
120 60 30 10
− = − = − = −
108 54 27 9
Así tenemos,
1 7 23 22 7 10
+ − + 2 − + = -
3 4 12 6 18 9
♣ Un número se llama primo si solamente es divisible por el mismo y por la unidad.
72

Existen algunos criterios que nos permiten saber si un número entero
es divisible entre, dos, tres y cinco.
Un número es divisible entre dos, si termina en cero o es par.
Un número es divisible entre tres, si la suma de sus dígitos es un
número divisible entre tres. Por ejemplo:
1263 es divisible entre tres ya que 1+2+6+3=12 y 12 es divisible entre
tres.
1263
=
3
421
Un número es divisible entre cinco, si termina en cero o cinco.
OTROS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
Un número es divisible entre cuatro, si el número formado con las
dos últimas cifras es múltiplo de cuatro. Por ejemplo:
936 es divisible entre 4, ya que 36 es múltiplo de 4 ( 9 × 4 = 36)
Un número es divisible entre seis, si el número es divisible por dos
y tres de manera simultánea.
Un número es divisible entre nueve, si la suma de sus cifras es
múltiplo de nueve. Por ejemplo:
26991 es divisible entre 9, ya que 2+6+9+9+1=27 y 27 es múltiplo de 9.
Un número es divisible entre diez, si termina en cero.
73

Observe que el problema anterior fue un poco largo, ya que solamente podíamos trabajar
con pares de fracciones, pero no hay que preocuparse por ello, porque existe un
procedimiento más sencillo que nos permitirá transformar las fracciones que aparezcan
sumando o restando en una sola. Para ello utilizará el mínimo común múltiplo
( m . c.
m.
)
Se denomina m.c.m. de dos números a y b al menor número no nulo que es múltiplo de a
y simultáneamente de b.
♦ Un número es divisible entre otro cuando su cociente es un entero o cuando el numerador de una fracción
es un múltiplo del denominador de dicha fracción.
Procedimiento para hallar el m . c.
m.
El m. c.
m.
de un conjunto de números, es otro número conformado por los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente de ese conjunto de números.
Ejemplo:
↔ Halle el mínimo común múltiplo de 25, 50, 45.
Solución:
Primero descomponemos cada uno de esos números en sus factores primos
• 25 = 5×
5
Luego, aplicando la definición
•
50 = 2 × 5×
5
m . c.
m.
(25 , 50 , 45 ) = 5 × 5×
2×
3×
3 = 450
•
45 = 3×
3×
5
Este m . c.
m.
tiene una propiedad fundamental, de ser el menor número divisible ♦ entre cada
uno de los números en cuestión. Veamos si 450 cumple esta propiedad.
450
•
= 18
25
•
450
= 9
50
•
450
= 10
45
74

7 11 108 34 1
6. Resuelva − + + − =
9 36 18 3 6
Solución:
El m . c.
m.
también se conoce como el mínimo común denominador ya que hallaremos el
m . c.
m.
entre el conjunto de denominadores.
• 9 = 3×
3
•36
= 2×
2×
3×
3
•18
= 2×
3×
3
Así , el m . c.
m.
(9, 36 ,18 , 3, 6 )= 2 × 2 × 3×
3 = 36
• 3 = 3
• 6 = 2 × 3
Ahora este m . c.
m.
lo dividiremos entre cada uno de los denominadores y su resultado lo
multiplicaremos por su respectivo numerador.
7 11 108 34 1
− + + − =
9 36 18 3 6
28 −11
+ 216 + 408 − 6 652 − 17 635
=
= =
36
36 36
4
( 7 ) −1(
11 ) + 2 ( 108 ) + 12 ( 34 ) − 6 ( 1 )
Otro procedimiento llamado el de las columnas para hallar el m . c.
m.
Dispónganse la serie de números en distintas columnas y proceda a hallarles sus factores de manera
simultánea como la siguiente representación:
25 50 45 5
5 10 9 2
1 5 3 3
1 3 3
1 5
36
Factores primos
El producto de la columna de los factores primos es el m . c.
m.
, entonces
5 2×
3×
3×
5 = 450.
× Donde m
. c.
m.
( 25, 50, 45 ) = 450
=
75

Otro procedimiento basado en la definición del m . c.
m.
Halle los múltiplos de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el
menor común a esa serie de números problemas. Ejemplo:
Los múltiplos de los números 25, 50 y 45 son:
M( 25 ) = { 25,50,75,100,125,150
,175,200, 225, 250,275,30 0,325,350, 375,400,425,450,
... }
M( 50 ) = { 50, 1 00, 150,
200, 250 ,30 0, 350, 400, 450, 500, 550, 600 ... }
M( 45 ) = { 45, 90, 135 , 180, 225,
270, 315, 360, 405, 450, 495, 540, 585 ... }
Observe que el múltiplo más pequeño y común a los tres números es 450 por ende el
m . c.
m.
de esa serie de números es 450.
Si se pregunta ¿cuál de esos procedimientos utilizar?, pues no se preocupe , ya que usted
puede utilizar el procedimiento que más domine, porque no importa la vía que tome, el
resultado debe ser el mismo.
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el máximo número
que divide a todos los demás.
Se denomina M.C.D. de dos números a y b al mayor número no nulo que es divisor de a
y simultáneamente de b.
76

Procedimiento para hallar el M.C.D.
El M.C.D. de un conjunto de números, es otro número conformado por los factores primos
comunes con su menor exponente de ese conjunto de números.
Ejemplo:
↔ Halle el máximo común divisor de 25, 50, 45.
Solución:
Primero descomponemos cada uno de esos números en sus factores primos
• 25 = 5×
5
Luego, aplicando la definición
M.C.D. (25 , 50 , 45 ) = 5
•
50 = 2 × 5×
5
•
45 = 3×
3×
5
Este M.C.D. tiene una propiedad fundamental, de ser el mayor número divisor entre
cada uno de los números en cuestión. Veamos si 5 cumple esta propiedad.
•
25
= 5
5
Ejercicio resuelto:
•
50
= 10
5
↔ Halle el M . C.
D.
entre 25, 125 y 100.
Solución:
•
45
= 9
5
Descomponemos los números en sus factores primos, así
25 = 5×
5
125 = 5×
5×
5
100 = 2 × 2 × 5×
5
Observe que 5 es un factor común en la serie de números, pero observe también que el
máximo es 5×
5,
ya que está en cada uno de los números estudiados , así que el
M. C.
D.
es 25.
Se denota como M . C.
D.
( 25,
125,
100 ) =
25
77

↔ Halle el M. C.
D.
entre 135, 45 y 630.
Solución:
Descomponemos los números en sus factores primos, así
3
135 = 3×
3×
3×
5 = 3 × 5
2
45 = 3×
3×
5 = 3 × 5
630 = 2×
3×
3×
5×
7 = 2×
3
2
× 5×
7
Nótese que el factor común es el 3 y el 5, ¿por qué el 2 y el 7 no lo son?, luego se toma
2
el que tenga menor exponente, así el M . C.
D.
( 135,
45,
630 ) = 3 × 5 = 45 .
Otro procedimiento basado en la definición del M . C.
D.
Halle los divisores de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el
mayor común a esa serie de números problemas. Ejemplo:
Los divisores de los números 250, 500 y 450 son:
D ( 250 ) = { 250, 125, 50, 25, 10 , 5 }
D ( 500 ) = { 500, 250, 125,
50, 25, 10, 5}
D ( 450 ) = { 450,
225, 150, 90, 75 , 50, 45, 30, 25, 18, 15, 10, 5, 3}
Observe que el divisor común y mayor a los tres números es 50 por ende el M . C.
D.
de
esa serie de números es . C.
D.
( 250,
500, 450 ) = 50
M .
Este concepto será de gran utilidad en el capítulo 2 referido a las técnicas de factorización.
78

EJERCICIOS 1.2
Resuelva y simplifique las siguientes operaciones:
1. − 65 − 43 + 5 + 1343 − ( − 45)
=
2. − ( 34 − 6 ) + 46 − 68 =
3. 5 + [ 22 ( 33−
13)
−16
] =
4. [ 3 ( 32 + 5 ) − 78 − ( −34
−12)
] 2 =
3 18
5. + =
7 7
−12
6 2
6. + − =
8 8 8
7.
3
−
7
( − 45)
=
− 7
3 11 5
8. + − =
4 2 8
33 8 ⎛ 5 ⎞
9. − + − ⎜ ⎟ − 7 =
11 4 ⎝ − 3 ⎠
− 45 ⎡12
14 ⎤ 1
10. + ⎢ × ⎥ − =
− 5 ⎣ 7 7 ⎦ 5
11.
( 3)
⎡9 −
⎢ ÷
⎣7
14
⎤ 3
⎥ ×
⎦ 4
1 ⎧2
⎡−
7 13 ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎫
12. ⎨ − 7 ⎢ − − 2 ⎜33
− ⎟ ⎥ ⎬ =
2 ⎩5
⎣ 11 3 ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎭
13. ( ) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =
2 5
⎛ 3 ⎞ 3 3
14. ⎜ ⎟ = × =
⎝ 7 ⎠ 7 7
2
=
⎡ 2
⎛ 1 ⎞
⎤
⎢⎜
⎟ ⎥
15.
⎢⎝
2 ⎠ ⎛ 2⎞
3 +
⎥
⎢
⎜ ⎟
⎥
=
3
⎝ ⎠
⎢ ⎛ 3⎞
5
⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝5
⎠ ⎥⎦
16. ␇
4 3
−
9 8
7 11
−
12 18
=
1
−3
17.
3
=
−12
5
+
8 16
3 1
−
18.
4 2
=
2
1−
3
5 3
+
19.
21 7
=
5 35
−
12 24
3 2
−
20.
4 3
=
19 5
−
18 6
1
21. 1 − =
1
2 −
1
3 −
2
79
␇ Estas fracciones se llaman fracciones complejas.

1
22. − 4 +
=
1
− 3+
1
− 2 +
3
1
23. 1 + =
1
1+
1
1+
2
LOS NUMEROS DECIMALES
Un número decimal es aquel número que posee una parte entera y una decimal. Se
identifica rápidamente porque posee una coma entre alguno de sus dígitos. Ejemplo:
• 23,546
• 1,6588
• 0,78326428
• -3,000
La parte entera es aquella que se encuentra antes de la coma y la parte decimal la que se
encuentra después de ella. En un número decimal cada una de las posiciones de los dígitos
tiene un nombre específico y dependiendo de ello se pronuncia la cantidad de una manera
determinada.
En el siguiente número decimal, veamos el nombre de algunas de las posiciones de los
dígitos.
Millardos
Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena
decena
Unidad
Décimas
Centésimas
Milésimas
Diezmilésima
Cienmilésimas
43

3 8 7 9 5 9 7 0 7 5 , 8 4 1 3 2
Este número se lee como “ Tres millardos, ochocientos setenta y nueve millones,
quinientos noventa y siete mil setenta y cinco unidades con ochenta y cuatro
mil ciento treinta y dos cienmilésimas “
Ejercicios:
Escriba los siguientes números en forma verbal:
↔ 434,7575
↔ 0,4553
↔ 1200000000
↔ 540000004
Escriba los siguientes números en forma numérica:
↔ Ochocientos millones cuatro unidades con noventa milésimas.
↔ 45346,0024
↔ 4,657
↔ Cuarenta y cinco mil novecientos sesenta y tres con ocho milésimas ventiuna cien
millonésima.
↔ Una cienmilésimas.
↔ Cuatro mil una unidad con treinta y tres milésimas.
↔ Treinta y seis mil millardos con tres unidades.
↔ Ciento treinta y ocho millones cuatro unidades con tres décimas.
Con los números decimales también podemos realizar las operaciones básicas, para efectuar
la adición o sustracción debemos tener presente que coincida las posiciones de la parte
entera así como la decimal. Ejemplo:
↔ ¿Cuál es el valor de 23 , 456 − 6,
6456 − 0,
46 + 342,
7 = ?
Solución:
21

Sume por separado las cantidades positivas y las negativas disponiendo una debajo de
otra. Es recomendable ver las cantidades negativas como deuda y las positivas como
débitos y la operación final sería realizar un balance de pago. Veamos,
23,
456
+ 342,7
6 , 6456
+ 0 , 46
En las posiciones después de la coma donde hagan falta números completamos con ceros,
luego:
23,
456
+ 342,700
6 , 6456
+ 0 , 4600
366,156 (Débitos) 7, 1056 (Deudas)
Haciendo ahora el balance con los débitos y las deudas tenemos,
366 , 1560
− 7 , 1056
359,
0504
El 6 le presta una milésima al 0 para poder
efectuar la resta, quedando el 6 en 5 y el
0 en 10.
El balance es positivo porque me queda dinero, es decir las deudas eran pocas.
Si las deudas son mayores que los débitos el balance será negativo. Ejemplo:
↔ − 789 , 456 + 67,
45 su resultado es:
Solución:
Realizamos la resta de manera natural y le colocamos el signo de la cantidad mayor,
51

Así, su resultado es:
−789,
456
67,
450
− 722,
006
− 789, 456 + 67,
45 = −722,
006
MULTIPLICACION DE NUMEROS DECIMALES
El requisito básico que necesitamos es saber medianamente las tablas de multiplicar y el
proceso consiste en lo siguiente:
↔ Resuelva 23 , 4 × 3,
5 =
Primero colocamos las cantidades una debajo de la otra como en el caso de multiplicación
con números enteros,
23,
4
× 3,
5
Realizamos la operación como si no tuviese decimales,
1170
702
comenzando de derecha a izquierda.
81 , 90 La cantidad de decimales que posee el problema son dos, así el
resultado final también debe tener dos decimales, entonces
23 , 4×
3,
5 =
81,90
DIVISION DE NUMEROS DECIMALES
Primero recordemos como era el proceso para números enteros:
8
= 2 Donde el 8 es el dividendo, el 4 el divisor y el 2 el cociente. ¿Cómo
4
sabemos que 2 es el resultado de esa operación?
Muy fácil, dispongamos la fracción de esta manera:
8 4
? Un número que multiplicado por 4 de
8. Pues bien es 2. Así,
8 4 Esta división es exacta ya que su
-8 2 residuo es cero.
∏
52

9
↔ Resuelva la siguiente división .
5
Solución:
9 5
-5 Dividendo 1 Observe divisor que el residuo no Distribución es cero, por equivalente lo tanto el resultado
4 o cociente es un número decimal. a la igualdad
residuo cociente D = d.c+
r
9 5
-5 1,8 Como no existían más cifras en el dividendo para bajar
40 le agregamos un cero a la derecha del residuo y una
-40 coma en el cociente, así:
0
9
Por lo tanto tenemos que: = 1 , 8 .
5
1
↔ Resuelva la siguiente división .
4
Solución:
1 4 Como uno no es divisible entre
10 0,25 cuatro, entonces le agregamos
-8 un cero al dividendo y copiamos
20 cero y una coma en el cociente.
-20
0
53