Decomposição de Cholesky

Decomposição de Cholesky
Manaíra Lima e Loïc Cerf
26 de março de 2013
UFMG – ICEx – DCC

Exercício
Exercício A
Calcular a terceira coluna de A −1 e o determinante de A pelo
método de Cholesky, usando 4 casas decimais:
Manaíra Lima e Loïc Cerf
A =
⎡
⎢
⎣
4 −4 2 8
−4 5 −7 −10
2 −7 42 18
8 −10 18 46
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
2 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1
2 − 4 5 2
3 2 − 7 42 3
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 √ 4
2 − 4 5 2
3 2 − 7 42 3
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2
3 2 − 7 42 3
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2
3
− 4
2
5
− 7 42
2
3
−4
2
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2
3 2 − 7 42 3
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2
3
4
2
8
− 7
− 10
42
18 46
3
4
2
2
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4
8
2
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 5 − (−2) 2
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1
4 8 − 10 18 46 4 4
−7−(1)(−2)
1
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5
4 8 − 10 18 46 4 4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5
4 8 − 10 18 46 4 4
−10−(4)(−2)
1
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 42 − 1 2 − (−5) 2
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2
18−(1)(4)−(−5)(−2)
4
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2 1
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2 1 46 − 4 2 − (−2) 2 − 1 2
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2 1 5
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
i/j 1 2 3 4 i/j 1 2 3 4
1 4 1 2
2 − 4 5 2 − 2 1
3 2 − 7 42 3 1 − 5 4
4 8 − 10 18 46 4 4 − 2 1 5
A = LL T , onde L =
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
−2 1 0 0
1 −5 4 0
4 −2 1 5
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
3 / 11

Exercício A
A terceira coluna de A −1 é a solução do sistema Ax =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
4 / 11

Exercício A
A terceira coluna de A −1 é a solução do sistema LL T x =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
4 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y, Ly =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
y1
y2
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
y1
y2
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
2
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
y2
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
y2
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0−(−2)(0)
1
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
y3
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0
y3 = 1−(1)(0)−(−5)(0)
4
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
0, 25
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0
y3 = 0, 25
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
0, 25
y4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0
y3 = 0, 25
y4 = 0−(4)(0)−(−2)(0)−(1)(−0,25)
5
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Exercício A
Fazendo L T x = y,
⎡
⎢
⎣
2 0 0 0
− 2 1 0 0
1 − 5 4 0
4 − 2 1 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
⎤
⎥
⎦ =
Soluções do sistema triangular inferior obtidas pelas substituições
sucessivas:
y1 = 0
y2 = 0
y3 = 0, 25
y4 = − 0, 05
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
0
0
1
0
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
5 / 11

Então, L T x =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
−0, 05
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = −0,05
5
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
x3
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
x3
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0,25−(1)(−0,01)
4
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
0, 065
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0, 065
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
x2
0, 065
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0, 065
x2 = 0−(−5)(0,065)−(−2)(−0,01)
1
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
0, 305
0, 065
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0, 065
x2 = 0, 305
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
x1
0, 305
0, 065
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0, 065
x2 = 0, 305
x1 = 0−(−2)(0,305)−(1)(0,065)−(4)(−0,01)
2
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Então,
⎡
⎢
⎣
Exercício A
2 − 2 1 4
0 1 − 5 − 2
0 0 4 1
0 0 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0, 2925
0, 305
0, 065
− 0, 01
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0, 25
− 0, 05
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x4 = − 0, 01
x3 = 0, 065
x2 = 0, 305
x1 = 0, 2925
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎤
⎥
⎦
Decomposição de Cholesky
6 / 11

Resultado
Exercício A
A terceira coluna de A −1 é
Manaíra Lima e Loïc Cerf
⎡
⎢
⎣
0, 2925
0, 305
0, 065
−0, 01
⎤
⎥
⎦ .
Decomposição de Cholesky
7 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
det(A) =
4
i=1
lii
2
Decomposição de Cholesky
8 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
det(A) = (2 × 1 × 4 × 5) 2
Decomposição de Cholesky
8 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A
det(A) = 1600
Decomposição de Cholesky
8 / 11

Exercício
Exercício B
Usando três casas decimais,
resolver, pela decomposição de Cho-
8x1 + 5x2 = 1
lesky, o sistema
e refinar a solução até que a
5x1 + 6x2 = 5
norma infinita do vetor resíduo seja, no máximo, 0, 002.
Formulário
A = LL T
Manaíra Lima e Loïc Cerf
∀j = 1..n − 1, ∀i = j + 1..n,
lij = aij − j−1
k=1 lik ljk
ljj
det(A) = n i=1 lii
2 ∀j = 1..n,
ljj =
ajj − j−1
k=1 l 2 jk
Decomposição de Cholesky
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Exercício C
Exercício para entregar
Usando três casas decimais, calcular,
⎡
após uma decomposição
⎤
de
4 2 1 1
⎢
Cholesky, o determinante de ⎢ 2
⎣ 1
9
12
12
37
−16 ⎥
−43 ⎦
1 −16 −43 98
.
Formulário
A = LL T
Manaíra Lima e Loïc Cerf
∀j = 1..n − 1, ∀i = j + 1..n,
lij = aij − j−1
k=1 lik ljk
ljj
det(A) = n i=1 lii
2 ∀j = 1..n,
ljj =
ajj − j−1
k=1 l 2 jk
Decomposição de Cholesky
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