un modelo de competencia espacial duopolistica via precios

i = A, B; j ≠ i. La función f p )
que el precio de mercado p k k k
= min { A, p }
( k
k
k
i es una parábola cóncava con vértice pi
( ak
+ ci
).
p , puede comprobarse que
B
192
1
= Teniendo en cuenta
2
k
p es el precio de equilibrio.
k 1 k
Cuando p = ( ak
+ c A )
2
o
k
k
p = cB
, la firma B queda fuera del mercado. En otro caso, es la
firma A la que no suministra ninguna cantidad al mercado k.
Si ambas firmas se ponen de acuerdo, de tal forma que cada mercado es cubierto por aquella con menores
costes, se obtiene un óptimo de Pareto para las empresas. En tal caso, los precios colusivos que maximizan
el beneficio conjunto de las firmas vienen dados por el siguiente resultado.
Proposición 7. Dadas dos localizaciones, el precio colusivo que maximiza el beneficio conjunto es
p k 1
k k
= ( ak
+ min{
c A,
cB
})
2
Dem. Hemos asumido que el acuerdo entre las empresas asigna cada mercado a la firma con menor coste
1 k i
en destino. Además, el precio de monopolio en el mercado k es ( ak
+ c ) , de donde se deduce el
2
resultado.
Este precio colusivo no es un equilibrio de Nash. Obsérvese que aumenta con la disposición a pagar y con
los costes en destino de la empresa más eficiente. Entonces, la otra empresa tendrá incentivos a reducir
costes para colocarlos por debajo de su oponente y controlar dicho mercado.
Finalmente, se trata de estudiar la existencia de un equilibrio de Nash para la primera etapa.
Corolario 1. El beneficio en la primera etapa πi(xA, xB), adelantando el equilibrio de Nash en precios en la
segunda, es
i = A,B; j ≠ i, donde
1
2
∑ ∏
m
k∈K
i ( x A , xB
)
∏
k
(
i
k
i
x ) =
i
( x ) +
i
∑
k
( c j
d
k∈K
i ( x A , xB
)
k
i
k
k j
( x ) − c ( x ))( α − β c ( x )) − F ,
j
k
1
k
( ( a − c ( x ) )( α − β ( a + c ( x ) ) y
k
i
i
m ⎧ k 1 k ⎫
Ki ( x A,
xB
) = ⎨k
: c j ( x j ) ≥ ( ak
+ ci
( xi
)) ⎬
⎩
2
⎭
⎧ k k 1 k ⎫
( xA,
xB)
= ⎨k
: Ci
( xi)
≤ Cj
( x j)
〈 ( αk
+ Ci
( x )) ⎬
⎩
2
⎭
d
Ki i
Dem. Se obtiene sustituyendo el equilibrio de Nash en precios en la función de beneficio de las empresas y
teniendo en cuenta que K ∪ K ∪
m d
K ∪ K = n
m A
d A
B
B
Corolario 2. El beneficio en la primera etapa, adelantando colusión en precios en la segunda, es
k k
donde Ki (xA, xB) { : c ( x ) < c ( x ) }
1
c
k
k
πi ( xA,
xB)
=
( x
i
i)
+
2
4 ∑ ∏i
k∈K
( x , x )
k∈K
( x , x )
= y
k i i j j
∑ ∏
i
A
B
k
2
1
k
M
i
k
A
k
i
B
i
( x ) − F ,
i
j
i
i