un modelo de competencia espacial duopolistica via precios

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Sumando todas las inecuaciones se tiene s+ 1 donde xi = xi , i = A, B. simplificando, resulta. 1 2 1 A B < CS ( x , x ) CS ( x , x ) 2 2 A B < CS ( x , x ) CS ( x , x ) 3 A 2 B 190 1 A 2 A 2 A 1 B 1 B 2 B CS ( x , x ) < CS ( x , x ) M 1 s s CS ( x A , x ) < CS ( x , x ) B 1 1 A B < CS ( x , x ) CS ( x , x ) s s j+ 1 j j+ 1 j+ 1 j j j+ 1 j ∑[ CS ( x A , xB ) + CS( x A , xB ) ] < ∑[ CS( x A , xB ) + CS( x A , xB ) ] j= 1 j= 1 s A 1 A B s B Pasando todo al primer miembro, agrupando bajo el mismo sumatorio y s ∑ j= 1 j+ 1 j+ 1 j j [ CS( x , x ) − CS( x , x ) ] < 0 Como el primer término se anula, se obtiene la contradicción buscada (0
donde αk > 0, βk > 0 y ak = α k > 0 es la disposición a pagar de los consumidores del mercado k, k = 1, .....,n. β k Para descartar comportamientos monopolísticos y garantizar que se satisfaga la demanda de cada mercado, asumiremos que la disposición a pagar de los consumidores es suficientemente grande, satisfaciendo αk c , k ≥ i i = A, B, para cada localización potencial. Esta suposición garantiza competencia en cada mercado y no supone una condición muy restrictiva siempre que el coste de transporte no sea demasiado grande. En primer lugar consideremos localizaciones xA y xB dadas, y estudiemos la existencia de un equilibrio de Nash en precios. El beneficio de las empresas se expresa de la siguiente manera siendo Entonces, πi(pA,pB) = n ∑ k= 1 ⎧ k α − β p ⎪ k k i k k k ⎪1 k q i ( pA , pB ) = ⎨ ( α − β p ) k k i ⎪2 ⎪ 0 ⎩ k i 191 k i k i k A k B ( p − c ) q ( p , p ) − F si p si k i p k i k i p ( p k i i i = A, B; k i j ≠ i k k i − c )( α − β p ) − F Proposición 6. Dadas dos localizaciones, existe un único equilibrio de Nash en precios dado por k = 1,....,n. ⎧ ⎪1 a ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ k k ⎪ cB p = ⎨ ⎪ ⎪ k ⎪c A ⎪ ⎪1 ⎪ a ⎩2 k 1 k si cB ≥ ( ) ( ak + c A ) + c 2 k ≤ c < c 1 < 2 1 < 2 k 1 k ( + c ) si c ≥ ( a + c ) k k A B si c si c k A k B k A k B 2 k A k k ( a + c ) k k ( a + c ) Dem. Obsérvese que, salvo constante, la expresión del beneficio en un mercado marginal (k ∈ kM) coincide con la de uno captado completamente (k ∈ ki), por lo que el objetivo a optimizar para la empresa i, k k k k independientemente del tipo de mercado, es f( pi ) = ( pi − ci )( αk − βkpi ). Como además estamos asumiendo costes marginales de producción constantes (no hay economías de escala), bastará con maximizar el beneficio en cada mercado, esto es max f p ) s.a. ( k i k i k i c ≤ p ≤ p k i p ≤ a k k j k B k A B i
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