Geometría en el espacio - Departamento de Matemáticas ...

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de innovación didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bloque: Geometría
Tema: Geometría en el espacio

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Índice
Planos
Rectas
Ecuaciones
Ecuaciones
Paralelismo y ángulos
Distancias y áreas

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Puntos y vectores en el espacio
En el espacio R 3 , conviene distinguir entre punto y vector:
Puntos y vectores
Si consideramos R 3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,
y los escribiremos con letras mayúsculas: P, Q, R, . . ..
Si consideramos R 3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,
y los escribiremos con letras minúsculas: u, v, w, . . ..
Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna de
números reales, que se llaman sus coordenadas.
Notación
Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).
Análogamente, la notación v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas
(2, 1, 0).

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P
por un vector v:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se define
como el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P
por un vector v:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se define
como el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslación del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto de
coordenadas:
(1, 2, 10) .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Geometria de rectas y planos en
el espacio

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Planos en el espacio

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Planos en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, el
plano que pasa por P con la dirección 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos X
que satisfacen:
X = P + λe + µv
para algunos λ, µ ∈ R .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Planos en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, el
plano que pasa por P con la dirección 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos X
que satisfacen:
X = P + λe + µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La dirección de un plano es un espacio vectorial de dimensión dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un único plano, que
denotamos P + Q + R:
P + Q + R := P + λ
P Q + µ
P R .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Dado que P Q = (−1, 1, 0) y P R = (−1, 0, 1), el plano definido por estos
tres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .
La dirección de este plano P + Q + R es el espacio vectorial
〈
P Q,
P R〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), no
proporcionales. El plano que pasa por P con dirección 〈e, v〉 es el conjunto
de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2 λ, µ ∈ R .
⎪⎩
z = p3 + λ e3 + µ v3

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), no
proporcionales. El plano que pasa por P con dirección 〈e, v〉 es el conjunto
de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2 λ, µ ∈ R .
⎪⎩
z = p3 + λ e3 + µ v3
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como P Q = (−1, 1, 0) y P R = (−1, 0, 1), las ecuaciones paramétricas del
plano que pasa por estos tres puntos son:
⎧
⎪⎨ x = 1 − λ − µ
y = λ
.
⎪⎩
z = µ

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación general
Todo plano admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c, d ∈ R.
ax + by + cz = d

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación general
Todo plano admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c, d ∈ R.
Observación
ax + by + cz = d
A partir de dicha ecuación, podemos obtener directamente:
La dirección perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La dirección del plano: basta encontrar dos vectores linealmente
independientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando el
producto vectorial:
〈(b, −a, 0),
b c
−a 0
, −
a c
b 0
,
a b
b −a
〉 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Hemos calculado en el ejemplo anterior que la dirección del plano P + Q + R
es el espacio vectorial
〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
Para calcular la dirección ortogonal, puede establecerse un sistema de
ecuaciones, o bien (por estar en dimensión 3), utilizar el producto vectorial:
PQ ×
x y z
P R =
−1 1 0
= x + y + z
−1 0 1
de modo que la dirección ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuación
general es de la forma x + y + z = d.
Como el punto P (1, 0, 0) está en el plano, su ecuación general ha de ser
x + y + z = 1 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)
admite la ecuación:
x
p1
q1
z1
y
p2
q2
r2
z
p3
q3
r3
1
1
1
1
= 0 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)
admite la ecuación:
x
p1
q1
z1
y
p2
q2
r2
z
p3
q3
r3
1
1
1
1
= 0 .
Observación
Recuérdese la fórmula para calcular un determinante, desarrollando por una
fila o por una columna.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
La ecuación del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) y
R(0, 0, 2) tiene como ecuación:
x y z 1
0 = 2 0 0 1 x y z
x y 1
0 2 0 1 =
2 0 0
− 2
2 0 1
0 0 2 1 0 2 0 0 2 1
= 4z − 2(4 − 2x − 2y) = 4(x + y + z − 2) .
Es decir, la ecuación de tal plano es:
x + y + z = 2 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Rectas en el espacio

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Rectas en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P con
la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
para algún λ ∈ R .
X = P + λv

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Rectas en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P con
la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
para algún λ ∈ R .
Ejemplo
X = P + λv
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que P Q = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la única recta
que pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con dirección v
es el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
⎪⎩
z = p3 + λ v3
para algún λ ∈ R.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con dirección v
es el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
⎪⎩
z = p3 + λ v3
para algún λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que P Q = (1, 1, 1), las ecauciones paramétricas de la recta P + Q son:
⎧
⎪⎨ x = 1 + λ
y = λ .
⎪⎩
z = λ

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite las
ecuaciones:
x − p1
= y − p2
= z − p3
.
q1 − p1
q2 − p2
q3 − p3

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite las
ecuaciones:
x − p1
= y − p2
= z − p3
.
Ejemplo
q1 − p1
q2 − p2
q3 − p3
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x − 1 y z
= =
2 − 1 1 − 0 1 − 0 ,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
x − 2y = 1
r ≡
.
y − z = 0

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación general
Toda recta en el espacio es intersección de dos planos, de modo que puede
escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡
ax + by + cz = d
a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′
siendo los vectores (a, b, c) y (a ′ , b ′ , c ′ ) linealmente independientes.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación general
Toda recta en el espacio es intersección de dos planos, de modo que puede
escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡
ax + by + cz = d
a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′
siendo los vectores (a, b, c) y (a ′ , b ′ , c ′ ) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntos
P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelismo y ángulos

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelismo de rectas y planos
Definición
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección.
Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelismo de rectas y planos
Definición
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección.
Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano.
Condición de paralelismo
Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas son
proporcionales.
Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos son
proporcionales.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelismo de rectas y planos
Ejemplo
Los planos paralelos al plano 2x − y + z = 1 son los que vienen dados por
ecuaciones del tipo:
2x − y + z = d
siendo d ∈ R una constante cualquiera.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ángulos entre rectas y planos
Definición
Dados dos planos π y π ′ , el ángulo que forman, que escribimos ∠(π, π ′ ), se
define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta
perpendicular a π ′ .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ángulos entre rectas y planos
Definición
Dados dos planos π y π ′ , el ángulo que forman, que escribimos ∠(π, π ′ ), se
define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta
perpendicular a π ′ .
Definición
Dada una recta r y un plano π, el ángulo que forman, que escribimos ∠(r, π),
se define como el ángulo que forma r con su proyección ortogonal sobre π.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Ángulos
Ejemplo
El ángulo que forman los planos π ≡ x + y + z = 1 y el plano
π ′ ≡ 2x − y − z = −3 es el ángulo que forman sus vectores normales,
(1, 1, 1) y (2, −1, −1).
Es decir,
∠(π, π ′ ) = π
2 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Distancias y áreas

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Distancia de un punto a plano
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuación
ax + by + cz = d vale:
dist(P, π) =
|ap1 + bp2 + cp3 − d|
√ a 2 + b 2 + c 2
.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Distancia de un punto a plano
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuación
ax + by + cz = d vale:
Ejemplo
dist(P, π) =
|ap1 + bp2 + cp3 − d|
√ a 2 + b 2 + c 2
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuación 2x + 2y + 2z = −4
vale:
|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2 − (−4)|
dist(P, π) = √ =
22 + 22 + 22 16
2 √ 3 = 8 √ .
3
.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Distancia de un punto a una recta
Cálculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección 〈v〉.
La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =
PQ × v
v
donde × denota el producto vectorial y el módulo de vectores.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Distancia de un punto a una recta
Cálculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección 〈v〉.
La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =
PQ × v
v
donde × denota el producto vectorial y el módulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).
Según la fórmula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q + 〈v〉
vale:
PQ × v
dist(P, r) = =
v
(1, 1, 1)
3
√ =
2 2 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelogramos
Definición
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice
paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Paralelogramos
Definición
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice
paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Área de un paralelogramo
El área del paralelogramo de vértices P, Q, R y S es el módulo del producto
vectorial de sus lados:
Área del paralelogramo =
P Q ×
P S .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Área de un paralelogramos
Ejemplo
Sea el paralelogramo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).
Los lados vienen determinados por los vectores P Q = (1, 1, 0) y
PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0, −3), de modo que el área
que encierra el paralelogramo es:
Área del paralelogramo = (0, 0, −3) = 3 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Triángulos
Definición
Tres puntos no alineados del espacio definen un triángulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtener
rápidamente el área de un triángulo:

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Triángulos
Definición
Tres puntos no alineados del espacio definen un triángulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtener
rápidamente el área de un triángulo:
Área de un triángulo
El área del triángulo de vértices P, Q y R es la mitad del módulo del
producto vectorial de sus lados P Q y P R
Área del triángulo = 1
PQ ×
2 P R .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Área de un triángulo
Ejemplo
Sea el triángulo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).
El producto vectorial de los lados P Q = (1, 1, 0) y P R = (3, 0, 0) es
(0, 0, −3), de modo que el área que encierra el triángulo es:
Área del triángulo = 1
3
(0, 0, −3) =
2 2 .

Bloque:
Geometría
Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
La esfera
Definición
Dados un punto C y un número positivo r, la esfera de centro C y radio r es
el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C es
igual a r.
Si C(c1, c2, c3), la condición anterior se expresa en coordenadas:
(x − c1) 2 + (y − c2) 2 + (z − c3) 2 = r 2 .