Una clase de geometría desde el enfoque japonés - CIMM
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<strong>Una</strong> <strong>clase</strong> <strong>de</strong> <strong>geometría</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>el</strong> <strong>enfoque</strong> <strong>japonés</strong><br />
Rossana Av<strong>el</strong>ino Casquero<br />
I.E.Pq. “San Antonio <strong>de</strong> Padua”<br />
Perú<br />
rossav<strong>el</strong>ino_c@hotmail.com<br />
Resumen<br />
Myrian Ricaldi Echevarria<br />
I.E.SS.CC.Recoleta<br />
Perú<br />
myrianluz@hotmail.com<br />
El objetivo <strong>de</strong>l presente reporte es proporcionar información y analizar<br />
<strong>el</strong> proceso <strong>de</strong> las activida<strong>de</strong>s matemáticas <strong>de</strong>sarrolladas durante una <strong>clase</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>geometría</strong> con estudiantes <strong>de</strong>l segundo año <strong>de</strong> secundaria en Japón. A<strong>de</strong>más<br />
se <strong>de</strong>scriben algunos aspectos r<strong>el</strong>ativos a un texto oficial y a la r<strong>el</strong>ación que<br />
este guarda con <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la <strong>clase</strong>.<br />
De lo observado, notamos marcada predominancia en activida<strong>de</strong>s<br />
que estimulan <strong>el</strong> pensar y razonar como capacida<strong>de</strong>s fundamentales que se<br />
buscan <strong>de</strong>sarrollar en los estudiantes. El énfasis está en la comprensión <strong>de</strong><br />
las i<strong>de</strong>as matemáticas fundamentales a partir <strong>de</strong> las cuáles construyen y<br />
r<strong>el</strong>acionan contenidos para lograr generalizaciones y <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong><br />
propieda<strong>de</strong>s.<br />
Las prácticas pedagógicas <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje están basadas en<br />
la comunicación a través <strong>de</strong> la explicación y justificación <strong>de</strong> los argumentos.<br />
De la revisión <strong>de</strong>l texto, observamos que la justificación <strong>de</strong> resultados está<br />
presente. Las situaciones planteadas son <strong>de</strong>safiantes aun cuando se<br />
plantean una mínima cantidad <strong>de</strong> problemas, estos hacen énfasis en la<br />
aplicación y r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s aprendidas.<br />
Palabras claves: <strong>geometría</strong>, actividad matemática, comunicación matemática,<br />
estimulación <strong>de</strong>l pensamiento y razonamiento, r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s,<br />
comprensión <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as.<br />
1. Introducción.<br />
Sobre la base <strong>de</strong> nuestra experiencia en <strong>el</strong> programa <strong>de</strong> entrenamiento para<br />
profesores que ofrece <strong>el</strong> Ministerio <strong>de</strong> Educación, Cultura, Deportes, Ciencia y<br />
Tecnología <strong>de</strong>l Japón (MEXT), presentamos los resultados <strong>de</strong> nuestra experiencia <strong>de</strong><br />
observación a través <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scripción y análisis <strong>de</strong> una <strong>clase</strong> <strong>de</strong> matemática en <strong>el</strong> área<br />
<strong>de</strong> <strong>geometría</strong>: suma <strong>de</strong> ángulos internos <strong>de</strong> un polígono, para estudiantes <strong>de</strong>l segundo<br />
año <strong>de</strong> la escu<strong>el</strong>a secundaria <strong>de</strong> menores.<br />
Nuestra presentación <strong>de</strong>scribe y analiza una <strong>clase</strong> a través <strong>de</strong> la observación <strong>de</strong> un<br />
vi<strong>de</strong>o; a<strong>de</strong>más realiza una breve revisión <strong>de</strong>l texto oficial utilizado en <strong>clase</strong>, <strong>el</strong> cual<br />
muestran cómo se presentan los contenidos y su articulación con <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la<br />
<strong>clase</strong>. Finalmente, mostramos algunas conclusiones r<strong>el</strong>ativas a lo observado en <strong>el</strong> vi<strong>de</strong>o<br />
y al rol que cumplen los textos <strong>de</strong> consulta en <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> las <strong>clase</strong>s.<br />
2. Descripción <strong>de</strong> la experiencia.<br />
1
Grupo <strong>de</strong> observación:<br />
Se consi<strong>de</strong>ró como población a un aula mixta con 35 estudiantes <strong>de</strong> entre 12 y 13<br />
años <strong>de</strong>l segundo año <strong>de</strong> educación secundaria media <strong>de</strong>l colegio anexo a la Universidad<br />
<strong>de</strong> Educación <strong>de</strong> Joetsu, en la prefectura <strong>de</strong> Niigata al norte <strong>de</strong> Japón. El colegio<br />
contaba con 359 estudiantes distribuidos en 9 aulas, <strong>de</strong> los cuales 3 aulas pertenecían al<br />
segundo año con 121 alumnos en total.<br />
Metodología:<br />
Observación y <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> una <strong>clase</strong> <strong>de</strong> <strong>geometría</strong> a través <strong>de</strong> un ví<strong>de</strong>o.<br />
Revisión y análisis didáctico <strong>de</strong> un texto oficial <strong>de</strong> Matemática para <strong>el</strong> segundo<br />
año <strong>de</strong> secundaria <strong>de</strong> menores.<br />
Análisis <strong>de</strong> la <strong>clase</strong> consi<strong>de</strong>rando algunos <strong>el</strong>ementos <strong>de</strong> la teoría APOS. Análisis<br />
<strong>de</strong>l texto según Gómez, Rico y Lupiáñez.<br />
Descripción <strong>de</strong>l vi<strong>de</strong>o <strong>de</strong> observación <strong>de</strong> <strong>clase</strong>.<br />
Tabla 1<br />
Descripción <strong>de</strong>l vi<strong>de</strong>o <strong>de</strong> observación <strong>de</strong> una <strong>clase</strong> <strong>de</strong> <strong>geometría</strong>.<br />
Docente Alumno Evolución <strong>de</strong>l pensamiento a<br />
través <strong>de</strong> gráficos y/o tablas<br />
El profesor recuerda a Los alumnos no<br />
los alumnos que la<br />
suma <strong>de</strong> los ángulos<br />
respon<strong>de</strong>n lo solicitado. El profesor dibuja en la pizarra:<br />
internos <strong>de</strong> un<br />
B<br />
triángulo es 180°, y<br />
plantea la pregunta<br />
¿Cómo se <strong>de</strong>muestra<br />
esto?<br />
A C<br />
Indica que <strong>de</strong>ben<br />
trazar rectas paral<strong>el</strong>as<br />
( 平行), y aplicar<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los<br />
ángulos alternos<br />
( 差 っ 核 ) y<br />
correspondientes<br />
(同位角)。Pi<strong>de</strong> a<br />
los alumnos que<br />
pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>mostrarlo<br />
que levanten la mano.<br />
Como son pocos, <strong>el</strong><br />
profesor hace <strong>el</strong><br />
gráfico:<br />
El profesor escribe en<br />
la pizarra que la suma<br />
<strong>de</strong> los ángulos internos<br />
<strong>de</strong> un triángulo es<br />
180°.<br />
Pocos alumnos levantan<br />
la mano en r<strong>el</strong>ación a la<br />
<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que la<br />
suma <strong>de</strong> ángulos<br />
internos <strong>de</strong> un triángulo<br />
es 180°.<br />
Un alumno aplica<br />
ángulos alternos para<br />
<strong>de</strong>mostrar que la suma<br />
<strong>de</strong> los 3 ángulos es<br />
180°. El alumno se<br />
asegura que sus<br />
compañeros entendieron<br />
su explicación.<br />
Un alumno completa:<br />
B<br />
a c<br />
b<br />
a c<br />
a<br />
A C<br />
Tiempo<br />
4<br />
minutos<br />
2
Docente Alumno Evolución <strong>de</strong>l pensamiento a través <strong>de</strong><br />
gráficos y/o tablas<br />
Un alumno lo <strong>de</strong>muestra dibujando un<br />
El profesor plantea la pregunta ¿Cuánto es la suma Algunos alumnos inmediatamente contestan 360°. cuadrado, trazando una <strong>de</strong> sus diagonales y<br />
<strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un cuadrado?<br />
formando dos triángulos.<br />
Ante la respuesta <strong>de</strong> algunos alumnos, <strong>el</strong> profesor<br />
repregunta ¿Por qué?<br />
El profesor pregunta ¿Cuánto sumarán los ángulos<br />
internos <strong>de</strong> un hexágono?( 六角形)<br />
Les pi<strong>de</strong> dialoguen con sus compañeros una posible<br />
explicación para hallar lo pedido.<br />
El profesor pasa por los lugares, observando y<br />
escuchando lo dialogado por los alumnos, no da<br />
sugerencias, sólo les pregunta si tienen una<br />
explicación.<br />
El profesor luego completa:<br />
180 x 4 = 720, luego concluye que la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos internos <strong>de</strong> un hexágono es 720°.<br />
Luego <strong>de</strong> la explicación <strong>el</strong> profesor frecuentemente<br />
pregunta si <strong>el</strong> resto <strong>de</strong> la <strong>clase</strong> ha entendido.<br />
Luego <strong>el</strong> profesor les plantea y escribe en la<br />
pizarra:<br />
La suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un polígono <strong>de</strong><br />
50 lados es ……………………….<br />
Un alumno hace <strong>el</strong> gráfico adjunto.<br />
El alumno pregunta al resto <strong>de</strong> sus compañeros si<br />
han entendido, los alumnos levantaron la mano en<br />
señal <strong>de</strong> confirmación.<br />
Los alumnos conversan entre pares buscando<br />
explicaciones y/o justificaciones a lo planteado.<br />
Un estudiante presenta su solución.<br />
Los alumnos están intercambiando i<strong>de</strong>as sobre un<br />
posible camino para hallar lo pedido.<br />
Algunos observan la pizarra, en don<strong>de</strong> quedó lo<br />
<strong>de</strong>sarrollado para <strong>el</strong> caso <strong>de</strong>l cuadrado y <strong>de</strong>l<br />
hexágono.<br />
Un alumno da una respuesta, don<strong>de</strong> por<br />
comparación con lo <strong>de</strong>sarrollado anteriormente<br />
2<br />
1<br />
Ha formado dos triángulos y según lo hallado<br />
anteriormente la suma <strong>de</strong> los ángulos internos<br />
<strong>de</strong> cada uno es 180. Luego como son dos<br />
triángulos tendríamos 360°<br />
Un alumno da la siguiente solución:<br />
1 2<br />
3<br />
4<br />
A partir <strong>de</strong> un vértice <strong>de</strong>l hexágono forma 4<br />
triángulos, como anteriormente fue <strong>de</strong>mostrado<br />
que la suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un<br />
triangulo es 180 y ahora tiene 4 triángulos, <strong>el</strong><br />
resultado es la suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong><br />
4 triángulos.<br />
Tiempo<br />
4<br />
minutos<br />
6<br />
minutos<br />
7<br />
minutos<br />
3
Luego <strong>el</strong> profesor presenta en la pizarra la<br />
expresión :<br />
180(50 – 2)<br />
180x 50 – 360, (como equivalente a la primera)<br />
Luego pi<strong>de</strong> que le expliquen ¿Porqué se resta 2 en<br />
la primera expresión?<br />
Les indica que dialoguen con sus pares sobre las<br />
explicaciones y justificaciones <strong>de</strong> lo pedido<br />
El profesor dibuja en la pizarra la tabla:<br />
Completándola <strong>de</strong> abajo hacia arriba. Al completar<br />
<strong>el</strong> número <strong>de</strong> diagonales que se pue<strong>de</strong>n trazar <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
un vértice hace notar que:<br />
180x # triángulos que se forman da como resultado<br />
la suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong>l polígono.<br />
A<strong>de</strong>más al completar <strong>el</strong> número <strong>de</strong> ángulos, pone<br />
en evi<strong>de</strong>ncia la r<strong>el</strong>ación entre <strong>el</strong> número <strong>de</strong><br />
ángulos <strong>de</strong> cada polígono y <strong>el</strong> número <strong>de</strong> triángulos<br />
que se forman, indicando que su diferencia<br />
numérica es 2.<br />
Luego que <strong>el</strong> profesor completa la tabla con <strong>el</strong><br />
número <strong>de</strong> diagonales que se pue<strong>de</strong>n trazar <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
cada vértice, <strong>de</strong>bemos señalar que en todo<br />
momento <strong>el</strong> profesor pregunta a los alumnos, por<br />
los números que correspon<strong>de</strong>n en cada una <strong>de</strong> las<br />
c<strong>el</strong>das. Seguidamente, plantea la pregunta:<br />
¿Por qué <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un vértice <strong>de</strong> un hexágono se<br />
pue<strong>de</strong>n trazar sólo 3 diagonales?<br />
resta dos al número <strong>de</strong> lados y lo multiplica por<br />
180; pero no sabe por qué se resta dos al número<br />
<strong>de</strong> lados.<br />
Un alumno sale y explica cómo se formaron los<br />
triángulos pero no justifica la expresión dada <strong>de</strong><br />
manera concreta.<br />
Otro estudiante sale y explica la imposibilidad <strong>de</strong><br />
trazar diagonales hacia los vértices contiguos<br />
porque son los lados <strong>de</strong>l polígono; pero <strong>el</strong><br />
profesor le dice que falta algo en su justificación.<br />
Los alumnos siguen la explicación <strong>de</strong>l profesor,<br />
ayudándole a completar <strong>de</strong> la tabla.<br />
Los alumnos no dan respuesta.<br />
El profesor escribe en la pizarra:<br />
# ángulos<br />
#<br />
diagonale<br />
s trazadas<br />
<strong>de</strong> cada<br />
vértice<br />
#<br />
triángulos<br />
formados.<br />
Suma <strong>de</strong><br />
ángulos<br />
internos.<br />
triángu<br />
lo<br />
cuadrado pentágono Hexágono<br />
1 2 3 4<br />
180° 360° 540° 720°<br />
triángu<br />
lo<br />
cuadrado pentágono hexágo<br />
no<br />
# ángulos 3 4 5 6<br />
#<br />
diagonale<br />
s trazadas<br />
<strong>de</strong> cada<br />
vértice<br />
#<br />
triángulos<br />
formados<br />
Suma <strong>de</strong><br />
ángulos<br />
internos.<br />
0 1 2 3<br />
1 2 3 4<br />
180° 360° 540° 720°<br />
6<br />
minutos<br />
8<br />
minutos.<br />
4
El profesor hace <strong>el</strong> dibujo en la pizarra y les indica:<br />
Tomando <strong>el</strong> vértice señalado no se pue<strong>de</strong> trazar una<br />
diagonal hacia <strong>el</strong> mismo punto, tampoco hacia los<br />
vértices <strong>de</strong>l lado, porque coincidirían con los lados<br />
<strong>de</strong>l triángulo.<br />
Luego marca que son sólo tres diagonales.<br />
A continuación, les pregunta ¿cuántos triángulos se<br />
forman?<br />
El profesor enfatiza que <strong>el</strong> número <strong>de</strong> triángulos es<br />
una unidad más que <strong>el</strong> número <strong>de</strong> diagonales que se<br />
forman, y que éste es tres unida<strong>de</strong>s menos que <strong>el</strong><br />
número <strong>de</strong> lados.<br />
Concluye y encierra en un rectángulo que la suma<br />
<strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un polígono <strong>de</strong> n lados<br />
es 180( n- 2).<br />
Luego <strong>el</strong> profesor completa la tabla con una<br />
columna don<strong>de</strong> <strong>el</strong> número <strong>de</strong> lados es “n”.<br />
Luego <strong>el</strong> profesor pregunta, ¿cuál sería la<br />
justificación gráfica para la expresión :<br />
180n – 360?<br />
El profesor abre su libro y les pi<strong>de</strong> hallar la suma<br />
<strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un <strong>de</strong>cágono, aplicando<br />
Los alumnos respon<strong>de</strong>n que se forman 4<br />
triángulos.<br />
Un alumno explica con un dibujo su justificación.<br />
Al final, pregunta al resto <strong>de</strong> la <strong>clase</strong> si le han<br />
entendido.<br />
El profesor dibuja:<br />
El profesor completa:<br />
#<br />
ángul<br />
os<br />
#<br />
diago<br />
nales<br />
#<br />
triáng<br />
ulos<br />
forma<br />
dos<br />
Suma<br />
<strong>de</strong><br />
ángul<br />
os<br />
intern<br />
os.<br />
trián<br />
gulo<br />
cuadra<br />
do<br />
pentá<br />
gono<br />
Un alumno da la solución:<br />
hexágo<br />
no<br />
3 4 5 6 n<br />
0 1 2 3 n-3<br />
1 2 3 4 n-2<br />
180<br />
°<br />
360° 540<br />
°<br />
“n” lados<br />
720° 180(n-2)<br />
4<br />
minutos.<br />
3<br />
minutos<br />
5
la expresión anteriormente <strong>de</strong>ducida. Luego plantea<br />
otro problema don<strong>de</strong> les pi<strong>de</strong> hallar <strong>el</strong> valor <strong>de</strong>l<br />
ángulo interior <strong>de</strong>l <strong>de</strong>cágono, pero plantea la<br />
solución <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
Halla la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores y exteriores<br />
en cada vértice, esta lo multiplica por 10 y luego<br />
resto <strong>el</strong> ángulo central 360°:<br />
180(10) – 360 = 1440 representa la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos interiores.<br />
Luego lo divi<strong>de</strong> entre10, 1440: 10 = 144°<br />
Finalmente pregunta, ¿cuánto será la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos externos <strong>de</strong> un triángulo?<br />
Plantea <strong>el</strong> dibujo y va recordando los conceptos <strong>de</strong><br />
ángulos opuestos.<br />
El profesor pregunta si tienen alguna duda y luego<br />
termina su <strong>clase</strong>.<br />
Un alumno sale a la pizarra y presenta su<br />
solución.<br />
Como son 5 triángulos y en cada uno la suma<br />
<strong>de</strong> los ángulos internos es 180° sumando los<br />
ángulos tendríamos: 180x 5 = 900° , los<br />
vértices <strong>de</strong>l pentágono no consi<strong>de</strong>ran <strong>el</strong> ángulo<br />
central formado por lo tanto hay que restarlo<br />
900°- 360° = 540°<br />
Un alumno presenta y expone :<br />
b<br />
a<br />
m<br />
n p c<br />
como:<br />
< a + < m = 180 °, < b + < n = 180 °, < c + < p<br />
= 180 °. Luego la suma <strong>de</strong> todo sería 180x 3 =<br />
540°, pero, como sólo queremos hallar los<br />
ángulos exteriores le restamos la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos internos, es <strong>de</strong>cir 180° <strong>de</strong>mostrado<br />
anteriormente.<br />
Luego <strong>el</strong> alumno escribió: 180° x 3 – 180° =<br />
360°<br />
8<br />
minutos<br />
6
Análisis <strong>de</strong>l vi<strong>de</strong>o observado:<br />
Teniendo en cuenta <strong>el</strong> marco teórico APOS <strong>de</strong> Asiala, presentamos <strong>el</strong> análisis <strong>de</strong><br />
los siguientes <strong>el</strong>ementos metodológicos:<br />
a) El análisis teórico inicial:<br />
Según Asiala et al. (1996) ¿Qué significa apren<strong>de</strong>r matemática?<br />
“El conocimiento matemático <strong>de</strong> un individuo es su ten<strong>de</strong>ncia a respon<strong>de</strong>r,<br />
ante la percepción <strong>de</strong> situaciones <strong>de</strong> matemática, mediante la reflexión sobre<br />
los problemas y sus soluciones en un contexto social y por medio <strong>de</strong> la<br />
construcción y reconstrucción <strong>de</strong> acciones matemáticas, procesos y objetos; y<br />
su organización en esquemas, para usarlos al tratar con esas situaciones”.<br />
A partir <strong>de</strong> esta <strong>de</strong>finición, planteamos las siguientes preguntas:<br />
¿Existe según la <strong>clase</strong> observada, comprensión <strong>el</strong> concepto matemático “Suma<br />
<strong>de</strong> ángulos internos <strong>de</strong> un polígono?<br />
Según lo observado si existe comprensión <strong>de</strong>l tema, evi<strong>de</strong>nciándose en los<br />
procesos <strong>de</strong> interacción entre estudiantes y profesor que permiten intuir un<br />
resultado a partir <strong>de</strong> la r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> conceptos básicos sólo <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l ámbito<br />
matemático. En estos procesos se introduce variaciones que permiten hallar la<br />
suma <strong>de</strong> ángulos internos <strong>de</strong>l polígono en diferentes situaciones.<br />
¿Cómo fue construida por <strong>el</strong> estudiante la comprensión <strong>de</strong>l concepto matemático<br />
durante la <strong>clase</strong>?<br />
Fue construida a través <strong>de</strong> la transformación <strong>de</strong>l concepto fundamental<br />
“suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un triángulo es 180°” a un concepto más general<br />
“suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un polígono”.<br />
La construcción repetitiva <strong>de</strong> los triángulos en los polígonos (cuadrado, pentágono,<br />
hexágono) hace reflexionar a los alumnos sobre su importancia y su posibilidad <strong>de</strong><br />
generalización <strong>el</strong> cual hace posible invertir procesos sin la necesidad <strong>de</strong> prácticas<br />
previas, esto se interioriza durante <strong>el</strong> proceso. En otras palabras se ha logrado que<br />
a través <strong>de</strong> la reflexión, <strong>el</strong> proceso se transforme en objeto.<br />
Sobre la base <strong>de</strong>l objeto” cálculo <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un<br />
polígono”, se <strong>de</strong>duce a través <strong>de</strong> la interr<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> procesos una expresión para<br />
la suma <strong>de</strong> los ángulos externos <strong>de</strong> un polígono, articulando con <strong>el</strong> tema <strong>de</strong> la<br />
siguiente <strong>clase</strong>.<br />
b) El diseño <strong>de</strong>l tratamiento instruccional.<br />
Las activida<strong>de</strong>s observadas en la <strong>clase</strong> enfatizan la resolución <strong>de</strong> problemas,<br />
así como los procesos <strong>de</strong> formulación, comunicación y validación <strong>de</strong> los<br />
conocimientos matemáticos <strong>de</strong>sarrollados en <strong>el</strong> aula.<br />
En r<strong>el</strong>ación a las interacciones, <strong>el</strong> profesor formula preguntas generales rara<br />
vez da algún tipo <strong>de</strong> orientación adicional. Cuando un estudiante explica su<br />
solución en la pizarra y esta es incorrecta no acepta ni rechaza la i<strong>de</strong>a, en este caso,<br />
<strong>el</strong> profesor formula preguntas más específicas orientadas a que <strong>el</strong> estudiante se dé<br />
cuenta <strong>de</strong> su error; esto permite dar mayor tiempo a la reflexión y que esta sea<br />
más <strong>el</strong>aborada.<br />
Sobre las tareas que se formulan en <strong>el</strong> libro, estas son reducidas<br />
presentándose algunas aplicaciones casi directas <strong>de</strong> lo aprendido y otras, las más<br />
interesantes, activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>safiantes que requieren interr<strong>el</strong>acionar lo aprendido y<br />
propone a<strong>de</strong>más la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> alguna propiedad.<br />
7
Análisis <strong>de</strong>l texto:<br />
Para <strong>el</strong> análisis <strong>de</strong> los textos consi<strong>de</strong>ramos <strong>el</strong> mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> análisis didáctico propuesto por Gómez (2007), Lupiáñez (2009) y Rico y Lupiáñez<br />
(2008), <strong>el</strong> cual se centra en tres procedimientos estructurales mostrados en la siguiente tabla.<br />
Tabla 2<br />
Análisis <strong>de</strong> textos según <strong>el</strong> mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Gómez (2007), Lupiáñez (2009) y Rico y Lupiáñez (2008).<br />
Criterios Libro Ejemplos <strong>de</strong> algunos gráficos presentados<br />
Análisis <strong>de</strong>l<br />
contenido<br />
Nociones básicas<br />
que consi<strong>de</strong>ra.<br />
R<strong>el</strong>ación estrecha<br />
entre <strong>el</strong> concepto y<br />
<strong>el</strong> procedimiento<br />
Articulación con<br />
otros contenidos.<br />
Sistemas <strong>de</strong><br />
representación<br />
empleados.<br />
Se analiza y <strong>de</strong>muestra a través <strong>de</strong> diagramas la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos internos <strong>de</strong> un triángulo basándose en las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
rectas paral<strong>el</strong>as cortadas por una secante.<br />
Se va <strong>de</strong>duciendo a través <strong>de</strong>l gráfico y un cuadro la r<strong>el</strong>ación<br />
existente entre número <strong>de</strong> lados, número <strong>de</strong> triángulos trazados en<br />
<strong>el</strong> polígono y la suma <strong>de</strong> ángulos internos <strong>de</strong> un triángulo para<br />
conocer la suma <strong>de</strong> ángulos internos <strong>de</strong> un polígono <strong>de</strong> n lados.<br />
Se r<strong>el</strong>aciona con <strong>el</strong> tema <strong>de</strong> rectas paral<strong>el</strong>as cortadas por una<br />
secante.<br />
La representación es gráfica, numérica y verbal con cierta<br />
predominancia en la explicación verbal.<br />
A<br />
α<br />
α<br />
β γ β<br />
B C Q<br />
1<br />
Estos gráficos están acompañados por la tabla que<br />
es propuesta en <strong>clase</strong>.<br />
2<br />
3<br />
P<br />
n-2<br />
8
Análisis<br />
cognitivo<br />
Problemas<br />
propuestos.<br />
Se explicitan las<br />
expectativas <strong>de</strong><br />
aprendizaje.<br />
Competencias<br />
matemáticas<br />
Tipo <strong>de</strong> tareas<br />
Los problemas, cuya complejidad es <strong>de</strong> menos a más, se plantean<br />
para ser resu<strong>el</strong>tos en ambas direcciones.<br />
A<strong>de</strong>más, se proponen situaciones cuya solución se obtiene <strong>de</strong> la<br />
r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s previamente <strong>de</strong>ducidas.<br />
Si, <strong>de</strong> manera sucinta se menciona lo siguiente:<br />
“Investiguemos la naturaleza <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong>l triángulo<br />
y <strong>de</strong>l polígono”.<br />
Los verbos <strong>de</strong> acción que se mencionan en <strong>el</strong> texto son:<br />
Investigar 調べる<br />
Pensar、razonar .考える<br />
Explicar 説明する<br />
Clasificar 分類<br />
De manera implícita notamos la existencia <strong>de</strong> las siguientes<br />
capacida<strong>de</strong>s:<br />
Representa, mo<strong>de</strong>la, plantea y resu<strong>el</strong>ve.<br />
En <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l tema hay una predominancia <strong>de</strong> pensar y<br />
razonar que es respaldado por <strong>el</strong> argumento y justificación dado en<br />
los procedimientos ejecutados por <strong>el</strong> texto.<br />
Se proponen tareas <strong>de</strong> aplicación con cierta complejidad que<br />
inducen a utilizar la conexión <strong>de</strong> conceptos cuya solución reflejan <strong>el</strong><br />
logro <strong>de</strong>l aprendizaje esperado. Por otro lado, se plantean<br />
problemas en poca cantidad pero que tiene una aplicación precisa<br />
<strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s estudiadas.<br />
Hallar la medida<br />
<strong>de</strong>l ángulo x.<br />
50<br />
35<br />
°<br />
°<br />
Posibles formas <strong>de</strong> solución:<br />
1. 2.<br />
x<br />
60°<br />
9
Análisis <strong>de</strong><br />
instrucción<br />
Función que<br />
<strong>de</strong>sempeñan las<br />
tareas.<br />
Tareas <strong>de</strong><br />
evaluación.<br />
R<strong>el</strong>ación entre las<br />
tareas <strong>de</strong><br />
evaluación y <strong>el</strong><br />
contenido<br />
Son tareas <strong>de</strong> aplicación que sintetiza lo aprendido. A<strong>de</strong>más se<br />
propone un ejercicio <strong>de</strong> <strong>el</strong>aboración y construcción <strong>de</strong> significados<br />
que probablemente serán utilizados en una próxima lección y cuya<br />
r<strong>el</strong>ación es estrecha con <strong>el</strong> tema aprendido.<br />
No existen explícitamente.<br />
En los ejercicios <strong>de</strong> práctica que <strong>el</strong> texto propone existe una<br />
estrecha r<strong>el</strong>ación entre <strong>el</strong> contenido y las expectativas <strong>de</strong><br />
aprendizaje. Estos problemas no son asignados como tareas o<br />
instrumentos <strong>de</strong> evaluación <strong>de</strong> forma explícita; a<strong>de</strong>más, se incluyen<br />
situaciones <strong>de</strong>safiantes que implican contenidos que serán<br />
<strong>de</strong>sarrollados en la siguiente <strong>clase</strong>.<br />
Luego <strong>de</strong> la explicación <strong>de</strong> la situación se plantea<br />
la siguiente pregunta:<br />
¿Cuál es la r<strong>el</strong>ación existente entre los ángulos<br />
externos y <strong>el</strong> ángulo central?<br />
e<br />
d c<br />
f<br />
b<br />
a<br />
O<br />
a<br />
b<br />
10
3. Conclusiones.<br />
En cuanto su metodología.<br />
Enfatiza las activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> resolución <strong>de</strong> problemas, así como los procesos<br />
<strong>de</strong> formulación, comunicación y validación <strong>de</strong> los conocimientos<br />
matemáticos.<br />
A partir <strong>de</strong> situaciones problemáticas buscan la comprensión <strong>de</strong> las i<strong>de</strong>as<br />
matemáticas fundamentales, construyendo y r<strong>el</strong>acionando propieda<strong>de</strong>s para<br />
lograr generalizaciones y <strong>de</strong>mostraciones (inducción).<br />
Predominancia en activida<strong>de</strong>s que estimulan <strong>el</strong> pensar y razonar.<br />
Las prácticas pedagógicas <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje están basadas en la<br />
comunicación a través <strong>de</strong> la explicación y justificación <strong>de</strong> los argumentos,<br />
Lo cual permite conocer la forma <strong>de</strong> pensamiento en los estudiantes.<br />
En cuanto a las activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>sarrolladas por los estudiantes, consi<strong>de</strong>ran<br />
inicialmente <strong>el</strong> trabajo individual, para luego pasar a una segunda etapa <strong>de</strong><br />
trabajo entre pares, buscando que las conclusiones sean inferidas por los<br />
propios alumnos.<br />
En la presentación y <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> los problemas, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> emplearse <strong>el</strong><br />
lenguaje matemático, existe un marcado uso <strong>de</strong>l lenguaje verbal (<strong>de</strong> forma<br />
escrita) existiendo así una explicación minuciosa <strong>de</strong> lo trabajado.<br />
En sus textos:<br />
Las situaciones planteadas son <strong>de</strong>safiantes pues estimulan <strong>el</strong> pensar y<br />
razonar.<br />
Aunque se plantea una mínima cantidad <strong>de</strong> problemas estos hacen énfasis<br />
en la aplicación y r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s aprendidas.<br />
En las situaciones <strong>de</strong>sarrolladas se muestran justificaciones <strong>de</strong> los resultados,<br />
a<strong>de</strong>más lo presentado son los conocimientos básicos <strong>de</strong>l tema.<br />
Sus conclusiones y propieda<strong>de</strong>s se comunican usando <strong>el</strong> lenguaje textual y<br />
matemático.<br />
Las activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>sarrolladas y las r<strong>el</strong>aciones matemáticas logradas sólo se<br />
aplican en <strong>el</strong> ámbito netamente matemático.<br />
Luego <strong>de</strong> la observación <strong>de</strong>l vi<strong>de</strong>o y la revisión <strong>de</strong>l texto nos planteamos la<br />
pregunta: ¿Qué conocimientos y activida<strong>de</strong>s matemáticas son realmente<br />
productivas para <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> habilida<strong>de</strong>s matemáticas?<br />
4. Referencias bibliográficas.<br />
Asiala, M, Brown, A., DeVries, D.J., Dubinsky, E., Mathews, D. & Thomas, K.<br />
(1996). A framework for research and curriculum <strong>de</strong>v<strong>el</strong>opment in<br />
un<strong>de</strong>rgraduate mathematics education, en Research in Collegiate Mathematics<br />
Education 2, 1-32.<br />
11
Grabación <strong>de</strong> vi<strong>de</strong>o <strong>de</strong> <strong>clase</strong> <strong>de</strong>l profesor Takizawa <strong>de</strong>l colegio anexo a Joetsu<br />
University of Education. (1987). Suma <strong>de</strong> los ángulos internos <strong>de</strong> un polígono.<br />
[Vi<strong>de</strong>o]. Joetsu, Japón: Colegio anexo a Joetsu University of Education.<br />
Lupiáñez, J. L. (2009). El análisis didáctico como herramienta para <strong>el</strong> análisis <strong>de</strong><br />
textos <strong>de</strong> matemática. Extraído <strong>el</strong> 4 <strong>de</strong> Enero <strong>de</strong>l 2011 <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
http://funes.unian<strong>de</strong>s.edu.co/801/1/100914JLL_ADyTextos.pdf<br />
Satoru, N; Takashi, T (2006). Matemática 2. MINEX.<br />
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