Teoría - Canek - UAM

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.7.5 Resolver la ED .3x 5 tan y 2y 3 / dx C .x 6 sec 2 y C 4x 3 y 3 C 3xy 2 / dy D 0.
H Inicialmente se tiene:
M D 3x 5 tan y 2y 3
) My D 3x 5 sec 2 y 6y 2
N D x 6 sec 2 y C 4x 3 y 3 C 3xy 2 ) Nx D 6x 5 sec 2 y C 12x 2 y 3 C 3y 2
) My ¤ Nx:
La ED no es exacta. ¿Existe un factor integrante D .x/? Es decir, ¿es My Nx
una función sólo de x?
N
Veamos:
My Nx
N
D .3x5 sec 2 y 6y 2 / .6x 5 sec 2 y C 12x 2 y 3 C 3y 2 /
x 6 sec 2 y C 4x 3 y 3 C 3xy 2
D 3x5 sec 2 y 12x 2 y 3 9y 2
x 6 sec 2 y C 4x 3 y 3 C 3xy 2 D 3.x5 sec 2 y C 4x 2 y 3 C 3y 2 /
x.x 5 sec 2 y C 4x 2 y 3 C 3y 2 / D
D 3
I que depende sólo de x:
x
Entonces existe un factor integrante D .x/ dado por
0 .x/
.x/ D My Nx
N
D 3
x )
0 .x/
.x/
dx D
) ln .x/ D 3 ln x D ln x 3 ) .x/ D x 3 :
Multiplicando la ecuación diferencial por .x/ D x 3 :
Ahora se tiene:
D
3
dx )
x
x 3 .3x 5 tan y 2y 3 / dx C x 3 .x 6 sec 2 y C 4x 3 y 3 C 3xy 2 / dy D 0 )
) .3x 2 tan y 2x 3 y 3 / dx C .x 3 sec 2 y C 4y 3 C 3x 2 y 2 / dy D 0: (2.8)
M D 3x 2 tan y 2x 3 y 3
) M y D 3x 2 sec 2 y 6x 3 y 2 I
N D x 3 sec 2 y C 4y 3 C 3x 2 y 2 ) N x D 3x 2 sec 2 y 6x 3 y 2 I
La nueva ED (2.8) es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ que cumple
df D fx dx C fy dy D M dx C N dy:
Es decir, existe f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . Integrando fx
y ahora
fx D M ) f .x; y/ D
x
M dx D
) M y D N x:
x
.3x 2 tan y 2x 3 y 3 / dx )
) f .x; y/ D x 3 tan y C x 2 y 3 C h.y/ ) @f
@y D x3 sec 2 y C 3x 2 y 2 C h 0 .y/I
fy D N ) x 3 sec 2 y C 3x 2 y 2 C h 0 .y/ D x 3 sec 2 y C 4y 3 C 3x 2 y 2 )
Sustituyendo h.y/ en f .x; y/ se tiene que:
) h 0 .y/ D 4y 3 ) h.y/ D y 4 C C1:
f .x; y/ D x 3 tan y C x 2 y 3 C y 4 C C1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta , así como de la no exacta, es
f .x; y/ D C2 ) x 3 tan y C x 2 y 3 C y 4 C C1 D C2 )
) x 3 tan y C x 2 y 3 C y 4 D C: