Teoría - Canek - UAM

2.7 Factor integrante 3
Ejemplo 2.7.3 Verificar que la función .y/ D y 2 sea un factor integrante de la ecuación diferencial:
H Inicialmente se tiene:
M.x; y/ D 3x 2 y C y 2
N.x; y/ D 3x 3
.3x 2 y C y 2 / dx C .3x 3
) @M
@y D 3x2 C 2yI
y 2 C 4xy ) @N
@x D 9x2 C 4yI
y 2 C 4xy/ dy D 0:
ƒ
) @M
@y
¤ @N
@x
Al multiplicar la ecuación diferencial por la función .y/ D y 2 , se obtiene:
Y ahora:
M D M D 3x 2 y 3 C y 4
N D N D 3x 3 y 2
y 2 .3x 2 y C y 2 / dx C y 2 .3x 3
) .3x 2 y 3 C y 4 / dx C .3x 3 y 2
) @M
@y D 9x2 y 2 C 4y 3
y 4 C 4xy 3 ) @N
@x D 9x2 y 2 C 4y 3
y 2 C 4xy/ dy D 0 )
) la ED no es exacta.
y 4 C 4xy 3 / dy D 0: (2.5)
ƒ
) @M
@y
D @N
@x
Por lo que la función .y/ D y 2 es un factor integrante de la ecuación diferencial dada.
Ejemplo 2.7.4 Verificar que la función .x; y/ D
H Inicialmente se tiene:
M.x; y/ D 2x 2 C 2y 2
N.x; y/ D x 2 C y 2
.2x 2 C 2y 2
x ) @M
@y
y ) @N
@x
) la nueva ED (2.5) es exacta.
1
x2 sea un factor integrante de la ecuación diferencial:
C y2 x/ dx C .x 2 C y 2
D 4y
D 2x
ƒ
) @M
@y
Al multiplicar la ecuación diferencial por la función .x; y/ D
Y ahora:
) 2
1
2.x 2 C y 2 / x dx C
x2 C y2 x
x2 C y2 dx C 1
1
y/ dy D 0:
¤ @N
@x
1
x2 :
C y2 ) la ED no es exacta.
.x 2 C y 2 / y dy D 0 )
x2 C y2 y
x2 C y2 dy D 0: (2.6)
M D M D 2 x.x 2 C y 2 / 1 ) @M
@y D x. 1/ x2 C y 2 2 2y D 2xy x 2 C y 2 2
N D N D 1 y.x 2 C y 2 / 1 ) @N
@x D y. 1/ x2 C y 2 2 2x D 2xy x 2 C y 2 2
La nueva ecuación diferencial (2.6) es exacta. Por lo tanto, la función .x; y/ D
integrante de la ecuación diferencial dada.
ƒ
) @M
@y
D @N
@x :
1
x2 es un factor
C y2