Teoría - Canek - UAM

12 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Entonces:
R R
p.x/ dx p.x/ dx
M D Œp.x/y q.x/e ) M y D p.x/e
N D e
R p.x/ dx
R
p.x/
) N x D e
dxp.x/
Por lo tanto la ED (2.17) sí tiene un factor integrante y éste es .x/ D e R p.x/ dx .
) M y D N x ) la ED (2.18) es exacta.
Ejemplo 2.7.11 Comprobar que la ED lineal x 0 C p.y/x D q.y/; con p.y/ ¤ 0 no es exacta, pero sí tiene un
factor integrante D .y/.
H Reescribimos la ED en formato diferencial:
Se tiene ahora:
x 0 C p.y/x D q.y/ ) dx
C p.y/x q.y/ D 0 ) dx C Œp.y/x q.y/ dy D 0: (2.19)
dy
M D 1 ) My D 0
N D p.y/x q.y/ ) Nx D p.y/
¿Existe un factor integrante D .x/?
My Nx
N
Entonces no existe un factor integrante D .x/.
¿Existe un factor integrante D .y/?
Nx My
M
D
D
) My ¤ Nx ) la ED lineal (2.19) no es exacta.
0 p.y/
; no depende sólo de x:
p.y/x q.y/
p.y/ 0
1
D p.y/, sí depende sólo de y:
Sí existe un factor integrante D .y/ y cumple con
0
D p.y/ ) d
d
D p.y/ dy )
D p.y/ dy ) ln
.y/ D p.y/ dy )
R
p.y/
) .y/ D e
dy:
Multiplicando (2.19) por .y/ D e R p.y/ dy :
Entonces:
M D e R p.y/ dy
N D Œp.y/x q.y/e
R R
p.y/ dy p.y/ dy
e dx C Œp.y/x q.y/e dy D 0: (2.20)
) M y D e R p.y/ dy
p.y/
R R
p.y/ dy p.y/ dy
) N x D p.y/e
Por lo tanto la ED (2.19) sí tiene un factor integrante y éste es .y/ D e R p.y/ dy .
Ejercicios 2.7.1 Factor integrante. Soluciones en la página 14
) M y D N x ) la ED (2.20) es exacta.
1. Verificar que la función .x; y/ D 1
sea un factor integrante de la ecuación diferencial:
xy
xy sen y C xy 2 sen x C 1
dx C x
x
2 y cos y xy cos x C 1
dy D 0:
y