Teoría - Canek - UAM

2.7 Factor integrante 11
Derivando con respecto a y e igualando a N :
fy D 1
2 y 2 cos 2x C h 0 .y/ D y y 2 sen 2 x )
) h 0 .y/ D y y 2 sen 2 x
) h 0 .y/ D y
1
1
2 y 2
) h.y/ D
Entonces, sustituyendo h.y/ en (2.16):
2 y 2 cos 2x D y y 2 1 1
cos 2x
› 2 2
sen 2x y
1
2 y 2 dy D 1
2 y2 C 1
2 y 1 C C1:
f .x; y/ D 1
2 y 1 cos 2x C x2 1
C
2 2 y2 C 1
2 y 1 C C1:
1
2 y 2 cos 2x D y
1
2 y 2 )
Por lo tanto, por ser la diferencial de f .x; y/ igual a cero, f .x; y/ es una constante y la solución general de
la ED es
f .x; y/ D C2 ) 1
2 y 1 cos 2x C 1
2 x2 C 1
2 y2 C 1
Multiplicando por 2y:
) y
1 1 cos 2x
2
2 y 1 C C1 D C2 )
C 1
2 .x2 C y 2 / D C ) y 1 sen 2 x C 1
2 .x2 C y 2 / D C:
2 sen 2 x C y.x 2 C y 2 / D 2Cy ) 2 sen 2 x C y.x 2 C y 2 / D Cy:
Ejemplo 2.7.10 Comprobar que la ED lineal y 0 Cp.x/y D q.x/; con p.x/ ¤ 0 no es exacta, pero sí tiene factor
integrante D .x/.
H
Se tiene:
y 0 C p.x/y D q.x/ ) dy
C p.x/y q.x/ D 0 ) Œp.x/y q.x/ dx C dy D 0: (2.17)
dx
M D p.x/y q.x/ ) My D p.x/
N D 1 ) Nx D 0
¿Existe un factor integrante D .x/?
My Nx
N
) My ¤ Nx ) la ED lineal (2.17) no es exacta.
D
p.x/ 0
1
D p.x/:
Por lo anterior, sí existe un factor integrante D .x/ y cumple con
0
D p.x/ ) d
d
D p.x/ dx ) D p.x/ dx ) ln .x/ D p.x/ dx )
) .x/ D e R p.x/ dx :
Multiplicando (2.17) por .x/ D e R p.x/ dx :
R R
p.x/ dx p.x/
Œp.x/y q.x/e dx C e
dxdy
D 0: (2.18)