Ecuaciones diferenciales de orden superior - Canek - UAM

8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Integrando:
u1 D
Utilizando el cambio de variable t D 1 C e x :
e2x 1 C ex dx & u2
D
u1 D ln.1 C e x / .1 C e x / C C1:
u2 D ln.1 C e x / C C2:
ex dx:
1 C ex Tomando u1 D ln.1 C e x / .1 C e x / & u2 D ln.1 C e x /, se obtiene la solución particular
yp D u1e x C u2e 2x D Œln.1 C e x / .1 C e x /e x C Œln.1 C e x /e 2x D
D e x ln.1 C e x / C e 2x ln.1 C e x / e x .1 C e x / D Œe x ln.1 C e x /Œ1 C e x e x .1 C e x / )
) yp.x/ D e x .1 C e x /Œln.1 C e x / 1:
Por lo tanto, la solución general de la ED es
y D yp.x/ C c1y1.x/ C c2y2.x/ ) y D e x .1 C e x /Œln.1 C e x / 1 C c1e x C c2e 2x :
De acuerdo a lo discutido en esta sección, una solución particular yp de la ED lineal normalizada
tiene la forma:
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/
yp.x/ D u1 1.x/ C u2 2.x/;
donde f 1.x/; 2.x/ g es un conjunto fundamental de soluciones de la ED homogénea asociada:
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0I
y las funciones u1 & u2 se obtienen integrando, respectivamente, las funciones u 0 1 & u 0 2
del sistema ˚
1u 0 1 C 2u 0 2 D 0I
0
1u 0 1 C 0 2u 0 2 D g.x/I
el cual resolvemos por el método de Cramer. Aún más:
u 0 1
D W1
W
& u 0 2
D W2
W ;
que son soluciones
donde W D W Π1.x/; 2.x/ 6D 0 [para toda x en el intervalo donde p.x/ & q.x/ sean continuas] y W1
& W2 están dadas mediante un determinante en el que se sustituye la columna 1 & 2, respectivamente, de
W por la columna:
0
:
g.x/
Es conveniente señalar las fortalezas y debilidades de este método en comparación con el método de coeficientes
indeterminados, tratado en la sección anterior.
1. El método de coeficientes indeterminados es en muchos casos más sencillo y fácil de aplicar que el
de variación de parámetros, pero tiene esta limitación: sólo es aplicable cuando g.x/ tiene la forma
de un polinomio, exponencial, combinación lineal de senos y cosenos o una suma de las funciones
mencionadas. Además la ED lineal debe tener coeficientes constantes.