Ecuaciones diferenciales de orden superior - Canek - UAM

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
La solución del sistema es
Integrando:
u1 D
u2 D
u 0 1 D
0 x3
x 3 3x2
D
W
1
x4 D x 4 :
u 0 2 D
x2 0
2x x 3
1 x
D
W x4 D x 5 :
x 4 3 x
dx D
3 C C1 D 1
3 x 3 C C1:
x 5 4 x
dx D
4 C C2 D 1
4 x 4 C C2:
Tomando C1 D 0 y C2 D 0, obtenemos, u1 D 1
3 x 3 y u2 D 1
4 x 4 . Por ello, una solución particular es
yp D u1x 2 C u2x 3 D 1
3 x 3 x 2
Entonces la solución general de la ED lineal es
1
4 x 4 x 3 D 1 1 1
x
3
4 x 1 D 1
12 x 1 :
y D yp.x/ C c1y1.x/ C c2y2.x/ ) y D 1
12 x 1 C c1x 2 C c2x 3 :
Ejemplo 4.7.2 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución
general de la ED lineal
x 2 y 00
xy 0 C y D 4x ln x;
considerando que y1 D x & y2 D x ln x forman un conjunto fundamental de soluciones para la ED homogénea
asociada
x 2 y 00
xy 0 C y D 0:
H Sea yp.x/ D u1.x/y1.x/ C u2.x/y2.x/ una solución particular propuesta por este método:
Entonces:
yp D u1x C u2x ln x & y 0 p D u 0 1 x C u1 C u 0 2 x ln x C u2.1 C ln x/:
Imponiendo la condición
resulta
Sustituyendo en la ED normalizada
se obtiene:
u 0 1x C u 0 2x ln x D 0; (4.8)
y 0 p D u1 C u2.1 C ln x/ & y 00
p D u 0 1 C u 0 2 .1 C ln x/ C u2
u 0 1 C u 0
1
2 .1 C ln x/ C u2
x
y 00
1
x y 0 C 1 4
y D ln x;
x2 x
1
x Œu1
1
C u2.1 C ln x/ C u1
x
1
:
x
1 4
C u2 ln x D ln x )
x x