Ecuaciones diferenciales de orden superior - Canek - UAM

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
donde u1 & u2 son funciones de x desconocidas.
Para determinarlas, buscaremos qué condiciones deben cumplir para que la función propuesta yp sea solución
de la ED (4.1). Lo primero que necesitamos hacer es calcular las derivadas y 0 00
p , yp para utilizarlas en
(4.1) y ver cuáles propiedades deben cumplir u1, u2:
Antes de obtener y 00
p , suponemos que
yp D u1 1 C u2 2 ) y 0 p D u 0 1 1 C u1 0 1 C u 0 2 2 C u2 0 2 : (4.3)
u 0 1 1 C u 0 2 2 D 0:
Esto se hace con la finalidad de que en la expresión de y 00
p
no aparezcan u 00
1
00 & u2 , ya que la inclusión de
estas segundas derivadas en y 00
p haría mucho más compleja la obtención de las funciones u1 & u2.
Luego entonces, usando la condición anterior en (4.3):
por lo cual, al volver a derivar, obtenemos:
y 0 p D u1 0 1 C u2 0 2 ;
y 00
p D u 0 1 0 00
1 C u1 1 C u 0 2 0 00
2 C u2 2 :
Ahora bien, yp es solución de la ED lineal y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/ sólo si se cumple que
y 00
p C p.x/y 0 p C q.x/yp D g.x/:
Esta condición, al usar las expresiones obtenidas de yp, y 0 p
Al factorizar u1, u2:
Œu 0 1 0 00
1 C u1
y 00
p
u 0 1 0 1
C u1Œ
1 C u 0 2 0 2
C u2 00
2
C p.x/Œu1 0 1 C u2 0 š2 0
yp 00
1 C p.x/ 0 1 C q.x/ 1 C u 0 2 0 2 C u2Œ
Pero por ser 1 & 2 soluciones de la ED homogénea se cumple:
00
1 C p.x/
Entonces debe cumplirse que
0
1 C q.x/ 1 D 0 &
u 0 1 0 1 C u 0 2 0 2 D g.x/:
00 & yp nos da:
Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
u 0 1 1 C u 0 2 2 D 0I
u 0 1 0 1 C u 0 2 0 2 D g.x/ :
El determinante s del sistema es
s D
1 2
0 0
1 2
š yp
C q.x/Œu1 1 C u2 2
D g.x/:
00
2 C p.x/
0
2 C q.x/ 2 D g.x/:
00
2 C p.x/ 0 2 C q.x/ 2 D 0:
D W. 1; 2/:
Y debido a que el wronskiano W. 1; 2/.x/ ¤ 0, entonces s ¤ 0, por lo que el sistema de ecuaciones tiene
una única solución. Dicha solución única la calculamos usando la regla de Cramer:
u 0 1 D
0
2
0 g.x/
2
D
s
g.x/ 2
W. 1; 2/ ) u 0 g.x/ 2.x/
1 .x/ D
W. 1.x/; 2.x// :
u 0 2 D
1 0
0
1 g.x/
D
s
g.x/ 1
W. 1; 2/ ) u 0 g.x/ 1.x/
2 .x/ D
W. 1.x/; 2.x// :
(4.4)