Ecuaciones diferenciales de orden superior - Canek - UAM

CAPÍTULO
4
Ecuaciones diferenciales de orden superior
4.7 Variación de parámetros
4.7.1 Variación de parámetros para ED de orden 2
El método que presentamos en esta sección, llamado de variación de parámetros, es un procedimiento útil
y más general que el de coeficientes indeterminados para la obtención de una solución particular yp.x/ de
la ED lineal no homogénea y se basa en el conocimiento de la solución general de la ED lineal homogénea
asociada a la ED original.
Presentamos primeramente este método para las ED lineales de segundo orden. Diremos que el método de
variación de parámetros se usa para obtener una solución particular yp.x/ de la ED lineal
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/; (4.1)
a partir del conocimiento de la solución general de la ED lineal homogénea asociada
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0: (4.2)
Si suponemos que la solución general de la ED lineal homogénea (4.2) está dada por la combinación lineal
.x/ D c1 1.x/ C c2 2.x/;
esto significa que 1.x/ & 2.x/ son soluciones de la ED (4.2) y además su wronskiano W Œ 1.x/; 2.x/ ¤ 0
en todo el intervalo .˛; ˇ/ donde las funciones p.x/ & q.x/ son continuas. Es decir, 1.x/ & 2.x/ forman
un conjunto fundamental de soluciones para la ED (4.2).
Supongamos pues que .x/ D c1 1.x/ C c2 2.x/ sea la solución general de y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0.
El método de variación de parámetros propone que la solución particular yp.x/ tenga la misma forma que
.x/, pero permitiendo cambiar c1 y c2. Esto es, propone que yp.x/ sea
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010
yp.x/ D u1 1.x/ C u2 2.x/;
1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
donde u1 & u2 son funciones de x desconocidas.
Para determinarlas, buscaremos qué condiciones deben cumplir para que la función propuesta yp sea solución
de la ED (4.1). Lo primero que necesitamos hacer es calcular las derivadas y 0 00
p , yp para utilizarlas en
(4.1) y ver cuáles propiedades deben cumplir u1, u2:
Antes de obtener y 00
p , suponemos que
yp D u1 1 C u2 2 ) y 0 p D u 0 1 1 C u1 0 1 C u 0 2 2 C u2 0 2 : (4.3)
u 0 1 1 C u 0 2 2 D 0:
Esto se hace con la finalidad de que en la expresión de y 00
p
no aparezcan u 00
1
00 & u2 , ya que la inclusión de
estas segundas derivadas en y 00
p haría mucho más compleja la obtención de las funciones u1 & u2.
Luego entonces, usando la condición anterior en (4.3):
por lo cual, al volver a derivar, obtenemos:
y 0 p D u1 0 1 C u2 0 2 ;
y 00
p D u 0 1 0 00
1 C u1 1 C u 0 2 0 00
2 C u2 2 :
Ahora bien, yp es solución de la ED lineal y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/ sólo si se cumple que
y 00
p C p.x/y 0 p C q.x/yp D g.x/:
Esta condición, al usar las expresiones obtenidas de yp, y 0 p
Al factorizar u1, u2:
Œu 0 1 0 00
1 C u1
y 00
p
u 0 1 0 1
C u1Œ
1 C u 0 2 0 2
C u2 00
2
C p.x/Œu1 0 1 C u2 0 š2 0
yp 00
1 C p.x/ 0 1 C q.x/ 1 C u 0 2 0 2 C u2Œ
Pero por ser 1 & 2 soluciones de la ED homogénea se cumple:
00
1 C p.x/
Entonces debe cumplirse que
0
1 C q.x/ 1 D 0 &
u 0 1 0 1 C u 0 2 0 2 D g.x/:
00 & yp nos da:
Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
u 0 1 1 C u 0 2 2 D 0I
u 0 1 0 1 C u 0 2 0 2 D g.x/ :
El determinante s del sistema es
s D
1 2
0 0
1 2
š yp
C q.x/Œu1 1 C u2 2
D g.x/:
00
2 C p.x/
0
2 C q.x/ 2 D g.x/:
00
2 C p.x/ 0 2 C q.x/ 2 D 0:
D W. 1; 2/:
Y debido a que el wronskiano W. 1; 2/.x/ ¤ 0, entonces s ¤ 0, por lo que el sistema de ecuaciones tiene
una única solución. Dicha solución única la calculamos usando la regla de Cramer:
u 0 1 D
0
2
0 g.x/
2
D
s
g.x/ 2
W. 1; 2/ ) u 0 g.x/ 2.x/
1 .x/ D
W. 1.x/; 2.x// :
u 0 2 D
1 0
0
1 g.x/
D
s
g.x/ 1
W. 1; 2/ ) u 0 g.x/ 1.x/
2 .x/ D
W. 1.x/; 2.x// :
(4.4)

4.7 Variación de parámetros 3
De donde obtenemos u1 & u2 mediante integración
u1 D
g.x/ 2.x/
W Π1.x/; 2.x/ dx & u2
D
g.x/ 1.x/
W Π1.x/; 2.x/ dx:
Sustituyendo u1.x/ & u2.x/ en yp.x/ se tiene que la solución particular de la lineal es
yp.x/ D 1.x/
g.x/ 2.x/
W Π1.x/; 2.x/ dx C
2.x/
Finalmente, podemos escribir la solución general de la ED lineal como
con la yp.x/ obtenida previamente.
y.x/ D yp.x/ C .x/I
y.x/ D yp.x/ C Œc1 1.x/ C c2 2.x/;
g.x/ 1.x/
dx: (4.5)
W Π1.x/; 2.x/
Ejemplo 4.7.1 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución
general de la ED lineal
x 2 y 00
4xy 0 C 6y D 1
x ;
considerando que y1 D x 2 & y2 D x 3 forman un conjunto fundamental de soluciones para la ED homogénea asociada
x 2 y 00
4xy 0 C 6y D 0:
H Sea yp.x/ D u1.x/y1.x/ C u2.x/y2.x/ una solución particular.
Entonces:
yp D u1x 2 C u2x 3 ) y 0 p D u 0 1 x2 C 2u1x C u 0 2 x3 C 3u2x 2 :
Suponiendo que
se tiene que
Sustituyendo en la ED normalizada
se obtiene:
Entonces u 0 1 & u 0 2
u 0 1 x2 C u 0 2 x3 D 0; (4.6)
y 0 p D 2u1x C 3u2x 2 & y 00
p D 2u 0 1 x C 2u1 C 3u 0 2 x2 C 6u2x:
y 00
4
x y 0 C 6 1
y D ;
x2 x3 .2u 0 1x C 2u1 C 3u 0 2x2 C 6u2x/
4
x .2u1x C 3u2x 2 / C 6
x2 .u1x 2 C u2x 3 / D 1
x3 )
) 2xu 0 1 C u1.2 8 C 6/ C 3x 2 u 0 2 C u2.6x 12x C 6x/ D 1
x3 )
) 2xu 0 1 C 3x2u 0 1
2 D :
x3 (4.7)
El determinante del sistema es
satisfacen el sistema formado por las ecuaciones (4.6) y (4.7)
x 2 u 0 1 C x3 u 0 2
D 0I
2xu 0 1 C 3x2 u 0 2 D x 3 :
W D
x2 x3 2x 3x2
D 3x4
2x 4 D x 4 :

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
La solución del sistema es
Integrando:
u1 D
u2 D
u 0 1 D
0 x3
x 3 3x2
D
W
1
x4 D x 4 :
u 0 2 D
x2 0
2x x 3
1 x
D
W x4 D x 5 :
x 4 3 x
dx D
3 C C1 D 1
3 x 3 C C1:
x 5 4 x
dx D
4 C C2 D 1
4 x 4 C C2:
Tomando C1 D 0 y C2 D 0, obtenemos, u1 D 1
3 x 3 y u2 D 1
4 x 4 . Por ello, una solución particular es
yp D u1x 2 C u2x 3 D 1
3 x 3 x 2
Entonces la solución general de la ED lineal es
1
4 x 4 x 3 D 1 1 1
x
3
4 x 1 D 1
12 x 1 :
y D yp.x/ C c1y1.x/ C c2y2.x/ ) y D 1
12 x 1 C c1x 2 C c2x 3 :
Ejemplo 4.7.2 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución
general de la ED lineal
x 2 y 00
xy 0 C y D 4x ln x;
considerando que y1 D x & y2 D x ln x forman un conjunto fundamental de soluciones para la ED homogénea
asociada
x 2 y 00
xy 0 C y D 0:
H Sea yp.x/ D u1.x/y1.x/ C u2.x/y2.x/ una solución particular propuesta por este método:
Entonces:
yp D u1x C u2x ln x & y 0 p D u 0 1 x C u1 C u 0 2 x ln x C u2.1 C ln x/:
Imponiendo la condición
resulta
Sustituyendo en la ED normalizada
se obtiene:
u 0 1x C u 0 2x ln x D 0; (4.8)
y 0 p D u1 C u2.1 C ln x/ & y 00
p D u 0 1 C u 0 2 .1 C ln x/ C u2
u 0 1 C u 0
1
2 .1 C ln x/ C u2
x
y 00
1
x y 0 C 1 4
y D ln x;
x2 x
1
x Œu1
1
C u2.1 C ln x/ C u1
x
1
:
x
1 4
C u2 ln x D ln x )
x x

4.7 Variación de parámetros 5
(aquí factorizamos u1 & u2)
Entonces u 0 1 & u 0 2
) u 0 1 C u 0 2 .1 C ln x/ C u2
1
x
1
x
1 1
1 1
ln x C ln x C u1 C D
x x x x
4
ln x )
x
) u 0 1 C .1 C ln x/u 0 2
satisfacen el sistema conformado por las ecuaciones (4.8) y (4.9).
xu 0 1 C .x ln x/u 0 2
4
D ln x: (4.9)
x
D 0I
u 0 1 C .1 C ln x/u 0 2 D 4x 1 ln x:
El determinante del sistema es
W D x
1
x ln x
1 C ln x
D x C x ln x x ln x D x:
La solución del sistema es
u 0 1 D
0 x ln x
4x
1
ln x 1 C ln x
4.ln x/2
D D 4x
W
x
1 .ln x/ 2 :
u 0 2 D
x
0
1 4x 1
ln x
4 ln x
D
W x D 4x 1 ln x:
Integrando:
u1 D 4
u2 D 4
x 1 .ln x/ 2
dx D 4
x 1
ln x dx D 4
2 dx
.ln x/
x
D 4
3 .ln x/3 C C1:
.ln x/ dx
x D 2.ln x/2 C C2:
Tomando simplemente u1 D 4
3 .ln x/3 & u2 D 2.ln x/ 2 , se tiene que una solución particular es
yp D u1x C u2x ln x D 4
3 .ln x/3 x C 2.ln x/ 2 x ln x ) yp.x/ D 2
3 x.ln x/3 :
Y ahora, la solución general de la ED está dada por
y D yp.x/ C c1y1.x/ C c2y2.x/ ) y D 2
3 x.ln x/3 C c1x C c2x ln x:
Ejemplo 4.7.3 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución
general de la ED lineal
y 00 C y D sec 2 x:
H Primero se obtiene un conjunto fundamental de soluciones para la ED homogénea asociada
y 00 C y D 0:
Proponiendo y D e rx para resolver la ED homogénea:
r 2 C 1 D 0 ) r D ˙ p 1 D 0 ˙ 1i:

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Entonces:
y1 D e 0x sen 1x D sen x:
y2 D e 0x cos 1x D cos x:
Estas dos funciones forman un conjunto fundamental de soluciones de la ED homogénea asociada.
Se propone como solución particular:
se obtiene:
Suponiendo:
yp D u1 sen x C u2 cos x;
y 0 p D u 0 1 sen x C u1 cos x C u 0 2 cos x u2 sen x:
u 0 1 sen x C u 0 2 cos x D 0; (4.10)
se tiene:
y 0 p D u1 cos x u2 sen x & y 00
p D u 0 1 cos x u1 sen x u 0 2 sen x u2
Sustituyendo en
y
cos x:
00
p C yp D sec 2 se obtiene:
x;
De este modo u 0 1 & u 0 2
.u 0 1 cos x u1 sen x u 0 2 sen x u2 cos x/ C .u1 sen x C u2 cos x/ D sec 2 x )
) u 0 1 cos x u 0 2 sen x D sec2 x: (4.11)
satisfacen el sistema formado por (4.10) y (4.11):
u 0 1 sen x C u 0 2 cos x D 0:
u 0 1 cos x u 0 2 sen x D sec2 x:
El determinante del sistema es
W D sen
x cos x
cos x sen x
D sen 2 x cos 2 x D 1 ) W D 1:
La solución del sistema es
u 0 1 D
0 cos x
sec2
x sen x
D
W
sec2 x cos x
D sec x:
1
u 0 2 D
sen
x 0
cos x sec2
x
D
W
sen x sec2 x
D sen x sec
1
2 x:
Integrando:
u1 D
u2 D
sec x dx D ln.sec x C tan x/ C C:
sen x sec 2
x dx D sec x tan x dx D sec x C C:
Tomando u1 D ln.sec x C tan x/ & u2 D sec x, se tiene que una solución particular es
yp D u1 sen x C u2 cos x ) yp D .sen x/ ln.sec x C tan x/ .sec x/ cos x )
Entonces la solución general es
) yp D .sen x/ ln.sec x C tan x/ 1:
y D .sen x/ ln.sec x C tan x/ 1 C c1 sen x C c2 cos x:

4.7 Variación de parámetros 7
Ejemplo 4.7.4 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución
general de la ED lineal
y 00
3y 0 C 2y D e3x
:
1 C ex H Primero se obtiene un conjunto fundamental de soluciones para la ED homogénea asociada
proponemos y D e rx y se obtiene:
entonces:
r 2
y 00
3y 0 C 2y D 0I
3r C 2 D 0 ) r1 D 1 & r2 D 2;
y1 D e x & y2 D e 2x ;
son funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones.
Se propone como solución particular:
yp D u1e x C u2e 2x ;
y se obtiene:
Suponiendo
se tiene:
Sustituyendo en
se obtiene:
Entonces u 0 1 & u 0 2
y 0 p D u 0 1 ex C u1e x C u 0 2 e2x C 2u2e 2x :
u 0 1 ex C u 0 2 e2x D 0; (4.12)
y 0 p D u1e x C 2u2e 2x & y 00
p D u 0 1 ex C u1e x C 2u 0 2 e2x C 4u2e 2x :
y 00
p 3y 0 p C 2yp D e3x
;
1 C ex .u 0 1ex C u1e x C 2u 0 2e2x C 4u2e 2x / 3.u1e x C 2u2e 2x / C 2.u1e x C u2e 2x / D e3x
)
1 C ex ) u 0 1ex C u1e x .1 3 C 2/ C 2u 0 2e2x C u2e 2x .4 6 C 2/ D e3x
)
1 C ex ) u 0 1ex C 2u 0 2e2x D e3x
: (4.13)
1 C ex satisfacen el sistema formado por (4.12) y (4.13):
⎧
⎨
D 0:
El determinante del sistema es
W D
La solución del sistema es
⎩
e x u 0 1 C e2x u 0 2
e x u 0 1 C 2e2x u 0 2
ex e2x ex 2e2x D 2e3x
e3x
D :
1 C ex e 3x D e 3x ) W D e 3x :
u 0 1 D
0 e
2x
e3x 1 C ex 2e2x
e
D
W
2x e3x e3x .1 C ex / D
e2x :
1 C ex u 0 2 D
e
x 0
ex e3x 1 C ex
D
W
ex e3x e3x .1 C ex ex
D :
/ 1 C ex

8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Integrando:
u1 D
Utilizando el cambio de variable t D 1 C e x :
e2x 1 C ex dx & u2
D
u1 D ln.1 C e x / .1 C e x / C C1:
u2 D ln.1 C e x / C C2:
ex dx:
1 C ex Tomando u1 D ln.1 C e x / .1 C e x / & u2 D ln.1 C e x /, se obtiene la solución particular
yp D u1e x C u2e 2x D Œln.1 C e x / .1 C e x /e x C Œln.1 C e x /e 2x D
D e x ln.1 C e x / C e 2x ln.1 C e x / e x .1 C e x / D Œe x ln.1 C e x /Œ1 C e x e x .1 C e x / )
) yp.x/ D e x .1 C e x /Œln.1 C e x / 1:
Por lo tanto, la solución general de la ED es
y D yp.x/ C c1y1.x/ C c2y2.x/ ) y D e x .1 C e x /Œln.1 C e x / 1 C c1e x C c2e 2x :
De acuerdo a lo discutido en esta sección, una solución particular yp de la ED lineal normalizada
tiene la forma:
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D g.x/
yp.x/ D u1 1.x/ C u2 2.x/;
donde f 1.x/; 2.x/ g es un conjunto fundamental de soluciones de la ED homogénea asociada:
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0I
y las funciones u1 & u2 se obtienen integrando, respectivamente, las funciones u 0 1 & u 0 2
del sistema ˚
1u 0 1 C 2u 0 2 D 0I
0
1u 0 1 C 0 2u 0 2 D g.x/I
el cual resolvemos por el método de Cramer. Aún más:
u 0 1
D W1
W
& u 0 2
D W2
W ;
que son soluciones
donde W D W Π1.x/; 2.x/ 6D 0 [para toda x en el intervalo donde p.x/ & q.x/ sean continuas] y W1
& W2 están dadas mediante un determinante en el que se sustituye la columna 1 & 2, respectivamente, de
W por la columna:
0
:
g.x/
Es conveniente señalar las fortalezas y debilidades de este método en comparación con el método de coeficientes
indeterminados, tratado en la sección anterior.
1. El método de coeficientes indeterminados es en muchos casos más sencillo y fácil de aplicar que el
de variación de parámetros, pero tiene esta limitación: sólo es aplicable cuando g.x/ tiene la forma
de un polinomio, exponencial, combinación lineal de senos y cosenos o una suma de las funciones
mencionadas. Además la ED lineal debe tener coeficientes constantes.

4.7 Variación de parámetros 9
2. El método de variación de parámetros en cambio es aplicable en pricipio para cualquier función g.x/
y, en este sentido, es mucho más general. Además se puede usar para ED lineales aun cuando no
sean de coeficientes constantes. Lo único que se necesita es contar con un conjunto fundamental
de soluciones f 1; 2 g. Esta generalidad del método tiene un costo, puesto que para obtener una
solución particular yp es necesario calcular las integrales:
u1 D
2.x/g.x/
W.x/
(La resolución de estas integrales es dificultosa.)
dx & u2 D
1.x/g.x/
W.x/
Ejercicios 4.7.1 Variación de parámetros para ED de orden 2. Soluciones en la página 10
Utilizando variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución general de la ecuación
diferencial dada. Considerar que las funciones y1 D y1.x/ & y2 D y2.x/ forman un conjunto fundamental de
soluciones para la ecuación homogénea asociada.
1. x 2 y 00 6xy 0 C 10y D 8x 3 I y1 D x 2 & y2 D x 5 .
2. x 2 y 00 xy 0 3y D 30 p xI y1 D x 3 & y2 D 1
x .
3. x 2 y 00 C xy 0 C 8y D 65
3p x I y1 D x 4 & y2 D x 2 .
4. x 2 y 00 C 8xy 0 C 12y D 6
x 2 I y1 D x 3 & y2 D x 4 .
5. x 2 y 00 6xy 0 C 10y D 4x ln x 5xI y1 D x 5 & y2 D x 2 .
Utilizando variación de parámetros, determinar una solución particular y escribir la solución general de la ecuación
diferencial dada.
6. y 00 y D e x .
7. y 00 y D e x .
8. y 00 C y D sen x .
9. y 00 C y D cos x .
10. y 00 2y 0 C y D 6xe x .
11. y 00 C 2y 0 C y D 12xe x .
12. y 00 C y D tan x .
13. y 00 C 4y D 4 sec 2x .
dx:
14. y 00 C 9y D 9 sec3x tan 3x .
15. y 00 y D e 2x sen e x .
16. y 00 C 4y D sen 2 2x .
17. y 00 C 4y D cos 2 2x .
18. y 00 2y 0 C y D ex
x .
19. y 00 C 2y 0 C y D
20. y 00 C 3y 0 C 2y D
e x
x .
1
.
1 C e2x

10 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 4.7.1 Variación de parámetros para ED de orden 2. Página 9
1. yp.x/ D 4x 3 I y D 4x 3 C c1x 2 C c2x 5 .
2. yp.x/ D 8 p xI y D 8 p x C c1x 3 C c2
x .
3. yp.x/ D 9
3p I
x
y D 9
3p C c1x
x 4 C c2
.
x2 4. yp.x/ D 3
I
x2 3 c1 c2
y D C C .
x2 x3 x4 5. yp.x/ D x ln xI y D x ln x C c1x5 C c2x2 .
6. yp.x/ D 1
4 .2x 1/ex I y D 1
4 .2x 1/ex C c1e x C c2e x .
7. yp.x/ D 1
4 e x .1 C 2x/I y D 1
4 .1 2x/e x C c1e x C c2e x .
8. yp.x/ D 1
.sen x
2
x cos x/I y D
1
2 x cos x C c1 cos x C c2 sen x.
9. yp.x/ D 1
.x sen x C cos x/I
2
1
y D
2 x sen x C c1 cos x C c2 sen x.
10. yp.x/ D x3ex I y D .x3 C c2x C c1/ex .
11. yp.x/ D 2x 3 e x I y D .2x 3 C c2x C c1/e x .
12. yp.x/ D .cos x/ ln.sec x C tan x/I y D c1 cos x C c2 sen x .cos x/ ln.sec x C tan x/.
13. yp.x/ D .cos 2x/ ln.cos 2x/ C 2x sen 2xI y D .c1 C ln cos 2x/ cos 2x C .c2 C 2x/ sen 2x.
14. yp.x/ D 3x cos 3x sen 3x .sen 3x/ ln.cos 3x/I y D 3x cos 3x .sen 3x/ ln.cos 3x/ C c1 sen 3x C c2 cos 3x.
15. yp.x/ D e x cos e x sen e x I y D e x cos e x sen e x / C c1e x C c2e x .
16. yp.x/ D 1
12 Œ1 C cos 2 .2x/I y D 1
12 Œ1 C cos 2 .2x/ C c1 cos 2x C c2 sen 2x.
17. yp.x/ D 1
12 Œ2 cos 2 .2x/I y D 1
12 Œ2 cos 2 .2x/ C c1 cos 2x C c2 sen 2x.
18. yp.x/ D xex .ln x 1/I y D .c1 C c2x/ex C xex .ln x 1/.
19. yp.x/ D xe x .ln x 1/I y D .c1 C c2x/e x C xe x .ln x 1/.
20. yp.x/ D e x arctan.e x /
1
2 e 2x ln.1 C e 2x /I y D e x arctan.e x /
1
2 e 2x ln.1 C e 2x / C ` c1e x C c2e 2x´ .