Volumen 8 Número 2 Octubre 2010 - Blog de ESPOL - Escuela ...

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matemática
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UNA PUBLICACIÓN DEL ICM - ESPOL
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Volumen 8 Número 2 Octubre 2010
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Escuela Superior Politécnica del Litoral - ESPOL
Instituto de Ciencias Matemáticas - ICM
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INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICM) es una unidad académica de la ESPOL.
Desde el inicio la función del ICM ha sido la docencia en Matemáticas, Ciencias
Gráficas e Informática, para la formación de profesionales en ingeniería, tecnología
y ciencias, habiendo tenido a su cargo en los albores de la ESPOL, el dictado de 10
materias. Con el transcurso del tiempo y acorde con la era de la información, el ICM
creó en mayo de 1995 la carrera de “Ingeniería en Estadística Informática”, como
alternativa en ingeniería en información y servicios. Posteriormente, con el fin de
garantizar la eficiencia en el control y gestión empresarial con profesionales
capacitados y de excelencia se creó la carrera de “Auditoría y Control de Gestión”
en mayo de 2000. También el Instituto ha incursionado en una de las más
importantes ramas de la matemática aplicada que tiene grandes aplicaciones en el
mundo moderno, esto es la Investigación de Operaciones, la Teoría de Optimización,
y particularmente las aplicaciones logísticas, a través del ofrecimiento de programas
de pre-grado y post-grado en estas áreas. Así es como desde el año 2005 se
viene ofreciendo la maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística y desde
el año 2006 la carrera de Ingeniería en Logística y Transporte.
El ICM también cuenta con el CENTRO DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS, a
través del cual, se realizan: estudios de predicción, estudios actuariales, estudios de
mercado, diseños de experimentos, planificación y dirección de censos, análisis
financieros, bases de datos estadísticos, formulación de proyectos, ingeniería de la
calidad, etc.
Entre otras actividades que desarrolla el ICM anualmente están: las JORNADAS EN
ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA que actualmente está en su décimoquinta versión, el
CONCURSO INTERCOLEGIAL DE MATEMÁTICAS que se viene realizando en forma
continúa desde 1988.
.
Más información: www.icm.espol.edu.ec o escribirnos al e-mail: icm@espol.edu.ec, warmas@espol.edu.ec,
erivaden@espol.edu.ec, 30 ½ vía Perimetral: Edificios 25 – B Planta alta (Área de Institutos) Telfs.: (593-4)
2269525 – 2269526, fax: (593–4) 853138.
Guayaquil – Ecuador

matemática
UNA PUBLICACIÓN DEL ICM – ESPOL
Volumen 8 Número 2 Octubre 2010
Rector ESPOL: Ph.D. Moisés Tacle Galárraga
Vicerrector General ESPOL: M.Sc. Armando Altamirano Chávez
Director ICM: M.Sc. Washington Armas
Subdirector ICM: M.Sc. Luis Rodríguez Ojeda
Editor de publicaciones del ICM: M.Sc. Eduardo Rivadeneira
Consejo Editorial ICM: M.Sc. Efrén Jaramillo Carrión
M.Sc. Jorge Fernández Ronquillo
M.Sc. Luis Rodríguez Ojeda
Redacción y estilo: M.Sc. Janet Valdiviezo
M.Sc. Gaudencio Zurita Herrera
Edición: Ing. Eva María Mera Intriago
Srta. Carolina Carrasco Salas

matemática es una publicación del Instituto de Ciencias Matemáticas de
la Escuela Superior Politécnica del Litoral, y pretende constituirse en un órgano
de difusión científico – tecnológico, con el fin de incentivar y motivar el
desarrollo y avance de la matemática y sus aplicaciones.
matemática publica artículos teóricos y de tipo experimental tales como
ensayos, resúmenes de tesis de grado y trabajos de investigación
relacionados con la aplicación de la matemática en los diferentes ámbitos de
la realidad.

EDITORIAL
La Universidad Ecuatoriana se encuentra ante el reto que le ha planteado la
nueva ley de Educación Superior. La exigencia de que los académicos
posean la más alta calificación y que sus investigaciones sean publicadas
más allá de las fronteras de nuestro país, ha dado el golpe inicial para una
avalancha de reformas que no siempre son bien acogidas.
Nosotros, desde aquí, confiamos en que todos estos requerimientos serán
cumplidos y así nuestra universidad irá por camino seguro al nivel de
excelencia que todos aspiramos.
Los que hacemos Revista Matemática estamos siempre dispuestos a
fortalecer este proceso de superación, con nuestro humilde trabajo.

CONTENIDO
EDITORIAL..................................................................................................... 5
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS NIVELES
SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A PARTIR DE LA ENEMDU 2009
Choez Geovanny…………………..........…………….................. 7
APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA ENTROPÍA PARA EL ESTUDIO DE
REGISTROS ELECTROENCEFALOGRÁFICOS
González Javier, Granados Carlos, López Hernán, Torres Iván…. 16
ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ
DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES ALEATORIOS
MULTIVARIADOS
Montaño Néstor, Zurita Gaudencio....………………….................... 22
DYNAMICAL SYSTEMS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
Páez Joseph………………………………….…………………… 33
RESOLUCIÓN EXACTA DEL MODELO DEL MÁXIMO PROMEDIO PARA
EL PROBLEMA DE LA DISPERSIÓN MÁXIMA
Sandoya Fernando....................................................................……….. 41

matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2010, Vol. 8, No. 2
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS
NIVELES SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A PARTIR DE
LA ENEMDU 2009
1 Choez Geovanny
Resumen. Se realizó este trabajo con el propósito de presentar una metodología preliminar para el cálculo de los niveles
socioeconómicos en el Ecuador reflexionando en metodologías implementadas en países europeos y también en Chile. Se identificaron
8 niveles socioeconómicos a partir de la tenencia acumulada de bienes, cada uno de los bienes multiplicado por un factor obtenido a
través del análisis de componentes principales categórico. Además se logró clasificar los bienes en primarios, secundarios y extras.
Posteriormente se evalúo la relación estadística entre los niveles socioeconómicos obtenidos y variables que conceptualmente están
vinculadas a estos. Los resultados son congruentes respecto a las metodologías implementadas en otros países.
Palabras Clave: INEC, ENEMDU, Niveles socioeconómicos, componentes principales.
Abstract. Introduction: This work presents a new methodology to calculate the social grades or social class in the Ecuador, taking into
consideration implemented methodologies in countries in Europe and Chile. Objective: Identify the social level or social class in the
Ecuadorian population using multivariate statistical methods. Methods: The statistical technique used is categorical principal
components which provide a factor based off the assets of the investigated people. Results: The analysis provides eight social levels
where 1 is the lowest level and 8 is the highest level. Conclusions: These social grades obtained with this methodology are congruent
between others revised methodologies.
Key words. INEC, ENEMDU, Social grades, categorical componentes principales.
Recibido: Agosto, 2010
Aceptado: Septiembre, 2010
1. INTRODUCCIÓN
El Instituto Nacional de Estadística y Censos
(INEC) considera de suma importancia la
estratificación socioeconómica en el país, por esto
el área de análisis de la regional del litoral decidió
explorar las bases teóricas y métodos estadísticos
multivariados utilizados para la clasificación de
datos que permita establecer un marco de
referencia metodológico como guía en la
clasificación de los hogares según los niveles
socioeconómicos.
Un primer trabajo referente a la temática se
realizó utilizando la información de la Encuesta
de Empleo, Desempleo y Subempleo (ENEMDU
2008) y su modulo de opinión (auto percepción)
en el que se construyó un modelo estadístico para
determinar las características o grupo de
características que mayor relación tienen con el
bienestar del hogar (según la percepción del/la
jefe/a del hogar).
Consecuentemente se decidió realizar éste
trabajo cuyo propósito es proponer una
metodología preliminar para la estructuración de
los niveles socioeconómicos (NSE) de los hogares
ecuatorianos, a través de la aplicación de métodos
multivariados con los datos de la ENEMDU 2009.
________________________
1 Choez Geovanny, Ingeniero en Estadística e Informática,
Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL);
Departamento de Análisis Socioeconómico, INEC.
(e_mail: geovanny_choez@inec.gob.ec)
Para el desarrollo de la propuesta el primer
objetivo es analizar los métodos estadísticos
multivariados utilizados para la clasificación de
datos. Luego combinar los métodos para la
estructuración de los niveles socioeconómicos de
los hogares ecuatorianos. Finalmente se quiere
comparar los resultados de la metodología
obtenida frente a otros métodos de estratificación
de estudios similares.
2. MARCO TEÓRICO
NSE ESOMAR 2
En 1997, y en respuesta a las necesidades de la
creciente investigación paneuropea en el mercado
único, European Society for Opinion and
Marketing Research 3 (ESOMAR) propuso un
nuevo método de clasificación. Su objetivo era
incrementar la convergencia de los criterios
socioeconómicos y demográficos utilizados en
cada país para tabular los estudios de marketing y
de opinión. La clasificación propuesta (Social
Grade Matrix) se investigó en los doce países que
en 1997 formaban la Unión Europea sobre la base
de las cerca de 90.000 entrevistas del
Eurobarómetro. Consiste en la utilización de los
procedimientos que se aplican alternativamente
según que el principal sustentador del hogar sea
2
Transcrito desde “Investigación Comercial 22 casos
prácticos y un apéndice teórico”, Pg. 49, 50
3
Sociedad Europea para investigaciones de opinión y
marketing.

laboralmente activo o inactivo. En el primer caso,
la clase socioeconómica a la que pertenece el
hogar se define según la posición profesional de
dicho sustentador y la edad a la que terminó sus
estudios. Esta edad se ha ajustado para incluir
cualquier período de educación o de formación
profesional llevado a cabo después de la entrada
G. CHOEZ
8
del individuo en el mercado laboral. Por ejemplo,
la persona que dejó la escuela a los 16 años pero
recibió enseñanza especializada durante 20 meses
mientras realizaba un trabajo remunerado, será
catalogada como habiendo terminado los estudios
a los 18 años.
TABLA I
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Cuadro de resumen ESOMAR 1997
Matriz de posición social (Activos)
Edad a la que terminó los estudios (años)
Ocupación 13 o menos 14 15-16 17-20 21 o más
Director general con 6+ empleados
Profesional autónomo
D C1 B A A
Empleado profesional
Directivo con 6+ empleados
Director general con 5- empleados
D D C1 B A
Mandos intermedios con 5- empleados
Dueño o socio de empresa con 6+ empleados
D D C2 C1 B
Agricultura, ganadería, pesca E3 E1 D C1 B
Empleado
Dueño o socio de empresa con -5 empleados
E2 E1 D C2 C1
Viajante o representante
Obrero manual especializado
E2 E1 D C2 C1
Obrero manual no especializado E3 E3 E1 D D
Se aplica una matriz alternativa cuando el
principal sustentador del hogar es inactivo,
concepto que incluye los casos siguientes:
jubilado, incapacitado físicamente, parado,
temporalmente inactivo, estudiante y ama de casa.
En estos casos, la posición social depende de la
situación económica del hogar y de la edad a la
que el sustentador principal terminó los estudios.
El status económico es un índice que se calcula
teniendo en cuenta el número de ítems poseídos
dentro de la siguiente lista: televisión en color,
video, videocámara, dos o más coches, proyector
de diapositivas, ordenador personal, taladro
eléctrico, freidora eléctrica, reloj de radio y
segunda vivienda. Esta lista se revisará en el
futuro dependiendo de si alguno de los ítems se ha
generalizado y ha dejado de ser discriminante en
los hogares europeos.
TABLA II
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Cuadro de resumen ESOMAR 1997
Status
Matriz de posición social (Inactivos)
Edad a la que terminó los estudios
Número de ítems poseídos 13 o menos 14 15-16 17-20 21 o más
5 o más D C1 B A A
4 D C2 C1 B A
3 D C2 C1 B B
2 E1 E1 E1 C2 C1
1 E3 E2 E1 C2 C1
0/NC E3 E3 E2 D D

PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS NIVELES SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A
PARTIR DE LA ENEMDU 2009
3. MARCO CONCEPTUAL
ENEMDU.-
Encuesta de Empleo, Desempleo y Subempleo.
ESOMAR 43 . –
European Society for Opinion and Marketing
Research
Métodos estadísticos multivariados.-
Según Daniel Peña (2002) los métodos
estadísticos multivariados para el análisis de datos
comprende el estudio estadístico de varias
variables medidas en elementos de una población
con los siguientes objetivos:
• Resumir los datos mediante un pequeño
conjunto de nuevas variables.
• Encontrar grupos en los datos, si existen.
• Clasificar nuevas observaciones en grupos
definidos.
• Relacionar dos conjuntos de variables.
INEC.-
Instituto Nacional de Estadística y Censos.
Niveles Socioeconómicos.-
Los NSE son un conjunto de estratos a capas en
los que se divide una sociedad según el estilo de
vida o grupo de características, dichas
características son homogéneas dentro de cada
capa y heterogéneas entre capas. Las
características pueden ser sociales, económicas,
demográficas, etc.
4. METODOLOGÍA
ANÁLISIS DE COMPONENTES
PRINCIPALES CATEGÓRICO
El análisis estándar de componentes
principales asume que todas las variables del
análisis se miden a escala numérica, y que las
relaciones entre los pares de variables son
lineales (Pérez, 2006).
Varela (2005) menciona sobre éste análisis
que “la primera componente principal es la
combinación lineal de las variables originales
de varianza máxima”, es decir, que la ecuación
de la primera componente (Y1) es:
Y = α X + α X + + α X
1 11 1 12 2 ... 1p
p
Donde p es el número de variables originales.
La segunda componente principal (Y2) se
construye análogamente:
Y2 = α 21 X 1 + α 22 X 2 + ... + α 2 p X p
El análisis de componentes principales
categóricas extiende ésta metodología para
permitir la ejecución del análisis de
4
Tomado de “Investigación Comercial 22 casos prácticos y
un apéndice teórico”, Pg.37
9
componentes principales en cualquier mezcla
de variables nominales, ordinales y numéricas.
El análisis de componentes principales
categórico se conoce también por el acrónimo
CATPCA, del inglés CATegorical Principal
Components Analysis. El objetivo de los
análisis de componentes principales es la
reducción de un conjunto original de variables
en un conjunto más pequeño de componentes
no correlacionados que representen la mayor
parte de la información encontrada en las
variables originales. Para las variables
nominales y ordinales del análisis, se calcula
puntuaciones óptimas para las categorías
(Pérez, 2006).
5. ANÁLISIS DE
CORRESPONDENCIAS
Uno de los objetivos del análisis de
correspondencias es describir las relaciones
existentes entre dos variables nominales,
recogidas en una tabla de correspondencias, sobre
un espacio de pocas dimensiones, mientras que al
mismo tiempo se describen las relaciones entre las
categorías de cada variable. Para cada variable,
las distancias sobre un gráfico entre los puntos de
categorías reflejan las relaciones entre las
categorías, con las categorías similares
representadas próximas unas a otras. El análisis
factorial es una técnica típica para describir las
relaciones existentes entre variables en un espacio
de pocas dimensiones. Sin embargo, el análisis
factorial requiere datos de intervalo y el número
de observaciones debe ser cinco veces el número
de variables. Por su parte, el análisis de
correspondencias asume que las variables son
nominales y permite describir las relaciones entre
las categorías de cada variable, así como la
relación entre las variables. Además, el análisis de
correspondencias se puede utilizar para analizar
cualquier tabla de medidas de correspondencia
que sean positivas.
6. PROPUESTA
Paso 1
El primer paso es establecer un conjunto de
variables que permitan encontrar agrupaciones en
los datos. Peña Daniel (2002) en su texto
considera que el análisis de componentes
principales es muy útil como herramienta
exploratoria, por esto se utilizó esta técnica para
identificar agrupaciones según los bienes que
permitan alguna clasificación de los hogares
ecuatorianos. El conjunto de bienes considerados
para el análisis y que forman parte del
equipamiento del hogar son: Refrigerador,
televisor, licuadora, computador, equipo de
sonido, micro-ondas, cocina con horno, cocina sin

horno, radio, lavadora, DVD, bicicleta, moto,
auto, línea telefónica e internet. Se omitió algunos
bienes poco frecuentes para maximizar la
Dimensión 2
G. CHOEZ
10
explicación de los datos y se obtuvo los siguientes
grupos:
FIGURA 1
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Componentes Principales - Equipamiento de bienes en el hogar
,6
,4
,2
-,0
-,2
-,4
-,6
0,0
,1
Dimensión 1
,2
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
,3
,4
Los grupos de bienes con sus respectivos nombres son:
,5
Microhondas
Pc
Auto
Lavadora
,6
Tel.
Equipo
Dvd
Cocina H.
Licuadora
Refrigerador
TABLA IV
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Clasificación de bienes del hogar
TV
Clasificación de bienes del hogar
Bienes primarios Bienes secundarios Bienes extras Bienes poco frecuentes (omitidos)
Licuadora Equipo de sonido Computador (PC) Internet
Refrigerador DVD Auto Bicicleta
Televisor Cocina con horno Microhondas Moto
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
,7
,8
Lavadora Radio
,9
Línea telefónica Cocina sin horno
1,0

PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS NIVELES SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A
PARTIR DE LA ENEMDU 2009
Paso 2
El siguiente paso consiste en asignar una
ponderación a la tenencia de cada bien, la tabla de
11
bienes con los respectivos pesos se presenta a
continuación:
TABLA V
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Ponderaciones para bienes del hogar
Ponderaciones para bienes del hogar
Bienes Ponderación
Refrigeradora 2
Televisor 1
Licuadora 2
Computador (PC) 10
Equipo de sonido 6
Microhondas 10
Cocina con horno 5
Cocina sin horno 1
Radio 1
Lavadora 10
DVD 5
Bicicleta 1
Moto 1
Auto 9
Línea telefónica 8
Internet 1
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
Las ponderaciones se obtuvieron de los
coeficientes de las ecuaciones de las dos primeras
componentes principales 54 que explican un 52%
de la varianza total de los datos. Para obtener la
ponderación se sumo el coeficiente de la variable
del bien X en la primera componente y el
coeficiente en la segunda componente del mismo
bien X y se lo multiplicó por factor 10. Así se
calculó la ponderación en cada bien excepto los
bienes pocos frecuentes que se les dio la
ponderación de 1.
5
Revisar teoría de las componentes principales en
metodología
Paso 3
Luego se procedió a construir una variable que
sume la cantidad de bienes que posee el hogar
multiplicado por la ponderación respectiva, es
decir, la variable (puntaje total) recopila la
tenencia del bien y su respectivo peso. Los niveles
socioeconómicos se construyen a partir del
puntaje total según la concentración de casos
como se muestra a continuación:

Puntaje total
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
G. CHOEZ
FIGURA 2
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Construcción de niveles socioeconómicos
2
3
3
3
3
4
4
4
4
Porcentaje
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
3
5
5
5
5
6
Los rangos de puntajes para la construcción de los niveles se presentan a continuación:
6
7
7
12
Niveles socioeconómicos
1
2
3
4
5
6
7
8
0
4
5
7
10
10
20
20
Porcentaje
TABLA VI
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Rangos de puntaje según bienes
Rangos de puntaje según bienes
Puntaje según bienes Nivel socioeconómico %
0 a 1 bien 1 8.7
2 a 8 bines 2 40.3
9 a 14 bienes 3 20.4
15 a 19 bienes 4 10.0
20 a 24 bienes 5 6.8
25 a 29 bienes 6 5.3
30 a 34 bienes 7 4.4
35 o más bienes 8 4.0
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
Paso 4
La validación de los niveles socioeconómicos
obtenidos se realizó a través del análisis de
correspondencia. La primera validación consiste
9
en graficar las categorías de las variables (nivel de
instrucción y nivel socioeconómico). El gráfico
respectivo se presenta a continuación:
30
40
40

PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS NIVELES SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A
PARTIR DE LA ENEMDU 2009
Dimensión 2
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,0
FIGURA 3
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Nivel de instrcción vs nivel socioeconómico
-1,5
Dimensión 1
1
ninguno
-1,0
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
2
primaria
El gráfico de correspondencia indica que existe
relación directamente proporcional entre el nivel
socioeconómico y el nivel de instrucción, es decir,
a mayor nivel de instrucción del jefe de hogar
mayor nivel socioeconómico del hogar.
Dimensión 2
1,0
,8
,6
,4
,2
,0
-,2
-,4
-,6
-,8
-1,0
-1,5
8
Dimensión 1
-,5
3
0,0
4
,5
13
5
secundaria
6
1,0
superior
7
1,5
8
2,0
2,5
Estratos
Nivel de instrucción
La segunda validación consiste en graficar las
categorías de las variables (condición de actividad
y nivel socioeconómico) en un gráfico de
correspondencias que es presentado a
continuación:
FIGURA 4
Propuesta metodológica para el cálculo de los niveles socioeconómicos en el ecuador a partir de la enemdu 2009
Condición de actividad vs nivel socioeconómico
Ocupados plenos
7
-1,0
Fuente: ENEMDU 2009
Elaborado por: Autor
6
5
-,5
Desempleo Abierto
4
Desempleo Oculto
3
0,0
Inactivo
Subempleo Visible
2
Otras formas de sube
,5
1
1,0
Nivel socioeconómico
Condición de
actividad

En el gráfico de correspondencia se identificaron
dos grupos conceptualmente relacionados.
7. CONCLUSIONES
La estructuración de los niveles
socioeconómicos a través de los bienes que
conforman el equipamiento del hogar
conceptualmente es congruente.
La metodología implementada para la
estructuración de los niveles socioeconómicos a
través de los bienes que conforman el
equipamiento concuerda con metodologías
G. CHOEZ
14
similares utilizadas en Chile y en países de
Europa.
8. RECOMENDACIONES
Revisar ésta primera propuesta y contribuir en
la modificación o perfeccionamiento de la
misma.
Continuar con la revisión de métodos
estadísticos multivariados considerando otras
variables que conceptualmente estén relacionadas
al nivel socioeconómico.

PROPUESTA METODOLÓGICA PARA EL CÁLCULO DE LOS NIVELES SOCIOECONÓMICOS EN EL ECUADOR A
PARTIR DE LA ENEMDU 2009
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS
[1]. MEULMAN, J. (2005). SPSS Categories ®
14.0. SPSS Inc. EE.UU.
[2]. NORMAS INTERNACIONALES APA,
“Revista Universitaria Límite”. Facultad de
Ciencias Sociales. Departamento de Filosofía y
Psicología. Universidad de Tarapacá.
Arica – Chile.
15
[3]. PEÑA, D. (2002). “Análisis de Datos
Multivariantes”. McGraw-Hill. España.
[4]. PÉREZ, C. (2006). “Técnicas de Análisis
Multivariante de Datos”. Pearson Educación.
España.
[5]. VARELA, L. (2005). “Análisis Multivariante
para las Ciencias Sociales”. Pearson
Educación. España.

matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2010, Vol. 8, No. 2
APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA ENTROPÍA PARA EL
ESTUDIO DE REGISTROS ELECTROENCEFALOGRÁFICOS
1 González Javier, 2 Granados Carlos, 3 López Hernán, 4 Torres Iván
Resumen Los registros electroencefalográficos (EEG) son señales de tipo electrofisiológicas caracterizadas por su alto grado de
aleatoriedad y bajos niveles de amplitud. Por su gran complejidad necesitan ser analizadas mediante la utilización de técnicas no
lineales, como es el caso del cálculo de la entropía. La importancia del tratamiento de este tipo de señales, radica en que debido a sus
características, son susceptibles a las interferencias producidas por agentes externos como otros equipos alrededor e internos como los
movimientos musculares. Esta propuesta de trabajo se enfoca en el uso del cálculo de la entropía aproximada, para caracterizar
regularidad de registros EEG. Los algoritmos implementados están basados en el planteamiento matemático realizado por Steven
Pincus (Pincus, 1991) referentes a la entropía aproximada, Joshua S. Richman and J. Randall Moorman (Moorman, 2000) referentes a
entropía muestral y en los algoritmos desarrollados por George B. Moody (Moody, 2001).
Palabras Claves. Señales EEG, entropía, patologías.
Abstrat. The electroencephalographic records (EEG) are electrophysiological signal with high randomness properties and low
amplitude. The EEG needs nonlinear techniques for its analys because it is a complex time series. In this paper the calculation of the
entropy is very important to characterize the EEG.
Key words. EEG signals, Entropy, pathologies.
Recibido: Junio, 2010
Aceptado: Agosto, 2010
1. INTRODUCCIÓN
Dentro del gran grupo de las señales
electrofisiológicas, existen los registros
electroencefalográficos (EEG), que ha exigido
múltiples estrategias matemáticas para extraer
información con un alto grado de utilidad e
importancia en el campo médico [1]. El EEG es un
examen que registra la actividad eléctrica del
cerebro y proporciona una aproximación de la
actividad de las ondas emitidas por las células
nerviosas en la corteza del cerebro. El EEG se
compone principalmente de un grupo de ondas
clasificadas por su rango en el dominio de la
frecuencia, empezando por las ondas tipo Delta que
comprenden el rango entre 0 y 4 Hz, seguidamente
se tienen las ondas tipo Theta (4 – 8 Hz), las ondas
tipo Alpha (8 – 12 Hz), ondas Beta (14 – 30 Hz) y
las ondas Gamma (3 – 8 HZ). La adquisición del
EEG consta de 4 etapas principales, la primera de
ellas es la adquisición de la señal mediante el
posicionamiento de electrodos según el estándar
internacional 10-20 y se clasifican de acuerdo
a la tarea o condiciones experimentales para
las que se emplearan, por ejemplo pueden ser
__________________________
1
González Barajas Javier, Docente Facultad de Ing.
Electrónica. Universidad Santo Tomás. Cra 9 N° 51-15.
Bogotá – Colombia.
(e-mail: javiere_gonzalez@yahoo.com.mx).
2
Granados Guevara Carlos A., Ingeniero Electrónico.
Universidad Santo Tomás. Cra 9 N° 51-15. Bogotá. Colombia.
(e-mail: andres102@hotmail.com).
3
Lopez Católico Hernan Camilo. Médico Cirujano.
Coordinador Médico Serivico de Neurofisiologia. Liga Central
Contra la Epilepsia.
(e-mail: hernancamilolopez@hotmail.com)
4
Torres Rincón Iván. Ingeniero Electrónico. Universidad Santo
Tomás. Cra 9 N° 51-15. Bogotá. Colombia.
(e-mail: ibamsho@msn.com).
electrodos de superficie, de aguja o de profundidad.
Por lo general esos registros poseen una amplitud
en el rango 10 - 45µv. Para obtener una serie de
tiempo de los registros EEG, se realiza un proceso
de discretización con frecuencias de muestreo de
200Hz y 250 muestras por segundo. Como
estrategia utilizada en los trabajos más actuales
sobre el análisis del EEG, se cuenta con los
métodos de análisis no lineal de series de tiempo
[2]. También se ha citado en la literatura la
Trasformada de Fourier, mediante la cual se estudia
la distribución de frecuencias en la señal EEG [3].
La Transformada Wavelet, empleada para la
clasificación automática de patrones y análisis de
energía en las diferentes bandas de frecuencia del
EEG [4]. El Filtro Kalman, para la eliminación de
señales de artefactos [5]. El análisis de
componentes independientes, para la separación de
señales estadísticamente independientes y el
filtrado de artefactos [6].
Para fines del desarrollo de este trabajo se ha
utilizado el cálculo de la entropía aproximada, que
refleja la probabilidad de la existencia de patrones
no precedidos por otros similares dentro de una
serie analizada y asigna valores mayores a
secuencias más irregulares [7]. En el caso del EEG
se cuantifica la predicción de valores de amplitud
sucesivos basándose en el conocimiento de algunos
valores de amplitud previos. Por lo tanto una
secuencia de datos que contenga gran cantidad de
patrones repetitivos, tendrá una entropía
aproximada pequeña, mientras que una secuencia
de datos más irregular tendrá una entropía
aproximada mayor. Pincus la definió como la
correlación entera en cada punto dentro de la
muestra [8]. El valor de la entropía (ApEn)

aproximada depende de tres parámetros la longitud
del patrón (observaciones sucesivas) m, el criterio
de similitud r y el número de puntos de la serie N.
Matemáticamente definida en (1) y (2).
m m+
1
( ) ( ) ( )
ApEn m, r, N =Φ r −Φ r conr≥1 (1)
m 1
m
φ ( r)
=
logCi
( r)
(2)
N − m + 1
∑ + − N m 1
i=
1
Debido a que la entropía aproximada es una
medida susceptible a la cantidad de datos que
componen la señal analizada y que adicionalmente
durante la comparación tiene en cuenta el mismo
patrón que se está buscando, se ha optado por
trabajar también con la entropía muestral. Ésta es
una modificación al planteamiento de Pincus [8]
hecha por Richman – Moorman [9].
Matemáticamente definida en (3) y (4).
m
⎛ A ( r)
⎞
SampEn( m, r, N ) =−ln⎜ m ⎟ (3)
⎝ B ( r)
⎠
N−m m( ) 1
m
B r =
Bi() r
N −m−1∑ (4)
N−m i=
1
i=
1
m ( ) 1
m
A r = Ai() r
N − m∑
(5)
m
Donde B corresponde a la cantidad de
coincidencias por patrón y m A corresponde a la
cantidad de patrones coincidentes.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
Para el desarrollo de este proyecto fueron
utilizados registros EEG tomados de la base de
datos de la Fundación Liga Central Contra la
Epilepsia (LICCE), correspondientes a pacientes
con anomalías primarias generalizadas. Registros
que fueron analizados de acuerdo a las descargas
presentes. Los algoritmos fueron desarrollaron en
Matlab. El algoritmo implementado carga en la
memoria la señal EEG, que se encuentra en un
archivo de cabecera dispuesto como un vector (Sn),
el cual se segmenta en series de tiempo de longitud
m y se genera la matriz (Pm). Cada serie será un
patrón que se desea hallar a lo largo de la señal. A
continuación en (6) se muestra la manera como se
realiza la segmentación de Sn.
J. GONZALEZ, C. GRANADOS, H. LÓPEZ & I. TORRES
17
Sn={1,2,3,4,5,…,N}
⎡ 1 2 … m ⎤
Pm = ⎢ 2 3 m + 1⎥
⎢ ⎥
⎣ N − m+ 1 … N ⎦
(6)
Luego cada una de estas series de tiempo es
comparada con las demás y si la diferencia entre
cada uno de sus respectivos elementos es menor
que r se cuenta como una coincidencia,
almacenando el total de coincidencias en una
variable. Este proceso se repite para m+1, es decir,
aumentando el número de elementos de las series
de tiempo a m+1. En seguida se promedian la
cantidad de coincidencias por patrón para m y m+1
y la cantidad de patrones coincidentes por señal.
Finalmente se obtiene el valor de entropía como el
logaritmo del cociente entre ambos valores.
3. RESULTADOS
Los algoritmos de entropía muestral y aproximada
que fueron desarrollados, se implementaron en
MATLAB para realizar pruebas con diferentes
tipos de señales; esto con el fin de evidenciar las
variaciones de los valores de entropía en señales
con topologías diferentes. En primer lugar se tomó
una función seno a la que se le calculó la entropía
aproximada para tener un valor base sobre el cual
haríamos las observaciones. En seguida, a esta
señal se le sumó una señal de ruido determinístico
y luego otra de ruido aleatorio y se les calculó la
entropía aproximada. En la figura 1 se presentan
las señales utilizadas y en tabla I, se muestran los
valores de entropía obtenidos de las tres señales.
FIGURA 1
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Señales de Prueba

APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA ENTROPÍA PARA EL ESTUDIO DE REGISTROS ELECTROENCEFALOGRÁFICOS
TABLA I
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Valores de entropía para las señales de prueba
Tipo de señal
Valor de entropía
aproximada
Función seno 0.0428
Función seno con ruido
0.0611
determinístico
Función seno con ruido
aleatorio
1.0970
La señal con ruido determinístico, muestra una
elevación en su valor de entropía respecto a la
señal original debido a que aumenta su
complejidad, sin embargo este valor no aumenta
considerablemente como en la tercera señal, debido
a que mantiene cierta periodicidad en sus valores.
El valor de entropía de la señal con ruido aleatorio
aumenta ampliamente debido a que se pierde la
periodicidad de la señal y por tanto aumenta su
complejidad, es decir que tiende a ser una señal
caótica. Una de las características de la entropía
aproximada, es ser altamente dependiente de la
cantidad de datos analizados, por lo que se
convierte en una medida poco precisa, haciendo
necesario una estimación de la cantidad de datos
que se deben tener en cuenta al momento de
calcular la entropía. Para mostrar esto, se compara
el valor de entropía aproximada obtenido para la
función seno formada por una cantidad N de datos
y la misma función formada por 2N datos; esto
equivale a una misma función muestreada con dos
frecuencias diferentes. La figura 2 muestra las
funciones utilizadas y la tabla II muestra los
valores de entropía obtenidos.
FIGURA 2
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Función de seno muestreada con dos frecuencias diferentes,
la inferior con el doble de frecuencia que la superior
18
TABLA II
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Valor de entropía aproximada una señal muestreada con
dos frecuencias diferentes, f1 y 2f1 respectivamente
Número de datos
Valor entropía
aproximada
400 0,0207
800 0,0102
Las dos señales tienen la misma forma, pero el
número de datos varió en la segunda dos veces más
que en la primera. Los valores de entropía variaron
igualmente, pero de manera inversa, es decir, con
el doble de datos tomados, la entropía disminuye a
la mitad. Para evitar el inconveniente de tener
dentro de los parámetros de entropía el número de
datos, se ha utilizado la entropía muestral; en la
que su valor es menos sensible a la longitud de la
señal analizada, pues la manera como se hace la
comparación de los patrones en el algoritmo
cambia al no tener en cuenta dentro de las
coincidencias el mismo valor que se está
evaluando. Esto a su vez implica que el valor de
entropía aumenta respecto al valor obtenido con la
entropía aproximada. En la tabla III, se presentan
los valores de entropía aproximada y muestral,
junto con la variación entre ellos, obtenidos para
las señales de la figura 1.
TABLA III
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Valores de entropía muestral y aproximada y variación
entre los dos tipos de entropía
Tipo de señal
Valor de
entropía
aproximada
Valor de
entropía
muestral
Variación
valor
entropía
Función seno 0.0428 0.0436 0.0008
Función seno
con ruido
determinístico
Función seno
con ruido
aleatorio
0.6111 0.7086 0.0975
1.0970 2.4345 1.3375
El aumento en el valor de entropía de las señales,
se debe a que el número de patrones coincidentes
en las señales es mucho menor y por tanto se
entiende que las señales tienden a ser más caóticas,
perdiendo la periodicidad que tenían debido a la
señal original (función seno). Luego de mostrar la
incidencia que tiene el tipo de señal y su frecuencia
de muestreo en el valor de entropía, se calcula el
valor de entropía para una señal EEG bipolar. Los
EEG utilizados tienen una duración de 30 minutos

y 30 segundos y fueron muestreados con una
frecuencia de 200Hz, por lo tanto son registros
muy largos que deben ser tomados en segmentos
más cortos de tiempo llamados ventanas; en este
caso cada ventana contiene 5 segundos de señal, lo
que equivale a 366 ventanas en total. Cada EEG
está conformado por 19 canales, de los cuales se
tomaron únicamente dos, seleccionados por la
mayor incidencia de las descargas en su
comportamiento. A continuación se presentan tres
periodos de tiempo de un registro EEG en tres
momentos diferentes; La figura 3 muestra un
intervalo normal de la señal EEG donde no se
evidencian descargas.
FIGURA 3
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal normal
la figura 4 muestra una alteración en la actividad
cerebral debido a fotoestimulación. En este caso el
paciente recibe estimulación provocada por
diversas fuentes de luz
FIGURA 4
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal con descarga debida o fotoestimulación en
canal
La figura 5 muestra una alteración debida a
somnolencia, ya que en muchos casos los registros
se toman en periodos de 24 horas consecutivas y se
evalúa el comportamiento del paciente durante el
ciclo Mañana - noche.
J. GONZALEZ, C. GRANADOS, H. LÓPEZ & I. TORRES
19
FIGURA 5
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal con descarga debida a somnolencia en
canal Fp1-F3
La figura 6 muestra un intervalo normal del
registro, la figura 7 muestra la descarga por
fotoestimulación y la figura 8 muestra la descarga
debido a somnolencia.
FIGURA 6
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal normal en canal F3-C3
FIGURA 7
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal normal con descarga debida a
fotoestimulación en canal F3-C3

APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA ENTROPÍA PARA EL ESTUDIO DE REGISTROS ELECTROENCEFALOGRÁFICOS
FIGURA 8
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Intervalo de señal con descarga debida a somnolencia en
canal F3-C3
Se calculó el valor de entropía para las ventanas de
tiempo mostradas arriba. La tabla IV contiene los
valores de entropía para cada intervalo de señal por
canal, la ventana de tiempo que corresponde a la
señal analizada y el tipo de activación que produjo
la descarga.
TABLA IV
Aplicación del cálculo de la entropía para el estudio de registros
electroencefalográficos
Valores de entropía aproximada y muestral en dos canales
de una señal EEG bipolar de acuerdo a eventos presentes
Activación
Entropía
Aproximada
Entropía
Muestral
Normal 1,0232 1,1290
Fotoestimulación 0,8756 0,9243
Somnolencia 0,9069 0,9684
Normal 1,0985 1,4294
Fotoestimulación 0,7146 0,7340
Somnolencia 0,7124 0,7318
Al revisar los valores de entropía se aprecia que
estos disminuyen cuando se presentan anomalías
20
en la actividad cerebral, esto se debe a que la señal
tiende a ordenarse durante este tipo de
comportamiento anormal.
4. CONCLUSIONES
A través del desarrollo de este trabajo se ha
contado en primera instancia con el estudio e
implementación de las técnicas para el calculo de la
entropía aproximada y la entropía muestral. Por
medio de las simulaciones previas realizadas con
señales sinusoidales puras se ha podido evidenciar
la sensibilidad de esta medida ante el aumento de la
complejidad de series de tiempo. Al poder contar
con el dominio de los algoritmos se ha tenido la
oportunidad de poderlos implementar en una
plataforma basada en un procesador digital de
señales DSP del fabricante Texas Instrumentes, con
lo cual se obtiene el valor agregado de tener una
herramienta con capacidad de procesamiento que
permite tener gran portabilidad y la posibilidad de
realizar análisis no lineales en tiempo real de
registros EEG. Los algoritmos implementados en la
plataformas para DSP han sido ensayados con
registros EEG en diferentes estados: normal, bajo
estímulos y con presencia de anomalías y se ha
podido evidenciar que la medida de entropía es
sensible para los las disminuciones de complejidad
que sufre el EEG.
5. AGRADECIMIENTOS
Los resultados logrados en este trabajo han sido
logrados gracias a la colaboración del cuerpo
medico de la Liga Central Contra la Epilepsia de la
ciudad de Bogota, DC. Colombia y especialmente a
la dedicación del Medico cirujano Hernán Camilo
López que coordino el manejo de las bases de datos
de EEG.

ECTRÓNICAS
J. GONZALEZ, C. GRANADOS, H. LÓPEZ & I. TORRES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS
[1]. THAKOR, N. V.; TONG, S. (2004)
“Advances in quantitative
electroencephalogram analysis methods”,
Annu. Rev. Biomed. Eng., 6:453-495.
[2]. H. KANTZ AND T. SCHREIBER. (2005).
“Nonlinear Time Series Analysis”,
Cambridge: Cambridge.
[3]. BRISMAR T. (2007). “The human EEG -
Physiological and clinical studies”. Physiol
Behav, doi: 10.1016/j. physbeh.
2007.05.047.
[4]. O. A. ROSSO ET AL. (2001). “Wavelet
entropy: a new tool for analysis of short
duration brain electrical signals”. Journal of
Neuroscience Methods (105), pp 65-75.
[5]. JOSÉ L. GUTIERREZ, GUSTAVO F.
NEER Y LAURA R. DE VIÑAS. (2005).
“Diagnóstico de Epilepsia a Distancia: una
aplicación de la telemedicina”. Buenos
Aires: s.n.
21
[6]. A. DELORME, T. SEJNOWSKI AND S.
MAKEIG. (2007). “Enhanced detection of
artifacts in EEG data using higher-order
statistics and independent component
analysis”, Neuroimage 34, pp 1443-1449.
[7]. DANIEL ABÁSOLO BAZ ET AL. (2006).
“Análisis no lineal de la señal
electroencefalográfica (EEG) para la ayuda
en el diagnóstico de la enfermedad de
Alzheimer”, Madrid: s.n.
[8]. S. M. PINCUS AND A. L.
GOLDBERGER. (1994). “Physiological
time series analysis: what does regularity
quantify?”, Amer. J. Physiol., vol. 66, pp.
H1643–Hl656.
[9]. JOSHUA S. RICHMAN AND J.
RANDALL MOORMAN. (2000).
“Physiological time-series analysis using
approximate entropy and sample entropy,
Am J Physiol Heart Circ Physiol”,vol 278,
pp H2039–H2049.

matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2010, Vol. 8, No. 2
ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA
MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
1 Montaño Néstor, 2 Zurita Gaudencio
Resumen. La Estimación Robusta nace de la necesidad de estimadores que se comporten “bien” aún cuando existan variaciones en los
supuestos iniciales o cuando es posible que la muestra esté “contaminada” por valores aberrantes que producen influencias en los
resultados y por lo tanto conducen a estimaciones errónea; siendo este un campo en constante desarrollo se han propuesto diversos métodos
de Estimación. Este artículo presenta los resultados de un estudio tipo Monte Carlo realizado para comparar algunos Métodos de
Estimación Robusta para el Vector de Medias y Matriz de Varianzas y Covarianzas de un vector aleatorio de seis variables. El propósito es
evaluar el comportamiento de los estimadores bajo diversas condiciones como Contaminación total o Contaminación por Variable; además
se trata de establecer una “regla empírica” donde se utilice al tamaño de la Muestra, al Sesgo y la Curtosis Muestral como elementos de
decisión sobre el estimador a utilizar. Los estimadores M de Huber y Bicuadrático o Biponderado son los que mejor rendimiento presentan,
aunque cuando la curtosis es “alta” el Estimador MCD es el mejor.
Palabras claves: Estimación Multivariada, Robustez, Monte Carlo
Abstract. The Robust Estimation born from the need of estimators to behave "well" even when there are variations in the initial assumptions
or when it is possible that the model is "contaminated" by outliers that producing influences the results and thus lead to estimates wrong,
because of this is a field in constant development have been proposed various methods of estimation. This article presents the results of a
Monte Carlo study realized for to compare some Robust Estimation Methods for Vector averages and Matrix of Variance and Covariance of
a random vector of six variables. The purpose is to evaluate the behavior of the estimators under various conditions such as total
contamination or contamination for variable, also I seek to establish a “empirical rule" that it use the size of the Sample, the Sample Bias and
the Sample Kurtosis as elements of decision on the estimator one to using. The M estimator of Huber and Bisquared are those who present
better performance, though when the kurtosis is "high" the Estimator MCD is the best.
Key words: Multivariate Estimation, Robustness, Monte Carlo
RECIBIDO: Agosto, 2010
Aceptado: Septiembre, 2010
1. INTRODUCCIÓN
Para estimar parámetros poblacionales se utiliza
información obtenida a partir de los datos que
proporciona una Muestra; en la práctica se verifica
que un alto porcentaje de las mediciones que se
efectúan, por diferentes razones, contienen errores
de medición u observaciones atípicas llamadas
“valores aberrantes” o “extremos” pues se alejan
acentuadamente del comportamiento general de las
demás observaciones; bajo este escenario, ¿el
estimador seguirá siendo una “buena”
aproximación, o se verá afectado por este
particular?.
Esta situación origina la búsqueda de estimadores
robustos, es decir, estimadores “poco” sensibles a
errores de medición o a valores aberrantes.
________________________
1 Montaño Nestor, Ingeniero en Estadística e Informática,
Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL);
(e_mail: rmontano@espol.edu.ec).
2 Zurita Gaudencio, M.Sc., Profesor de la Escuela Superior
Politécnica del Litoral (ESPOL); Director del Centro de
Estudios e Investigaciones Estadísticas ICM – ESPOL.
(e_mail: gzurita@espol.edu.ec).
2. ESTIMACIÓN ROBUSTA
Para modelar la situación en que la mayoría de las
observaciones provienen de una distribución Fθ ,
pero una pequeña fracción ε de las observaciones
son valores atípicos generados por otra distribución
H, Tukey en [15] plantea la Familia de
Contaminación F ε definida por:
F ε = { ( 1 − ε) Fθ+ εH; θ∈Θ}
(2.1)
donde ε representa la proporción de
contaminación.
Se espera que los Estimadores Robustos cumplan
con dos requerimientos: Eficiencia y Estabilidad.
Se dice que un estimador es Eficiente si sus
estimaciones son “buenas” aunque no exista
contaminación, es decir que por ejemplo, el
Estimador Robusto debe ser comparable con el
Estimador de Máxima Verosimilitud (al que de aquí
en adelante llamado Estimador Clásico). Para el
caso multivariado este requerimiento implica lo
siguiente:
i) Sea ∑
( μ n , n ) los estimadores de localización y
dispersión para una muestra de tamaño n y sean

ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
∑
( μ ∞ , ∞ ) sus valores asintóticos. Si
∑
∑ ∑
i ( p ) N ∼ X μ , entonces ∞ = μ μ y ∞ = c
donde c es una constante; y,
ii) ∑
( μ n , n ) deben ser asintóticamente normales,
esto es,
n μ
n − μ ∞
L
⎯→N0, Vμ
( ) ( p )
∑ ( ∑
− )
L
⎯→N q
0,
( n ) ( V )
n vech ∞ ∑
p( p + 1)
= y ( )
donde q
vech ∑ es el vector que
2
contiene los q elementos de la triangular inferior de
∑ .
Un estimador se lo considera estable si su “buen”
comportamiento se preserva incluso ante la
presencia de contaminación, esto es cuando F varía
sobre F ε . Para evaluar la estabilidad se han
propuesto varias medidas, como Sesgo Asintótico
Máximo y la Varianza asintótica Máxima las cuales
miden el “peor” comportamiento del estimador para
todo ε < ε*
; también se tiene el Punto de Ruptura
Asintótico donde la idea es representar la mayor
fracción de contaminación que el estimador puede
tolerar.
Por otro lado, en varios de los métodos de análisis
multivariados se trabaja con transformaciones
lineales de las variables, entonces todos los
estimadores tratados cumplen la propiedad de
equivarianza, esto es:
Si y=Ax+b entonces
μ( y) = A
μ ( x) + b
∑
( ) ∑ T
y = A ( x)
A
Se han propuesto diversos Estimadores Robustos,
sin embargo para este estudio se ha escogido a
considerados “más populares”, a continuación
definirá a cada uno de ellos.
En lo siguiente, la distancia de Mahalanobis
representada por:
T
( x , μ, ∑) = ( x μ) ∑−1(
x μ )
di = di
i i − i −
2.1 ESTIMADOR M MULTIVARIADO
Maronna en [9] extiende los estimadores M
propuestos por Huber en [5] a espacios
p-dimensionales; así, define al estimador M como la
solución de
23
i ( − ) = 0
( x − μ) ( x
T
− μ
) =
( ) x μ
n
∑ ⎡⎣W1d ⎤⎦
i
i=
1
2 ( )
1
2
1
n
∑ ⎡W d ⎤
n i i
i=
⎣ i ⎦
donde W1 y W2 no son necesariamente iguales.
Nótese que el Estimador M se puede interpretar
como un Vector de Medias ponderado y una Matriz
de Covarianza ponderada, donde las ponderaciones
dependen de la Distancia de Mahalanobis.
Se utilizan funciones W1 y W2 de tipo Huber, esto
es:
⎧
⎪
⎪1
W1( di) = ⎨
⎪ k
⎪⎩ di di≤k di> k
y W
2
2(
d
i ) =
W1di β
∑
( ( ) ) 2
2.2 ESTIMADOR S BICUADRÁTICO
MULTIVARIADO
Se define al Estimador S Bicuadrático o
p
Biponderado multivariado como ˆ μ ∈ R y ˆ ∑∈ S
p
que minimiza ∑
ˆ σ ˆ
( di ( x, μ , ) ) con ∑ = 1,
donde ˆ σ
es un Estimador M univariado de Escala que
satisface
n
1 ⎛di⎞ ∑ ρ δ
n
⎜ =
ˆ
⎟
⎝σ⎠ i=
1
{ } 3
siendo () t min 1,1-( 1-t )
ρ = .
Se puede demostrar que, bajo ciertas condiciones,
los estimadores S son una particularización de los
Estimadores M cuya función de ponderación tiende
a cero para distancias “grandes”.
2.3 ESTIMADOR S T-BICUADRÁTICO
Mientras mayor sea el número de variables, los
estimadores S con función de ponderaciones
continua se aproximan al vector de medias muestral
y la matriz de varianzas y covarianzas muestral, esto
implica una pérdida de robustez; Rocke en [12]
considera este problema y propone un tipo de
estimador con función dependiente del número de
variables, en particular propuso una familia de
estimadores cuya función ρ cumple que
lim p→∞ ρ ( d) = I ( d>
1)
, donde I ( d> 1)
es la
función “indicador”. El estimador T-Bicuadrático es
un estimador que cumple las mismas condiciones
del Estimador Bicuadrático con

⎧ 0 para 0≤≤− t 1 γ
⎪
⎪
⎪⎛
2
() t t 1⎞ ⎡
⎛
3 t 1⎞ ⎤
ρ = ⎨⎜
− 1 para 1 γ t 1 γ
4γ ⎟⎢ − −
⎜ ⎥
γ ⎟ + − < < +
⎪⎝ ⎠⎢ ⎝ ⎠ ⎥ 2
⎣ ⎦
⎪
⎪
⎩ 1 para t≥+
1 γ
2.4 ESTIMADOR COVARIANZA DE MÍNIMO
DETERMINANTE MCD
Zuo en [18] indica que los estimadores MCD
propuestos por Rousseeuw escogen h observaciones
las cuales minimizan el determinante de la Matriz
de Covarianzas Clásica, así, el estimador MCD de
localización es el promedio de las h observaciones y
el estimador MCD de escala es un múltiplo escalar
de la Matriz de Covarianzas correspondiente a las h
observaciones.
Este estimador es probablemente el más popular
debido (en parte) al “rápido” cálculo de los
estimadores por parte de varios algoritmos
desarrollados.
2.5 ESTIMADOR STAHEL-DONOHO (DS)
Maronna en [8] indica que la idea del estimador
Stahel-Donoho, propuesto por Stahel (1981) y
Donoho (1982) es que un “valor aberrante”
multivariado debe serlo también en alguna
proyección univariada. Entonces el estimador DS,
es un vector de Media y Matriz de Covarianzas
ambos ponderados de tal manera que la ponderación
de xi es una función de la “lejanía” de xi, denotada
por t( x i ) .
Es decir, siendo W1 y W2 dos funciones de
ponderación, se define
μ =
∑
1
w
n
i= 1 i1
i=
1
n
∑ wi1xi ( )
∑ n
T
1
= ∑ w ( )
n i2xi−μxi− μ
∑ w i 1
i= 1 i2
=
wij = wj( t i ), j = 1,2
Con ( x )
3. DETALLES DE LA SIMULACIÓN
Las medidas planteadas para evaluar la Robustez
son definidas asintóticamente, quedando sin
explicar el comportamiento de dichos Estimadores
en muestras finitas, esto es lo que se explora en el
presente estudio utilizando Simulación Matemática.
N. MONTAÑO & G. ZURITA
24
3.1 DISEÑO DEL ESTUDIO
En este trabajo se generan muestras aleatorias a
partir de distribuciones a las que se les manipula
algunos parámetros con el objetivo de simular
varias condiciones y así estudiar el comportamiento
de los Estimadores Robustos bajo estas condiciones;
uno de los estudios seminales en cuanto a comparar
Estimadores Robustos fue el realizado por Andrews
et al.[1]; en dicho estudio se dio a lugar a la noción
de la tres "esquinas" para representar las posibles
situaciones que se pueden encontrar en la práctica;
se propuso probar los Estimadores Robustos bajo un
enfoque muy optimista (Generando una
Distribución Normal), muy pesimista (a través de
una Cauchy) y la última prueba consistía en 20
datos, 19 de los cuales eran generados a partir de
una Normal Estándar y el último generado a partir
de una N(0,100). Los dos primeros argumentos son
el punto de partida del presente estudio, es decir, se
consideraran muestras generadas a partir de la
Distribución Normal Multivariada N(0,Σ) y la
Distribución Cauchy CAU(0,Σ), considerando la
diferencia entre ambas en el “peso” de sus colas.
Las muestras generadas son contaminadas, para ello
se considera la Familia de Contaminación (2.1)
donde ε = 0; 0.05; 0.1 y 0.3 de tal manera que se
observa el comportamiento de los estimadores
analizados bajo condiciones de:
• No Contaminación, ε = 0 , caso que permitirá
compararlos con los Estimadores de Máxima
Verosimilitud,
• Contaminación Moderada, ε = 0.5 y ε = 0.1 , que
parece ser lo más cercano a la realidad, y
• Contaminación Extrema, ε = 0.3 , cuyos resultados
se pueden utilizar para verificar si el Punto de
Ruptura de los Estimadores es mayor a 0.3.
Además, para la Distribución H que genera la
contaminación en el modelo (2.1) se ha escogido
tres Distribuciones:
• Distribución Normal Multivariada N (0,9Σ), para
seguir con la idea propuesta por Tukey en [15] y
que además es la Distribución utilizada con más
frecuencia en este tipo de estudios.
• Distribución Normal Multivariada
N 0.537 α , 9 ∑ , es decir una Contaminación
( )
6
Asimétrica donde α6 representa el vector propio
correspondiente al menor valor propio asociado a la
Matriz de Varianzas y Covarianzas; este tipo de
contaminación es utilizada por Devlin en [2]; y
• Distribución Uniforme Esférica U esf(d), donde d
representa la distancia hacia el origen; esta
distribución se utiliza bajo el supuesto que una
observación errónea puede producirse en cualquier
punto con igual probabilidad.

ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
Por otro lado, como se menciona en la segunda
sección, el Entorno de Contaminación (2.1) indica
que una proporción de vectores no siguen la
distribución original, para el caso multivariado esto
implica que existen dos escenarios posibles: ó todas
las componentes de la observación están
contaminadas ó ninguna está contaminada; esto sin
embargo no es necesariamente lo que ocurre en la
realidad, pues se puede pensar que los errores se
dan en una o varias componentes de la observación,
difícilmente en todas; en base a esto se considera
otro tipo de contaminación, la misma que considera
cada variable independientemente, es decir,
mientras en el modelo (2.1) una observación tiene
probabilidad ε de estar contaminada, el segundo
modelo considerado indica que cada componente de
la observación tiene probabilidad ε de estar
contaminada. Las distribuciones utilizadas para
generar la contaminación por variable son:
Distribución Normal N ( 0, 9σ i ) y la Distribución
Uniforme U ( −5 ,5).
3.2 PARÁMETROS DE LA SIMULACIÓN
Además de lo explicado en la sección 3.1, para el
presente estudio se trabaja con p=6, donde p
representa el número de variables y el tamaño
muestral será n=kp donde k=5 ,10 y 20.
A continuación se presentan las dos Matrices de
Varianzas y Convarianzas utilizadas para generar
las muestras aleatorias,
⎛ ⎞
1
⎜.950 1
⎟
.300 .100 1
∑
1
= ⎜ ⎟
0 0 0 1
⎜ ⎟
0 0 0 −.499
1
⎜ ⎟
⎝ 0 0 0 −.499 −.499
1 ⎠
a la misma que le corresponde los valores propios
λ1=2.029, λ2= λ3=1.499, λ4=0.943, λ5=0.028 y
λ6=0.002.
La segunda matriz considerada es
∑
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
.08
.10
.12
1
.12
−.10 1
−.081
−.10 −.08
.08 .10 1
−.08 .10 −.01
.08 .12 1
cuyos valores propios son λ1=1.282, λ2=1.253,
λ3=1.120, λ4=1.056, λ5=0.719 y λ6=0.697.
La matriz Σ1 fue utilizada por Devlin en [2], la
misma tiene correlaciones que varían, es términos
absolutos, entre 0 y 0.95, de tal manera que se
25
prueba la habilidad del estimador para detectar esta
variedad de correlaciones, además, λ6 es muy
cercano a cero lo que indica que la matriz es “casi”
singular, esto permite medir el comportamiento de
los estimadores en condiciones de “casi”
singularidad, finalmente, al igual que las
correlaciones, los valores propios asociados a Σ1
también varían ampliamente.
La matriz Σ2 en cambio, presenta correlaciones y
valores propios con poca diferencia, así se mide la
capacidad del estimador ante matrices con poca
variabilidad en sus elementos y los valores propios
asociados a la misma.
Por otro lado, para la simulación de Monte Carlo
cada escenario se repite N=500 veces y el software
utilizado para el efecto es R versión 2.8.0 [11].
3.3 CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Con el propósito de evaluar la Eficiencia y
Estabilidad de los Estimadores estudiados; se define
( ) 1 ( )
1
N
e e
x = ∑ x
N i=
que es el Promedio de las estimaciones
correspondientes a “e” para el Vector de Medias,
donde e ={Clásico, M Huber, T-Bicuadrático,
Bicuadrático, MCD, DS};
( e) { ( e)
max =
}
max
x x
que representa a la estimación “más alejada” del
verdadero valor del parámetro, en términos de la
distancia Euclidiana, de entre los Vectores de
Medias correspondientes al estimador e en las N
repeticiones.
Con estos dos vectores se obtiene el Sesgo
Promedio Total y Sesgo Máximo Total, haciendo
T
( e)
( )
Sesgo Promedio Total = Prom ( x ) = x x
T
( e) ( e) ( e)
Sesgo Máximo T = Max ( x ) = ( x max ) x max
es decir, calculando Distancia Euclidiana entre el
verdadero valor del Vector de Medias “0” con
( e)
y con x respectivamente.
Se define también
6
( e) ( e)
sdtotal ( x ) sd ( x )
= ∑
i=
1
i
e ( e)
( ) ( )
( )
( e)
x
que es la suma de las Desviaciones Estándar de cada
componente del Vector de Medias correspondiente
( e)
al estimador e, de tal manera que sdtotal ( x )
representa la Desviación Total del estimador e.

Por último, bajo el supuesto que el mejor estimador
es el que presente un mejor balance entre: su
comportamiento promedio, su “peor”
comportamiento y la dispersión de sus estimaciones,
se ha elaborado un índice que es:
( e) ( e) ( e)
( Prom ( x ) + Max ( x ) + sdtotal
( x ) )
Indice =
3
(3.1)
la media aritmética entre el Sesgo Promedio Total,
Sesgo Máximo Total y la Desviación Total; de tal
manera que el estimador que presente menor índice
será el más Eficiente y Estable en cada escenario
estudiado, nótese que se da la misma importancia a
las tres medidas.
Por otro lado, en la práctica no se conoce cuan
contaminada está la muestra, ni que Distribución
genera la contaminación, etc. solo se tiene la matriz
de observaciones y el tamaño muestral, por lo que
en el presente estudio también se explora el
comportamiento de los estimadores en función del
Sesgo y Curtosis Muestral, con el propósito de que
dichas medidas junto con el tamaño de la muestra
sirvan como criterios para decidir que estimador
utilizar.
4. RESUMEN DE RESULTADOS
Se simula en total 184 escenarios, el análisis
detallado de los mismos es presentado en [10], en
esta sección se presenta algunos de los resultados
obtenidos dando un breve resumen de los más
relevantes.
4.1 ANÁLISIS POR ESCENARIO SIMULADO
Las tablas de resultado se encuentran divididas en
tres secciones verticales, presentando los resultados
para la estimación del vector de medias, los valores
propios y la matriz de varianzas y covarianzas, y en
tres secciones horizontales, correspondientes a cada
tamaño muestral k=5 ,10 y 20 . En cada sección se
muestra en la columna denominada “Prom” el
Sesgo Promedio Total, el Sesgo Máximo Total es
presentado en la columna “Max”, mientras que la
Desviación Total se presenta en la columna “Desv”
y en la última columna se muestra el Índice (3.1).
La Tabla I presenta los resultados obtenidos para
el escenario de muestras generadas a partir de una
Distribución Normal N(0,Σ), Σ=Σ1 sin contaminar;
N. MONTAÑO & G. ZURITA
26
se puede ver que los Estimadores Robustos son
comparables al Estimadores de Máxima
Verosimilitud, pues en todos los casos sus
resultados no difieren considerablemente de los
resultados del estimador de máxima verosimilitud.
En la simulación realizada en [10], para muestras
generadas a partir de una Distribución Normal
N(0,Σ), Σ=Σ2 se notó un comportamiento parecido,
es decir, se verifica que los estimadores Robustos
Estudiados son Eficientes. Considerando el Sesgo
Promedio Total como medida de la “bondad” del
Estimador, en los escenarios simulados, el
Estimador Clásico presenta su “peor” rendimiento
al tratar de estimar la Matriz de Covarianzas y los
Valores Propios asociados a la misma.
La Tabla II presenta los resultados obtenidos para
muestras generadas a partir de una Distribución
Normal N(0,Σ), Σ=Σ1 contaminada con ε =0.10 y
H=N(0,9Σ1), se puede ver como el Estimador
Clásico estima incorrectamente a los Valores
Propios y Matriz de Covarianzas, teniendo un índice
más de dos veces mayor al índice alcanzado por el
“peor” estimador robusto cuando k =10 y 20. En
general, cuando la muestra es generada a partir de
una Población Normal N(0,Σ), Σ=Σ1 contaminada
con H=N(0,9Σ1), o H = U esf (d=5) los estimadores
sobreestiman el primer y segundo valor propio para
luego estimar con error “pequeño” los valores
propios restantes; en este caso, los Estimadores
Clásico y MCD son los que sobreestiman con
mayor error el primer valor propio, sin embrago, el
Estimador MCD reduce considerablemente su error
mientras aumenta el tamaño muestral. Mientras que,
cuando Σ=Σ2 los Estimadores sobreestiman el
primer y segundo valor propio, sin embargo, al final
generalmente subestiman el menor valor propio. De
acuerdo a los resultados obtenidos, el tamaño
muestral influye en la estimación, pues en todos los
estimadores se cumple que al aumentar el mismo, se
disminuye el Sesgo Promedio Total y la Desviación
Total. El estimador T-Bicuadrático es casi siempre
superado por los demás Estimadores Robustos,
situación que era previsible pues este estimador fue
construido para mejorar el comportamiento de los
estimadores S para p “grande” y en el presente
estudio se considera p =6. La Tabla III muestra que
a pesar de que la mayoría de los Estimadores
Robustos considerados han sido construidos bajo el
supuesto de contaminación simétrica, al ser
sometidos a contaminación asimétrica se comportan
de manera similar a cuando la misma es simétrica.

ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
TABLA I
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados para Población Normal N (0,Σ), Σ=Σ1 sin Contaminar
TABLA II
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados para Población Normal N(0,Σ1) Contaminada con ε =0.10 y H=N (0,9 Σ1)
27

N. MONTAÑO & G. ZURITA
TABLA III
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados para Población Normal N(0,Σ1) Contaminada con ε =0.10 y H=N (0.537α6,9 Σ1)
TABLA IV
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados para Población Normal N(0,Σ1) Contaminada por variable con ε =0.10 y H=U (-5,5)
28

ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
TABLA V
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados para Población Cauchi CAU(0,Σ), Σ=Σ1 sin Contaminar
Así también, los estimadores han sido construidos
siguiendo el entorno de contaminación (2.1), sin
embargo, al contaminar por variable, según lo
explicado en la sección 3.1, los Estimadores brindan
“buenas” estimaciones, véase la Tabla IV; no
obstante, en el presente estudio no se analiza las
consecuencias que puede tener la contaminación por
variable en las Técnicas de Análisis Multivariado.
Cuando las Muestras son generadas a partir de la
Distribución Cauchy, el Estimador Clásico en todos
los casos brinda las estimaciones más distantes de
cada parámetro poblacional, la Tabla V presenta el
caso cuando se generan muestras a partir de una
Cauchy sin contaminar. Además, en estos casos, el
algoritmo utilizado para el Estimador M de Huber
no siempre converge a una solución. Los valores
propios son siempre sobreestimados; en la parte
derecha de la Tabla V se muestra los errores
absolutos y relativos de la estimación de los valores
propios para k=20.
A las estimaciones brindadas por el estimador DS
en varias ocasiones les corresponde un Sesgo
Promedio Total menor al Sesgo presentado por los
demás estimadores, sin embargo su “peor”
estimación puede incluso encontrarse más alejada
que la “peor” estimación utilizando el método
Clásico; esto implica que no presente un Balance
adecuado y no sea considerado el mejor estimador
(de acuerdo al índice planteado) en los escenarios
simulados.
29
4.2 ANÁLISIS POR TAMAÑO MUESTRAL,
SESGO Y CURTOSIS
En esta parte del estudio se trata de establecer una
“regla empírica” en la cual se utilice el tamaño de la
Muestra, el Sesgo y la Curtosis Muestral como
elementos de decisión sobre que estimador utilizar
en ese caso.
A cada muestra generada se le ha calculado Sesgo
y Curtosis, además se determinan la distancia
Euclidiana entre el verdadero valor del Vector de
Medias, la Matriz de Covarianzas y los Valores
Propios asociados a la misma con la estimación
obtenida por cada Método; a partir de esto se
establece el estimador “más cercano” en cada
muestra.
En las Tablas VI y VII se presenta un resumen de
los resultados obtenidos para muestra tamaño 30 y
60 respectivamente; en las mencionadas tablas se
puede observar los tres estimadores que con mayor
frecuencia presentan la menor distancia entre el
valor del parámetro y la estimación; para cada
estimador se presenta la distancia Promedio y su
Desviación Estándar, además de la Frecuencia
Relativa de ser el estimador “más cercano” al valor
real.
Así, por ejemplo, con tamaño de muestra igual a
30, cuando el Sesgo es menor a 45 y la Curtosis se
encuentra en el intervalo [20, 65) el 25,3% de las

ocasiones el estimador Clásico es el que presenta la
menor distancia para la estimación del Vector de
Medias, siendo su distancia Promedio igual a
0.503±0.174. Mientras que para los Valores Propios
y la Matriz de Varianzas y Covarianzas el
Estimador M de Huber en más del 50% de los casos
brinda la estimación “más cercana”.
Además, para valores de Sesgo Muestral superiores
a 45 pero inferiores a 90, el Estimador DS es con
mayor frecuencia el “mejor” estimador, sin embrago
su Promedio y Desviación Estándar de la distancia
para el caso de los Valores Propios y Matriz de
Covarianzas es mayor a la presentada por los otros
dos estimadores, por ejemplo, cuando la Curtosis se
encuentra en el intervalo [110, 155) la distancia
promedio correspondiente al Estimador DS al
estimar la Matriz de Varianzas y Covarianzas es
11.075 mientras que para el Estimador Bicuadrático
es 8.397, situación que puede ser causada por la alta
dispersión observada en el Estimador DS.
N. MONTAÑO & G. ZURITA
30
De acuerdo a la Tabla VII, cuando el Sesgo
Muestral es mayor a 90 y menor a 180 y la Curtosis
Muestral se encuentra en el intervalo [130, 220) el
estimador MCD alcanza la proporción 0.688 de ser
el estimador “más cercano” a los Valores Propios;
es seguido por el estimador DS y Bicuadrático.
Nótese que el estimador que con mayor frecuencia
es el mejor estimador de la Matriz de Covarianzas y
los Valores Propios asociados a la misma es, para
sesgos mayores a 90, el Estimador MCD.
De acuerdo a los resultados obtenidos, para n =120,
cuando la Curtosis es menor a 230 el Estimador M
de Huber o el Estimador Bicuadrático son los que
con mayor frecuencia se constituyen en los
“mejores” estimadores, mientras que para Curtosis
mayor a 230 el mejor estimador es con mayor
frecuencia el MCD.
TABLA VI
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados en función del Sesgo y la Curtosis para tamaño muestral 30

ESTIMADORES ROBUSTOS PARA EL VECTOR DE MEDIAS Y LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE VECTORES
ALEATORIOS MULTIVARIADOS
TABLA VII
Estimadores robustos para el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas de vectores aleatorios multivariados
Resultados en función del Sesgo y la Curtosis para tamaño muestral 60
5. CONCLUSIONES
Se confirma la sensibilidad de los Estimadores de
Máxima Verosimilitud para el Vector de Medias y
Matriz de Varianzas y Covarianzas ante
desviaciones de la Distribución Normal
Multivariada. Cuando la muestra es generada a
partir de la Distribución Normal Multivariada, para
cualquier tamaño muestral los Estimadores M de
Huber y Bicuadrático son generalmente los que
alcanzan el menor índice al estimar el Vector de
Medias, Matriz de Covarianzas y Valores Propios.
Cuando se considera muestras generadas a partir de
una Distribución Cauchy, el Estimador Bicuadrático
31
presenta el mejor comportamiento para k =5,
mientras que para k =10 y k =20 el Estimador MCD
es el que “mejor” estima la Matriz de Covarianzas y
los Valores propios, todo ello en base al índice
planteado en 3.2.
Para ε =0.30 los estimadores Robustos estudiados,
se comportan de forma parecida a cuando ε =0.05 y
ε =0.10, se concluye entonces que el Punto de
Ruptura, para p =6 variables, es mayor a 0.3
Finalmente, se recomienda la realización de
próximos estudios que complementen el presente
trabajo.

N. MONTAÑO & G. ZURITA
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Contributions to Probability and Statistics:
Essays in Honor of Harold Hotelling”, Olkin
Ediciones Stanford University Press,
Stanford. CA.
[16]. YOHAI, V. (2004). “Notas de
probabilidad y estadística”, [en línea]
Universidad de Buenos Aires, Buenos Aires
– Argentina.
[17]. ZAMAR, R. (1994) “Estimación
Robusta” , Estadística Española; 36, 327–
387.
[18]. ZUO, Y. (2006). “Robust location and
scatter estimators in multivariate análisis”
(invited book chapter to honor Peter Bickel
on his 65th Birthday), The Frontiers in
Statistics, Imperial College Press.

matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2010, Vol. 8, No. 2
DYNAMICAL SYSTEMS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
Páez Chávez Joseph 1
Abstract. In this manuscript we introduce some important concepts concerning dynamical systems theory. We devote special attention to
studying differential equations from a dynamical systems viewpoint. The introduced concepts are illustrated by examples.
Keywords: Dynamical Systems, discrete-time systems, continuous-time systems, differential equations, vector fields.
Resumen. En este manuscrito presentamos algunos conceptos importantes concernientes a la teoría de los sistemas dinámicos. Se presta
especial atención al estudio de ecuaciones diferenciales desde el punto de vista de sistemas dinámicos. Los conceptos presentados son
ilustrados mediante ejemplos.
Keywords: Sistemas dinámicos, sistemas de tiempo discreto, sistema de tiempo contínuo, modelaje matemático.
RECIBIDO: Agosto, 2010
ACEPTADO: Septiembre, 2010
1. INTRODUCTION
Nowadays dynamical systems phenomena appear
in almost every area of science, from the oscillating
Belousov-Zhabotinsky reaction in chemistry to the
chaotic Lorenz system in meteorology, from
complicated behavior in celestial mechanics to the
bifurcations arising in ecological models. It turns
out that many of the phenomena mentioned above
can be described by means of differential equations.
For this reason, it is an important task to understand
the connections between differential equations and
dynamical systems. By doing this, we obtain a
powerful tool which allows us to study the
qualitative behavior of differential equations
without having to solve them analytically. This is
specially useful when a general solution is not
available or the numerical simulations are too
expensive.
In this article, we continue the study started in [7].
We recall some basic Concepts introduced in that
manuscript and bring some new ones. We also
present a theorem concerning existence and
uniqueness of the solution of initial value problems
and show the connection between these problems
and dynamical systems. Most of the material
presented in this manuscript can be found in the
lectures notes of Prof. Beyn, [4, 5]. There is
nevertheless plenty of literature on this subject, e.g.,
see [1, 2, 3, 6, 8].
______________________________
1 Joseph Páez Chávez, Ph.D, Profesor del Instituto de Ciencias
Matemáticas, ESPOL. (e_mail: jpaez@espol.edu.ec)
2. BASIC CONCEPTS AND THEOREMS
To begin with, we recall the definition of
dynamical system (cf. [7]):
Definition 2.1. A dynamical system is a triple
{ T , X , { ϕ
t}
} , where T is a time set, X is a state
t∈T
space and t
ϕ : X → X is a family of operators
parametrized by t ∈ T , such that:
0 0
DS1 ∀u∈ X : ϕ ( u) = u, ie . ., ϕ = Idx,
DS2 ∀u ∈ X, ∀s, t ∈T :
( u) ( ( u) ) ,.., ie o
t+ s t s t s t+ s
ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ
Here, the set X stands for a metric space. The
t
function ϕ is known as evolution operator. This
operator can be thought of as a “law” that governs
the behavior of the system. Furthermore, the time
set T has the following properties:
• ∃0 ∈ T, ∀t ∈ T : t + 0 = t ,
• ∀ts , ∈ T: s+ t∈T,
• ∀ts , ∈ T : s+ t= t+ s.
This means that T equipped with the operation + is
a commutative semigroup. In [7, Example 2.1], the
author explains the fact that a discrete-time system
is completely defined by knowing the function
1
g:= ϕ . Hence the evolution operator can be
constructed as follows
0
k
ϕ = Idx
, andϕ = g o g o ... o g , (2.1)
k times
k ∈ . Further, if g is invertible, the system admits
negative values of k. For this reason, the function g
is said to be the generator of the dynamical system.
Now the natural question that arises from this fact is

whether continuous-time systems also have, in some
sense, generators. Note that in this case we deal
with values of time on the real line, so the function
1
ϕ does not allow us to construct the evolution
operator, at least not on the whole real line. These
considerations lead us to the following definition:
Definition 2.2. Let { T , X ,
t { ϕ } } , where
∈T
+
T = or ∪ {} 0 , be a dynamical system such
that ϕ ( x)
•
is differentiable for all x ∈ X . Then
the function f: X → X given by
h 0
d
ϕ ( x) − ϕ ( x
t
)
f ( x) : = ( ϕ ( x)
) = lim
dt t=
0 h→0
h
h∈T
is referred to as infinitesimal generator of the
dynamical system 2 .1Of course, the spirit of a
generator is that we can in some way construct the
evolution operator from the generator. In (2.1) we
explained how the evolution operator of a discretetime
system can be obtained from its generator.
Now we will show that this is possible for
continuous-time systems, too:
N N
Theorem 2.3. Let f : → be the
infinitesimal generator of a dynamical system
N
T ,
t
, . Then the function
{ { ϕ } } t∈T
1 ( , ) N
u∈C
T
t
defined as u() t = ϕ ( u0)
is a
solution of the initial value problem
y t = f y t , y(0) = u .
() ( () ) 0
Proof. By DS1 we have that ( 0)
0
ϕ ( )
u = u0 = u0,
so the initial condition is satisfied. According to the
definition of infinitesimal generator we have that
ϕ
∀t ∈ T:
f ( u() t ) = lim
h→0
h∈T
= lim
h→∈
0
h T
h
( u() t ) − u( t)
t
( ( u0) ) − u() t
h t
ϕ ϕ
( ) − ( )
DS2 h t
ϕ u0u t
lim
h 0 h
h
+
=
→
∈T
______________________________
2 Also called vector field of the dynamical system.
h
h
J. PÁEZ
34
()
( + ) − ( )
u t h u t
= lim
h→0
h
h∈T
= u t
This theorem asserts that every dynamical system
(of the type introduced in Definition 2.2) is
completely defined by its infinitesimal generator,
or, more precisely, by the initial value problem
presented above. Now the natural question is
whether every inicial value problem represents a
dynamical system. For this issue to be dealt with,
we first present a standard result about the existence
and uniqueness of the solution of inicial value
problems:
N
Theorem 2.4. Let Ω⊂ be open and
1
( ,
N )
y ( t) = f ( y( t) ) , y(0) = u0
f ∈C Ω . Then the initial value problem
(2.2)
has for each u0 ∈ Ω exactly one nonextendible
solution ( , 0 )
t T( u ) t ( u ) t ( u )
u t u ∈Ω, where
( )
∈ 0 =
−
the function u
0 ,
+ 0 ∋ 0.
The domain of
D = t, u ∈ ×Ω: t ∈ J u
{ ( 0) ( 0)
}
is open and u
1
C ( D,
N )
k N
f ∈C ( Ω, ) , then u
k
C ( D
N)
k
∈ . Furthermore, if
∈ , , ≥1.
FIGURE 1
Dynamical systems and differential equations
Domain of definition of the solution of (2.2)
Proof. This is a classical result and its proof can be
found in any book on Differential Equations, e.g.,
see [1, Chapter II].
Besides guaranteeing existence and uniqueness, this
theorem also gives valuable information about the
domain D of definition of the solution. This domain
turns out to be open and furthermore the solution of

the initial value problem (2.2) does not exist outside
D. For this reason, the interval J(u0) is referred to as
the maximal interval of existence. Here, it is
important to point out that this interval varies with
the initial value u0, see Figure 1. With this few
remarks we can turn back to the question we
outlined before, that is, whether an initial value
problem defines a dynamical system. We will see
that this is true, but in a local sense:
Theorem 2.5. Let the assumptions of Theorem 2.4
N
hold. Then the operador ϕ
i (): i D → , given
t
by ϕ ( u0) = u( t, u0)
, defines a local dynamical
system.
Proof. Let us first show DS1. By the initial value
condition in (2.2), we have that
0
∀u0 ∈Ω : ϕ ( u0) = u( 0, u0) = u0
Now let us work with DS2. Let u0 ∈ Ω and
s ∈ J u be arbitrary, but fixed. Then the
( )
0
t s s
function v() t : ϕ ( ϕ ( u ) ) , t J( ϕ ( u0)
)
=
0
∈ , is
a solution of
y t = f y t ,
s
y(0) = ϕ u (2.3)
() ( () ) ( 0 )
Now consider the function w() t :
t s
ϕ ( u)
+
If follows that
(2.2)
DYNAMICAL SYSTEMS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
= .
d () = ( ( + , 0) ) = ( ( + , 0)
) = ( () )
wt
dt
ut su f ut su f wt
0+
s s
and w( 0)
= ϕ ( u0) = ϕ ( u0)
.
Therefore, w is another solution of (2.3) and by
uniqueness (cf. Theorem 2.4), v = w,i.e.
( ( u0) ) ( u0)
t s t s
ϕ ϕ ϕ +
= .
FIGURE 2
Dynamical systems and differential equations
Forced pendulum
0
35
According to this theorem, the initial value
problem (2.2) always represents an autonomous
dynamical system. Thus, by combining this result
with Theorem 2.3, we can realize that the concept of
dynamical system is closely related to initial value
problems, and, more generally, to differential
equations (see [7, Example 3.2]). In many cases,
physical phenomena includes the action of an
external time-dependent “force”, which leads us to
modeling the underlying phenomena by means of
non-autonomous differential equations of the form
y ( t) = f ( t, y( t) ) , y( t0) = u0, t ∈[
t0, tE]
(2.4)
1
N
Where f ∈ C ( ×Ω, ) . Studying in detail
non-autonomous dynamical systems is beyond the
scope of this article, however, we do want to point
out that such systems can be written in an
autonomous way as the following example shows.
Example 2.6. Consider a pendulum of mass m
attached to a string of length L, which is displaced
by an angle from the vertical rest position, see
Figure 2. Suppose that there exists an external
sinusoidal force F(t) acting on the system. The
dynamics of the pendulum can then be described by
the ODE
g
θ() t + sin ( θ() t ) = Asin ( βt) + Bcos ( βt)
, t ∈
L
(2.5)
where ABβ , , ∈ , β > 0 are fixed and g stands for
the gravity constant. The case where there is no
external force (i.e. A = B = 0) was studied in [7,
Example 2.3]. There, it is proved that the pendulum
can be seen as an autonomous dynamical system.
Now we will show how to deal with the external
force in order to preserve the autonomous carácter
of the system. One way to achieve this is adding a
nonlinear oscillator to the system. An example of
such an oscillator is given by
2 2
⎧x()
t = x() t + β y() t − x() t( x() t + y() t ) ,
⎪
⎨
2 2
⎪y()
t = y() t − β x() t − y() t ( x() t + y() t ) ,
⎩
which has the solution
x( t) = sin ( βt) , y( t) = cos(
βt)
. Now consider
the functions u( t) = θ( t) , v( t) = θ(
t) , t ∈
, and
define

⎛ ⎞
v
⎜ g
⎟
− sin + +
G( u, v, x, y)
: = ⎜ L
⎟,
⎜x + β y − x x + y ⎟
⎜
⎟
y − β x − y x + y ⎟
Where ( ) 4
( u) Ax By
2 (
2 (
2)
2)
⎝ ⎠
z : = u, v, x, y ∈ . Thus, it is easy to see
that the non-autonomous system (2.5) can be
written as
z () t = G( z() t ) ,
which is an autonomous differential equation of the
type of (2.2). This discussion provides us with a
way of applying the theory developed for
autonomous dynamical systems to the present nonautonomous
case. In many cases it may happen that
the external force is not periodic, or difficult to
model by an autonomous oscillator. If this is so, we
can resort to writing system (2.4) in autonomous
form as follows:
⎧y()
t = f ( h() t , y() t ) , t ∈[
t0, tE]
,
⎪
⎪h()
t = 1,
⎪
⎨
⎪y(
t0) = u0,
⎪
⎪h(
t0) = t0.
⎩
This is an autonomous system of N + 1 ODEs with
N + 1 initial conditions.
3. EQUILIBRIA, ORBITS, AND PHASE
DIAGRAMS
A common approach for starting the study of
dynamical systems consists in introducing
geometrical objects that allow us to visualize
dynamical properties, thereby making their analysis
easier. To achieve this, we will begin with the
concept of orbit. Then we will realize that a
dynamical system can be qualitatively described by
drawing some “typical” orbits. This process leads us
to the so-called phase diagram. To begin with, let us
first introduce the notion of equilibrium, which is
the simplest object of study in dynamical systems.
To this end, we consider the Example 2.6 without
forcing, see Figure 2. In [7, Example 3.1], the
(approximate) evolution operator
( ) 2 2
ϕ () :
⋅
i × → is found to be
J. PÁEZ
36
t θ
θ ′
⎛ ⎞ ⎛θ⎞ ω θ ω g
ϕ ⎜ = = , ω =
θ ⎟
⎝ ⎠ t L
where
⎛ 0
⎞
0 () t ⎜ sin( t) + 0 cos( t)
⎟
ω
′ ⎜
0 θ ′ () ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜θ0cos( ωt) θ0ωsin( ωt)
⎟
⎝ ′ − ⎠
θ and
0
(3.1)
θ ′ represent the angle and angular
0
velocity of the pendulum, respectively, at t = 0.
Now suppose that we let the pendulum run with the
initial conditions θ = θ′
= 0 . How does the
0 0
system evolve in time? From the formula for the
evolution operador presented above, it is easy to see
t
that ϕ ( θ , θ′
0 0)
= 0,
for all t. We can also arrive at
this conclusion from a physical point of view.
Initializing the system with θ = θ′
= 0 amounts
0 0
to placing the pendulum at the vertical position with
initial angular velocity equal to zero. It is then clear
that the pendulum will remain at the vertical
position θ = 0 forever. This illustrates the simplest
behavior that a dynamical system may present.
However, this simple behavior can be seen in more
complicated/abstract systems, too. Consider for
example the PDE
⎧∂u
∂u
( xt , ) + x ( xt , ) = 0
⎪ ∂t ∂x
⎨
,
⎪
u( x,0) = f ( x)
⎪⎩
( , ) , ( )
1 2 1
u ∈C f ∈C
with evolution operator
() 1 1
ϕ (): C ( ) C ( )
⋅
⋅ × → given by
t −t
( ϕ ( f ) )( x) = f ( xe ) (cf. [7, Example 3.2]).
Choose the initial condition f ( x) = K for all
x ∈ being a real constant. Then it follows that
t −t
t
( ϕ ( ) )( ) ( ) ( ) ϕ ( )
∀t∈ :
f x = f xe = K= f x ⇒ f = f
This means that if we initialize the system at a
constant function, the system will remain at that
function forever. These two examples illustrate the
concept of equilibrium of a dynamical system,
which is formally defined as follows:
Definition 3.1. Let { T, X , { ϕ
t}
} be a dynamical
t∈T
system. A point x0 ∈ X is referred to as
equilibrium point if
t ∀t∈ T : ϕ ( x0) = x0
In other words, we can say that if a dynamical
system is placed at an equilibrium point, it will

emain there forever. This fact was already seen in
the examples above. In the literature, equilibrium
points are also called “steady states”, “equilibrium
solutions”, “stationary points”, “rest points”, and
“fixed points”, among others. Some authors reserve
the name “equilibrium” for continuous-time
systems, while the term “fixed point” is used when
dealing with discrete-time systems. However, the
reader should have in mind that both terms stand for
the same dynamical object. Now that we have
introduced our first (and the simplest) dynamical
object of study, our next task will be to investigate
how to detect such objects, provided the
(infinitesimal) generator of the system is known.
This task is accomplished in the following:
1 N N
Theorem 3.2. Let f, g C ( , )
the Systems
() ( () ) , ( 0)
DYNAMICAL SYSTEMS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
∈ . Consider
x t = f x t x = ξ , (3.2)
( )
x = g x , x = ξ , n∈
(3.3)
n n−1
0
N
Then z0 ∈ is an equilibrium (resp. fixed point)
f z 0 = 0
(resp. g(z0) = z0).
Proof. Let us first work with system (3.2). Assume
that z0 is an equilibrium of (3.2). This means that
t ϕ ( z0) = z0
for all t. Thus, according to
Definition 2.2, we have that
d t
d
f ( z0) = ( ϕ ( z ) ) = ( z0)
= 0
dt 0
t= 0 dt t=
0
f z = 0 . Define the constant
of (3.2) (resp. (3.3)), if and only if ( )
Now suppose that ( )
0
function () 0 , xt = z t∈
. It is then easy to check
that x is a solution of (3.2), and by uniqueness (cf.
t
Theorem 2.4), we can conclude that ( )
ϕ z = z
0 0
for all t ∈ . Hence z 0 is an equilibrium of (3.2).
Now let us turn to the discrete-time case. Assume z0
n
to be a fixed point of (3.3), i.e., ϕ ( z0) = z0
for all
n ∈ ∪ { 0}
. By (2.1), it is readily seen that
( 0) 1
ϕ ( 0) 0
( ) = , and that
n ( )
g z = z = z . Now suppose that
g z z
0 0
ϕ z = z for some fixed
0 0
n ∈ holds. It follows by induction that
DS 2
n+ 1 n 1
n
z = z0 = z0 = z0
( 0 ) ( ( ) ) ( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
= z
0
37
n
Hence ϕ ( z ) = z for all { 0}
0 0
n ∈ ∪ , i.e., z0 is
a fixed point of (3.3).
The principal significance of the theorem is that it
provides us with a way of finding and
characterizing equilibrium points of dynamical
systems. In other words, if we are interested in
equilibrium points (resp. fixed points) of system
(2.2) (resp. (3.3)), we should look for the solutions
of the equation f ( x ) = 0 (resp. g ( x) = x.
Now
that we have understood the meaning of equilibrium
point, we can proceed with the concept of a
somewhat more elaborated dynamical object, the
so-called orbit.
{ }
Definition 3.3. Let , ,
t { }
T X ϕ
t∈T
be a
dynamical system and x0 ∈ X . The set
r
t
( 0) = { ∈ : = ϕ ( 0)
, ∈T }
O x x X x x t
is referred to as orbit of x0.
Before showing some examples, it is worth
presenting a few remarks:
• ∀x0 ∈ X : Or( x0) ⊂ X ,
• If x 0 is an equilibrium point, then
( ) { }
Orx0 = x0
, i.e., an equilibrium point is
•
the simplest orbit,
in continuous-time dynamical systems, the
orbits are curves parametrized by the time t,
• in discrete-time dynamical systems, the orbits
are sequences in X, i.e., OΓ( x0) ∈ X
T for all
x0 ∈ X .
Let us illustrate the concept of orbit by some
examples.
FIGURE 3
Dynamical systems and differential equations
Orbit of the pendulum system

Example 3.4. Consider again the pendulum system
of Example 2.6, without external forcing. The
evolution operator can be written as (cf. (3.1))
⎛ R
0 ⎛ ⎞⎞
t ⎛R0⎞ sin ⎜ωt φ ⎟
ϕ = ⎜ +
ω ⎝ 0 ⎠⎟
⎜φ⎟ , where
⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟
R COS ⎜ωt+ φ ⎟ ⎟
⎝ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎠
R = θ ′
2
+
2
ωθ0
θω and sin ( φ ) =
( ) ( )
0 0 0
∞
⎜ ⎟
⎝ ⎠n=
0
R0
Here, we must choose small (why?). Thus, an
ω
orbit of the pendulum system is described by the
parametric curve
⎧⎛ R ⎞ ⎫
⎪ 0 ⎛ ⎞
sin ⎜ωt+ φ ⎟ ⎪
Or( θ , θ′ 0 ) = 0 : t
0 ⎨
⎜
ω ⎝ ⎠⎟
∈
⎬.
⎛ ⎞
⎪
⎜ R COS ⎜ωt+ φ ⎟ ⎟
⎩⎝ ⎪
0 ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎭
A typical example of an orbit of this system is
depicted in Figure 3. Note that, in this case, the
orbits are always closed curves, which reveals the
periodic nature of the system (in the absence of
friction!). In the figure, the arrow stands for the
direction of the evolution as the time increases.
How does the orbit Or ( 0,0)
look like?
Example 3.5. Let g : → be defined by
2
g ( x) = x . Consider the system
( 1 ) ,
xn = g xn−n∈ .
Choose x 0 = 2 as initial point. Then we have that
( ) n
Or2 = { x∈ : x= ϕ ( 2 ) , n=
0,1,... } = { 2,4,16,... }
⎛ n
2 ⎞ {} 0
= 2 ∈ ∪
.
Clearly, x = 1 and x = 0 are fixed points of the
system, and so it follows that O r ( 1) = { 1}
and
O r ( 0) = { 0}
. In the examples above we have
illustrated the concept of orbit for both continuous
and discrete-time dynamical systems. As we pointed
out before, an orbit is a subset of the state space,
and so we can ask ourselves whether the state space
could be, in some sense, decomposed into a
collection of orbits of a dynamical system. To this
end, the following theorem gives us important
information:
t
Theorem 3.6. Let { T , X , { ϕ } } be an invertible
t∈T
(cf. [7, Section 3]) dynamical system.
0
R
0
J. PÁEZ
38
Let u0, v0 ∈ X . Then r ( 0) r ( 0)
Or ( u0) ∩ Or ( v0)
.
Proof. Suppose that ( ) ( ) ≠
means that
O u ∩ O v = φ or
O u ∩ O v φ . This
r 0 r 0
( 0) ( 0)
t s
ϕ ( ) ϕ ( )
∃y∈ X : y∈Or u
: y =
∧ y∈Or u0 =
v
v0
⇔ ∃s, t ∈T
Therefore, we have that
Γ
DS2 Γ−t Γ−t s
DS 2
Γ−+ t s
0 0 0 0
( )
: ( ) t(
)
= ϕs(
v0
)
( )
This implies that Or ( u0) Or ( v0)
analogously that Or ( v0) Or ( u0)
O ( u ) = O ( v ) .
( ) ( ) Γ ( )
∀Γ ∈ ϕ u = ϕ ϕ u = ϕ ϕ v = ϕ v ∈O
v
0
r 0 r 0
⊆ . We can prove
⊆ and hence
From this Theorem, we can conclude the following:
• Two orbits satisfying the conditions of the
theorem above are either disjoint or identical,
• through every point in the state space passes only
one orbit. Consequently, it follows that
.
X = ∪ Or( x0)
x0∈X This means that the state space can be represented
as the disjoint union of orbits of underlying
dynamical system. This motivates the definition of
phase diagram (see below).
t
Definition 3.7. Let { T, X , { ϕ } } be a dynamical
t∈T
system. The partitioning of the state space into
orbits is referred to as phase diagram 2 of the
dynamical system. Let us restrict our attention to
initial value problems (cf. (2.2)). In this case, the
phase diagram consists of a family of solution
curves of the system (2.2) obtained by varying the
initial condition u 0 . It is clear that if x is any point
in OΓ ( u0)
, then f ( x ) represents tangent vector of
the solution curve at x. For this reason, the ODE
(2.2) is also referred to as vector field.
Let us consider again the pendulum system of
Example 3.4. How does its phase diagram look
like? We have seen that any orbit of that system is
given by
r
⎧⎛ R ⎞ ⎫
θ θ = ω
∈
.
( , ′ 0 )
0
⎪ 0 ⎛ ⎞
sin ⎜ωt+ φ ⎟ ⎪
⎨
⎜ ⎝ 0 ⎠⎟:
⎬
⎛ ⎞
⎪
⎜ R COS ⎜ωt+ φ ⎟ ⎟ ⎪
0 ⎝ 0 ⎠
O t
⎩⎝ ⎠ ⎭

FIGURE 4
Dynamical systems and differential equations
Phase diagram of the pendulum system
If we vary the initial conditions
0 0 , θ θ ′ , we will then
obtain several closed curves centered at the origin,
see Figure 4. The phase diagram provides us with
an easy way of visualizing the behavior of a
dynamical system. Useful information can be
obtained from the phase plot, even if we do not
know the evolution operator. For instance, suppose
that a pendulum system presents the phase plot as
shown in Figure 5. From this picture, we can see
that the orbits are no longer periodic, but they spiral
into the origin, which is an equilibrium point. Hence
this point is called a spiral sink. What does this
mean from a physical point of view? Note that the
phase diagram tells us that any initial point will,
after a long time, end at the equilibrium point. This
fact reveals the presence of friction, which prevents
the system from oscillating forever as it happens in
the pendulum system described in Figure 4.
DYNAMICAL SYSTEMS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
39
4. CONCLUSIONS
In this manuscript we have seen that dynamical
systems and autonomous differential equations are
intimately related objects. In particular, Theorems
2.3 and 2.5 reflect this fact. We have also learned
how to deal with non-autonomous differential
equations, which appear when an external forcing is
present. More importantly, we have introduced
several geometrical objects such as equilibrium
points, orbits and phase diagrams. With these
concepts, our goal was to provide the reader with
tools for facilitating the study of the qualitative
behavior of dynamical systems. In forthcoming
articles we will explain in more detail how the
objects mentioned above can be used for the
analysis of dynamical systems.
FIGURE 5
Dynamical systems and differential equations
Phase diagram of a damped pendulum system

[1]. AMANN, H. (1995). “Gewöhnliche
Differentialgleichungen”, second ed. Walter de
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J. PÁEZ
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40
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Chaos”, second ed., vol. 2 of Texts in Applied
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matemática: Una publicación del ICM – ESPOL
2010, Vol. 8, No. 2
RESOLUCIÓN EXACTA DEL MODELO DEL MÁXIMO PROMEDIO
PARA EL PROBLEMA DE LA DISPERSIÓN MÁXIMA
1 Sandoya Fernando
Resumen. El problema de la dispersión equitativa, o de la dispersión máxima consiste en que dado un conjunto de nodos y una función
de “distancias” entre estos nodos, se trata de escoger un subconjunto de ellos de tal manera que este sea lo más “diverso” posible, en
términos de alguna métrica considerada, aquí se resuelve un problema denominado del MAXIMO PROMEDIO en el cual el número de
elementos a seleccionarse también es una variable de decisión. Otros modelos han sido extensamente estudiados por otros autores
Martí y Duarte [1], Glover [2], Prokopyev [3] y Resende y Martí [4]. En este artículo se estudia el modelo del MAXIMO PROMEDIO
(MAXMEAN), que en general es un problema difícil de optimización combinatorio, del tipo Strongly NP-hard. También se estudia la
utilización del modelo MAXSUM para la resolución del MAXMEAN, y se determina un procedimiento exacto más eficiente para
resolverlo. Para comprobar los modelos se desarrollaron instancias de prueba aleatorias para diferentes tamaños del problema. Todos
los problemas en su formulación como modelo de programación matemática MIP o MIQCP fueron implementados en GAMS y
resueltos con CPLEX 12.0 y con CONOPT3.
Palabras Claves. Diversidad máxima, Optimización combinatoria, Programación cuadrática.
Abstrat. The equitable dispersion problem, or the maximum dispersion problem is that given a set of nodes and a function of "distance"
between these nodes, it comes to choosing a subset of them so this is as "different" possible in terms of some metric considered. Here we
solve a problem called the maximum average in which the number of elements to be selected is also a decision variable. Other models
have been extensively studied by other authors: Marti and Duarte [1], Glover [2], Prokopyev [3] and Resende and Marti [4]. In this
paper we study the model MAXIMUM AVERAGE (MAXMEAN), which in general is a difficult combinatorial optimization, type Strongly
NP-hard. To test the models developed random test instances for different sizes of the problem. All the problems in its formulation as a
mathematical programming model or MIQCP MIP were implemented in GAMS and solved with CPLEX 12.0 and CONOPT3.
Key words. Combinatorial Optimization, Maximum Diversity, Quadratic Programming.
Recibido: Agosto, 2010
Aceptado: Septiembre, 2010
1. INTRODUCCIÓN
El problema de la dispersión equitativa, o de la
dispersión máxima consiste en que dado un
conjunto N = {1,2,…,n} de nodos y una función
de “distancias” dij entre estos nodos, se trata de
escoger un subconjunto M de cardinalidad m (m ≤
n) de tal manera que M sea lo más “diverso”
posible, donde el término “diverso” se explica en
términos de una métrica considerada; es decir, la
dispersión debe relacionarse con algún tipo de
medida, en la literatura se han planteado 3
modelos distintos, denotados como: MAXMIN,
MAXSUM, y MAXMINSUM, últimamente
Prokopyev [3] ha planteado dos problemas
adicionales: denominados del MAXIMO
PROMEDIO y MINDIFF, de los cuales en uno de
ellos, el del MAXIMO PROMEDIO, el número
de elementos a seleccionarse también es una
variable de decisión, y en los restantes cuatro
modelos este es un valor predeterminado, estos
autores enuncian los problemas pero no plantean
sus soluciones.
Los modelos MAXMIN y MAXSUM han sido
extensamente estudiados por Martí y Duarte [1],
________________________
1 Sandoya Fernando, M.Sc., Profesor de la Escuela Superior
Politécnica del Litoral (ESPOL); Coordinador de la carrera
Ingeniería en Logística y Transporte ICM – ESPOL.
(e_mail: fsandoya@espol.edu.ec)
Glover [2], Prokopyev [3] y Resende y Martí [4].
En este artículo se estudia el modelo del
MAXIMO PROMEDIO (MAXMEAN), que en
general es un problema difícil de optimización
combinatorio, del tipo Strongly NP-hard.
También se estudia la utilización del modelo
MAXSUM para la resolución del MAXMEAN, y
se determina un procedimiento exacto más
eficiente para resolverlo.
Para comprobar los modelos se desarrollaron
instancias de prueba para diferentes valores de n y
m, en estos problemas de prueba se generaron los
valores de dij, usando primero una distribución
uniforme (0,20). En vista de las soluciones que se
observaron en el modelo MAXMEAN para estos
valores de dij, se consideró luego instancias en las
cuales los valores de dij son positivos y negativos,
generándolos por medio de una distribución
uniforme (-10,10)
Todos los problemas en su formulación como
modelo de programación matemática MIP (Mixed
integer Programming) con variables binarias
fueron implementados en GAMS y resueltos con
CPLEX 12.0, y además se trató el problema
MAXSUM en su formulación de programación
matemática MIQCP (Mixed Integer Quadratically
Constrained Programming) con variables binarias
usando el solver en período de prueba CONOPT3.

2. FORMULACIONES
Los modelos considerados son: MAXSUM
IQCP, MAXSUM IP, MAX-MEAN, MAX-MIN
SUM y MIN-DIFF. La formulación de estos
modelos es la siguiente:
2.1 MAXSUM IQCP
El problema de la máxima diversidad
originalmente fue planteado en términos de
seleccionar el conjunto de elementos que
maximice la suma de las distancias entre los
nodos seleccionados, esta puede ser la forma más
“obvia” de plantear el problema, esta línea de
pensamiento dio origen al modelo de la Máxima
Suma o MAXSUM, que se formula como un
problema de programación cuadrática binaria de
la siguiente manera:
Para i = 1, 2,..., n,
la variable x i toma el valor 1
si el elemento i-ésimo es seleccionado y 0 sino; el
modelo MAXSUM IQCP es entonces formulado
como un problema de programación cuadrática
binaria:
( )
n= 1 n
MaxSum IQCP Max∑∑
dxx ij i j (1)
n
i=
1
i= 1 j= i+
1
s.. t∑ xi= m
(2)
x = 0,1 i = 1, 2,..., n (3)
2.2 MAXSUM IP
i
El modelo MAXSUM IQCP puede ser
fácilmente linealizado introduciendo nuevas
variables variables zij de la siguiente manera:
n= 1 n
MaxSum IP Max ∑ ∑ dij zij
(4)
i= 1 j= i+
1
( )
s.t. (2), (3) y:
zij ≥ xi+ xj−1, zij ≤ xi, (5)
zij ≤ xj, 1 ≤ i ≤ j ≤ n;
2.3 MAX MIN
{ }
z ∈ 0,1 , 1 ≤ i ≤ j ≤ n (6)
ij
Seleccionar un subconjunto de dispersión
máxima de cardinalidad m también puede ser
entendido como la selección de los m elementos
F. SANDOYA
42
para los cuales se maximiza la menor de las
distancias dij entre los elementos seleccionados:
( MaxMin) max { min dxx ij i j
i,j M }
M: M = m ∈
{ }
xi ∈ 0,1 ; 1 ≤ i ≤ n (8)
(7)
El modelo MAXMIN puede ser linealizado y
planteado como un problema de programación
entera con variables binarias, como se demuestra
en [8].
2.4 MIN DIFF
Para formular el problema Min-Diff
introducimos
dicomo: ()
el concepto del diferencial
di () = ∑ dij
j∈M, j≠i (9)
Así el problema MIN DIFF puede ser formulado
como:
( MinDiff ) Min { maxi M di () −mini
M di () }
n
s.. t∑ xi= m (11)
i=
1
x = 0,1 i = 1, 2,..., n (12)
i
∈ ∈ (10)
Y que puede ser reformulado como un problema
MIP con variables binarias de la siguiente
manera:
mintrsxt (13)
, , ,
s. t. t ≥ r − s, i = 1,..., n;
(14)
−
( ) ( ) ( )
r ≥ ∑ d i
i∈M −Ui 1− x
i
+ M
(15)
1 − xi , i = 1,..., n;
+
( ) ( ) ( )
s ≤ ∑ d i
i∈M − Li 1− xi + M
(16)
1 − xi , i = 1,..., n;
n
n
∑ xi = m, xi ∈ { 0,1} i = 1,..., n;
(17)
i=
1
Donde i U y L i cotas superior e inferior
convenientemente escogidas para d() i , y

RESOLUCIÒN EXACTA DEL MODELO DEL MÁXIMO PROMEDIO PARA EL PROBLEMA DE LA DISPERSIÒN MÁXIMA
− +
M , M son constantes grandes, estos valores
pueden ser determinados y ajustados
adecuadamente, como se observa en [5].
2.5 MAXMEAN
El modelo MAXMEAN, o del máximo
promedio, implica seleccionar cierto número de
elementos del conjunto original, de tal manera
que este represente la máxima diferencia
promedio. De esta manera también es variable de
decisión la cantidad de elementos a seleccionarse.
El modelo puede representarse como:
∑ ∑
MaxMean Max
( )
i=
1
n= 1 n
i= 1 j=+ i 1
dijxixj n
∑ i= 1 xi
n
st .. ∑ xi
≥ 2 (19)
x = 0,1 i = 1, 2,..., n (20)
i
(18)
Tal como se lo presenta este es un problema de
optimización binaria fraccional, pero puede ser
linealizado utilizando ciertas transformaciones,
así en su formulación linealizada el problema
MAXMEAN se presenta como:
n−1n Max ∑ ∑ dij zij
(21)
i= 1 j= i+
1
st .. y − z
i
≤1 − x
i
, z
i
≤ y, z
i
≤ x
i
,
z
i
≥ 0, i = 1,..., n
(22)
y − z
ij
≤ 2 − x
i
− x
j
, z
ij
≤ y, z
ij
≤ x
i
,
(23)
z
ij
≥ 0,1 ≤ i < j ≤ n
n n
n
∑xi ≥ 1∑ zi = 1, xi
∈{
0,1}
(24)
i= 1 i=
1
43
3. RESOLUCION EXACTA DEL
PROBLEMA MAXMEAN
La siguiente propiedad indica que si d es una
distancia, la solución al problema MAXMEAN es
que todos los puntos deben ser seleccionados, con
lo cual la solución del problema en este caso se
vuelve trivial.
PROPIEDAD: En el problema MAXMEAN si dij
satisfacen la desigualdad triangular, son
simétricas y no negativas, es decir d es una
distancia, entonces m = n.
Demostración:
n−1 ∑ n
i= 1 ∑ j=+ i 1
dij
Se demostrará que
es una
n
estrictamente creciente en función de n
(1) Como ejemplo observemos el caso n = 3
Por demostrar:
d + d + d d
>
3 2
12 13 23 12
1
d < d ≤ d + d
2
Como: 12 12 13 23
3
d < d + d + d
2
12 12 13 23
d + d + d d
>
3 2
12 13 23 12
Lo mismo para
d + d + d d
>
3 2
12 13 23 23
(2) Para n = k+1
Por demostrar:
d + d + d d
3 2
> y
12 13 23 12
k k 1
1 1
d
k−
∑ k
i= ∑ j=+ i ij ∑i=
1 ∑ j=+ i 1
dij
>
k + 1
k
Es decir por demostrar:
k−1 k k
k 1 k
i 1 j i 1
dij i 1 d
−
= ∑ =+ + = ik , + 1 i=
1 ∑ j=+ i 1
dij
∑ ∑ ∑
>
k +
1
k

Es decir:
k−1 k k k−1 k k−1 k
1
∑∑dij + ∑di, k + 1 > ∑∑dij + ∑∑dij
i= 1 j= i+ 1 i= 1 i= 1 j= i+ 1 k i= 1 j= i+
1
Luego hay que demostrar:
k k−1k 1
∑dik , + 1 > ∑ ∑ dij
i= 1 k i= 1 j= i+
1
d ≤ d + d
Como: 12 1, k+ 1 2, k+
1
Como:
está!!
d ≤ d + d
13 1, k+ 1 3, k+
1
d ≤ d + d
1k 1, k+ 1 k, k+
1
d ≤ d + d
k−1, k k− 1, k+ 1 k, k+
1
k−1k k
∑∑dij < ( k −1)
∑ di,
k + 1
i= 1 j= i+ 1 i=
1
k−1 ∑ k
i= 1 ∑ j=+ i 1
dij
k −1
<
k
∑
i=
1
d
ik , + 1
k−1 k k 1
1 1
d
−
∑ k
i= ∑ j=+ i ij ∑i=
1 ∑ j=+ i 1
dij
<
k k −1
OBSERVACION: La propiedad anterior no es
cierta si dij son positivas y simétricas pero no
satisfacen la desigualdad triangular, es decir se
pueden encontrar contrajemplos en los cuales para
los cuales dij ≥0 y simétrica y sin embargo m < n.
Aunque estos ejemplos serían la excepción, pues
al desarrollar simulaciones con los dij generados
aleatoriamente en todas las simulaciones m
resultó ser igual a n, tal como se observa en la
tabla 2, en la cual se presentan los resultados para
valores de n = 10, 15, 20, 25 y 30, para cada uno
de los cuales se generaron 10 instancias
aleatoriamente.
Ejemplo: Sea n = 4 y las distancias dij dadas en la
tabla 1:
F. SANDOYA
ya
44
TABLA I
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Ejemplo con dij ≥ 0 y simétricas con el cual la solución del
MAXMEAN es m < n
1
2
3
4
1 2 3 4
0 20 18 1
20 0 20 2
18 20 0 1
1 2 1 0
En este caso m = 3, y se seleccionan los puntos 1,
2 y 3
El mejor promedio es 19.33, considerando X1 = X2
= X3 = 1, X4 = 0.
En cambio seleccionando todos los puntos; es
decir, X1 = X2 = X3 = X4 = 1 el promedio es 15.5.
TABLA II
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Resultados del modelo MAXMEAN con dij seleccionados
aleatoriamente U[0,20]
n m
Mínimo 10
10 Máximo 10
Mínimo 15
15 Máximo 15
Mínimo 20
20 Máximo 20
Mínimo 25
25 Máximo 25
Mínimo 30
30 Máximo 30
SOLUCION DEL PROBLEMA MAXMEAN
EN EL CASO NO TRIVIAL
Se considera ahora la generación de instancias
con dij seleccionadas aleatoriamente con una
distribución U[-10,10], y se resuelve el modelo
MAXMEAN según la formulación (21) – (24),
usando C-PLEX 12 con los parámetros por
defecto. Los experimentos fueron desarrollados
en una Laptop Intel Core Solo 1.40 GHz, 3 Gb
RAM. Los resultados son mostrados en la tabla 3.

RESOLUCIÒN EXACTA DEL MODELO DEL MÁXIMO PROMEDIO PARA EL PROBLEMA DE LA DISPERSIÒN MÁXIMA
TAMAÑO
PARAMETR
O
TABLA III
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema de la dispersión máxima
Soluciones exactas para el modelo MaxMean para tamaños variando entre n = 10 a n = 30 nodos
TIEMPO CPU (SEGUNDOS) VALOR OBJETIVO M
MAXIMUM MEDIAN MINIMUM
MAXIMU
M
45
MEDIAN
MINIMU
M
MAXIMU
M
MEDIA
N
n = 10 0.330 0.264 0.172 11.75 7.206 6.258 6 4 3
n = 15 3.002 1.5715 0.905 14.63 11.942 7.707 9 7 3
n = 20 72.009 49.1605 25.532 18.505 14.091
5
11.034 11 7.5 5
n = 25 2087.09 1191.71
1
658.721 19.215 16.923 14.503 15 9 5
n = 30
> 5
hours
> 5
hours
> 5
hours
- - - - - -
4. RELACION ENTRE EL PROBLEMA
MAXSUM Y EL PROBLEMA
MAXMEAN
Nótese que se podría resolver alternativamente
el problema MAXMEAN a través de la resolución
del problema MAXSUM de la siguiente manera:
Si resolvemos óptimamente el problema
MAXSUM para todos los valores de m posibles;
es decir, para m = 2, 3, …, n, y dividimos estos
valores óptimos para su respectivo valor de m,
tendríamos todos los valores de los mejores
promedios, de ahí al seleccionar el máximo valor
de ellos se tendrá el óptimo del problema
MAXMEAN. Curiosamente en los resultados
computacionales, esta estrategia de resolver m
problemas MAXSUM resultó más eficiente que
resolver el problema MAXMEAN formulado en
(21)-(24), tal como se observa en la tabla 4.
SOLUCION DEL PROBLEMA MAXMEAN
UTILIZANDO EL MODELO MAXSUM
Se considera ahora la generación de instancias
con dij seleccionadas aleatoriamente con una
distribución U[-10,10], y se resuelve el modelo
MAXMEAN siguiendo la estrategia de resolver m
problemas MAXSUM en su formulación
MAXSUM IQCP (1) –(3) usando el solver de
prueba CONOPT3 y MAXSUM IP (4) – (6)
usando C-PLEX 12 con los parámetros por
defecto. Los experimentos fueron desarrollados
en una Laptop Intel Core Solo 1.40 GHz, 3 Gb
RAM.
MINIMU
M
En los experimentos computacionales, al resolver
los m problemas MAXSUM, y dividiendo su
óptimo para m, se observó en todas las instancias
generadas que estos problemas tienen sólo un
óptimo local, tal como se observa en las figuras 1,
2 y 3.
Tomando en cuenta la forma que toma el máximo
promedio para distintos valores de m, con un solo
máximo local, se puede explotar esta
característica para generar una estrategia de
resolver los problemas MAXSUM para valores
crecientes de m, dividir su valor para m y parar el
momento en que para el siguiente valor de m este
valor del promedio decrece, con lo cual se
reduciría aún más el tiempo de ejecución
utilizando este procedimiento.
En cambio en la tabla 4 se observan los tiempos
en los cuales se obtuvieron los resultados, cuando
se utilizó este procedimiento resolviendo los
problemas MAXSUM con la formulación MIP y
utilizando C-PLEX12, y resolviendo los
problemas MAXSUM con su formulación IQCP
utilizando CONOPT3. También se reporta el GAP
para el cual el solver CONOPT3 dio el resultado
como óptimo, nótese que en este caso también se
resolvieron m problemas pero del tipo MAXSUM.
Hay que destacar el hecho de que a pesar que con
CONOPT3 no se garantiza que se obtenga la
solución óptima exacta, en el 40% de los
experimentos si se alcanzó el óptimo.

FIGURA 1
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Valores óptimos del problema MAXSUM divididos para m
para una instancia con n=30
FIGURA 2
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Valores óptimos del problema MAXSUM divididos para m
para una instancia con n=40
FIGURA 3
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Valores óptimos del problema MAXSUM divididos para m
para una instancia con n=50
F. SANDOYA
46
TABLA IV
Resolución exacta del modelo del máximo promedio para el problema
de la dispersión máxima
Tiempos para el problema MAXMEAN al resolverlo con
los tres métodos planteados
n método tiempo CPU m GAP
MAXMEAN 17.74 7 -
20
MAXSUM IP
MAXSUM
IQCP
8.506
0.675
7
8
-
1.19%
MAXMEAN 788.448 7 -
25
MAXSUM IP
MAXSUM
IQCP
41.884
0.783
7
7
-
1.93%
MAXMEAN 57723.918 7 -
30
MAXSUM IP
MAXSUM
IQCP
99.408
0.757
7
7
-
5.72%
MAXMEAN ∞ 12 -
40
MAXSUM IP
MAXSUM
IQCP
745.025
1.611
12
10
-
0.95%
MAXMEAN ∞ 14 -
50
MAXSUM IP 122576.938 14 -
MAXSUM
IQCP
5. CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
3.66 13 1.86%
En esta investigación se pudo determinar que el
problema MAXMEAN sólo tiene sentido
estudiarlo para distancias inter elemento dij
negativas y positivas, pues si las dij son todas
negativas las solución es siempre m =1, mientras
que si todas las dij son positivas es casi seguro que
m = n.
Por otro lado resulta curioso el hecho que el
modelo MIP planteado requiere un tiempo
excesivo de ejecución incluso para tamaños del
problema pequeños, y sólo puede ser resuelto en
un tiempo prudencial para valores de n inferiores
a 25. Sin embargo se puede resolver de manera
exacta el mismo problema resolviendo m
problemas del tipo MAXSUM en un tiempo
mucho menor. Incluso, tomando en cuenta la
forma que toma el máximo promedio para
distintos valores de m, con un solo máximo local,
podría utilizarse la estrategia de parar el momento
en que para un m mayor el valor del promedio
decrece, con lo cual se reduciría aún más el
tiempo de ejecución utilizando este
procedimiento.

RESOLUCIÒN EXACTA DEL MODELO DEL MÁXIMO PROMEDIO PARA EL PROBLEMA DE LA DISPERSIÒN MÁXIMA
La utilización de otro tipo de solvers que están en
etapa de prueba, tales como CONOPT3 que
utiliza procedimientos de optimización numérica
no lineal, reduce drásticamente los tiempos de
ejecución, en base a los tiempos alcanzados para
el tamaño máximo considerado en la versión
demo disponible, n = 50. Se especula que se
47
podrían resolver con la versión profesional
problemas de tamaño muy grande, la desventaja
es que no está garantizado que este solver alcance
la solución óptima, a pesar que el programa
reporta GAP cero, sin embargo si lo hizo el 40%
de las veces en los experimentos
computacionales.

F. SANDOYA
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