Ampliación del determinante a las matrices no cuadradas Distancia ...

4 Consolación Ruiz Gil
Volumen determinado por n vectores en R m
Longitud de un vector en R m
Sea u=(11,2,10) un vector de R 3 . Por el teorema de Pitágoras sabemos que su longitud
es igual a √ 11 2 + 2 2 + 10 2 = 15, es decir, si A es la matriz (11 2 10), la longitud de
su vector fila o su volumen (1-volumen) es
Área de dos vectores en R m
vol(A)= det(A.At )
Si u y v son dos vectores en Rm el área al
cuadrado del paralelogramo que definen
viene dada por:
(long(u)) 2 · altura2 = u2 · (v· sen(α)) 2 =
=u2 · v2 · (1−cos2 (α)) =
=u2 · v2 − u2 · v2 · cos2 (α)=
=u.u v.v -(u.v) 2
u.u u.v
=
que es el
v.u v.v
valor de det(A · At ) siendo A la matriz cuyas filas son los vectores u y v. Así pues
cuando A es una matriz de 2 filas, el área del paralelogramo que definen sus vectores
filas, es decir, el volumen de A (2-volumen) es:
vol(A)= det(A · At )
Volumen de tres vectores en R m
Sea A la matriz cuyas filas son los vectores u, v y w de R m . El cuadrado del volumen
del paralelepípedo determinado por las filas de A es
(vol(A)) 2 =(área
u
v
) 2 · altura2
=
Y teniendo en cuenta que alt=α u + β v +w,
u.u u.v 0
v.u v.v 0
0 0 alt 2
=
u.u u.v u.alt
v.u v.v v.alt
alt.u alt.v alt.alt