Ampliación del determinante a las matrices no cuadradas Distancia ...

10 Consolación Ruiz Gil
Estudio y propiedades del volumen
Una fórmula
Sea A = (aij) una matriz nxm, con n≤m, designamos por A t su matriz traspuesta,
det(A · A t ) =Suma de los cuadrados de los menores de orden n de A
Antes de demostrarla veamos como se intuye con algunos ejemplos en R 3 :
(Longitud de A=(1 2 3))= √ 12 + 22 + 32
=
1 2 3
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
· ⎝ 2 ⎠ = det(A · A
3
t )
( Área de A =
1
1
2
4
3
) = |F ila1 × F ila2| =
2
5
4
3
5
2
+
1
1
3 2
1
+
5 1
2 2
4
(Vol de A =
⎛
⎜
⎝
Observaciones
1.-Si A =
⎛
⎜
⎝
−→ u1
.
−→un
1 1 0
2 −3 1
3 1 −2
⎞
⎟
⎠ , A · At =
⎞
⎟
⎠) = |det A| = ↗
det(A · At )
(menores
↘
de orden 3 de A) 2
⎛
⎜
⎝
−→ u1 · −→ u1 ... −→ u1 · −→ un
. .
−→un · −→ u1 ... −→ un · −→ un
⎞
⎟
⎠ simétrica, métrica en A
2.-Si el n o de filas de A es mayor que el de columnas (n>m), se le puede dar sentido
a la fórmula, ya que el det(A · A t ) es cero y el 2 o miembro de la fórmula no tiene
sumandos.
Pasos previos a la demostración de la fórmula
Sea A una matriz de orden nxm
1.-Si a una fila de A se le suma una proporcional a otra, det(A · At ) no varia. Pues
si a la fila i de A se le suma la fila j multiplicada por a, se toma BA con
colj
⎛ ↑ ⎞
⎜ 1
⎟
⎜ .
⎟
⎜ ..
⎟ 0 ⎟
⎜
fila i ←
⎜ . ⎟ = B; detB = 1,
⎝ 0 a .. ⎟
⎠
1
detBA(BA) t =detBAA t B t =detBdetAA t detB t =detAA t
2.-Si a una fila de A se le suma una proporcional a otra, la suma de los cuadrados de
todos los menores de orden n de A no varia. Como se deduce de las propiedades de
los determinantes, ya que los menores son determinantes.