Tema I. Funciones trascendentes.pdf - WikiUASD
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1. <strong>Funciones</strong> <strong>trascendentes</strong>.<br />
1.1Función logaritmo natural.<br />
Definición de la función logaritmo natural.<br />
La función logaritmo natural se define como<br />
x1<br />
ln x dt, x 0<br />
1 t<br />
.<br />
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los<br />
reales positivos.<br />
Gráfica de la función logarítmica.<br />
Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural.<br />
La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:<br />
1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞).<br />
2. La función es continua, creciente e inyectiva.<br />
3. La gráfica es cóncava hacia abajo.<br />
Teorema 2. Propiedades de los logaritmos.<br />
Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las<br />
siguientes propiedades.<br />
1. ln1=0<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1
2. ln (ab)= ln a + ln b<br />
3. ln a n =n ln a<br />
4. ln (a/b)= ln a – ln b.<br />
El número e.<br />
Definición de e. La letra e denota el número real positivo tal que<br />
<br />
e dt<br />
ln e 1<br />
1 t<br />
La derivada de la función logaritmo natural.<br />
Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural.<br />
Sea u una función derivable en x<br />
d 1<br />
1. (ln x) , x<br />
0<br />
dx x<br />
Demostración de la expresión 1.<br />
Sea<br />
F(x)= ln x=<br />
1<br />
x dt<br />
t<br />
d 1 du u '<br />
2. (ln u) , u<br />
0<br />
dx u dx u<br />
Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:<br />
d ln x d x dt 1<br />
F '( x) f ( x)<br />
<br />
Q.E.D.<br />
dx dx 1 t x<br />
Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.<br />
2<br />
a) f ( x) lnx x<br />
Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:<br />
f x x x<br />
1 2<br />
( ) 2 ln( <br />
)<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 2
Derivando la nueva expresión, tenemos que:<br />
dy 1 2x 1<br />
<br />
2 <br />
dx 2 xx b.<br />
xx ( 1)<br />
f( x)<br />
ln<br />
2 2<br />
3<br />
2x 1<br />
Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego<br />
derivamos:<br />
f ( x) ln x 2ln( x 1) ln( x 1)<br />
Derivando la nueva expresión:<br />
2 1<br />
2<br />
3<br />
2 2<br />
1 2x 1 6x 1 4x 3x<br />
f '( x)<br />
2<br />
2 <br />
3 <br />
2 3<br />
x x1 2 2x1 x x 1 2x 1<br />
1.2 Derivación logarítmica.<br />
Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos<br />
como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas.<br />
Ejemplo.<br />
Hallar la derivada de<br />
2<br />
x 3x2 y , x1<br />
2 ~(1)<br />
( x 1)<br />
Aplicando logaritmo en ambos lados:<br />
2<br />
x 3x2 ln y ln 2<br />
( x 1)<br />
~(2)<br />
Aplicando las propiedades logarítmicas en (2):<br />
ln y 2ln x ln(3x 2) 2ln( x 1) ~(3)<br />
1<br />
2<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 3
Derivando la expresión (3):<br />
1 dy 2 1 3 2<br />
<br />
y dx x 2 3x2 x 1<br />
Despejando a dy<br />
dx :<br />
dy 232 y<br />
<br />
dx x6x4x1 ~(4)<br />
Sustituyendo a y por su valor en (4):<br />
2<br />
dy x 3x 2 2 3 2<br />
<br />
2<br />
dx ( x 1) x 6x 4 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
Teorema 4. Derivadas con valores absolutos.<br />
Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces<br />
d u'<br />
ln u <br />
dx u<br />
Demostración:<br />
Si u>0, entonces u u,<br />
y el resultado se obtiene aplicando el teorema<br />
3. Si u
dy u ' z '<br />
, entonces<br />
dx u z<br />
dy senx<br />
senx<br />
<br />
dx cos x cos x 1<br />
Simplificando tenemos:<br />
dy senx<br />
tan x <br />
dx cos x 1<br />
1. 3 La función logaritmo natural y la integración.<br />
Teorema 5. Regla logarítmica para integración.<br />
Sea u una función derivable de x.<br />
1.<br />
dx<br />
du<br />
x ln x c<br />
2. u ln u c<br />
Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración.<br />
x 1<br />
2 <br />
x 1<br />
2 <br />
dx 1<br />
udu<br />
2<br />
u x 1du2xdx Despejando a du, tenemos que:<br />
du<br />
2<br />
<br />
xdx , aplicando la regla logarítmica para la integración:<br />
1 1 1 1 2<br />
2 2 ln 2 ln 1<br />
udu u c x c<br />
Utilizando las propiedades de los logaritmos:<br />
x 1 1 1 2 2<br />
2 1 2 2ln1<br />
ln 1<br />
x u<br />
dx du x c x c<br />
Ejemplo: Dividir antes de integrar.<br />
3 2<br />
x x x<br />
-3 5 -3<br />
3 2 2<br />
-x 3 x x entonces,<br />
5<br />
x<br />
2<br />
<br />
5<br />
<br />
x <br />
3<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 5
Ahora iniciamos el proceso de integración:<br />
5 <br />
<br />
x 3<br />
<br />
<br />
dx<br />
x3<br />
2 2<br />
3 x<br />
x dx x dx 5 3 ln( x 3) c<br />
Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica.<br />
<br />
xx ( 2)<br />
3 ( x1)<br />
dx<br />
Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1.<br />
2<br />
x( x2) ( u1)( u1) ( u 1)<br />
1 1<br />
du<br />
3 3 3 ( 3 )<br />
( x1) <br />
u <br />
u u <br />
u u <br />
3<br />
dx du du du u du<br />
2<br />
ln u c lnu<br />
c<br />
u<br />
1<br />
2 2u<br />
Estrategia para la integración.<br />
1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración.<br />
2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o<br />
parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que<br />
se ajuste el integrando a la fórmula.<br />
3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar<br />
transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas,<br />
multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta<br />
de una misma cantidad. Se requiere ingenio.<br />
4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva<br />
integrales, es conveniente usarlo.<br />
Integrales de funciones trigonométricas.<br />
Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas<br />
<br />
<br />
senudu cos u C cosudu s enu C<br />
tan udu ln cos u C cot udu ln s enu C<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 6<br />
2
secudu ln secu tan u C cscudu ln cscu cot u C<br />
Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica<br />
Hallar ∫tanxdx<br />
Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que:<br />
<br />
tan xdx dx<br />
senx<br />
cos x<br />
Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión:<br />
u’=-senx, sustituyendo tenemos:<br />
<br />
du du<br />
u u ln u C<br />
Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que:<br />
<br />
tan xdx ln u C ln cos x C<br />
Ejemplo: Hallar<br />
Recordando que<br />
<br />
2<br />
(tan 1)<br />
x dx<br />
2 2<br />
tan x1 sec x,<br />
para escribir el integral original<br />
en función de su identidad equivalente:<br />
<br />
2 2<br />
(tan 1) sec sec<br />
x dx xdx xdx<br />
Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones<br />
trigonométricas básicas:<br />
sec xdx ln sec x tan x c<br />
<br />
cox<br />
Ejemplo: senx 1 dx <br />
Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al<br />
numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados<br />
estos pasos integramos la nueva expresión:<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 7
u senx 1 du cos x<br />
<br />
du<br />
u<br />
ln u c ln senx 1 c<br />
1. 4 <strong>Funciones</strong> inversas.<br />
Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la<br />
función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para<br />
todo x en el dominio de f.<br />
La función g se denota por f -1 (se lee como “inversa de f”).<br />
Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.<br />
1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa<br />
de g.<br />
2. El dominio de f -1 es el rango de f y el rango de f -1 es el dominio<br />
de f.<br />
3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es<br />
única.<br />
Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas.<br />
La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f -1 de<br />
contiene el punto (b,a).<br />
Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede<br />
escribir f -1 (b)=f -1 (f(a))=a.<br />
Así que (b,a) está en la gráfica de f -1 , entonces f(b)=a y se puede<br />
escribir f(a)=f(f -1 (b))=b.<br />
Existencia de una función inversa.<br />
Teorema 7. Existencia de la función inversa.<br />
1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.<br />
2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces<br />
ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa.<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 8
Demos: f es inyectiva si para x1 y x2 en su dominio<br />
f ( x ) f ( x ) x x<br />
1 2 1 2<br />
x x f ( x ) f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
f ( x ) f ( x )<br />
1 2<br />
f ( x ) f ( x )<br />
1 2<br />
f ( x ) f ( x ) x x<br />
1 2 1 2<br />
La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se<br />
estable que<br />
x x f ( x ) f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si x1 x2<br />
, entonces es<br />
estrictamente monótona, se deduce que<br />
f ( x ) f ( x )<br />
o 1 2<br />
1 2<br />
f ( x ) f ( x )<br />
f ( x ) f ( x )<br />
En cualquier caso, 1 2<br />
intervalo.<br />
Gráfica de la función inversa.<br />
. Por tanto, f es inyectiva en el<br />
Procedimiento para encontrar la función inversa de una función.<br />
1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x)<br />
admite inversa.<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 9
2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f -1 (y).<br />
3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f -1 (x).<br />
4. Definir como dominio de f -1 el recorrido de f.<br />
5. Verificar que f(f -1 (x))=x y f -1 (f(x))=x.<br />
Ejemplo. Calcular la inversa de.<br />
2<br />
y x 1, x 0<br />
1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa:<br />
Sean x x 0<br />
1 2<br />
f ( x ) (0) 1 1 y f ( x ) (0) 1 1 f ( x ) f ( x )<br />
2 2<br />
1 2 1 2<br />
x 0, x 1 evaluemos a f , f ( x ) 1 y f ( x ) 2<br />
1 2 1 2<br />
x x f ( x ) f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
x x f ( x ) f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
La función es inyectiva y es monótona creciente.<br />
2. Despejar a x en término de y:<br />
y x<br />
2<br />
<br />
y1 x<br />
1<br />
2<br />
x y1<br />
2<br />
y x 1<br />
3. Intercambie a x y y: y x<br />
1 .<br />
4. El dominio de f -1 es el codominio de f y codominio de la función<br />
inversa es el dominio de f.<br />
5. La inversa de la función<br />
2<br />
f ( x) x 1 es la función<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 10<br />
1<br />
f ( x) x 1<br />
Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas<br />
producen la función identidad:<br />
1<br />
2<br />
f ( f ( x)) ( x 1) 1 x 11 x<br />
1<br />
2 2<br />
f ( f ( x)) x 11 x <br />
x
Derivada de la función inversa.<br />
Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones<br />
inversas.<br />
Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función<br />
inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas.<br />
1. Si f es continua en su dominio, entonces f -1 es continua en su<br />
dominio.<br />
2. Si f es creciente en su dominio, entonces f -1 es creciente en su<br />
dominio.<br />
3. Si f es decreciente en su dominio, f -1 es decreciente en su<br />
dominio.<br />
4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f -1 es derivable en f(c).<br />
Teorema 9. Derivada de una función inversa.<br />
Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función<br />
inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0.<br />
Además,<br />
1<br />
g '( x) , f '( g( x))<br />
0.<br />
f '( g( x))<br />
Demostración:<br />
x f ( g( x))<br />
~ (1)<br />
Derivando (1):<br />
dg( x)<br />
1 f '( g( x)<br />
~ (2)<br />
dx<br />
Despejando de (2), tenemos :<br />
dg( x)<br />
1<br />
1<br />
( f )' <br />
dx f '( g( x))<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 11
Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa.<br />
3 2<br />
x y 7 y 2,( 4,1)<br />
dx<br />
<br />
dy<br />
dx<br />
dy<br />
2<br />
3y 14 y,evaluando<br />
en ( 4,1) :<br />
2<br />
3(1) 14(1) 11<br />
dy 1<br />
como , tenemos que:<br />
dx dx<br />
dy<br />
dy 1<br />
,evaluando la derivada de la inversa en ( 4,1)<br />
2<br />
dx 3y 14y<br />
dy<br />
dx<br />
<br />
1<br />
<br />
11<br />
Ejemplo: Encontrar (f -1 )’(a) para la función f y el número real a dado.<br />
f x x x a<br />
3<br />
( ) 2 1, 2<br />
Como f b a y f a f f b entonces<br />
-1<br />
( f )'( a)<br />
-1 -1<br />
( ) ( ) ( ( )), :<br />
a f b y f a btenemos<br />
que<br />
-1<br />
( ) ( ) , :<br />
3<br />
( ) 2 -1 2, :<br />
3 3<br />
x x x x<br />
2<br />
x x x<br />
1<br />
f '( b)<br />
f b x x de ahí<br />
2 -1- 2 0, 2 -3 0<br />
Ahora calculamos los ceros del polinomio :<br />
( -1)(<br />
<br />
3)<br />
0<br />
x 1, entonces b 1<br />
f x x f<br />
2 2<br />
'( ) 3 2, '(1) 3(1) 2 5<br />
1<br />
( f )'(2)<br />
1 1<br />
<br />
f '(1) 5<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 12
1.5 La función exponencial natural.<br />
Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx<br />
se llama función exponencial natural y se denota por<br />
1<br />
x<br />
f ( x) e .<br />
x<br />
Esto es, y esiysólo si x ln<br />
y.<br />
La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial<br />
natural se puede resumir como sigue:<br />
ln( )<br />
x ln x<br />
e xye x<br />
Gráfica de la función exponencial.<br />
Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales.<br />
Sean a y b dos números reales arbitrarios.<br />
1.<br />
2.<br />
e e e<br />
a b ( ab )<br />
e<br />
e<br />
a<br />
b<br />
<br />
e<br />
( ab) Propiedades de la función exponencial natural.<br />
x<br />
1. El dominio de f ( x) e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).<br />
x<br />
2. La función f ( x) e es continua, creciente e inyectiva en todo su<br />
dominio.<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 13
x<br />
3. La gráfica de f ( x) e es cóncava hacia arriba en todo su<br />
4.<br />
dominio.<br />
x x<br />
lim e o y lime<br />
<br />
xx Derivadas de las funciones exponenciales.<br />
Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural.<br />
Si u es una función derivable de x.<br />
x<br />
de ( ) x<br />
1. e<br />
dx<br />
d u u du<br />
2. ( e ) e<br />
dx dx<br />
Demostración de la expresión (2):<br />
y e<br />
u<br />
~ (1)<br />
Aplicando logaritmo en (1):<br />
u<br />
ln y ln e ~ (2)<br />
Aplicando las propiedades de los logaritmos:<br />
ln y uln e u~<br />
(3)<br />
Derivando ~ (3)<br />
y ' du<br />
~4<br />
y dx<br />
Despejando a y en (4) :<br />
dy du<br />
y ~ (5)<br />
dx dx<br />
Sustituyendo a y en (5):<br />
dy u du<br />
e ; Q. E. D<br />
dx dx<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 14
Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.<br />
2x<br />
y e senx<br />
dy 2x 2x 2x<br />
e cos x 2 e senx e (cos x 2 senx)<br />
dx<br />
Otro ejemplo:<br />
y e e<br />
2<br />
senx ( xcos x)<br />
ln( tan )<br />
2<br />
dy xe x senx e e<br />
<br />
senx 2 ( xcos x) 2 ( xcos x)<br />
2 cos (1 ) sec ( )<br />
2<br />
dx e tan e<br />
senx ( xcos x)<br />
Integrales de funciones exponenciales.<br />
Teorema 12. Reglas de integración para funciones<br />
exponenciales.<br />
Si u es una función derivable de x.<br />
<br />
x x u u<br />
1. e dx e c 2. e du e c<br />
Ejemplo: Hallar la integral de<br />
<br />
sen x<br />
e cos xdx ~ (1)<br />
Haciendo u sen x ~ (2)<br />
Derivando u :<br />
du cos xdx<br />
~ (3)<br />
Despejando de<br />
(3) :<br />
du<br />
cos xdx<br />
~ (4) :<br />
<br />
Sustituyendo (2) y (4) en (1) :<br />
1 u 1 u 1 sen x<br />
e du e c e c<br />
<br />
<br />
senx1senx <br />
e cos<br />
xdx e c<br />
<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 15
1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a.<br />
Definición de una función exponencial base a:<br />
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real,<br />
entonces la función exponencial de base a se denota por a x y se<br />
define como y=e (lna)x .<br />
Si a=1, entonces y=1 x =1 es una función constante.<br />
Algunas propiedades:<br />
1. a 1 2. a a a<br />
0 x y ( x y)<br />
a<br />
a<br />
3.<br />
x<br />
y<br />
( x y) x y xy<br />
a4. ( a ) a<br />
Definición de la función logarítmica de base a:<br />
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real<br />
positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota log a x y<br />
se define como<br />
1<br />
log a x ln x<br />
ln a<br />
Propiedades de la función logarítmica de base a:<br />
1. log 1 0 2. log xy log x log y<br />
a a<br />
a a<br />
n<br />
x<br />
3. loga x nlog ax 4. loga loga x loga<br />
y<br />
y<br />
Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas<br />
x<br />
base a, se sigue que f ( x) ay g( x) log x son funciones inversas una<br />
de otra.<br />
Propiedades como funciones inversas.<br />
x<br />
1. y asi y solo si x logy<br />
x<br />
log a<br />
2. a x, para x 0<br />
x<br />
3. log a <br />
x, para todo x<br />
a<br />
a<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 16<br />
a
Derivación e integración.<br />
Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e.<br />
Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x.<br />
d x x d u u du<br />
1. ( a ) aln a 2. ( a ) alna<br />
dx dx dx<br />
d 1 d 1 du<br />
3. (log a x) 4. (log au)<br />
<br />
dx (ln a) x dx (ln a) u dx<br />
Demostración de la expresión (2):<br />
y apor definición a e<br />
y e<br />
u u (ln a) u<br />
(ln au )<br />
~ (1)<br />
Derivando la expresión:<br />
dy u<br />
(ln a) u d (ln a) u du ( ln a ) du<br />
= e (ln a) u e(ln a) e(ln<br />
a)<br />
~ (2)<br />
dx dx dx dx<br />
Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos:<br />
dy u du<br />
a (ln<br />
a) ; Q. E. D<br />
dx dx<br />
Demostración de la expresión (4):<br />
Sea y log u ~ (1)<br />
Haciendo cambio de base tenemos :<br />
ln u<br />
y ~ (2)<br />
ln a<br />
Derivando a (2) :<br />
a<br />
dy 1 du<br />
<br />
; Q. E. D<br />
dx (ln a) u dx<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 17
Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e.<br />
tan x<br />
1. y 3 (ln 3)<br />
Derivando :<br />
dy<br />
3 dx<br />
ln x<br />
2. y x<br />
sec x(ln3)(ln3) 3sec<br />
x(ln3)<br />
tan x 2 tan x 2 2<br />
Aplicando log aritmo en ambos lados :<br />
ln y ln x (ln x)(ln x) (ln x)<br />
ln x<br />
2<br />
Derivando la nueva exp resión :<br />
1 dy 1 2(ln x)<br />
<br />
y dx x <br />
dy<br />
Despejando a :<br />
dx<br />
dy 2<br />
(ln xx )<br />
dx x<br />
ln x<br />
2<br />
3. y=log5 sec( x 2 x)<br />
dy x x x x x x x x<br />
<br />
dx x x<br />
sec(<br />
2<br />
2 ) tan(<br />
2<br />
2 )(2 2) 2( 1) tan(<br />
2<br />
2 )<br />
(ln 5)sec(<br />
2<br />
2 ) (ln 5)<br />
En ocasiones, un integrando contiene una función exponencial en una<br />
base distinta de e. En tal caso, hay dos opciones: (1) pasar a base e<br />
usando la fórmula<br />
a e<br />
y entonces integrar o (2) integrar<br />
x (ln a) x<br />
directamente, usando siguiente fórmula de integración<br />
<br />
x 1 x<br />
a dx ac<br />
ln a <br />
Ejemplo: Integración de una función exponencial en base distinta de e.<br />
<br />
2<br />
x<br />
( x)2 dx ~ (1)<br />
Hacemos u x<br />
2<br />
~ (2)<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 18
Deriferenciando a u :<br />
du 2 xdx, despejando :<br />
du<br />
xdx ~ (3)<br />
2<br />
Sustituyendo (2) y (3) en (1) :<br />
u du 1 u 1 1 u<br />
222 2 ; :<br />
2 du C sustituyendo a u por su valor<br />
2 ln2 1 1 1 1 1 2<br />
u u x<br />
2 du 2 C 2 C<br />
2 <br />
2 ln 2 2 ln 2 <br />
1. 7 <strong>Funciones</strong> trigonométricas inversas.<br />
Ninguna de las seis funciones trigonométricas tienen inversas. Esto se<br />
debe a que son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva.<br />
Para que tengan funciones inversas es necesario redefinir el dominio<br />
de cada una de ellas.<br />
Definición de las funciones trigonométricas inversas<br />
Función Do min io Rango<br />
<br />
y arcsenx si y sólo si seny x -1 x 1<br />
- y <br />
2 2<br />
y arccos x si y sólo si cos y x -1 x 1 0 y <br />
<br />
y arctan x si y sólo si tan y x - x - y <br />
2 2<br />
y arc cot x si y sólo si cot y x - x 0 y <br />
<br />
y arcsec x si y sólo si sec y x x 1 0 y , y <br />
2<br />
<br />
y arc csc x si y sólo si csc y x x 1 - y , y <br />
0<br />
2 2<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 19
Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas.<br />
Gráfica de la función coseno y su inversa.<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 20
f -1 (x)=arc tag x<br />
Y=arcsecx<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 21
Y=arccscx<br />
Y=arccotx<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 22
Propiedades de las funciones trigonométricas<br />
Si -1 x 1 y - y , entonces<br />
2 2<br />
sen( arcsenx) x y arcsen( seny) y.<br />
Si - y <br />
, entonces<br />
2 2<br />
tan(arctan x) x y arctan(tan y) y.<br />
Si x 1 y 0 y o y , entonces<br />
2 2<br />
sec( arcsec x) x y arcsec(sec y) y<br />
Pr opiedades aná log as son válidas para las otras funciones trigométricas inversas<br />
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.<br />
Teorema 14. Derivadas de las funciones trigonométricas<br />
inversas.<br />
Si u es una función derivable de x.<br />
d<br />
( arcsenu) <br />
dx<br />
u '<br />
2<br />
1u d<br />
(arccos u)<br />
<br />
dx<br />
u<br />
'<br />
2<br />
1u<br />
d u ' d u '<br />
( arc tan u ( arccot u)<br />
<br />
2 2<br />
dx 1udx1u d<br />
( arcsec u) <br />
dx u<br />
u ' d<br />
( arccsc u)<br />
<br />
2<br />
u 1<br />
dx<br />
u<br />
u<br />
'<br />
2<br />
u 1<br />
Demostración:<br />
Sea y arcsenu entonces u seny<br />
~ 1<br />
Derivando (1)<br />
du dy<br />
cos y ~ (2)<br />
dx dx<br />
dy<br />
Despejando a de (2) :<br />
dx<br />
dy 1 du u '<br />
<br />
~ (3)<br />
dx cos y dx cos y<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 23
Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas :<br />
2 2 2<br />
sen y y y sen y<br />
cos 1 cos 1 ~ (4)<br />
Sustituyendo (1) en (4) :<br />
2<br />
cos y 1 u<br />
~ (5)<br />
Sustituyendo (5) en (3) :<br />
dy u '<br />
<br />
dx 1<br />
u<br />
2<br />
; Q. E. D<br />
Las demás se dejan como ejercicios a los estudiantes.<br />
Ejemplos: Hallar las derivadas de<br />
1. y 2 arcsen( x 1)<br />
dy 2 2 2 2<br />
<br />
dx 2 2 2 2<br />
1 ( x 1) 1 ( x 2x 1) 1 x 2x 1 x 2x<br />
2. h( t) sen(arccos t)<br />
dh d t<br />
cos(arccos t) (arccos t)<br />
<br />
dt dt 1<br />
t<br />
3. y arc tan x<br />
dy 1<br />
<br />
dx x x<br />
2<br />
2 ( 1)<br />
2<br />
3. sec<br />
y x arc x<br />
dy 2 1<br />
x<br />
( x ) 2xarc sec x 2xarc sec x<br />
dx 2 2<br />
x x 1 x 1<br />
1. 7 <strong>Funciones</strong> hiperbólicas.<br />
El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre<br />
el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una<br />
hipérbola.<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 24<br />
2
Definición de las funciones hiperbólicas.<br />
x x<br />
e e<br />
1<br />
senhx csc hx ; x 0<br />
2<br />
senhx<br />
x x<br />
e e<br />
1<br />
cosh x sec hx <br />
2 cosh x<br />
senhx<br />
1<br />
tanh x coth x , x 0<br />
cosh x tanh x<br />
Identidades hiperbólicas<br />
2 2<br />
cosh 1 ( ) cosh cosh<br />
x senh x senh x y senhx y xsenhy<br />
2 2<br />
tanh sec 1 ( - ) cosh - cosh<br />
x h x senh x y senhx y xsenhy<br />
2 2<br />
coth csc 1 cosh( ) cosh cosh<br />
x h x x y x y senhxsenhy<br />
2 2<br />
senh x cosh x<br />
cosh( x - y) cosh xcosh y - senhxsenhy<br />
1 cosh 2x 1 cosh 2x<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
senh2x 2senhx cosh x cosh 2x cosh x senh x<br />
Derivación e integración de funciones hiperbólicas.<br />
Teorema 16 Derivadas e integrales de las funciones<br />
hiperbólicas.<br />
Sea u una función derivable de x.<br />
d<br />
( senhu) (cosh u) u ' cosh udu senhu C<br />
dx<br />
<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 25
d<br />
(cosh u) ( senhu) u ' senhudu cosh u C<br />
dx<br />
<br />
d<br />
2 2<br />
(tanh u) (sec h u) u ' sec h udu tanh u C<br />
dx<br />
<br />
d<br />
2 2<br />
(coth u) (csc u) u ' csc h udu coth u C<br />
dx<br />
<br />
d<br />
(sec hu) (sec<br />
hu tanh u)<br />
u ' sec tanh sec<br />
dx<br />
hu udu hu C<br />
d<br />
(csc hu) (csc hu coth u) u ' csc hu coth udu csc hu C<br />
dx<br />
<br />
Demostración:<br />
u u<br />
e e<br />
Sea y senhu ~ (1)<br />
2<br />
Derivando la exp resión (1) :<br />
u uuu dy d d e eeedu ( senhu)<br />
~ (2)<br />
dx dx dx 2 2 dx<br />
u u<br />
e e<br />
cosh u ~ (3)<br />
2<br />
Sustituyendo (3) en (2) :<br />
d du<br />
( senhu) cosh u<br />
dx dx<br />
Ejemplos: Derivación de funciones hiperbólicas.<br />
3<br />
1. y ln senh(2x tan<br />
x)<br />
<br />
y x x x x x x<br />
senh(2x tan x)<br />
<br />
3<br />
cos h(2x tan x)<br />
2 2 3 2 2<br />
' (6 sec ) coth(2 tan )(6 sec )<br />
3 <br />
y h x<br />
2<br />
sec (3 )<br />
2. y ' 2sec h(3 x) tanh(3 x)(3) 6sec<br />
h(3 x) tanh(3 x)<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 26
<strong>Funciones</strong> hiperbólicas inversas<br />
Teorema 17. <strong>Funciones</strong> hiperbólicas inversas.<br />
Función Do min io<br />
1<br />
2<br />
senh x ln( x x 1) (- , )<br />
1<br />
2<br />
cosh x ln( x x 1) [1, )<br />
1<br />
tanh x ln (-1,1)<br />
coth<br />
1<br />
1 1x<br />
2 1x<br />
1 1x<br />
x ln (- ,-1) (1, )<br />
2 x 1<br />
1 1x<br />
x<br />
2<br />
1<br />
sec h xln<br />
(0,1]<br />
2<br />
1<br />
1 1x<br />
sc ln (- ,0) (0, )<br />
c h x<br />
Demostración:<br />
1<br />
y senh x<br />
<br />
x x <br />
<br />
~ (1)<br />
Despejando x de<br />
(1) :<br />
x senhy y cosh y x<br />
Sumando senhy y cosh y :<br />
y -yy-y e - e e e y<br />
senhy cosh y e ~ (2)<br />
2 2<br />
Aplicando log aritmo en (2) :<br />
y<br />
ln senhy cosh y ln e y ~ (3)<br />
2 2 2<br />
cosh y senh y 1, entonces cosh y senh y 1<br />
~ (4<br />
como senhy x sustituyendo en<br />
2<br />
cosh y x 1<br />
~ (6), de ahí tenemos :<br />
ln 1<br />
2 1<br />
x x y senh x<br />
Por to senh x x x<br />
(4) :<br />
1<br />
2<br />
tan ln 1<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 27<br />
)
Demostración:<br />
senhy<br />
<br />
cosh y<br />
1<br />
y tanh x ~ (1), entonces x tanh y<br />
y y<br />
e e<br />
x ~ (2)<br />
y y<br />
e e<br />
x( e e ) e e , xe xe e e<br />
y y y y y y y y<br />
xe e e xe<br />
yyy y<br />
y y<br />
e ( x 1) e (1 x)<br />
~ (3)<br />
y<br />
Dividiendo (3) entre e (1 x)<br />
:<br />
y<br />
1<br />
x e<br />
y<br />
1<br />
x e<br />
2 y<br />
e~<br />
(4)<br />
Aplicando log aritmo en<br />
(4) :<br />
1<br />
x<br />
<br />
1<br />
x<br />
Despejando a y de (5) :<br />
2 y<br />
ln ln e 2 y ~ (5)<br />
1 1x<br />
y ln ~ (6)<br />
2 1x<br />
Sustituyendo (6) en (1) :<br />
1 1x<br />
x Q E D<br />
2 1x<br />
1<br />
tanh ln ; . .<br />
Nota: Las demás demostraciones se dejan como ejercicio a los<br />
estudiantes. Deben enviarlas por e-mail o presentarlas en el cuaderno.<br />
Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se dejan como tarea<br />
para a los estudiantes, también.<br />
Teorema 18. Derivación e integración de funciones hiperbólicas<br />
inversas.<br />
Sea u una función derivable de x<br />
d 1 u ' d 1<br />
u '<br />
[ senh u] [ cosh u]<br />
<br />
dx 2 2<br />
u 1 dx<br />
u 1<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 28
d 1 u '<br />
[tan h u] 2<br />
dx 1u d 1<br />
u '<br />
[ co t h u]<br />
2<br />
dx 1u<br />
d u' d u'<br />
dx u 1udx u 1u<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
[sec h u] [ csc h u]<br />
<br />
2 2<br />
du<br />
u a<br />
2 2<br />
du<br />
a u<br />
u<br />
2 2<br />
du<br />
u a<br />
2 2<br />
2 2<br />
ln( ) <br />
a u a c<br />
1 au ln c<br />
2a<br />
a u<br />
2 2<br />
1 a u a<br />
ln<br />
c<br />
a u<br />
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 29