Tema I. Funciones trascendentes.pdf - WikiUASD

1. Funciones trascendentes. 

1.1Función logaritmo natural. 

Definición de la función logaritmo natural. 

La función logaritmo natural se define como 

x1 

ln x dt, x 0 

1 t 

. 

El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los 

reales positivos. 

Gráfica de la función logarítmica. 

Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural. 

La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades: 

1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞). 

2. La función es continua, creciente e inyectiva. 

3. La gráfica es cóncava hacia abajo. 

Teorema 2. Propiedades de los logaritmos. 

Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las 

siguientes propiedades. 

1. ln1=0 

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1

2. ln (ab)= ln a + ln b 

3. ln a n =n ln a 

4. ln (a/b)= ln a – ln b. 

El número e. 

Definición de e. La letra e denota el número real positivo tal que 

 

e dt 

ln e 1 

1 t 

La derivada de la función logaritmo natural. 

Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural. 

Sea u una función derivable en x 

d 1 

1. (ln x) , x 

0 

dx x 

Demostración de la expresión 1. 

Sea 

F(x)= ln x= 

1 

x dt 

t 

d 1 du u ' 

2. (ln u) , u 

0 

dx u dx u 

Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo: 

d ln x d x dt 1 

F '( x) f ( x) 

 

Q.E.D. 

dx dx 1 t x 

Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas. 

2 

a) f ( x) lnx x 

Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar: 

f x x x 

1 2 

( ) 2 ln( 

) 


Derivando la nueva expresión, tenemos que: 

dy 1 2x 1 

 

2 

dx 2 xx b. 

xx ( 1) 

f( x) 

ln 

2 2 

3 

2x 1 

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego 

derivamos: 

f ( x) ln x 2ln( x 1) ln( x 1) 

Derivando la nueva expresión: 

2 1 

2 

3 

2 2 

1 2x 1 6x 1 4x 3x 

f '( x) 

2 

2 

3 

2 3 

x x1 2 2x1 x x 1 2x 1 

1.2 Derivación logarítmica. 

Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos 

como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas. 

Ejemplo. 

Hallar la derivada de 

2 

x 3x2 y , x1 

2 ~(1) 

( x 1) 

Aplicando logaritmo en ambos lados: 

2 

x 3x2 ln y ln 2 

( x 1) 

~(2) 

Aplicando las propiedades logarítmicas en (2): 

ln y 2ln x ln(3x 2) 2ln( x 1) ~(3) 

1 

2 


Derivando la expresión (3): 

1 dy 2 1 3 2 

 

y dx x 2 3x2 x 1 

Despejando a dy 

dx : 

dy 232 y 

 

dx x6x4x1 ~(4) 

Sustituyendo a y por su valor en (4): 

2 

dy x 3x 2 2 3 2 

 

2 

dx ( x 1) x 6x 4 x 1 

 

 

 

Teorema 4. Derivadas con valores absolutos. 

Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces 

d u' 

ln u 

dx u 

Demostración: 

Si u>0, entonces u u, 

y el resultado se obtiene aplicando el teorema 

3. Si u

dy u ' z ' 

, entonces 

dx u z 

dy senx 

senx 

 

dx cos x cos x 1 

Simplificando tenemos: 

dy senx 

tan x 

dx cos x 1 

1. 3 La función logaritmo natural y la integración. 

Teorema 5. Regla logarítmica para integración. 

Sea u una función derivable de x. 

1. 

dx 

du 

x ln x c 

2. u ln u c 

Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración. 

x 1 

2 

x 1 

2 

dx 1 

udu 

2 

u x 1du2xdx Despejando a du, tenemos que: 

du 

2 

 

xdx , aplicando la regla logarítmica para la integración: 

1 1 1 1 2 

2 2 ln 2 ln 1 

udu u c x c 

Utilizando las propiedades de los logaritmos: 

x 1 1 1 2 2 

2 1 2 2ln1 

ln 1 

x u 

dx du x c x c 

Ejemplo: Dividir antes de integrar. 

3 2 

x x x 

-3 5 -3 

3 2 2 

-x 3 x x entonces, 

5 

x 

2 

 

5 

 

x 

3 


Ahora iniciamos el proceso de integración: 

5 

 

x 3 

 

 

dx 

x3 

2 2 

3 x 

x dx x dx 5 3 ln( x 3) c 

Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica. 

 

xx ( 2) 

3 ( x1) 

dx 

Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1. 

2 

x( x2) ( u1)( u1) ( u 1) 

1 1 

du 

3 3 3 ( 3 ) 

( x1) 

u 

u u 

u u 

3 

dx du du du u du 

2 

ln u c lnu 

c 

u 

1 

2 2u 

Estrategia para la integración. 

1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración. 

2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o 

parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que 

se ajuste el integrando a la fórmula. 

3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar 

transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas, 

multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta 

de una misma cantidad. Se requiere ingenio. 

4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva 

integrales, es conveniente usarlo. 

Integrales de funciones trigonométricas. 

Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas 

 

 

senudu cos u C cosudu s enu C 

tan udu ln cos u C cot udu ln s enu C 

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 6 

2

secudu ln secu tan u C cscudu ln cscu cot u C 

Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica 

Hallar ∫tanxdx 

Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que: 

 

tan xdx dx 

senx 

cos x 

Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión: 

u’=-senx, sustituyendo tenemos: 

 

du du 

u u ln u C 

Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que: 

 

tan xdx ln u C ln cos x C 

Ejemplo: Hallar 

Recordando que 

 

2 

(tan 1) 

x dx 

2 2 

tan x1 sec x, 

para escribir el integral original 

en función de su identidad equivalente: 

 

2 2 

(tan 1) sec sec 

x dx xdx xdx 

Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones 

trigonométricas básicas: 

sec xdx ln sec x tan x c 

 

cox 

Ejemplo: senx 1 dx 

Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al 

numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados 

estos pasos integramos la nueva expresión: 


u senx 1 du cos x 

 

du 

u 

ln u c ln senx 1 c 

1. 4 Funciones inversas. 

Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la 

función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para 

todo x en el dominio de f. 

La función g se denota por f -1 (se lee como “inversa de f”). 

Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas. 

1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa 

de g. 

2. El dominio de f -1 es el rango de f y el rango de f -1 es el dominio 

de f. 

3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es 

única. 

Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas. 

La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f -1 de 

contiene el punto (b,a). 

Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede 

escribir f -1 (b)=f -1 (f(a))=a. 

Así que (b,a) está en la gráfica de f -1 , entonces f(b)=a y se puede 

escribir f(a)=f(f -1 (b))=b. 

Existencia de una función inversa. 

Teorema 7. Existencia de la función inversa. 

1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva. 

2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces 

ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa. 


Demos: f es inyectiva si para x1 y x2 en su dominio 

f ( x ) f ( x ) x x 

1 2 1 2 

x x f ( x ) f ( x ) 

1 2 1 2 

f ( x ) f ( x ) 

1 2 

f ( x ) f ( x ) 

1 2 

f ( x ) f ( x ) x x 

1 2 1 2 

La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se 

estable que 

x x f ( x ) f ( x ) 

1 2 1 2 

Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si x1 x2 

, entonces es 

estrictamente monótona, se deduce que 

f ( x ) f ( x ) 

o 1 2 

1 2 

f ( x ) f ( x ) 

f ( x ) f ( x ) 

En cualquier caso, 1 2 

intervalo. 

Gráfica de la función inversa. 

. Por tanto, f es inyectiva en el 

Procedimiento para encontrar la función inversa de una función. 

1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x) 

admite inversa. 


2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f -1 (y). 

3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f -1 (x). 

4. Definir como dominio de f -1 el recorrido de f. 

5. Verificar que f(f -1 (x))=x y f -1 (f(x))=x. 

Ejemplo. Calcular la inversa de. 

2 

y x 1, x 0 

1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa: 

Sean x x 0 

1 2 

f ( x ) (0) 1 1 y f ( x ) (0) 1 1 f ( x ) f ( x ) 

2 2 

1 2 1 2 

x 0, x 1 evaluemos a f , f ( x ) 1 y f ( x ) 2 

1 2 1 2 

x x f ( x ) f ( x ) 

1 2 1 2 

x x f ( x ) f ( x ) 

1 2 1 2 

La función es inyectiva y es monótona creciente. 

2. Despejar a x en término de y: 

y x 

2 

 

y1 x 

1 

2 

x y1 

2 

y x 1 

3. Intercambie a x y y: y x 

1 . 

4. El dominio de f -1 es el codominio de f y codominio de la función 

inversa es el dominio de f. 

5. La inversa de la función 

2 

f ( x) x 1 es la función 


1 

f ( x) x 1 

Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas 

producen la función identidad: 

1 

2 

f ( f ( x)) ( x 1) 1 x 11 x 

1 

2 2 

f ( f ( x)) x 11 x 

x

Derivada de la función inversa. 

Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones 

inversas. 

Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función 

inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas. 

1. Si f es continua en su dominio, entonces f -1 es continua en su 

dominio. 

2. Si f es creciente en su dominio, entonces f -1 es creciente en su 

dominio. 

3. Si f es decreciente en su dominio, f -1 es decreciente en su 

dominio. 

4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f -1 es derivable en f(c). 

Teorema 9. Derivada de una función inversa. 

Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función 

inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0. 

Además, 

1 

g '( x) , f '( g( x)) 

0. 

f '( g( x)) 


x f ( g( x)) 

~ (1) 

Derivando (1): 

dg( x) 

1 f '( g( x) 

~ (2) 

dx 

Despejando de (2), tenemos : 

dg( x) 

1 

1 

( f )' 

dx f '( g( x)) 


Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa. 

3 2 

x y 7 y 2,( 4,1) 

dx 

 

dy 

dx 

dy 

2 

3y 14 y,evaluando 

en ( 4,1) : 

2 

3(1) 14(1) 11 

dy 1 

como , tenemos que: 

dx dx 

dy 

dy 1 

,evaluando la derivada de la inversa en ( 4,1) 

2 

dx 3y 14y 

dy 

dx 

 

1 

 

11 

Ejemplo: Encontrar (f -1 )’(a) para la función f y el número real a dado. 

f x x x a 

3 

( ) 2 1, 2 

Como f b a y f a f f b entonces 

-1 

( f )'( a) 

-1 -1 

( ) ( ) ( ( )), : 

a f b y f a btenemos 

que 

-1 

( ) ( ) , : 

3 

( ) 2 -1 2, : 

3 3 

x x x x 

2 

x x x 

1 

f '( b) 

f b x x de ahí 

2 -1- 2 0, 2 -3 0 

Ahora calculamos los ceros del polinomio : 

( -1)( 

 

3) 

0 

x 1, entonces b 1 

f x x f 

2 2 

'( ) 3 2, '(1) 3(1) 2 5 

1 

( f )'(2) 

1 1 

 

f '(1) 5 


1.5 La función exponencial natural. 

Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx 

se llama función exponencial natural y se denota por 

1 

x 

f ( x) e . 

x 

Esto es, y esiysólo si x ln 

y. 

La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial 

natural se puede resumir como sigue: 

ln( ) 

x ln x 

e xye x 

Gráfica de la función exponencial. 

Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales. 

Sean a y b dos números reales arbitrarios. 

1. 

2. 

e e e 

a b ( ab ) 

e 

e 

a 

b 

 

e 

( ab) Propiedades de la función exponencial natural. 

x 

1. El dominio de f ( x) e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞). 

x 

2. La función f ( x) e es continua, creciente e inyectiva en todo su 

dominio. 


x 

3. La gráfica de f ( x) e es cóncava hacia arriba en todo su 

4. 

dominio. 

x x 

lim e o y lime 

 

xx Derivadas de las funciones exponenciales. 

Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural. 

Si u es una función derivable de x. 

x 

de ( ) x 

1. e 

dx 

d u u du 

2. ( e ) e 

dx dx 

Demostración de la expresión (2): 

y e 

u 

~ (1) 

Aplicando logaritmo en (1): 

u 

ln y ln e ~ (2) 

Aplicando las propiedades de los logaritmos: 

ln y uln e u~ 

(3) 

Derivando ~ (3) 

y ' du 

~4 

y dx 

Despejando a y en (4) : 

dy du 

y ~ (5) 

dx dx 

Sustituyendo a y en (5): 

dy u du 

e ; Q. E. D 

dx dx 


Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada. 

2x 

y e senx 

dy 2x 2x 2x 

e cos x 2 e senx e (cos x 2 senx) 

dx 

Otro ejemplo: 

y e e 

2 

senx ( xcos x) 

ln( tan ) 

2 

dy xe x senx e e 

 

senx 2 ( xcos x) 2 ( xcos x) 

2 cos (1 ) sec ( ) 

2 

dx e tan e 

senx ( xcos x) 

Integrales de funciones exponenciales. 

Teorema 12. Reglas de integración para funciones 

exponenciales. 


 

x x u u 

1. e dx e c 2. e du e c 

Ejemplo: Hallar la integral de 

 

sen x 

e cos xdx ~ (1) 

Haciendo u sen x ~ (2) 

Derivando u : 

du cos xdx 

~ (3) 

Despejando de 

(3) : 

du 

cos xdx 

~ (4) : 

 

Sustituyendo (2) y (4) en (1) : 

1 u 1 u 1 sen x 

e du e c e c 

 

 

senx1senx 

e cos 

xdx e c 

 


1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a. 

Definición de una función exponencial base a: 

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real, 

entonces la función exponencial de base a se denota por a x y se 

define como y=e (lna)x . 

Si a=1, entonces y=1 x =1 es una función constante. 

Algunas propiedades: 

1. a 1 2. a a a 

0 x y ( x y) 

a 

a 

3. 

x 

y 

( x y) x y xy 

a4. ( a ) a 

Definición de la función logarítmica de base a: 

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real 

positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota log a x y 

se define como 

1 

log a x ln x 

ln a 

Propiedades de la función logarítmica de base a: 

1. log 1 0 2. log xy log x log y 

a a 

a a 

n 

x 

3. loga x nlog ax 4. loga loga x loga 

y 

y 

Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas 

x 

base a, se sigue que f ( x) ay g( x) log x son funciones inversas una 

de otra. 

Propiedades como funciones inversas. 

x 

1. y asi y solo si x logy 

x 

log a 

2. a x, para x 0 

x 

3. log a 

x, para todo x 

a 

a 


a

Derivación e integración. 

Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e. 

Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x. 

d x x d u u du 

1. ( a ) aln a 2. ( a ) alna 

dx dx dx 

d 1 d 1 du 

3. (log a x) 4. (log au) 

 

dx (ln a) x dx (ln a) u dx 


y apor definición a e 

y e 

u u (ln a) u 

(ln au ) 

~ (1) 

Derivando la expresión: 

dy u 

(ln a) u d (ln a) u du ( ln a ) du 

= e (ln a) u e(ln a) e(ln 

a) 

~ (2) 

dx dx dx dx 

Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos: 

dy u du 

a (ln 

a) ; Q. E. D 

dx dx 


Sea y log u ~ (1) 

Haciendo cambio de base tenemos : 

ln u 

y ~ (2) 

ln a 

Derivando a (2) : 

a 

dy 1 du 

 

; Q. E. D 

dx (ln a) u dx 


Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e. 

tan x 

1. y 3 (ln 3) 

Derivando : 

dy 

3 dx 

ln x 

2. y x 

sec x(ln3)(ln3) 3sec 

x(ln3) 

tan x 2 tan x 2 2 

Aplicando log aritmo en ambos lados : 

ln y ln x (ln x)(ln x) (ln x) 

ln x 

2 

Derivando la nueva exp resión : 

1 dy 1 2(ln x) 

 

y dx x 

dy 

Despejando a : 

dx 

dy 2 

(ln xx ) 

dx x 

ln x 

2 

3. y=log5 sec( x 2 x) 

dy x x x x x x x x 

 

dx x x 

sec( 

2 

2 ) tan( 

2 

2 )(2 2) 2( 1) tan( 

2 

2 ) 

(ln 5)sec( 

2 

2 ) (ln 5) 

En ocasiones, un integrando contiene una función exponencial en una 

base distinta de e. En tal caso, hay dos opciones: (1) pasar a base e 

usando la fórmula 

a e 

y entonces integrar o (2) integrar 

x (ln a) x 

directamente, usando siguiente fórmula de integración 

 

x 1 x 

a dx ac 

ln a 

Ejemplo: Integración de una función exponencial en base distinta de e. 

 

2 

x 

( x)2 dx ~ (1) 

Hacemos u x 

2 

~ (2) 


Deriferenciando a u : 

du 2 xdx, despejando : 

du 

xdx ~ (3) 

2 

Sustituyendo (2) y (3) en (1) : 

u du 1 u 1 1 u 

222 2 ; : 

2 du C sustituyendo a u por su valor 

2 ln2 1 1 1 1 1 2 

u u x 

2 du 2 C 2 C 

2 

2 ln 2 2 ln 2 

1. 7 Funciones trigonométricas inversas. 

Ninguna de las seis funciones trigonométricas tienen inversas. Esto se 

debe a que son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva. 

Para que tengan funciones inversas es necesario redefinir el dominio 

de cada una de ellas. 

Definición de las funciones trigonométricas inversas 

Función Do min io Rango 

 

y arcsenx si y sólo si seny x -1 x 1 

- y 

2 2 

y arccos x si y sólo si cos y x -1 x 1 0 y 

 

y arctan x si y sólo si tan y x - x - y 

2 2 

y arc cot x si y sólo si cot y x - x 0 y 

 

y arcsec x si y sólo si sec y x x 1 0 y , y 

2 

 

y arc csc x si y sólo si csc y x x 1 - y , y 

0 

2 2 


Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas. 

Gráfica de la función coseno y su inversa. 


f -1 (x)=arc tag x 

Y=arcsecx 


Y=arccscx 

Y=arccotx 


Propiedades de las funciones trigonométricas 

Si -1 x 1 y - y , entonces 

2 2 

sen( arcsenx) x y arcsen( seny) y. 

Si - y 

, entonces 

2 2 

tan(arctan x) x y arctan(tan y) y. 

Si x 1 y 0 y o y , entonces 

2 2 

sec( arcsec x) x y arcsec(sec y) y 

Pr opiedades aná log as son válidas para las otras funciones trigométricas inversas 

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. 

Teorema 14. Derivadas de las funciones trigonométricas 

inversas. 


d 

( arcsenu) 

dx 

u ' 

2 

1u d 

(arccos u) 

 

dx 

u 

' 

2 

1u 

d u ' d u ' 

( arc tan u ( arccot u) 

 

2 2 

dx 1udx1u d 

( arcsec u) 

dx u 

u ' d 

( arccsc u) 

 

2 

u 1 

dx 

u 

u 

' 

2 

u 1 


Sea y arcsenu entonces u seny 

~ 1 

Derivando (1) 

du dy 

cos y ~ (2) 

dx dx 

dy 

Despejando a de (2) : 

dx 

dy 1 du u ' 

 

~ (3) 

dx cos y dx cos y 


Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas : 

2 2 2 

sen y y y sen y 

cos 1 cos 1 ~ (4) 

Sustituyendo (1) en (4) : 

2 

cos y 1 u 

~ (5) 


dy u ' 

 

dx 1 

u 

2 

; Q. E. D 

Las demás se dejan como ejercicios a los estudiantes. 

Ejemplos: Hallar las derivadas de 

1. y 2 arcsen( x 1) 

dy 2 2 2 2 

 

dx 2 2 2 2 

1 ( x 1) 1 ( x 2x 1) 1 x 2x 1 x 2x 

2. h( t) sen(arccos t) 

dh d t 

cos(arccos t) (arccos t) 

 

dt dt 1 

t 

3. y arc tan x 

dy 1 

 

dx x x 

2 

2 ( 1) 

2 

3. sec 

y x arc x 

dy 2 1 

x 

( x ) 2xarc sec x 2xarc sec x 

dx 2 2 

x x 1 x 1 

1. 7 Funciones hiperbólicas. 

El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre 

el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una 

hipérbola. 


2

Definición de las funciones hiperbólicas. 

x x 

e e 

1 

senhx csc hx ; x 0 

2 

senhx 

x x 

e e 

1 

cosh x sec hx 

2 cosh x 

senhx 

1 

tanh x coth x , x 0 

cosh x tanh x 

Identidades hiperbólicas 

2 2 

cosh 1 ( ) cosh cosh 

x senh x senh x y senhx y xsenhy 

2 2 

tanh sec 1 ( - ) cosh - cosh 

x h x senh x y senhx y xsenhy 

2 2 

coth csc 1 cosh( ) cosh cosh 

x h x x y x y senhxsenhy 

2 2 

senh x cosh x 

cosh( x - y) cosh xcosh y - senhxsenhy 

1 cosh 2x 1 cosh 2x 

 

2 2 

2 2 

senh2x 2senhx cosh x cosh 2x cosh x senh x 

Derivación e integración de funciones hiperbólicas. 

Teorema 16 Derivadas e integrales de las funciones 

hiperbólicas. 

Sea u una función derivable de x. 

d 

( senhu) (cosh u) u ' cosh udu senhu C 

dx 

 


d 

(cosh u) ( senhu) u ' senhudu cosh u C 

dx 

 

d 

2 2 

(tanh u) (sec h u) u ' sec h udu tanh u C 

dx 

 

d 

2 2 

(coth u) (csc u) u ' csc h udu coth u C 

dx 

 

d 

(sec hu) (sec 

hu tanh u) 

u ' sec tanh sec 

dx 

hu udu hu C 

d 

(csc hu) (csc hu coth u) u ' csc hu coth udu csc hu C 

dx 

 


u u 

e e 

Sea y senhu ~ (1) 

2 

Derivando la exp resión (1) : 

u uuu dy d d e eeedu ( senhu) 

~ (2) 

dx dx dx 2 2 dx 

u u 

e e 

cosh u ~ (3) 

2 


d du 

( senhu) cosh u 

dx dx 

Ejemplos: Derivación de funciones hiperbólicas. 

3 

1. y ln senh(2x tan 

x) 

 

y x x x x x x 

senh(2x tan x) 

 

3 

cos h(2x tan x) 

2 2 3 2 2 

' (6 sec ) coth(2 tan )(6 sec ) 

3 

y h x 

2 

sec (3 ) 

2. y ' 2sec h(3 x) tanh(3 x)(3) 6sec 

h(3 x) tanh(3 x) 


Funciones hiperbólicas inversas 

Teorema 17. Funciones hiperbólicas inversas. 

Función Do min io 

1 

2 

senh x ln( x x 1) (- , ) 

1 

2 

cosh x ln( x x 1) [1, ) 

1 

tanh x ln (-1,1) 

coth 

1 

1 1x 

2 1x 

1 1x 

x ln (- ,-1) (1, ) 

2 x 1 

1 1x 

x 

2 

1 

sec h xln 

(0,1] 

2 

1 

1 1x 

sc ln (- ,0) (0, ) 

c h x 


1 

y senh x 

 

x x 

 

~ (1) 

Despejando x de 

(1) : 

x senhy y cosh y x 

Sumando senhy y cosh y : 

y -yy-y e - e e e y 

senhy cosh y e ~ (2) 

2 2 

Aplicando log aritmo en (2) : 

y 

ln senhy cosh y ln e y ~ (3) 

2 2 2 

cosh y senh y 1, entonces cosh y senh y 1 

~ (4 

como senhy x sustituyendo en 

2 

cosh y x 1 

~ (6), de ahí tenemos : 

ln 1 

2 1 

x x y senh x 

Por to senh x x x 

(4) : 

1 

2 

tan ln 1 


)


senhy 

 

cosh y 

1 

y tanh x ~ (1), entonces x tanh y 

y y 

e e 

x ~ (2) 

y y 

e e 

x( e e ) e e , xe xe e e 

y y y y y y y y 

xe e e xe 

yyy y 

y y 

e ( x 1) e (1 x) 

~ (3) 

y 

Dividiendo (3) entre e (1 x) 

: 

y 

1 

x e 

y 

1 

x e 

2 y 

e~ 

(4) 

Aplicando log aritmo en 

(4) : 

1 

x 

 

1 

x 

Despejando a y de (5) : 

2 y 

ln ln e 2 y ~ (5) 

1 1x 

y ln ~ (6) 

2 1x 


1 1x 

x Q E D 

2 1x 

1 

tanh ln ; . . 

Nota: Las demás demostraciones se dejan como ejercicio a los 

estudiantes. Deben enviarlas por e-mail o presentarlas en el cuaderno. 

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se dejan como tarea 

para a los estudiantes, también. 

Teorema 18. Derivación e integración de funciones hiperbólicas 

inversas. 

Sea u una función derivable de x 

d 1 u ' d 1 

u ' 

[ senh u] [ cosh u] 

 

dx 2 2 

u 1 dx 

u 1 


d 1 u ' 

[tan h u] 2 

dx 1u d 1 

u ' 

[ co t h u] 

2 

dx 1u 

d u' d u' 

dx u 1udx u 1u 

 

 

 

1 1 

[sec h u] [ csc h u] 

 

2 2 

du 

u a 

2 2 

du 

a u 

u 

2 2 

du 

u a 

2 2 

2 2 

ln( ) 

a u a c 

1 au ln c 

2a 

a u 

2 2 

1 a u a 

ln 

c 

a u

Tema I. Funciones trascendentes.pdf - WikiUASD

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