T29.10 B591a.pdf - Universidad de La Salle
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ANÁLISIS DOCUMENTAL ENFOCADO A LA CONCEPCIÓN Y<br />
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Y DESARROLLO DEL PENSAMIENTO<br />
MULTIPLICATIVO EN ESTUDIANTES DE LICENCIATURA EN<br />
MATEMÁTICAS Y AFINES<br />
ANDRÉS EDUARDO BLANCO NIÑO 29022203<br />
HUGO ERNESTO CHAVES MARTINEZ 29022205<br />
UNIVERSIDAD DE LA SALLE<br />
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN<br />
DEPARTAMENTO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS<br />
DE LA COMPUTACIÓN<br />
BOGOTA D.C.<br />
2010<br />
1
ANÁLISIS DOCUMENTAL ENFOCADO A LA CONCEPCIÓN Y<br />
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Y DESARROLLO DEL PENSAMIENTO<br />
MULTIPLICATIVO EN ESTUDIANTES DE LICENCIATURA EN<br />
MATEMÁTICAS Y AFINES<br />
ANDRÉS EDUARDO BLANCO NIÑO<br />
HUGO ERNESTO CHAVES MARTINEZ<br />
Trabajo <strong>de</strong> Grado presentado como requisito para obtener el título <strong>de</strong> Licenciados<br />
en Matemáticas y Ciencias <strong>de</strong> la Computación<br />
Directora<br />
JEANNETE PLAZA ZÚÑIGA<br />
Magistra en Investigación Educativa<br />
UNIVERSIDAD DE LA SALLE<br />
FACULTAD DE EDUCACIÓN<br />
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN<br />
Bogotá, D.C.<br />
2010<br />
2
Tabla <strong>de</strong> contenido<br />
RESUMEN ........................................................................................................................ 6<br />
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 7<br />
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................... 8<br />
Objetivo General ..................................................................................................... 10<br />
Objetivos Específicos .............................................................................................. 10<br />
Justificación............................................................................................................. 11<br />
Antece<strong>de</strong>ntes ........................................................................................................... 12<br />
FUNDAMENTACIÓN ................................................................................................... 14<br />
Documental ............................................................................................................. 16<br />
Motivación Positiva ................................................................................................ 17<br />
Enseñanza-Aprendizaje ........................................................................................... 18<br />
Acerca <strong>de</strong>l conocimiento profesional <strong>de</strong>l profesor <strong>de</strong> matemáticas. ....................... 22<br />
Acerca <strong>de</strong>l aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas en estudiantes para profesor. .............. 25<br />
El pensamiento multiplicativo................................................................................. 26<br />
DISEÑO METODOLOGICO ......................................................................................... 29<br />
Tipo <strong>de</strong> investigación: Análisis <strong>de</strong> contenido ......................................................... 29<br />
Análisis documental (<strong>de</strong> datos cualitativos) ............................................................ 30<br />
Obtención <strong>de</strong> resultados y establecimiento <strong>de</strong> conclusiones................................... 31<br />
ANÁLISIS DE RESULTADOS ..................................................................................... 34<br />
Etapas <strong>de</strong>l Proceso <strong>de</strong> Análisis ................................................................................ 34<br />
Primera Etapa ...................................................................................................... 34<br />
Segunda Etapa ..................................................................................................... 34<br />
Tercera Etapa ...................................................................................................... 35<br />
Tabla 1. Convenciones De Colores Utilizadas. .................................................. 36<br />
Resolución <strong>de</strong> Problemas .................................................................................... 36<br />
Utilización y exploración <strong>de</strong> hipótesis (Conjeturas). ...................................... 36<br />
Uso <strong>de</strong> diversas representaciones. .................................................................. 37<br />
Comunicación <strong>de</strong> resultados. .......................................................................... 37<br />
Objetivos Metodológicos .................................................................................... 38<br />
Comunicar y argumentar i<strong>de</strong>as. ...................................................................... 38<br />
Aceptar críticas. .............................................................................................. 39<br />
Objetivos Conceptuales ....................................................................................... 40<br />
Enten<strong>de</strong>r i<strong>de</strong>as matemáticas. .......................................................................... 40<br />
3
Construir y reconstruir conceptos matemáticos. ............................................ 42<br />
Cuarta Etapa. ....................................................................................................... 42<br />
Comprensión <strong>de</strong> enunciado. ............................................................................ 43<br />
Conciencia <strong>de</strong> error en la solución <strong>de</strong> la situación problémica. .................... 46<br />
Conciencia <strong>de</strong> situación problémica. .............................................................. 48<br />
Estudiante <strong>de</strong>scribe un proceso. ..................................................................... 49<br />
Necesidad <strong>de</strong> rectificación en comprensión <strong>de</strong> enunciado. ............................ 52<br />
Planteamiento <strong>de</strong> posible solución a situación problémica. ........................... 55<br />
Planteamiento <strong>de</strong> situación problémica .......................................................... 60<br />
Propuesta alterna para solución <strong>de</strong> situación problémica. ............................ 61<br />
Síntesis <strong>de</strong> posible solución a situación problémica. ...................................... 62<br />
Solución a situación problémica. .................................................................... 70<br />
Estudiante comunicando i<strong>de</strong>as acerca <strong>de</strong> un texto. ........................................ 77<br />
Quinta y Sexta Etapa ........................................................................................... 81<br />
Listado <strong>de</strong> Palabras o Frases Recurrentes ..................................................... 82<br />
Séptima Etapa...................................................................................................... 90<br />
Oposiciones ..................................................................................................... 90<br />
Campo Semántico............................................................................................ 91<br />
Octava Etapa ....................................................................................................... 94<br />
Categoría 1: Resolución <strong>de</strong> problemas ........................................................... 94<br />
Categoría 2: Soluciones y Representaciones <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a<br />
partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as propias. ................................................................................... 95<br />
Categoría 3: Aprehensión <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong>l error y la<br />
rectificación..................................................................................................... 96<br />
TABLA 2. Recopilación <strong>de</strong> resultados. ......................................................... 97<br />
Novena Etapa. ..................................................................................................... 99<br />
El pensamiento multiplicativo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la resolución <strong>de</strong> problemas. (Resultados)<br />
......................................................................................................................... 99<br />
Resolución <strong>de</strong> problemas. ............................................................................... 99<br />
Soluciones y Representaciones <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as<br />
propias........................................................................................................... 101<br />
Aprehensión <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong>l error y la rectificación.<br />
....................................................................................................................... 102<br />
CONCLUSIONES ........................................................................................................ 105<br />
RECOMENDACIONES ............................................................................................... 110<br />
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................... 112<br />
4
APENDICES ................................................................................................................. 114<br />
Introducción……………………………………………………………………………..I<br />
APENDICE A Clase 1 Febrero 6 <strong>de</strong> 2004………………………………………….II<br />
APENDICE B Clase 2 Febrero 9 <strong>de</strong> 2004…………………………………………III<br />
APENDICE C Clase 3 Febrero 12 <strong>de</strong> 2004………………………………………..IV<br />
APENDICE D Clase 4 Febrero 13 <strong>de</strong> 2004………………………………………..V<br />
APENDICE E Clase 5 Febrero 16 <strong>de</strong> 2004………………………………………..VI<br />
APENDICE F Clase 6 Febrero 19 <strong>de</strong> 2004……………………………………….VII<br />
APENDICE G Clase 7 Febrero 20 <strong>de</strong> 2004……………………………………...VIII<br />
APENDICE H Clase 8 Febrero 23 <strong>de</strong> 2004………………………………………..IX<br />
APENDICE I Clase 9 Febrero 26 <strong>de</strong> 2004…………………………………………X<br />
APENDICE J Clase 10 Febrero 27 <strong>de</strong> 2004………………………………………..XI<br />
5
RESUMEN<br />
Esta investigación surge a partir <strong>de</strong>l material <strong>de</strong> análisis utilizado para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l<br />
proyecto EL PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU<br />
DENSIDAD Y COMPLEJIDAD EN SU DESARROLLO EN EL AULA integrado por<br />
docentes investigadores <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Distrital Francisco José <strong>de</strong> Caldas en el cual,<br />
se realizaron filmaciones <strong>de</strong> las clases presenciales <strong>de</strong> estudiantes <strong>de</strong> Licenciatura en<br />
Educación Básica con el fin <strong>de</strong> analizar a profundidad el rol <strong>de</strong>l estudiante y docente en<br />
el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo en el aula <strong>de</strong> aprendizaje a nivel<br />
universitario.<br />
Docentes integrantes <strong>de</strong> dicho proyecto facilitaron el material fílmico (10 vi<strong>de</strong>os en<br />
formato VHS) a un grupo <strong>de</strong> estudiantes <strong>de</strong> Licenciatura en Matemáticas y Ciencias <strong>de</strong><br />
la Computación <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> <strong>La</strong> <strong>Salle</strong> con el fin <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollar proyectos <strong>de</strong><br />
investigación conservando la fundamentación esencial pero con diferente enfoque e<br />
intencionalidad.<br />
Para obtener resultados en este trabajo, se realizaron una serie <strong>de</strong> pasos <strong>de</strong> acuerdo a las<br />
etapas <strong>de</strong> la investigación, comenzando por la transcripción completa <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os,<br />
clasificación <strong>de</strong> los personajes, establecimiento <strong>de</strong> convenciones por colores para<br />
diferenciar categorías previas <strong>de</strong> análisis que se <strong>de</strong>puraron <strong>de</strong> acuerdo a la referencia<br />
bibliográfica titulada: Destilar la Información <strong>de</strong> Fernando Vásquez con el fin <strong>de</strong> llegar<br />
a establecer nuevas categorías <strong>de</strong> análisis referentes al pensamiento multiplicativo y su<br />
<strong>de</strong>sarrollo en el aula.<br />
El mol<strong>de</strong>amiento <strong>de</strong> las conclusiones se plasmó en Cuadros semánticos como<br />
generalidad y se ampliaron por medio <strong>de</strong> la redacción <strong>de</strong> un texto aclaratorio.<br />
Se entregan también recomendaciones para futuros investigadores y para las<br />
instituciones implicadas en la investigación.<br />
Palabras Clave: Resolución <strong>de</strong> Problemas, Pensamiento Multiplicativo, Error,<br />
Matemática, Destilación, Análisis, Vi<strong>de</strong>o.<br />
6
INTRODUCCIÓN<br />
<strong>La</strong> educación Matemática en Colombia ha avanzado constantemente en los últimos<br />
años, no sólo en el número <strong>de</strong> <strong>Universidad</strong>es que ofrecen programas en este campo sino<br />
en la importancia que se le da a implementar procesos eficientes y eficaces para<br />
apren<strong>de</strong>r matemática y educar en esta misma ciencia.<br />
Esta tarea se ha convertido en un reto para estudiantes y docentes teniendo en cuenta<br />
que <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l paradigma que se tenía hace unos años, se hacía evi<strong>de</strong>nte el supuesto<br />
“alto grado <strong>de</strong> dificultad” o el hecho <strong>de</strong> asociar el estudio <strong>de</strong> la matemática con personas<br />
aisladas a la sociedad o con un nivel <strong>de</strong> pedagogía menor a los docentes <strong>de</strong> otras áreas<br />
en vista <strong>de</strong>l poco agrado que sienten los estudiantes hacia la materia generalmente.<br />
A partir <strong>de</strong> lo anteriormente expuesto, muchos matemáticos e incluso pedagogos que no<br />
dominan ciencias puras o no propiamente son su especialidad, se han interesado en gran<br />
medida por avanzar en el campo <strong>de</strong> la educación matemática y su impacto en la<br />
sociedad con el fin <strong>de</strong> optimizar los procesos pedagógicos y lograr aprendizaje<br />
significativo o encontrar respuestas claras a las problemáticas educativas en este campo.<br />
En los últimos años en las instituciones educativas colombianas han surgido diferentes<br />
grupos tanto <strong>de</strong> estudiantes como docentes, <strong>de</strong>dicados a la investigación y publicación<br />
<strong>de</strong> resultados obtenidos a partir <strong>de</strong> proyectos propios por medio <strong>de</strong> revistas u otro tipo <strong>de</strong><br />
material visual e incluso audiovisual.<br />
7
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN<br />
¿Cuáles categorías permiten explicar el proceso <strong>de</strong> formación <strong>de</strong>l pensamiento<br />
multiplicativo en el aula y facilitan un análisis que logre una aplicación real <strong>de</strong> los<br />
conceptos implicados?<br />
En las activida<strong>de</strong>s planteadas en los programas <strong>de</strong> formación <strong>de</strong> docentes en la<br />
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong><br />
Distrital el Grupo MESCUD, con el proyecto: EL PENSAMIENTO<br />
MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU DENSIDAD Y COMPLEJIDAD EN<br />
SU DESARROLLO EN EL AULA integrado por docentes investigadores financiados<br />
por Colciencias, plantea que en dichos pregrados no se analiza <strong>de</strong> una manera<br />
estructurada y completa la forma en que los aspirantes a licenciados en programas <strong>de</strong><br />
pregrado en matemáticas o afines, realiza una conexión entre la metodología que se usa<br />
para enseñar y apren<strong>de</strong>r las estructuras multiplicativas en la secundaria y<br />
posteriormente en los programas universitarios <strong>de</strong> la misma rama respecto a la<br />
solución <strong>de</strong> problemas por medio <strong>de</strong> estrategias claras y estructuradas.<br />
Lo anteriormente planteado, aborda un tema bastante <strong>de</strong>batido en la comunidad<br />
matemática y es la aplicación que pue<strong>de</strong> dar respecto a una realidad física y temporal en<br />
un contexto <strong>de</strong>terminado. Como supuesto, se podría pensar que el currículo estaría en<br />
capacidad <strong>de</strong> plantear una alternativa viable para que los educadores y aspirantes a<br />
educadores lleguen a un punto en común, en el cual la se pueda concebir una<br />
“matemática real”.<br />
“Para que los estudiantes vean las matemáticas como una actividad con sentido,<br />
necesitan apren<strong>de</strong>rlas en un salón <strong>de</strong> clases que sea un microcosmos <strong>de</strong> la<br />
cultura matemática. Es <strong>de</strong>cir, clases don<strong>de</strong> los valores <strong>de</strong> las matemáticas como<br />
una disciplina se reflejen en la práctica cotidiana. Así, para la educación<br />
8
matemática el asunto es cultural. ¿Cómo se pue<strong>de</strong> crear un ambiente <strong>de</strong> clase que<br />
refleje una cultura matemática real? (Schoenfeld, 1988, p. 88)<br />
9
Objetivo General<br />
Analizar el contenido <strong>de</strong> las filmaciones <strong>de</strong> clase aportadas por la <strong>Universidad</strong> Distrital<br />
Francisco José <strong>de</strong> Caldas (Grupo MESCUD) para <strong>de</strong>sarrollar una nueva investigación<br />
que lleve a establecer categorías generales <strong>de</strong> análisis que faciliten la obtención <strong>de</strong><br />
conclusiones respecto al proceso <strong>de</strong> adquisición <strong>de</strong> conceptos relacionados con el<br />
pensamiento multiplicativo. (Estas filmaciones correspon<strong>de</strong>n a las grabaciones <strong>de</strong> la<br />
primera a la décima <strong>de</strong> clases, don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>sarrolla un experimento <strong>de</strong> enseñanza<br />
diseñado por el mismo grupo, <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la cátedra <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> la aritmética II, <strong>de</strong><br />
un conjunto <strong>de</strong> estudiantes <strong>de</strong> licenciatura en educación básica con énfasis en<br />
matemáticas <strong>de</strong>l primer ciclo académico <strong>de</strong>l año 2004 <strong>de</strong> <strong>La</strong> <strong>Universidad</strong> Distrital.)<br />
Objetivos Específicos<br />
I<strong>de</strong>ntificar las precategorias <strong>de</strong> análisis que permitan clasificar y organizar la<br />
información aportada por las filmaciones <strong>de</strong> clase.<br />
Diseñar un mo<strong>de</strong>lo para organizar la información proporcionada por las<br />
filmaciones en las precategorías <strong>de</strong> análisis <strong>de</strong>finidas por el proyecto.<br />
Explorar el material audiovisual y realizar las transcripciones textuales para<br />
utilizarlas como herramienta fundamental <strong>de</strong> apoyo bibliográfico.<br />
Extraer las conclusiones y recomendaciones a que da lugar el trabajo.<br />
10
Justificación<br />
Consi<strong>de</strong>ramos que esta investigación aporta elementos al conocimiento en cualquier<br />
lugar en el que sea <strong>de</strong>sarrollada y expuesta, <strong>de</strong>bido a que no es una temática particular a<br />
nuestro país sino a cualquier población <strong>de</strong>l globo.<br />
Socialmente el impacto pue<strong>de</strong> ser significativo en la medida en que los estudiantes y<br />
docentes se vean beneficiados con los resultados que arroje nuestra investigación en<br />
función <strong>de</strong> la mejora <strong>de</strong> los procesos <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje en cualquier institución,<br />
más específicamente en el campo <strong>de</strong> la educación matemática.<br />
A nivel <strong>de</strong> nuestro país las investigaciones en este tema suelen ser escasas y no muy<br />
relacionadas con la especificidad <strong>de</strong>l tema que queremos investigar por en<strong>de</strong><br />
entregaremos un producto novedoso y muy acor<strong>de</strong> a las necesida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l mercado<br />
estudiantil y docente a nivel colombiano.<br />
De igual forma el análisis <strong>de</strong> textos que realizamos en nuestra investigación, como<br />
apoyo, para extraer conclusiones <strong>de</strong>l material audiovisual pue<strong>de</strong> generar alternativas en<br />
la población que se vea beneficiada para el planteamiento <strong>de</strong> nuevos mo<strong>de</strong>los o<br />
modificaciones a textos <strong>de</strong> enseñanza existentes.<br />
El producto final <strong>de</strong> nuestro trabajo preten<strong>de</strong> impactar sobre el proyecto <strong>de</strong> investigación<br />
<strong>de</strong>l grupo MESCUD y en un futuro en la población que se ve directamente afectada con<br />
respecto a la problemática, complementar el currículo y enriquecer <strong>de</strong> manera<br />
significativa el proceso <strong>de</strong> enseñanza-aprendizaje.<br />
Un elemento adicional con referencia al impacto que tendrá nuestro proyecto en la<br />
población <strong>de</strong> los estudiantes, tiene que ver con la posibilidad <strong>de</strong> una motivación positiva<br />
por parte <strong>de</strong> estudiantes y docentes, para investigar mucho más acerca <strong>de</strong> la temática e<br />
indagar en las fuentes que se tengan al alcance para enriquecer en gran medida el<br />
proceso enseñanza-aprendizaje. Es importante pensar que <strong>de</strong> acuerdo a nuestra<br />
experiencia docente y como estudiantes en cualquiera <strong>de</strong> nuestras etapas, que los<br />
11
elementos novedosos y con gran utilidad son factores inci<strong>de</strong>ntes en la motivación y<br />
dinámica <strong>de</strong> los procesos para cada uno <strong>de</strong> los actores <strong>de</strong>l proceso educativo.<br />
Es pertinente resaltar que apoyar proyectos <strong>de</strong> investigación que promuevan el avance<br />
<strong>de</strong> la educación matemática en Colombia es una excelente oportunidad para conformar<br />
grupos <strong>de</strong> trabajo, sin importar que sus integrantes pertenezcan a faculta<strong>de</strong>s diferentes<br />
ya que esto garantiza intercambio <strong>de</strong> información <strong>de</strong> diferentes fuentes, y con enfoques<br />
diversos que generan ambientes <strong>de</strong> adquisición <strong>de</strong> conocimiento a partir <strong>de</strong> la discusión<br />
y análisis.<br />
Antece<strong>de</strong>ntes<br />
Nuestro proyecto <strong>de</strong> investigación surgió a partir <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l proyecto: EL<br />
PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU DENSIDAD Y<br />
COMPLEJIDAD EN SU DESARROLLO EN EL AULA, encabezado<br />
principalmente por el investigador Jaime Romero Cruz <strong>de</strong>l Grupo MESCUD <strong>de</strong> la<br />
<strong>Universidad</strong> Distrital Francisco José <strong>de</strong> Caldas financiado por Colciencias.<br />
<strong>La</strong> investigación tiene como material <strong>de</strong> trabajo principal, filmaciones <strong>de</strong> clase<br />
realizadas por el grupo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Francisco José <strong>de</strong> Caldas que nos<br />
llevó a plantear i<strong>de</strong>as y a reflexionar acerca <strong>de</strong> todo aquello que tiene que ver con el<br />
conocimiento que poseen tanto docentes como estudiantes, la forma en que los docentes<br />
enseñan y la manera en que los estudiantes apren<strong>de</strong>n el tema <strong>de</strong> las estructuras<br />
multiplicativas e interiorizan los algoritmos para la realización <strong>de</strong> operaciones <strong>de</strong>finidas<br />
<strong>de</strong>bido a que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> nuestra experiencia notamos que incluso nosotros concebimos y<br />
aplicamos <strong>de</strong> manera mecánica muchos <strong>de</strong> los conceptos relacionados con el tema.<br />
Al realizar una consulta profunda y un análisis preliminar que incluyó la transcripción<br />
<strong>de</strong>l audio y la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os, encontramos una gran cantidad <strong>de</strong> excelentes<br />
alternativas que a nuestro parecer superan el análisis puramente mecánico y difieren <strong>de</strong><br />
12
las que encontramos en los textos que tenemos a nuestro alcance en nuestro entorno,<br />
razones por las cuales comenzamos a indagar e investigar en el tema.<br />
De igual manera, al realizar un estudio <strong>de</strong> los materiales propuestos para complementar<br />
nuestro proyecto, <strong>de</strong>tectamos posibles falencias en el análisis <strong>de</strong> los materiales<br />
audiovisuales que se generan normalmente por la falta <strong>de</strong> información que se posee <strong>de</strong><br />
las técnicas <strong>de</strong> análisis <strong>de</strong> contenido i<strong>de</strong>ales en los temas que tienen que ver con<br />
estructuras matemáticas directamente, con este fin establecimos categorías <strong>de</strong> análisis<br />
para los actores <strong>de</strong>l proceso educativo (docente y estudiante). Para efectos <strong>de</strong> este<br />
trabajo analizamos únicamente las características concernientes a los estudiantes.<br />
13
FUNDAMENTACIÓN<br />
En este trabajo es importante el conocimiento preciso <strong>de</strong> ciertos conceptos que pue<strong>de</strong>n<br />
facilitar el análisis <strong>de</strong>l material audiovisual que se ha mencionado en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong><br />
este trabajo, el cual, se presenta en a continuación.<br />
<strong>La</strong> observación es el proceso formal o informal <strong>de</strong> analizar un aspecto concreto <strong>de</strong> una<br />
situación real para posteriormente, i<strong>de</strong>ntificar una serie <strong>de</strong> elementos o unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
observación que al ser estudiados <strong>de</strong> manera individual o global mejoran nuestra<br />
comprensión <strong>de</strong> la realidad.<br />
<strong>La</strong> observación se como la concibe (Green,1982) pue<strong>de</strong> presentarse <strong>de</strong> manera abierta o<br />
cerrada. En la primera el observador tiene un número <strong>de</strong> elementos previstos para<br />
analizar, éstos sin embargo pue<strong>de</strong>n estar sujetos a ser modificados <strong>de</strong> acuerdo con el<br />
curso, ritmo y vida <strong>de</strong> la situación que esta siendo objeto <strong>de</strong> estudio. Por otra parte, en la<br />
observación cerrada. <strong>La</strong>s categorías o unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> observación son planteadas <strong>de</strong><br />
manera a priori no son modificadas sino que se mantienen <strong>de</strong> manera fija.<br />
Un elemento a consi<strong>de</strong>rar en la observación es el registro tecnológico o uso <strong>de</strong><br />
grabaciones en vivo <strong>de</strong> acontecimientos, procesos o grupos. Se obtienen mediante<br />
aparatos electrónicos que efectúan registros permanentes (vi<strong>de</strong>o discos, cintas<br />
magnetofónicas) este tipo <strong>de</strong> registro <strong>de</strong> datos “suministra datos en bruto” (Green, 327,<br />
1982) los cuales permiten mayor fi<strong>de</strong>lidad en el registro un evento a la hora <strong>de</strong> realizar<br />
un análisis.<br />
Entre tanto pensamiento se entien<strong>de</strong> como un conjunto <strong>de</strong> actos conscientes y afectivos<br />
<strong>de</strong> la voluntad. (MARTINEZ ECHEVERRY, 433, 1997) “es un objeto <strong>de</strong> la lógica en<br />
cuanto a abstracción <strong>de</strong> la realidad su contenido es intencional para po<strong>de</strong>r constituirse en<br />
14
un acto concreto” para Ortega y Gasset el pensamiento es un conjunto <strong>de</strong> hipótesis o<br />
predicciones que supone un ser cuando sus creencias fallan. Por tanto no se pue<strong>de</strong><br />
equiparar al pensamiento con al conocimiento es así como la creencia se constituye en<br />
una forma <strong>de</strong> pensamiento.<br />
El pensamiento según Hegel no tiene espacio ni tiempo es presente a si mismo. El ser<br />
actual <strong>de</strong> la cosas es el ser presente actual. Para efectos <strong>de</strong>l análisis en este proyecto<br />
cabe <strong>de</strong> manera muy pertinente consi<strong>de</strong>rar la concepción <strong>de</strong> Husserl al enten<strong>de</strong>r el<br />
pensamiento como un intento <strong>de</strong> darle significado a las cosas lo cual preten<strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r<br />
las esencias y no la naturaleza material <strong>de</strong> las cosas.<br />
<strong>La</strong> enseñanza se concibe como el proceso intencional mediante el cual la sociedad<br />
mo<strong>de</strong>rna convierte a sus individuos en here<strong>de</strong>ros <strong>de</strong> su saber, <strong>de</strong> su saber, <strong>de</strong> su tradición<br />
y pasado histórico, <strong>de</strong> su competencia productiva, <strong>de</strong> su capacidad <strong>de</strong> convivencia<br />
presente y <strong>de</strong> sus posibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> proyección para el futuro.(GUILLEN 2004).<br />
Por otra parte la enseñanza pue<strong>de</strong> verse como un acto mas privado tal y como lo<br />
menciona (CAMPOS, RESTREPO 2002) Enseñar es hacer marcas, poner lo aceptado en<br />
signos para que otros los sigan, los reconozcan. Es <strong>de</strong>cir, el acto <strong>de</strong> enseñar es hacer<br />
aceptar a otro lo que ha sido previamente aceptado por uno mismo. Si la educación se<br />
pue<strong>de</strong> asemejar a la labor <strong>de</strong> un artesano. Diríamos que enseñar es mol<strong>de</strong>ar, pero a<br />
diferencia <strong>de</strong>l artesano la labor <strong>de</strong>l docente es no tiene una inferencia directa sobre el<br />
producto final.<br />
Quien enseña es quien inicia procesos, es quien lleva la iniciativa, muestra mundos y<br />
abre horizontes. Es el responsable según (CAMPOS, RESTREPO 2002) <strong>de</strong> mostrar,<br />
propiciar y promover la formación <strong>de</strong> quienes como alumnos <strong>de</strong>sean apren<strong>de</strong>r<br />
contribuyendo con su <strong>de</strong>sarrollo.<br />
15
<strong>La</strong> unidad básica <strong>de</strong>l lenguaje audiovisual es el plano. Des<strong>de</strong> una perspectiva espacial,<br />
plano es el espacio escénico que vemos en el marco <strong>de</strong>l visor <strong>de</strong> la cámara o en la<br />
pantalla; <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una perspectiva temporal plano (o toma) es todo lo que la cámara<br />
registra <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que se inicia la filmación hasta que se <strong>de</strong>tiene.<br />
Un elemento <strong>de</strong> este lenguaje es el gran plano general que se utiliza para dar una visión<br />
panorámica <strong>de</strong> un paisaje, también se utiliza para contrastar elementos <strong>de</strong> muy distinto<br />
tamaño u ofrecer una visión completa <strong>de</strong> la acción.<br />
Plano medio es el referido a una imagen que recoge cuerpos humanos a la altura <strong>de</strong> la<br />
ca<strong>de</strong>ra. Este plano establece las interrelaciones directas entre dos o más personaje o<br />
entre estos y los objetos <strong>de</strong>l ambiente.<br />
Es menester para hablar <strong>de</strong>l lenguaje cinematográfico <strong>de</strong>scribir el movimiento <strong>de</strong> una<br />
cámara por ejemplo <strong>La</strong> panorámica la cual es un movimiento sobre el eje horizontal (el<br />
más habitual), vertical o diagonal. <strong>La</strong>s panorámicas se pue<strong>de</strong>n hacer apoyando la<br />
cámara sobre la cabeza <strong>de</strong>l trípo<strong>de</strong>, en ocasiones se ven algunas hechas a mano, mucho<br />
más inestables. El objetivo <strong>de</strong> este movimiento es <strong>de</strong>scribir, un espacio o <strong>de</strong><br />
acompañamiento, siguiendo a un elemento en movimiento; o <strong>de</strong> relación, asociando a<br />
más <strong>de</strong> un personaje.<br />
Documental<br />
El documental es un cine que cumple fines absolutamente didácticos, (SANCHEZ,<br />
MARTINEZ 2002) resalta el documental como:<br />
“El Cine es realizado sobre la base <strong>de</strong> materiales tomados <strong>de</strong> la realidad. <strong>La</strong><br />
organización y estructura <strong>de</strong> imágenes, sonidos (textos y entrevistas) según el punto <strong>de</strong><br />
vista <strong>de</strong>l autor <strong>de</strong>termina el tipo <strong>de</strong> documental” este se diferencia <strong>de</strong>l filme <strong>de</strong> acción<br />
pues en el film <strong>de</strong> acción toda la escenográfa imágenes y <strong>de</strong>más elementos. Son<br />
16
elaborados exclusivamente para el fin <strong>de</strong> acción mientras que en el documental las<br />
imágenes, sonidos son los que llevan la batuta <strong>de</strong> la creación fílmica. Y todo el texto<br />
narraciones entrevistas dinamiza el mismo documental en función <strong>de</strong> si mismo.<br />
En si mismo el documental toma vida propia, pues su contenido <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> lo que<br />
suceda en la realidad sin que los autores <strong>de</strong>l documental intervengan directamente. Por<br />
otra parte, el cine <strong>de</strong> acción o comedia es preparado y es entendible que las situaciones<br />
sean manipuladas por quienes elaboran el filme. En el documental ese tipo <strong>de</strong><br />
manipulación es inadmisible.<br />
Motivación Positiva<br />
Un elemento importante a consi<strong>de</strong>rar en el actuar educativo es la motivación la cual en<br />
su sentido más estricto es aquel elemento que mueve a un persona a alcanzar un fin<br />
<strong>de</strong>terminado mediante acciones q el preten<strong>de</strong> lo llevan a alcanzar su objetivo final.<br />
Según (Maslow) todo acto humano busca satisfacer necesida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> diferentes tipos en<br />
un ser humano.<br />
Una serie <strong>de</strong> motivos para llevar a un estudiante al éxito académico Un ambiente<br />
familiar rico en incentivos y experiencias <strong>de</strong> tipo intelectual. El profesor es una pieza<br />
clave para <strong>de</strong>spertar el interés <strong>de</strong>l alumno. Carisma y buena afectiva con sus se <strong>de</strong>splace<br />
<strong>de</strong> la persona al objeto enseñado. El profesor pesa mucho en el proceso <strong>de</strong>l aprendizaje,<br />
ya que se educa más por lo que se es que por lo que se hace o dice. Una exposición<br />
amena y cálida hace posible la participación confiada y el diálogo sobre el tema.<br />
17
Enseñanza-Aprendizaje<br />
En el ejercicio <strong>de</strong> la labor docente es pertinente el conocimiento <strong>de</strong> diversos aspectos<br />
relacionados con el acto <strong>de</strong> enseñanza, que están <strong>de</strong>terminados por el docente, el<br />
estudiante y el acto <strong>de</strong> enseñanza mismo. En el marco <strong>de</strong>l presente proyecto se <strong>de</strong>ben<br />
consi<strong>de</strong>rar conceptos generales tales como, el proceso enseñanza aprendizaje, didáctica,<br />
motivación; así como procesos más particulares acor<strong>de</strong>s con la población con la que se<br />
trabaja y los intereses <strong>de</strong>l proyecto entre los cuales se encuentran, el <strong>de</strong>sarrollo<br />
cognitivo <strong>de</strong>l grupo con el que se trabaja y el vocabulario.<br />
<strong>La</strong> enseñanza – aprendizaje, para po<strong>de</strong>rse compren<strong>de</strong>r mejor, es necesario recordar lo<br />
que significan cada uno <strong>de</strong> estos dos términos <strong>de</strong> manera individual. En primer lugar, el<br />
aprendizaje es una capacidad <strong>de</strong>l intelecto para percibir la realidad y llevar a cabo<br />
cambios en el individuo. Estos cambios, pue<strong>de</strong>n manifestarse en la actitud, las<br />
habilida<strong>de</strong>s, <strong>de</strong>strezas y el conocimiento <strong>de</strong> información. Por otra parte, la enseñanza es<br />
mostrar, guiar, sacar fuera, como lo dicen Campos y Restrepo “es mostrar para que el<br />
otro pueda asirlo y aceptarlo.” (Campos y otros: 2002)<br />
Enseñanza - aprendizaje es un proceso <strong>de</strong> interacción entre dos personas en el cual la<br />
persona muestra, guía, orienta a otra a través <strong>de</strong> un dialogo, es una relación<br />
multidireccional pues se comparten experiencias conocimientos y vivencias don<strong>de</strong> no<br />
solamente uno se beneficia, sino que por el contrario ambos pue<strong>de</strong>n sacar provecho <strong>de</strong><br />
esa interacción y apren<strong>de</strong>r el uno <strong>de</strong>l otro.<br />
El siguiente concepto a consi<strong>de</strong>rar es la didáctica que es <strong>de</strong>finida por Vitale y otros<br />
lexicógrafos, como el esencial <strong>de</strong>l proceso educativo, un elemento propio para enseñar,<br />
constituye el conjunto <strong>de</strong> herramientas, estrategias, métodos, dinámicas, técnicas, que se<br />
aplican al momento <strong>de</strong> llevar a cabo el acto <strong>de</strong> enseñanza. <strong>La</strong> Didáctica se manifiesta en<br />
la clase misma, se observa y se realiza en tiempo real, ésta es la dinámica, el ritmo, la<br />
vida <strong>de</strong> una clase. <strong>La</strong> didáctica es pues “el arte <strong>de</strong> enseñar” (Vitale y otros: 1993). El<br />
18
docente al igual que un artista no solo dispone <strong>de</strong> muchas herramientas, sino que sabe<br />
usarlas <strong>de</strong> la manera apropiada para crear su obra.<br />
El repertorio <strong>de</strong> didácticas utilizadas en una clase pue<strong>de</strong>n variar <strong>de</strong> acuerdo a los<br />
objetivos <strong>de</strong> la clase, pero no todas las didácticas son apropiadas para alcanzarlos. Por<br />
ejemplo, si el objetivo <strong>de</strong> una clase <strong>de</strong> Matemáticas es <strong>de</strong>sarrollar el pensamiento, la<br />
didáctica más apropiada para cumplir ese objetivo pue<strong>de</strong> ser; mediante ejercicios y<br />
material que refuerce esa habilidad en especial, y no una lectura sobre la importancia <strong>de</strong><br />
la matemática; por en<strong>de</strong>, sin importar cual sea el tema a enseñar siempre hay una<br />
didáctica más apropiada que otra y es labor <strong>de</strong>l didacta, escoger la que mejor se<br />
acomoda a su necesidad.<br />
Para lograr que la didáctica se encuentre en armonía con el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la clase vale la<br />
pena exponer la motivación como puente y <strong>de</strong>scribir sus características esenciales que<br />
junto con la didáctica construyen el éxito o el fracaso <strong>de</strong> la labor educativa.<br />
<strong>La</strong> motivación en su sentido más general lo <strong>de</strong>fine Nuttim como “incitar a una persona a<br />
hacer u omitir algo” (Nuttim:1979,123) que en su mayoría pue<strong>de</strong>n ser acciones<br />
realizadas por un individuo con un fin <strong>de</strong>terminado, pero en el caso <strong>de</strong> la educación,<br />
motivar es predisponer a los alumnos a que aprendan, es incentivar a la acción para<br />
llegar a una meta, o a cumplir un objetivo propuesto que al ser alcanzado da como<br />
resultado un placer, alegría o tristeza y frustración <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> las consecuencias <strong>de</strong><br />
la labor realizada.<br />
<strong>La</strong> motivación pue<strong>de</strong> ser como lo expresa José Bernardo Carrasco (1997) <strong>de</strong> carácter<br />
fisiológico, pues el origen <strong>de</strong> la acción obe<strong>de</strong>ce a un impulso causado por una necesidad<br />
como hambre o sed, entre otras. El objetivo <strong>de</strong> la actividad es la re equilibración <strong>de</strong>l<br />
funcionamiento natural <strong>de</strong>l cuerpo. Otro tipo <strong>de</strong> motivo es la emoción, el incremento <strong>de</strong><br />
ésta cuando es agradable y su disminución cuando se torna <strong>de</strong>sagradable.<br />
19
<strong>La</strong> motivación pue<strong>de</strong> ser, según Carrasco (1997), intrínseca o extrínseca. Cuando la<br />
acción es llevada a cabo gracias a un incentivo localizado <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la persona, es<br />
intrínseco; <strong>de</strong> otro modo, el elemento que empuja a realizar la actividad esta fuera <strong>de</strong>l<br />
individuo, es <strong>de</strong>cir que representa una motivación extrínseca.<br />
Un aspecto importante en la motivación es el incentivo o estímulo generalmente se usa<br />
para reforzar un motivo buscando reforzar la actividad e incrementar el grado <strong>de</strong><br />
recompensa, tales pue<strong>de</strong>n ser dinero, reconocimiento social, alabanza, aplauso...<br />
<strong>La</strong> motivación pue<strong>de</strong> ser como lo expone (Carrasco:1997,128) positiva o negativa,<br />
<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l resultado que se busque con la actividad que realiza el sujeto. Si el<br />
objetivo es <strong>de</strong>spertar un interés favorable para que la actividad sea realizada, ésta es<br />
positiva; pero si la actividad se realiza bajo presión <strong>de</strong> castigos y amenazas, la<br />
motivación es negativa.<br />
Es importante consi<strong>de</strong>rar que la educación obtiene mejores resultados si la motivación<br />
hacia el estudiante es positiva y brinda al estudiante satisfacciones, puesto que el<br />
objetivo fundamental <strong>de</strong> la motivación es inspirar al estudiante para que <strong>de</strong> forma libre y<br />
espontánea logre alcanzar los objetivos propuestos.<br />
Por otro lado, es importante tener en cuenta los conceptos <strong>de</strong> interés particular en el<br />
proyecto <strong>de</strong> investigación como lo son el <strong>de</strong>sarrollo cognitivo enfocado hacia la niñez<br />
intermedia y el vocabulario, éste último <strong>de</strong> gran importancia en el presente proyecto <strong>de</strong><br />
investigación.<br />
El <strong>de</strong>sarrollo cognitivo es el estudio científico <strong>de</strong> los cambios que ocurren en las<br />
personas, así como <strong>de</strong> las características que permanecen estables a lo largo <strong>de</strong> su vida<br />
(Papalia: 2001) y está muy relacionado con el crecimiento emocional e intelectual.<br />
Piaget plantea el <strong>de</strong>sarrollo cognitivo en diferentes etapas <strong>de</strong> la vida (infancia,<br />
adolescencia, edad adulta) y cada una <strong>de</strong> éstas las subclasifica en subetapas. El presente<br />
proyecto se enfoca en la subetapa llamada niñez intermedia, la cual está comprendida<br />
20
entre los 7 y los 11 años, ya que se trabaja con una población en la cual la edad <strong>de</strong> sus<br />
integrantes oscila entre estas eda<strong>de</strong>s.<br />
Por otra parte, se encuentra el concepto <strong>de</strong> vocabulario, el cual se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir como el<br />
conjunto <strong>de</strong> palabras <strong>de</strong>l cual consta una lengua o una materia <strong>de</strong>terminada (Vitale y<br />
otros: 1993). Cada palabra que compone el vocabulario <strong>de</strong> una lengua es llamado unidad<br />
léxica (Bajo: 2000, 23). Los diferentes vocablos <strong>de</strong> una lengua pue<strong>de</strong>n ser encontrados<br />
en distintas compilaciones que van <strong>de</strong>s<strong>de</strong> glosarios, diccionarios, hasta tesoros.<br />
Es pertinente mencionar que el vocabulario es uno <strong>de</strong> los factores <strong>de</strong>finitivos a la hora<br />
<strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r o enseñar alguna disciplina sin importar su grado <strong>de</strong> complejidad; si se<br />
analiza <strong>de</strong>tenidamente, <strong>de</strong> nada sirve el conocimiento <strong>de</strong> las estructuras lógicas en el<br />
proceso <strong>de</strong> aprendizaje <strong>de</strong> una lengua, si no se posee un repertorio suficiente <strong>de</strong><br />
vocabulario para comunicarse y compren<strong>de</strong>r los conceptos y su implicación en el<br />
entorno.<br />
Para este trabajo, tomamos las investigaciones referenciadas en el proyecto <strong>de</strong>l grupo<br />
MESCUD, <strong>de</strong>nominada “El pensamiento multiplicativo: Una mirada <strong>de</strong> su <strong>de</strong>nsidad y<br />
complejidad en su <strong>de</strong>sarrollo en el aula”. Ya que enmarcan las teorías a trabajar en el<br />
proyecto, y por lo tanto contienen el eje central para el análisis <strong>de</strong> las filmaciones, estas<br />
abarcan los siguientes temas <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l marco teórico: el pensamiento multiplicativo y el<br />
conocimiento profesional <strong>de</strong>l profesor <strong>de</strong> matemáticas. Esto procurando anexar apartes<br />
<strong>de</strong> otras investigaciones en el mismo campo buscando ampliar en contexto <strong>de</strong>l análisis a<br />
<strong>de</strong>sarrollar.<br />
Entre las múltiples posibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> compren<strong>de</strong>r lo llamado realidad, mundo, etc., el<br />
Grupo proponente comparte la visión constructivista-social (Cobb, Steffe, Llinares), lo<br />
cual se ve reflejado en las consi<strong>de</strong>raciones siguientes.<br />
21
Acerca <strong>de</strong>l conocimiento profesional <strong>de</strong>l profesor <strong>de</strong> matemáticas.<br />
Nos apoyamos en los trabajos <strong>de</strong> Porlán y Rivero (1998) y Azcárate (1995) que<br />
caracterizan el conocimiento profesional <strong>de</strong>l profesor <strong>de</strong>s<strong>de</strong> tres perspectivas: crítica<br />
(está vinculado a la interacción socio-educativa), constructiva (<strong>de</strong>be tener coherencia<br />
interna y se apoya en los conocimientos previos) y compleja (se organiza en sistemas <strong>de</strong><br />
i<strong>de</strong>as), perspectivas retomadas al diseñar la propuesta <strong>de</strong>l programa <strong>de</strong> formación inicial<br />
<strong>de</strong> profesores <strong>de</strong> matemáticas para la educación básica, que actualmente <strong>de</strong>sarrollamos<br />
en la <strong>Universidad</strong> Distrital Francisco José <strong>de</strong> Caldas. Para hacer operativa esta<br />
caracterización, asumimos con Llinares (1993) para el diseño <strong>de</strong> nuestro proyecto <strong>de</strong><br />
formación <strong>de</strong>limitar: qué enseñar, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>limitar aquellos aspectos relativos a la<br />
información a poner en escena y, cómo se <strong>de</strong>sarrolla el proceso <strong>de</strong> apropiación <strong>de</strong> esos<br />
nuevos conocimientos por parte <strong>de</strong> los profesores en formación inicial ó en ejercicio, en<br />
el marco <strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r a enseñar. A este propósito, como también afirma Llinares (1993,<br />
p.381) <strong>de</strong>bemos consi<strong>de</strong>rar que al ingresar a los programas <strong>de</strong> formación, la mayoría <strong>de</strong><br />
los estudiantes provienen <strong>de</strong>:<br />
“una cultura matemática escolar caracterizada por la naturaleza <strong>de</strong> las relaciones<br />
triádicas profesor-conocimiento-alumno contextualizada <strong>de</strong>s<strong>de</strong> unas <strong>de</strong>terminadas<br />
perspectivas como pue<strong>de</strong> ser las características <strong>de</strong>l currículo matemático que ellos<br />
han observado <strong>de</strong>sarrollar y han aprendido. <strong>La</strong>s concepciones que los profesores<br />
para profesor pue<strong>de</strong>n mantener sobre estos diferentes aspectos son consecuencia<br />
<strong>de</strong> las situaciones y activida<strong>de</strong>s que han realizado como alumnos a través <strong>de</strong> las<br />
relaciones sociales que la cultura escolar había generado... Es <strong>de</strong>cir, el<br />
conocimiento/ creencias que poseen los estudiantes para profesor en relación a los<br />
aspectos señalados... es función <strong>de</strong> la cultura matemática escolar dominante en<br />
esos momentos y <strong>de</strong> las activida<strong>de</strong>s que han realizado”.<br />
En nuestro caso, a través <strong>de</strong> las investigaciones realizadas (Bonilla y otras, 1996;<br />
Pretexto, 1997; Mescud, 2002) hemos constatando la presencia <strong>de</strong> concepciones<br />
sobre la enseñanza, el aprendizaje, la profesión, y la aritmética escolar que permite<br />
i<strong>de</strong>ntificar la mayoría <strong>de</strong> estudiantes, recién ingresados al programa curricular <strong>de</strong><br />
22
formación para profesor <strong>de</strong> matemáticas para la básica, con muchas características <strong>de</strong><br />
lo que Porlán y Rivero (1998) llaman profesor tradicional. Particularmente, la<br />
enseñanza <strong>de</strong>be proce<strong>de</strong>r mediante un método, o una combinación <strong>de</strong> métodos<br />
técnicamente dominados que pue<strong>de</strong>n garantizarle eficacia y posibilidad <strong>de</strong><br />
homogenización <strong>de</strong> sus acciones y las <strong>de</strong> los estudiantes. El aprendizaje se da por<br />
contemplación <strong>de</strong> lo hecho por el profesor y se fija en la memoria mediante<br />
ejercitación, consecuentemente lo problemas son ejercicios que tienen como función<br />
la mecanización y como objetivo la memoria. Para mostrar conocimiento los<br />
estudiantes <strong>de</strong>ben repetir bien aquello que el profesor requiera. Para todos estos<br />
estudiantes la aritmética escolar no les requiere nuevo aprendizaje, al respecto ya<br />
todo está dicho y sin embargo, su pensamiento aditivo dispone como esquema <strong>de</strong> la<br />
estructura aditiva el <strong>de</strong> parte-parte-todo y <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> valor posicional el esquema<br />
<strong>de</strong> casillas organizadas en unida<strong>de</strong>s, <strong>de</strong>cenas, centenas,… se pue<strong>de</strong> prever entonces<br />
las fuertes dificulta<strong>de</strong>s que experimentan al tratar <strong>de</strong> explicarse las relaciones intra e<br />
inter estructurales <strong>de</strong> las distintas estructuras aditivas así como las trans estructurales<br />
entre adición y multiplicación, análogamente les ocurre con lo que, para nuestra<br />
escuela, son algoritmos clásicos <strong>de</strong> “las cuatro operaciones básicas” en los que se<br />
expresa el carácter multiplicativo (exponencial) <strong>de</strong> los sistemas <strong>de</strong> valor posicional.<br />
Sabemos que un curso <strong>de</strong> primer semestre, orientado <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la resolución <strong>de</strong><br />
problemas, en el sentido <strong>de</strong> Charnay (1993), posibilitó a los estudiantes mostrar<br />
cambios en sus constructos, <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> sus concepciones, hacia constructos<br />
que i<strong>de</strong>ntifican las concepciones (Porlán y Rivero, 1998) <strong>de</strong> un profesor tecnólogo.<br />
Aspecto importante ya que, como lo afirman estos autores, sería uno mo<strong>de</strong>lo<br />
didáctico <strong>de</strong> transición que posibilita la construcción <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los alternativos <strong>de</strong><br />
enseñanza. Así, sus concepciones sobre la eficacia no cambian, pero sí que es posible<br />
cambiar una enseñanza regulada por la normatividad a una enseñanza regulada por la<br />
normatividad motivada, es <strong>de</strong>cir aceptada por el alumno, aunque les permanece<br />
oculto el tema curricular. Por otro lado, las acciones dispuestas para ser realizadas en<br />
el aula continúan siendo responsabilidad <strong>de</strong>l profesor, pero ahora éste intentará<br />
realizar actos <strong>de</strong> comprensión en lugar <strong>de</strong> mecanizaciones o memorizaciones sin<br />
sentido; para este aspecto entró a jugar con importancia el sentido <strong>de</strong> la acciones<br />
23
eflejado sobre todo en el uso <strong>de</strong> los problemas en relación con el reconocimiento <strong>de</strong><br />
la necesidad <strong>de</strong> una mayor elaboración <strong>de</strong> su propio pensamiento aditivo para po<strong>de</strong>r<br />
proponer activida<strong>de</strong>s potentes que permitan a sus futuros estudiantes apren<strong>de</strong>r más<br />
aritmética a partir <strong>de</strong> exploraciones autónomas aunque también manifiestan como<br />
requerimiento, para la solidificación <strong>de</strong> esos aprendizajes, la ejercitación y la<br />
mecanización.<br />
Por otra parte enfatizando en la teoría <strong>de</strong> los constructos personales (Botella y Feixas,<br />
1998) encontramos dos mecanismos <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> la teoría personal: (1)<br />
Explicitación <strong>de</strong>l polo hasta entonces implícito <strong>de</strong> un constructo (ocasiona que el<br />
fenómeno, u objeto frente al cual se cobra conciencia <strong>de</strong>l polo, rebaje su valoración)<br />
el mundo construido se <strong>de</strong>s homogeniza, se amplia y complejifica. (2) Integración <strong>de</strong><br />
un nuevo constructo compatible con los <strong>de</strong>l presente sistema <strong>de</strong> constructos, esto<br />
complejifica el sistema teórico <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el cual se valora, agregando más características<br />
compatibles a los objetos evaluados. Afirmamos que aunque los cambios no son<br />
drásticos ni estables, sí se visualizan transformaciones en las teorías personales que<br />
pue<strong>de</strong>n servir <strong>de</strong> base para transitar a otros mo<strong>de</strong>los didácticos. Pero así como los<br />
cambios <strong>de</strong>seados no siempre permanecen, parece que <strong>de</strong> los mecanismos <strong>de</strong> cambio<br />
hallados, el más susceptible <strong>de</strong> <strong>de</strong>vuelta es el segundo, ya que si bien es cierto en<br />
primera instancia pue<strong>de</strong> haber compatibilidad <strong>de</strong>l nuevo constructo <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l<br />
sistema anterior, también es cierto que frente a fracasos, este constructo será primer<br />
candidato a salir.<br />
También <strong>de</strong> los resultados <strong>de</strong> investigación en Colombia y afuera (Llinares,<br />
1993,1994, 1996, 1998; Shulman, 1986; Mescud, 2002 ) se reconoce que:<br />
“En este momento un área <strong>de</strong> investigación importante en la formación <strong>de</strong> los<br />
profesores <strong>de</strong> primaria es el proceso <strong>de</strong> socialización <strong>de</strong> los estudiantes para<br />
profesores <strong>de</strong> primaria en las nuevas formas <strong>de</strong> conocer el contenido matemático.<br />
... Los formadores <strong>de</strong> los profesores en los cursos <strong>de</strong> contenido <strong>de</strong>berían diseñar<br />
entornos <strong>de</strong> aprendizaje que permita a los estudiantes para profesor <strong>de</strong>sarrollar una<br />
comprensión más profunda <strong>de</strong> las matemáticas. A<strong>de</strong>más esos entornos <strong>de</strong>berían<br />
permitir que los estudiantes para profesores analizaran sus propias concepciones<br />
epistemológicas sobre la naturaleza <strong>de</strong>l conocimiento/comprensión <strong>de</strong> las<br />
24
matemáticas, sobre la enseñanza <strong>de</strong> las matemáticas, sobre el papel <strong>de</strong>l profesor <strong>de</strong><br />
matemáticas, sobre el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> aula <strong>de</strong> las matemáticas, etc…. Estos aspectos se<br />
<strong>de</strong>rivan <strong>de</strong> algunos estudios realizados en la socialización en matemáticas”.<br />
(Llinares, 1996, p.27)<br />
Acerca <strong>de</strong>l aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas en estudiantes para profesor.<br />
En el marco <strong>de</strong> esta investigación, enten<strong>de</strong>mos aprendizaje como modificación<br />
incremental <strong>de</strong> un esquema. El concepto <strong>de</strong> esquema propuesto por Piaget ha sido<br />
retomado por Dubinsky (1991, p.102) como “…una colección más o menos<br />
coherente <strong>de</strong> objetos y procesos” que von Glasersfeld (1980,) caracteriza <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
punto <strong>de</strong> vista funcional: un arreglo <strong>de</strong> tres partes, una situación experiencial; una<br />
actividad o procedimiento específicos <strong>de</strong> la persona y un resultado, en ésta última<br />
aparece resaltado el tenor anticipatorio y propositivo <strong>de</strong>l esquema. Vergnaud (1990)<br />
comparte estas <strong>de</strong>scripciones y presenta en Teoría <strong>de</strong> los campos conceptuales, al<br />
“esquema” como “la organización invariante <strong>de</strong> la conducta para una clase <strong>de</strong><br />
situaciones dadas” afirmando que en ellos es“don<strong>de</strong> hay que buscar los<br />
conocimientos-en-acto <strong>de</strong>l sujeto, es <strong>de</strong>cir los elementos cognoscitivos que permiten<br />
a la acción <strong>de</strong>l sujeto ser operatoria”. Organiza los conocimientos en acto o<br />
“invariantes operatorias”, contenidos en los esquemas, en dos clases según su papel<br />
en la solución y enfrentamiento <strong>de</strong> situaciones: “conceptos–en–acto” y “teoremas–<br />
en–acto” y en tres tipos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista lógico: proposiciones, funciones<br />
proposicionales y argumentos.<br />
Los esquemas se producen y transforman en la confrontación <strong>de</strong> clases <strong>de</strong> situaciones<br />
problema no solubles en primera instancia para quienes las abordan mediante un<br />
proceso <strong>de</strong> abstracción reflexiva que Dubinsky (1991, p.99) <strong>de</strong>scribe usando el tipo<br />
<strong>de</strong> “objeto” que logra dominar “…difiere <strong>de</strong> la abstracción empírica en que trata la<br />
acción como opuesta a los objetos, y difiere <strong>de</strong> la abstracción seudo empírica en que<br />
no trata tanto con las acciones mismas sino más bien con las relaciones entre las<br />
25
acciones”. En ese último nivel se genera los esquemas que dan cuenta que se ha<br />
producido un aprendizaje en matemáticas; es <strong>de</strong>cir, la abstracción reflexiva es el<br />
modo <strong>de</strong> producción <strong>de</strong> aprendizaje en matemáticas y por lo tanto, <strong>de</strong>fine también la<br />
naturaleza <strong>de</strong>l pensamiento matemático. Conviene entonces <strong>de</strong>tallar un poco más este<br />
modo <strong>de</strong> producción (que permite obtener formas metodológicas <strong>de</strong> mirar<br />
aprendizaje en el aula). Dubinsky (1991, p.101) propone cinco formas <strong>de</strong> abstracción<br />
reflexiva: Interiorización, Composición, Encapsulación, generalización e inversión.<br />
El pensamiento multiplicativo<br />
El contexto seleccionado para trabajar como referente tanto <strong>de</strong> las trayectorias <strong>de</strong><br />
enseñanza como <strong>de</strong> las rutas <strong>de</strong> aprendizaje lo constituye el pensamiento<br />
multiplicativo, que se ha constituido en un objeto PROBLÉMICO <strong>de</strong> investigación<br />
en educación matemática, evi<strong>de</strong>nciado, como expondremos enseguida, tanto en la<br />
complejidad teórica como el portentoso esfuerzo cognitivo que <strong>de</strong>ben hacer los<br />
estudiantes para <strong>de</strong>sarrollarlo con sentido y flexibilidad, y la dificultad <strong>de</strong> los<br />
profesores para compren<strong>de</strong>r su construcción y potenciar su <strong>de</strong>sarrollo. Y es que, en<br />
primer lugar, está inmerso en toda la matemática escolar, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el concepto <strong>de</strong><br />
número (natural) y sus operaciones, pasando por las fracciones y sus operaciones, y<br />
requiere conocer, usar y manipular distintas representaciones -incluyendo la<br />
mo<strong>de</strong>lación algebraica <strong>de</strong> situaciones- y sus relaciones para llegar a significados<br />
potentes, (1). En segundo lugar, porque <strong>de</strong>s<strong>de</strong> investigación realizada, aparecen<br />
manifestaciones importantes <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo, propio a <strong>de</strong>sarrollar en<br />
la escolaridad obligatoria, parcial y <strong>de</strong>sagregado en los profesores <strong>de</strong> matemáticas<br />
aun con formación matemática que se asimilan a manifestaciones <strong>de</strong> los escolares (2).<br />
Son evi<strong>de</strong>ncias <strong>de</strong> (1): (1,a) De acuerdo con Dubinsky (1991, p.101) “<strong>La</strong><br />
multiplicación, la proporción y la variación <strong>de</strong> la variación expresan la construcción<br />
que es quizás la más importante (para las matemáticas) y la más difícil para los<br />
estudiantes” porque inunda todas las construcciones numéricas existentes ya que el<br />
26
carácter multiplicativo <strong>de</strong>l número natural ha sido probado por Piaget y Szeminska<br />
(1982) y porque como objeto <strong>de</strong> aprendizaje es producto <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las formas <strong>de</strong><br />
abstracción reflexiva más compleja Dubinsky (1991, p. 101) comenta “<strong>La</strong><br />
multiplicación es una encapsulación o conversión <strong>de</strong> un proceso (dinámico) en un<br />
objeto estático y como documentan Confrey (1994) y <strong>La</strong>mon (1994) sintetiza dos<br />
tipos <strong>de</strong> acciones: conteo y splitting o rompimiento en partes similares, que dan<br />
origen a operaciones aritméticas como la suma, el producto y la potenciación que<br />
junto con sus inversas se objetivan en los sistemas numéricos que comúnmente trata<br />
la escuela, se confirma la naturaleza multiplicativa <strong>de</strong> los números naturales, <strong>de</strong> los<br />
enteros, <strong>de</strong> los racionales, <strong>de</strong> los reales. Ahora bien, un objeto matemático escolar<br />
mediador entre estos sistemas, al que se le reconoce su naturaleza multiplicativa es la<br />
fracción, y es que es posible reconocerla como producto <strong>de</strong> la distribución <strong>de</strong> una<br />
secuencia numérica sobre las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> otra secuencia numérica; <strong>de</strong>l rompimiento<br />
similar; <strong>de</strong> la construcción <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s múltiples (Mora, Rojas, Barón; 1999); todo lo<br />
cual dirigido por un fuerte control numérico simbólico. Así pues, la fracción es<br />
síntesis <strong>de</strong> al menos estas cuatro activida<strong>de</strong>s y por supuesto, siguiendo la i<strong>de</strong>a<br />
piagetiana asumida por Confrey, <strong>de</strong> sus relaciones, apareciendo como síntesis <strong>de</strong><br />
acciones provenientes <strong>de</strong>l mundo <strong>de</strong>l conteo y <strong>de</strong> la similaridad. (1,b) <strong>La</strong> extensión <strong>de</strong><br />
las raíces genéticas <strong>de</strong> la multiplicación hasta los espacios vectoriales y las<br />
transformaciones lineales como lo propone Vergnaud (1990). (1,c) <strong>La</strong> variable<br />
matemática como un objeto matemático, en tanto ha estado presente en el discurso<br />
matemático como instrumento simbólico formando parte <strong>de</strong> las maneras <strong>de</strong> escribir y<br />
<strong>de</strong> pensar por lo menos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los trabajos Descartes, afirmamos siguiendo las i<strong>de</strong>as<br />
<strong>de</strong> Pretexto (1996) que su naturaleza es esencialmente multiplicativa; para poner un<br />
ejemplo no tan complejo, basta examinar “el resultado” <strong>de</strong> X + Y cuando X, Y<br />
pertenecen a la colección <strong>de</strong> números naturales menores o iguales que diez, imposible<br />
<strong>de</strong> respon<strong>de</strong>r a<strong>de</strong>cuadamente sin un <strong>de</strong>sarrollo inicial <strong>de</strong> pensamiento combinatorio,<br />
mismo requerido para resolver problemas multiplicativos <strong>de</strong> medida o cartesianos<br />
según Vergnaud (1990). Nuevamente, recor<strong>de</strong>mos la solidaridad <strong>de</strong>l objeto y sus<br />
operaciones.<br />
27
Son evi<strong>de</strong>ncias <strong>de</strong> (2): (2,a) Mo<strong>de</strong>los intuitivos <strong>de</strong> Fischbein. Fischbein, Deri, Nello<br />
y Marino (1985) afirman que “correspon<strong>de</strong>n a hechos <strong>de</strong> comportamiento mental<br />
humano que son primarios, básicos y naturales”. Así, podríamos verlos como<br />
esquemas iniciales, exitosos e incluso versátiles, distribuidos socialmente, que una o<br />
varias personas se ha(n) habituado a usar pero que en algunas circunstancias es<br />
ineficaz o erróneo. (2,b) (Bonilla y otras(1999); reportan la fuerte <strong>de</strong>s-estructuración<br />
que sobre lo multiplicativo <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> valor posicional manifiestan profesores <strong>de</strong><br />
primaria en ejercicio y Mescud (2002) los estudiantes para profesor que han<br />
investigado. (2,c) En monografías <strong>de</strong> especialización, acerca <strong>de</strong> la fracción, dirigidas<br />
por Mora, O (1997-2001) se ha <strong>de</strong>tectado formas en que los escolares pue<strong>de</strong>n<br />
interpretar y cómo lo refieren mediante escritura numérica, cuando se les presenta eso<br />
que, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> nuestro punto <strong>de</strong> vista, es una relación parte-todo en los contextos<br />
continuo y discreto y se ha presentado maneras alternativas <strong>de</strong> explicar esas<br />
manifestaciones basándonos, entre otros aspectos, en la existencia <strong>de</strong>l conteo como<br />
un mo<strong>de</strong>lo intuitivo <strong>de</strong> Fischbein, Deri, Nello y Marino (1985) para asignar medida<br />
en contraposición a las maneras a<strong>de</strong>cuadas para asignar las medidas <strong>de</strong> área, longitud<br />
y nueva medida discreta cuando hay que tratar la fracción; algunos <strong>de</strong> estos hallazgos<br />
están consignados en Mora, Rojas y Barón (1999). (2,c) (Martin, 1993), <strong>de</strong>tectó que<br />
profesores en ejercicio y estudiantes para profesor, que incluso han recibido cursos <strong>de</strong><br />
cálculo, mantienen sus conceptos sobre división fuertemente <strong>de</strong>sconectados y que así<br />
los proponen cuando realizan enseñanza; en 1988 hicimos un hallazgo similar,<br />
constatado en monografías <strong>de</strong> Especialización a partir <strong>de</strong>l análisis <strong>de</strong> la meta-<br />
cognición consignada por los profesores en un curso orientado por resolución <strong>de</strong><br />
problemas. (2,d) Harel, Behr, Post y Lesh (1994) investigaron a partir <strong>de</strong> un<br />
cuestionario en el que plantearon problemas controlando en el enunciado tipo <strong>de</strong><br />
número, contexto, texto, estructura semántica, sintaxis, categorizándolos, según las<br />
reglas <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo intuitivo que el resolutor <strong>de</strong>bería cambiar, exten<strong>de</strong>r o violar, para<br />
efectos <strong>de</strong> realizar un <strong>de</strong>sempeño consi<strong>de</strong>rado correcto. Aquí queremos resaltar que<br />
los resultados, indican que estos tipos <strong>de</strong> problema multiplicativo con multiplicadores<br />
menores que 1, llegaron a ocasionar bajo <strong>de</strong>sempeño <strong>de</strong> futuros profesores que ya<br />
habían tomado cursos normales <strong>de</strong> cálculo y álgebra, así como <strong>de</strong> profesores en<br />
28
ejercicio, advirtiendo sí que D’Amore (1997) encuentra que esto pue<strong>de</strong> suce<strong>de</strong>r a<br />
pesar que en entrevistas individuales varios examinados localizan, al remirar sus<br />
respuestas, equivocaciones cometidas y que, a pesar <strong>de</strong> erróneas, otros insisten en la<br />
corrección <strong>de</strong> las mismas. 1<br />
DISEÑO METODOLOGICO<br />
Nuestro diseño metodológico posee el enfoque Tipo Descriptivo Interpretativo<br />
(Habermas, Histórico hermenéutico) <strong>de</strong> acuerdo con el tipo <strong>de</strong> investigación que<br />
estamos realizando.<br />
De igual manera aclaramos que se utilizó un enfoque <strong>de</strong> corte cualitativo tal como está<br />
expuesto en el proyecto <strong>de</strong> MESCUD para no per<strong>de</strong>r los lineamientos Generales <strong>de</strong>l<br />
proyecto.<br />
<strong>La</strong> primera etapa <strong>de</strong>l trabajo fue la fase <strong>de</strong> transcripción <strong>de</strong> las filmaciones a medio<br />
visual únicamente. Cada grupo <strong>de</strong> trabajo establecido transcribió en texto lo que se<br />
percibe en el audio <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la clase en el vi<strong>de</strong>o, <strong>de</strong>scribiendo situaciones,<br />
sensaciones, percepciones e incluso los posibles <strong>de</strong>bates y <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> ambientes <strong>de</strong><br />
trabajo.<br />
Tipo <strong>de</strong> investigación: Análisis <strong>de</strong> contenido<br />
1 MESCUD, Grupo. (2004) Proyecto: “El pensamiento multiplicativo: Una mirada <strong>de</strong> su<br />
<strong>de</strong>nsidad y complejidad en su <strong>de</strong>sarrollo en el aula”. Bogota<br />
29
El análisis <strong>de</strong> contenido compren<strong>de</strong> procedimientos especiales para el procesamiento <strong>de</strong><br />
datos científicos. Otra <strong>de</strong>finición contemplada es la <strong>de</strong> Berelson (1952), el análisis <strong>de</strong><br />
contenido es “una técnica <strong>de</strong> investigación para <strong>de</strong>scripción objetiva, sistemática y<br />
cuantitativa <strong>de</strong>l contenido manifiesto <strong>de</strong> la comunicación” 2 . Dentro <strong>de</strong> su metodología se<br />
contemplan los siguientes pasos;<br />
Aplicación <strong>de</strong>l análisis <strong>de</strong> referencia conceptual al análisis <strong>de</strong> contenido.<br />
Búsqueda <strong>de</strong> datos a<strong>de</strong>cuados<br />
Creación <strong>de</strong> categorías <strong>de</strong> análisis (tentativas)<br />
Búsqueda <strong>de</strong> procedimientos según el contexto 3<br />
Presupuesto y asignación <strong>de</strong> recurso<br />
Análisis documental (<strong>de</strong> datos cualitativos)<br />
El análisis documental es una técnica que sirve para recoger o acopiar datos pre-<br />
elaborados, secundarios, que se consi<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> interés en la investigación.<br />
Específicamente es una técnica para analizar e interpretar la información contenida en<br />
un texto que se expresa mediante algún tipo <strong>de</strong> lenguaje que, generalmente, es<br />
gramatical, pero pue<strong>de</strong> ser icónico o gráfico. Es una manera <strong>de</strong> realizar inferencias<br />
válidas a partir <strong>de</strong> la observación sistemática, objetiva y mensurable <strong>de</strong> ciertas unida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> contenido <strong>de</strong> los documentos o información recolectada. En el caso <strong>de</strong>l presente<br />
proyecto los textos son proporcionados por las filmaciones, <strong>de</strong> las clases objeto <strong>de</strong><br />
análisis.<br />
2 KRIPPENDORFF, Klaus.(1997) Metodología <strong>de</strong>l análisis <strong>de</strong> contenido, teoría practica. Ed.<br />
Paidós comunicación. España. Pág. 29<br />
30
El análisis documental se efectúa a través <strong>de</strong> un procedimiento por el cual ciertas<br />
características relevantes <strong>de</strong> la comunicación son transformadas en unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> análisis<br />
a partir <strong>de</strong> las que es posible el análisis propiamente dicho.<br />
Obtención <strong>de</strong> resultados y establecimiento <strong>de</strong> conclusiones<br />
Para Vásquez (2005) el tratamiento que se <strong>de</strong>be dar al proceso <strong>de</strong> análisis <strong>de</strong><br />
información está contemplado bajo 9 etapas que en este caso, son pertinentes para el<br />
análisis <strong>de</strong>l material audiovisual y el establecimiento <strong>de</strong> relaciones entre las categorías<br />
previamente establecidas para efectos <strong>de</strong> este trabajo. Estas se <strong>de</strong>scriben a continuación<br />
teniendo en cuenta las posibles adaptaciones particulares al tipo <strong>de</strong> investigación y a la<br />
experiencia <strong>de</strong>sarrollada.<br />
Primera Etapa<br />
Durante la primera etapa fue necesario relacionarse e interactuar con el material<br />
audiovisual, por en<strong>de</strong> fue necesario reproducir las filmaciones <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las clases<br />
para conocerlas y <strong>de</strong>tectar características y relaciones generales entre los vi<strong>de</strong>os.<br />
De la misma manera en este proceso se revisó que ninguno <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os tuviese<br />
falencias técnicas ya que esto podía generar algún tipo <strong>de</strong> pérdida <strong>de</strong> información.<br />
Segunda Etapa<br />
Para obtener los Textos Base para el análisis, en esta etapa se transcribió textualmente<br />
todo lo que acontece en el vi<strong>de</strong>o incluido Diálogos, entorno, sensaciones, imágenes,<br />
entre otros captadas y comentadas por el observador.<br />
31
Tercera Etapa<br />
Los aspectos alusivos al papel <strong>de</strong>l estudiante evi<strong>de</strong>ntes en las filmaciones se enlistaron,<br />
se organizaron <strong>de</strong> acuerdo a su importancia y se resaltaron <strong>de</strong> acuerdo a las<br />
convenciones realizadas para cada precategoría, con esto logramos Clasificar<br />
a<strong>de</strong>cuadamente la información para las etapas posteriores.<br />
Cuarta Etapa<br />
Se seleccionaron durante esta etapa los aspectos relevantes <strong>de</strong> acuerdo a las<br />
precategorías previamente establecidas para el estudiante. Se <strong>de</strong>finieron cada uno <strong>de</strong> los<br />
<strong>de</strong>scriptores necesarios para establecer focos principales <strong>de</strong> análisis.<br />
Quinta Etapa<br />
Se enlistaron en la quinta etapa los <strong>de</strong>scriptores teniendo en cuenta su ubicación en cada<br />
transcripción <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os.<br />
Sexta Etapa<br />
Durante esta etapa se Elaboró la mezcla <strong>de</strong> los <strong>de</strong>scriptores con el fin <strong>de</strong> establecer<br />
relaciones directas entre el objeto <strong>de</strong> investigación y las concepciones reales <strong>de</strong> los<br />
estudiantes.<br />
32
Séptima Etapa<br />
En la séptima etapa se elaboraron las oposiciones y campo semántico.<br />
Octava Etapa<br />
En esta etapa se establecieron las categorías finales.<br />
Novena Etapa<br />
<strong>La</strong> novena etapa consistió principalmente en la redacción <strong>de</strong>l texto que acompaña y<br />
explica cada categoría.<br />
33
ANÁLISIS DE RESULTADOS<br />
Previo a la metodología y análisis propuestos por Fernando Vásquez, fue necesario<br />
realizar la recolección <strong>de</strong>l material base (10 vi<strong>de</strong>os) para comenzar a observarlos y<br />
familiarizarnos con los mismos. Estos vi<strong>de</strong>os fueron facilitados por la <strong>Universidad</strong><br />
Distrital Francisco José <strong>de</strong> Caldas, más exactamente por miembros <strong>de</strong>l grupo MESCUD.<br />
Primera Etapa<br />
Etapas <strong>de</strong>l Proceso <strong>de</strong> Análisis<br />
Transcurrió en un lapso aproximadamente <strong>de</strong> cuatro semanas durante las cuales, con<br />
ayuda <strong>de</strong> un VHS se revisaron los vi<strong>de</strong>os <strong>de</strong> manera general en cuanto a estructura,<br />
revisión <strong>de</strong>l audio, calidad <strong>de</strong> la imagen, duración entre otros. Simultáneamente fue<br />
necesario leer en su totalidad el proyecto <strong>de</strong> MESCUD para i<strong>de</strong>ntificar los objetivos <strong>de</strong><br />
los investigadores y contrastarlos con los objetivos propios que habían surgido hasta ese<br />
momento.<br />
Segunda Etapa<br />
Para este paso fue necesario dividir el trabajo por igual número <strong>de</strong> vi<strong>de</strong>os para<br />
transcribir el audio <strong>de</strong> manera exacta y completa incluso con las expresiones, gestos,<br />
nombres y/o sobrenombres <strong>de</strong> los participantes en las filmaciones. Fue el proceso más<br />
dispendioso ya que era necesario un refinamiento constante para encontrar coinci<strong>de</strong>ncias<br />
y establecer relaciones <strong>de</strong> continuidad para las cintas.<br />
34
<strong>La</strong> importancia fundamental <strong>de</strong> esta parte <strong>de</strong>l proceso radica en que a pesar <strong>de</strong> la<br />
concentración que requiere transcribir vi<strong>de</strong>os, se evi<strong>de</strong>ncian elementos adicionales<br />
como expresiones, comentarios y actitu<strong>de</strong>s que son claves para compren<strong>de</strong>r las<br />
intencionalida<strong>de</strong>s generales <strong>de</strong>l proyecto <strong>de</strong> MESCUD para apoyar y documentar<br />
nuestro proyecto. En los anexos <strong>de</strong> este trabajo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el apéndice A hasta el apéndice<br />
J, se evi<strong>de</strong>ncia la importancia <strong>de</strong> los mismos como una herramienta que permite a<br />
futuros investigadores <strong>de</strong> la educación matemática, obtener nuevas categorías que<br />
aporten al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo.<br />
Tercera Etapa<br />
Tuvo gran impacto en la investigación <strong>de</strong>bido a que se extrajeron <strong>de</strong> las transcripciones<br />
<strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os cada uno <strong>de</strong> los aspectos alusivos al estudiante <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las filmaciones.<br />
<strong>La</strong> importancia radicó en la jerarquía, <strong>de</strong>puración y selección <strong>de</strong> aspectos relativos al<br />
estudiante únicamente.<br />
Para esta etapa <strong>de</strong>bido a la cantidad <strong>de</strong> información suministrada en los vi<strong>de</strong>os, se hizo<br />
necesario realizar unas precategorías que nos permitieron i<strong>de</strong>ntificar los objetivos <strong>de</strong> la<br />
investigación, se crearon convenciones con distintos colores para trabajar sobre las<br />
transcripciones <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os y organizar la información necesaria. (Véase Tabla 1) En<br />
estas precategorías se busca resaltar las concepciones <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje y<br />
<strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo para estudiantes <strong>de</strong> licenciatura en<br />
matemáticas y afines, que se obtuvieron durante el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l proyecto <strong>de</strong> manera<br />
empírica y se documentaron en la primera <strong>de</strong>stilación <strong>de</strong> información basándonos en el<br />
material facilitado por el grupo MESCUD.<br />
35
Tabla 1. Convenciones De Colores Utilizadas.<br />
A continuación se presentan las convenciones <strong>de</strong> colores utilizados para<br />
subrayar las precategorías y el color <strong>de</strong> la letra usado para cada una.<br />
Resolución <strong>de</strong><br />
Problemas<br />
(Resaltado color<br />
rojo)<br />
Objetivos<br />
Metodológicos<br />
(Resaltado<br />
Amarillo)<br />
Objetivos<br />
Conceptuales<br />
(Resaltado Gris)<br />
PRECATEGORIAS<br />
(Color <strong>de</strong> resaltado y color <strong>de</strong> letra )<br />
Utilización y<br />
exploración <strong>de</strong><br />
hipótesis<br />
(Conjeturas).<br />
(Letra color ver<strong>de</strong>)<br />
Comunicar y<br />
argumentar i<strong>de</strong>as.<br />
( Letra color Rojo)<br />
Enten<strong>de</strong>r i<strong>de</strong>as<br />
matemáticas.<br />
(Letra Color Blanco)<br />
<strong>La</strong>s precategorías obtenidas en esta etapa son:<br />
Resolución <strong>de</strong> Problemas<br />
Uso <strong>de</strong> diversas<br />
representaciones.<br />
(Letra color Azul)<br />
Aceptar críticas<br />
(Letra Color Ver<strong>de</strong>)<br />
Construir y<br />
reconstruir conceptos<br />
matemáticos<br />
( Letra Color<br />
Amarillo)<br />
Comunicación <strong>de</strong><br />
resultados.<br />
(Letra Color<br />
Amarillo)<br />
En esta precategoría se establecen unas subdivisiones que nos permiten i<strong>de</strong>ntificar los<br />
posibles tipos <strong>de</strong> soluciones para llevarse a cabo:<br />
Utilización y exploración <strong>de</strong> hipótesis (Conjeturas). En esta precategoría se<br />
selecciona el momento en el cual el estudiante propone alternativas diferentes<br />
para la resolución <strong>de</strong> una situación problémica Ejemplo: Vi<strong>de</strong>o 10 página 8<br />
36
Javier: “la proposición no se que era lo que planteaba, la concepción <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los<br />
puntos <strong>de</strong>l cuestionario que <strong>de</strong>cía, que si se traza una recta perpendicular a una recta<br />
infinita dada, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto dado, no está en el que era uno <strong>de</strong> los puntos y ahí está la<br />
concepción <strong>de</strong> cómo se encuentra la perpendicular a través <strong>de</strong> la regla y el compás, con<br />
las construcciones que hace Eucli<strong>de</strong>s, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que hay salida <strong>de</strong> la perpendicular, entonces<br />
también se podría tomar como si fuera un punto medio <strong>de</strong> un segmento <strong>de</strong>l que estaba<br />
inscrito al círculo”.<br />
Uso <strong>de</strong> diversas representaciones. Para esta precategoría se <strong>de</strong>be tener en cuenta<br />
las diferentes formas <strong>de</strong> representación que utilizan los estudiantes para expresar<br />
sus i<strong>de</strong>as Ejemplo: vi<strong>de</strong>o 9 pagina 11<br />
Rocio: “Cogimos el punto inicial <strong>de</strong> la recta que llamamos M y trazamos una recta<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto M que pasara por el punto P, luego con el compás tomamos la distancia<br />
<strong>de</strong>l segmento MP, trazando una circunferencia o <strong>de</strong> M a P y repetimos la circunferencia<br />
sin cambiar la medida, <strong>de</strong>l punto P y sobre la recta que forman los puntos M y P, que<br />
también cortara la recta l”.<br />
Comunicación <strong>de</strong> resultados. En esta pre categoría se resaltan la manera como<br />
los estudiantes comunican con sus propias palabras los resultados obtenidos en<br />
procesos matemáticos Ejemplo<br />
37
Estudiante (2): Lo que hice yo fue trazar una recta en mi hoja y pues ahí con el<br />
compas, se supone que con esta yo voy a trazar un arco hasta aquí<br />
Objetivos Metodológicos<br />
En esta precategoría se establecen unas subdivisiones que nos permiten i<strong>de</strong>ntificar la<br />
manera como los estudiantes comunican sus i<strong>de</strong>as, resuelven problemas y aceptan<br />
críticas.<br />
Comunicar y argumentar i<strong>de</strong>as. Los estudiantes expresan sus i<strong>de</strong>as y las<br />
argumentan <strong>de</strong>s<strong>de</strong> principios matemáticos ejemplo:<br />
Realizamos el experimento con el cáñamo y con el papel, y nos quedamos con<br />
los resultados arrojados por el experimento hecho con el papel, en el cual la<br />
longitud <strong>de</strong> O es igual a tres veces la unidad <strong>de</strong> medida m1. [SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Profesora: Por favor escriban en el tablero el proceso realizado.<br />
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,<br />
puesto que la elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición<br />
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel<br />
procedimos a hacer las correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués<br />
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres<br />
veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Profesora: pero muéstrenos el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l primer punto, recuer<strong>de</strong>n lo que dice;<br />
medir la longitud <strong>de</strong>l objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base<br />
tres, con un número fraccionario, cociente entero <strong>de</strong> forma a sobre b y con un<br />
número con coma.<br />
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:<br />
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación<br />
<strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel procedimos a hacer las<br />
38
correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués sobre el papel medir el objeto O,<br />
obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres veces sobre el objeto O”<br />
m1 = 10(3)<br />
m1 = 10,0(3)<br />
m1 = 10(3) / 1(3)<br />
m2 = 3(5)<br />
m2 = 3,0(5)<br />
m2 = 3(5) / 1(5)<br />
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Escribir estos números en fraccionario no tiene gracia porque el resultado <strong>de</strong><br />
estos es entero.<br />
Aceptar críticas. De igual manera se observa que los estudiantes son consientes<br />
<strong>de</strong> sus errores y proponen posibles soluciones Ejemplo:<br />
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,<br />
puesto que la elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición<br />
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel<br />
procedimos a hacer las correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués<br />
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres<br />
veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Profesora: pero muéstrenos el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l primer punto, recuer<strong>de</strong>n lo que dice;<br />
medir la longitud <strong>de</strong>l objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base<br />
tres, con un número fraccionario, cociente entero <strong>de</strong> forma a sobre b y con un<br />
número con coma.<br />
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:<br />
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación<br />
<strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel procedimos a hacer las<br />
correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués sobre el papel medir el objeto O,<br />
obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres veces sobre el objeto O”<br />
m1 = 10(3)<br />
m1 = 10,0(3)<br />
m1 = 10(3) / 1(3)<br />
m2 = 3(5)<br />
m2 = 3,0(5)<br />
m2 = 3(5) / 1(5)<br />
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
39
Escribir estos números en fraccionario no tiene gracia porque el resultado <strong>de</strong><br />
estos es entero.<br />
Estudiante 6: la escritura está mal, hay un error, pues la longitud <strong>de</strong> O <strong>de</strong>be ser<br />
igual a algo, pues O es lo que se está midiendo.<br />
Estudiante 4: si qué pena me equivoque [CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] O = 10(3) m1 O = 3(5)<br />
m2<br />
Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación<br />
<strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición<br />
n. Ya sobre el papel procedimos a hacer las correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para<br />
<strong>de</strong>spués sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres<br />
veces sobre el objeto O”<br />
m1 = 10(3)<br />
m1 = 10,0(3)<br />
m1 = 10(3) / 1(3)<br />
O = 10(3) m1<br />
Objetivos Conceptuales<br />
m2 = 3(5)<br />
m2 = 3,0(5)<br />
m2 = 3(5) / 1(5)<br />
O = 3(5) m2<br />
En esta categoría se establecen subdivisiones que permitieron i<strong>de</strong>ntificar la manera<br />
como los estudiantes entendieron i<strong>de</strong>as matemáticas y construyeron conceptos.<br />
Enten<strong>de</strong>r i<strong>de</strong>as matemáticas.<br />
El estudiante se apoya en la adquisición <strong>de</strong> información <strong>de</strong> las diferentes fuentes que<br />
tiene a su alcance, para utilizar sus procesos mentales <strong>de</strong> análisis y apropiarse <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as<br />
que contengan conocimiento en el campo matemático que sea útil y aplicable en su<br />
entorno. Ejemplo: (Vi<strong>de</strong>o 9; Pág. 16)}<br />
40
Estudiante Eduardo: Construye un círculo con centro en A y radio AB,<br />
construye un círculo con centro en B y radio BA, AR = AB y BR = AB, porque<br />
son radios <strong>de</strong> los círculos DRB y ERA, Por lo tanto AR = BR, por transitividad,<br />
luego los tres son iguales entre sí. RA = RB, AB, RA, BR por lo anterior, por lo<br />
tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido sobre la recta infinita.<br />
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
“I, 1; Construir un triángulo equilátero sobre una recta infinita dada.”, “Sea AB la recta<br />
infinita dad”. “Así pues hay que construir sobre la recta AB, un triángulo equilátero”<br />
Construye en A y R: AB<br />
Construye en B y R = BA<br />
AR = AB<br />
BR = BA<br />
AB, RA, RB iguales<br />
RA = RB<br />
Por lo tanto AR = BR, por transitividad, luego los tres son iguales entre sí.<br />
RA = RB<br />
41
AB, RA, BR por lo anterior, por lo tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido<br />
sobre la recta infinita.<br />
Construir y reconstruir conceptos matemáticos.<br />
Luego <strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong> obtención y análisis <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as matemáticas, el estudiante está en<br />
capacidad <strong>de</strong> revisar los conceptos existentes en las fuentes <strong>de</strong> información y en la<br />
misma práctica diaria con el fin <strong>de</strong> adaptarlos a su entorno sin alterar su esencia o<br />
generar nuevos conceptos válidos y pertinentes en el campo matemático. Ejemplo:<br />
(vi<strong>de</strong>o 3; Pág. 3)<br />
Estudiante Alejandro: ¿Por qué 44 dividido en 3 es igual a 44.6 o 44.66 o<br />
cuarenta… o 14.666, habíamos contestado que … para nosotros , pues creo,<br />
en que es un <strong>de</strong>cimal periódico que siempre <strong>de</strong>l ultimo numero va tomar seis<br />
partes iguales no? ¡No pues si no!. Para nosotros lo entendimos <strong>de</strong> lo que<br />
habíamos averiguado, que fue un <strong>de</strong>cimal periódico que no es un…<br />
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] es un entero ser averiguada, entonces<br />
digamos cuanto división 100 en 3, dividido 3 entonces vamos a obtener 33…<br />
siempre va haber un 3, pero porque ese 3 4 , porque siempre <strong>de</strong> ese numero va<br />
a tomar 3 partes el siguiente <strong>de</strong>cimal y así va a ser sucesiva y sucesivamente…<br />
¿no? ¿Sí? 5 [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO]<br />
Cuarta Etapa.<br />
Terminada la etapa tres en don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>finieron las precategorías para extraer<br />
información mediante subrayados, se enlistaron únicamente los aspectos relevantes y<br />
4<br />
PRECATEGPRÍA OBJETIVOS CONCEPTUALES: CONSTRUIR Y RECONSTRUIR<br />
CONCEPTOS MATEMÁTICOS<br />
5<br />
PRECATEGORIA OBJETIVOS METODOLOGICOS COMUNICAR Y ARGUMENTAR IDEAS<br />
42
significativos para la investigación. Permitiendo generar los <strong>de</strong>scriptores que dieran<br />
continuidad al trabajo.<br />
Para esto fue necesario revisar las transcripciones con cuidado, el marco teórico<br />
aportado por el grupo MESCUD con el fin <strong>de</strong> obtener los tópicos clave al igual que en<br />
los objetivos <strong>de</strong> la presente investigación y las precategorías <strong>de</strong> la etapa anterior. Este<br />
proceso permitió que se eliminaran los aspectos que significaran lo mismo pero<br />
estuvieran redactados <strong>de</strong> otra manera y se evitaran las redundancias o el exceso <strong>de</strong><br />
información sujeta a análisis.<br />
Comprensión <strong>de</strong> enunciado. En este proceso, los estudiantes interiorizan el<br />
enunciado, extraen y asimilan conceptos matemáticos asociados a la temática y a la<br />
consecución <strong>de</strong> los objetivos planteados.<br />
Profesora: ¿Qué entien<strong>de</strong>n por medidores?<br />
Estudiante Alejandro: Pues nosotros enten<strong>de</strong>mos que medidores es algo<br />
que [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]una concepción básica… que es<br />
algo que sirve para medir. Pero entonces como… averiguamos algo y <strong>de</strong>cía<br />
que era, un medidor era un objeto que serbia para medir otro, sin importar...<br />
Que comparamos la longitud <strong>de</strong> uno con otro…..<br />
Freddy: Pues a mi parecer ahí dice trace un segmento con extremo A y B ahí<br />
no le están diciendo que trace otra recta para po<strong>de</strong>r <strong>de</strong>terminar el punto<br />
medio <strong>de</strong> la otra recta entonces ahí dice trace un segmento <strong>de</strong> recta A y B y<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> esas ósea lo que yo entiendo <strong>de</strong> ese enunciado hallar su punto<br />
medio[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO], ósea es razonable lo que esta<br />
haciendo Cristian<br />
Profesora: Cristian ¿Qué son los objetivos? (<strong>La</strong> actividad planteada durante<br />
esta clase es <strong>de</strong>terminar el punto medio <strong>de</strong> dos puntos, la profesora<br />
pregunta sobre los objetivos <strong>de</strong> dicha actividad, es <strong>de</strong>cir que era lo que se<br />
pretendía con la actividad)<br />
43
Estudiante Cristian: pues un objetivo yo creo que sería empezar a enten<strong>de</strong>r<br />
que es lo primero <strong>de</strong>l quiz, o sea pues <strong>de</strong>s<strong>de</strong> las construcciones que estamos<br />
haciendo, darle como un soporte a lo que estamos haciendo realmente, pues<br />
en el libro <strong>de</strong> utilida<strong>de</strong>s, el numero uno y po<strong>de</strong>mos darnos cuenta que lo que<br />
estamos haciendo y construyendo con el compás sin utilizar pues nada <strong>de</strong>l<br />
sistema métrico y nada <strong>de</strong> reglas ni nada. [COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO] Pues po<strong>de</strong>mos construirlos <strong>de</strong> una manera pues la…<br />
empezar a construir la geometría plana <strong>de</strong>s<strong>de</strong> algunos postulados que, que,<br />
que...sale un soporte teórico a cada cosa que hacemos y que construimos<br />
Profesora: Silenia ¿Cuáles son los objetivos? (<strong>La</strong> actividad planteada<br />
durante esta clase es <strong>de</strong>terminar el punto medio <strong>de</strong> dos puntos, la profesora<br />
pregunta sobre los objetivos <strong>de</strong> dicha actividad, es <strong>de</strong>cir que era lo que se<br />
pretendía con la actividad)<br />
Estudiante Silenia: pues no, yo creo que el objetivo <strong>de</strong> la clase <strong>de</strong> esa<br />
actividad seria como po<strong>de</strong>r darle una aplicación <strong>de</strong> lo completo a lo que esta<br />
trabando Eucli<strong>de</strong>s, pues él trabaja concretando pero la intención es <strong>de</strong> un<br />
concepto <strong>de</strong> lo que sabe es siempre llevarlo a lo concreto, a lo que se pueda<br />
manejar todos los conceptos, el expone ahí lo propio a lo real.<br />
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Profesora: una opinión a la intervención <strong>de</strong> Silenia -Fernando.<br />
Estudiante Fernando: pues profe a mi no me parece que, que… actividad es<br />
hacer algo <strong>de</strong>s<strong>de</strong>, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo concreto pues uno simplemente esta armando<br />
cosas graficas, que uno lleve en la mente y no se sabe si es o no es, entonces<br />
lo que yo pienso que para hacer esto es hacer el apren<strong>de</strong>r a llegar a una cosa<br />
<strong>de</strong> lo que <strong>de</strong>cía el libro uno Eucli<strong>de</strong>s y <strong>de</strong>mostrar los segmentos y le manejo<br />
<strong>de</strong>l compás y regla[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Profesora: Bueno y un enunciado para ese procedimiento que hizo ¿cuál<br />
sería? (Debido a que no es claro el enunciado <strong>de</strong>l taller, la profesora intenta<br />
44
ealizar que los estudiantes redacten un enunciado acor<strong>de</strong> a lo que ellos<br />
hicieron)<br />
Estudiante chaqueta NEGRA: un enunciado para lo que hicieron uste<strong>de</strong>s<br />
suponiendo que se hubieran encontrado el punto medio, hubiera sido exacto,<br />
entonces un enunciado para lo que usted... sería marque un punto a y un<br />
punto b y luego trace un segmento <strong>de</strong> recta a partir <strong>de</strong> esos dos puntos y<br />
luego marque su punto medio. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
(se intenta establecer como <strong>de</strong>mostrar el paralelismo y la congruencia <strong>de</strong><br />
rectas)<br />
Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D<br />
construya el lugar geométrico <strong>de</strong> todos los puntos equidistantes <strong>de</strong> C y D,<br />
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO],vamos a utilizar la construcción que<br />
estaba en el tablero que consistía en un segmento <strong>de</strong> recta con extremos C y<br />
D y dos circunferencias con radio CD y centros en C y en D respectivamente,<br />
luego trazaron las rectas que pasa por los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> los círculos y<br />
dijeron que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> hay todos lo puntos equidistaban, terminamos diciendo que<br />
una línea perpendicular a la recta imaginaria que establece la distancia entre<br />
los dos puntos talque pase por la mitad <strong>de</strong> la misma, sería el lugar geométrico<br />
don<strong>de</strong> se encuentran todos los puntos equidistantes <strong>de</strong> C y D, esta<br />
perpendicular estaría dada por la construcción antes hecha por el compañero<br />
Edison<br />
(Se intentan establecer diferencias entre Eucli<strong>de</strong>s y Thales para <strong>de</strong>terminar<br />
que estructuras utiliza Eucli<strong>de</strong>s y su propuesta metodológica)<br />
Estudiante Eduardo: Construir un triángulo equilátero sobre una recta infinita<br />
dada. Sea AB la recta finita dada. Así pues hay que construir sobre la recta<br />
AB, un triángulo equilátero. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]Así<br />
pues hay que construir sobre la recta AB, un triángulo equilátero<br />
45
Estudiante Eduardo: Construye un círculo con centro en A y radio AB,<br />
construye un círculo con centro en B y radio BA, AR = AB y BR = AB,<br />
porque son radios <strong>de</strong> los círculos DRB y ERA, Por lo tanto AR = BR, por<br />
transitividad, luego los tres son iguales entre sí. RA = RB, AB, RA, BR por<br />
lo anterior, por lo tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido sobre<br />
la recta infinita. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Conciencia <strong>de</strong> error en la solución <strong>de</strong> la situación problémica. El<br />
estudiante i<strong>de</strong>ntifica y reconoce errores durante la solución <strong>de</strong>l problema no con<br />
el fin <strong>de</strong> <strong>de</strong>sistir sino <strong>de</strong> corregirlos y continuar el proceso hasta la consecución<br />
<strong>de</strong>l objetivo.<br />
Estudiante 6: la escritura está mal, hay un error, [CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] pues<br />
la longitud <strong>de</strong> O <strong>de</strong>be ser igual a algo, pues O es lo que se está midiendo.<br />
Estudiante 4: si qué pena me equivoque [CONCIENCIA DE ERROR EN<br />
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] O = 10(3) m1<br />
O = 3(5) m2<br />
entonces fue que la clase pasada lo hicimos mal; [CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] no<br />
habíamos utilizado Thales; nos disculpan habíamos tenido un gran error,<br />
[CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA] entonces qué pena, pero aquí trajimos pues para hacerlos<br />
bien pero entonces no lo utilizamos. ¿Cuáles son las paralelas con respecto a<br />
las que trazaron?<br />
Estudiante Alberto: El problema somos nosotros que lo volvimos a hacer<br />
mal[CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
46
Alumna 6: Aunque yo lo venia haciendo mal,<br />
Estudiante <strong>La</strong>ura: Mmm… pues el error esta en [CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]mmm que teníamos la medida marcada eso era uno y el<br />
otro era que a nosotras nadie nos garantizaba que los dos puntos o el giro iba<br />
ha estar en 180, Porque al trazar la circunferencia no concordaban los puntos<br />
establecidos inicialmente ya que la medida <strong>de</strong>l trazo con el compás no era<br />
exacta °<br />
Natalia: Pues entonces acá esta el error, [CONCIENCIA DE ERROR EN<br />
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] si que yo se lo<br />
sumaba que era como si tuviera un quinto y <strong>de</strong>spués mas un veinticincoavo,<br />
era como si lo estuviera sumando en un quinto y el un veinticincoavo ósea<br />
mi palito tenia tres un quinto mas un veinticincoavo y eso no era así, yo ayer<br />
lo revise así medio medio entonces pues viendo que entre el quinto no cabe<br />
ósea sobra mucho espacio entonces este valor lo volveríamos a dividir en<br />
cinco ósea quedaría L <strong>de</strong> tres quintos tres en base cinco <strong>de</strong> M sub dos mas<br />
uno <strong>de</strong> uno cero quintos pero este como esta mas largo sobra medio lo<br />
volveríamos a dividir en cero para dar el valor mas aproximado, si, entonces<br />
ya seria como tener, como tener<br />
Natalia: No ósea esto….. tocaría acondicionarlo un poco mas pues, yo vi<br />
esto así ayer, yo me di cuenta <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l error [CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]<strong>de</strong><br />
sumar el un quinto y el un veinticuatroavo ósea….. Pues yo lo que…<br />
Eduar: “si ahí esta el error [CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]por que no po<strong>de</strong>mos<br />
colocarle… no lo supo expresar era ese menos uno es a la base entonces, y<br />
esto esta en base cinco, no si ahí fue un error.<br />
Estudiante <strong>La</strong>ura: pues nosotras al principio como todavía no nos habíamos<br />
dado cuenta <strong>de</strong>l error, [CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN<br />
47
DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]nosotros pensamos que si<br />
llegábamos<br />
Estudiante 8: Esa respuesta es equivoca, [CONCIENCIA DE ERROR EN<br />
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]pues el hecho <strong>de</strong><br />
que sea la misma longitud, no quiere <strong>de</strong>cir que sea la misma unidad <strong>de</strong><br />
medida.<br />
Estudiante Camilo Ocampo: El error radica en la escritura[CONCIENCIA<br />
DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
<strong>de</strong> 2,22(3) m1 < L < 10(3) m1 porque se consi<strong>de</strong>ra que usar dos enteros es<br />
confuso para el lector ya que se pue<strong>de</strong> mal interpretar la lectura <strong>de</strong>l número<br />
¿todos entendieron lo que explique?<br />
Estudiante Eduardo: la manera <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que es el punto medio, y , uno<br />
<strong>de</strong> los grupos el <strong>de</strong> John y Johan, ellos lo sacaron por Tales pero, tocaba<br />
hallarlo por Eucli<strong>de</strong>s como lo había expuesto Edinson[CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Conciencia <strong>de</strong> situación problémica. En este proceso los estudiantes compren<strong>de</strong>n<br />
que existe una situación problémica.<br />
.<br />
<strong>La</strong>s siguientes situaciones surgen <strong>de</strong> la actividad medir un objeto O, con tres unida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> medida ya establecidas, estas estarán subdivididas en tres y cinco partes<br />
respectivamente. Utilizando elementos como el cáñamo o agujas entre otros<br />
Estudiante Camilo Ocampo: También tuvimos en cuenta que la inserción <strong>de</strong> la<br />
aguja no sería exacta, esto también facilita la obtención <strong>de</strong>l resultado en base<br />
tres. Ya midiendo el objeto, fue evi<strong>de</strong>nte que la longitud <strong>de</strong>l objeto O<br />
sobrepasaba la unidad <strong>de</strong> medida m1 en base tres es <strong>de</strong>cir 13. [CONCIENCIA DE<br />
SITUACIÓN PROBLEMICA]…..Nosotros nos dimos cuenta que en la primera<br />
medida el lumbral <strong>de</strong> duda era muy gran<strong>de</strong> y se busco disminuirlo realizando la<br />
subdivisión <strong>de</strong>l m1 con el teorema <strong>de</strong> Thales. [CONCIENCIA DE SITUACIÓN<br />
PROBLEMICA]<br />
48
Estudiante 4: ….Argumentan que es más fácil el trabajo sobre el papel, porque<br />
al realizar la medición con el cáñamo no era exacta… [CONCIENCIA DE<br />
SITUACIÓN PROBLEMICA]ya que este se podía elongar, y no siempre la<br />
elongación era la misma, este fenómeno crea un margen <strong>de</strong> error<br />
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,<br />
puesto que la elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la<br />
medición[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLEMICA]<br />
Estudiante Camilo: Lo primero que hicimos segmentar las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida<br />
con el método <strong>de</strong> Thales y a las inserciones las realizar con hilo <strong>de</strong> color ver<strong>de</strong>,<br />
luego medimos el objeto con el cáñamo y encontraron que dos veces m1 no eran<br />
suficientes, pero que tres veces m1 sobrepasaba la longitud <strong>de</strong>l objeto Nosotros<br />
lo representamos <strong>de</strong> la siguiente forma: 2m1 < 1 < 103m1 y realizamos la<br />
subdivisión <strong>de</strong> m1 en tres y el resultado fue: 2m1 + (2/10) m1 < 1 < 103 m1<br />
siempre buscando disminuir el lumbral, realizamos otra subdivisión, esta con<br />
color rojo y el resultado fue: 2(3)m1 + (2(3)/10(3))m1 + (2(3)/100(3))m1 < 1 < 10(3)<br />
Como parte <strong>de</strong>l ejercicio era expresarlo en fraccionario[CONCIENCIA DE<br />
SITUACIÓN PROBLEMICA]<br />
Francy: Este es el objeto cero, me va a dar tres <strong>de</strong> esto ¿Sera que este es igual?<br />
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLEMICA]<br />
Estudiante <strong>de</strong>scribe un proceso. Se realiza una <strong>de</strong>scripción oral o escrita por<br />
parte <strong>de</strong>l estudiante con el fin <strong>de</strong> extraer características y particularida<strong>de</strong>s<br />
Estudiante 3: Debíamos construir con base en U1 y U2, tres medidores y<br />
segmentarlos <strong>de</strong> la siguiente forma; m1 en tres segmentos, m2 en cinco<br />
segmentos y m3 en tres segmentos, y utilizamos el hilo para mostrar las<br />
divisiones <strong>de</strong>l cáñamo. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Grupo 8:<br />
Estudiante 17: habla <strong>de</strong> las nociones básicas <strong>de</strong> la geometría plana mediante<br />
propuestas, <strong>de</strong>finiciones, <strong>de</strong>mostraciones, y construcciones <strong>de</strong> figuras punto <strong>de</strong> la<br />
geometría plana<br />
Profesora: Déme un ejemplo claro<br />
49
Estudiante 18: Por <strong>de</strong>cir algo, ahí don<strong>de</strong> nos estaban hablando <strong>de</strong> las paralelas o<br />
<strong>de</strong> cómo se podían sacar con tres líneas rectas una paralela con dos ángulos y los<br />
ángulos exteriores congruentes. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Estudiante Cristian: pues lo que pasa es lo que yo hacia mas que todo dándome<br />
cuenta en este ejemplo, si, como sabemos que aquí es la mitad entonces si yo<br />
tomo <strong>de</strong> este punto, si yo marco <strong>de</strong> a y b, marca un punto por acá y el otro por<br />
acá, si yo trazo una recta por acá, si yo trazo una recta <strong>de</strong> <strong>de</strong> aquí acá como<br />
aseguro que la misma abertura que tengo <strong>de</strong> aquí acá entonces va hacer mas<br />
larga, [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Estudiantes Johan y John: Primero, construimos el segmento <strong>de</strong> la recta AB<br />
<strong>de</strong>spués hicimos dos circunferencias con radio AB y centros A y B<br />
respectivamente; como el grupo anterior, trazamos una línea en los dos puntos<br />
<strong>de</strong> corte <strong>de</strong> los círculos llamado r y r´ y hallamos el punto medio AB y<br />
nombraron dos puntos arbitrarios en ambas circunferencias una C y otra D<br />
respectivamente y dice que AB=ROARCr´ y que Br = ROAr´D, entonces para<br />
saber si el punto que hallo ¨si es el punto medio´ traza una circunferencia con<br />
centro en el punto medio y si este cruza el punto A, quiere <strong>de</strong>cir, que Apm es el<br />
radio <strong>de</strong> la circunferencia y seria igual a PmB que son radios <strong>de</strong> circulo OAFB<br />
don<strong>de</strong> F es un punto aleatorio <strong>de</strong> la ultima circunferencia trazada.<br />
[ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Estudiante Johan: Vamos hacer la <strong>de</strong>mostración y la construcción por Thales,<br />
construyendo una red <strong>de</strong> segmento AB y una recta que pasa por A y ubican dos<br />
unida<strong>de</strong>s, con distancia arbitraria <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la segunda división traza un segmento<br />
hacia B y otro segmento paralelo al anterior que pasara por A, dividiéndose en<br />
segmento AB en dos partes iguales y para hallar la paralela se podría usar<br />
compás o una escuadra, pero nosotros preferimos el compás. [ESTUDIANTE<br />
DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D<br />
construya el lugar geométrico <strong>de</strong> todos los puntos equidistantes <strong>de</strong> C y D, vamos<br />
a utilizar la construcción que estaba en el tablero que consistía en un segmento<br />
<strong>de</strong> recta con extremos C y D [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] y dos<br />
50
circunferencias con radio CD y centros en C y en D respectivamente, luego<br />
trazaron las rectas que pasa por los puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> los círculos y dijeron que<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> hay todos lo puntos equidistaban [ESTUDIANTE DESCRIBE UN<br />
PROCESO], terminamos diciendo que una línea perpendicular a la recta<br />
imaginaria que establece la distancia entre los dos puntos talque pase por la<br />
mitad <strong>de</strong> la misma, sería el lugar geométrico don<strong>de</strong> se encuentran todos los<br />
puntos equidistantes <strong>de</strong> C y D, esta perpendicular estaría dada por la<br />
construcción antes hecha por el compañero Edison.<br />
Estudiante Rocio: Nos daban la recta l y ubicando el punto P, y <strong>de</strong>bíamos trazar<br />
una paralela a l y que pasara por P. Cogimos el punto inicial <strong>de</strong> la recta que<br />
llamamos M y trazamos una recta <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto M que pasara por el punto P,<br />
luego con el compás tomamos la distancia <strong>de</strong>l segmento MP, trazando una<br />
circunferencia o <strong>de</strong> M a P y repetimos la circunferencia sin cambiar la medida,<br />
<strong>de</strong>l punto P y sobre la recta que forman los puntos M y P, que también cortara la<br />
recta l. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]<br />
ESTUDIANTE 1: Que ya digamos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo concreto, pues digamos, no se,<br />
podríamos, digamos se podría <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo teórico ya podríamos empezar un medida<br />
<strong>de</strong>l objeto 0 digamos yo cuando era pequeño pensaba eso, pensaba por ejemplo<br />
la regla venia <strong>de</strong> 30cm en general, entonces uno la dividía en 15 y que eso en 7.5<br />
y que eso que cuando a la parte <strong>de</strong> dividir milímetros siempre era mitad y mitad<br />
y mitad [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]pero eso como <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo<br />
concreto uno no pue<strong>de</strong> dividir un milímetro y cosas así, pues por lo que es muy<br />
complicado, entonces yo pensé que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo teórico <strong>de</strong>más que si podría verse,<br />
pero que era muy complicado construir algo así tal que llegue a la exactitud que<br />
uno quisiera, porque digamos cuando le queda una unidad y que queda en la<br />
rayita <strong>de</strong>l milímetro, uno como sabe esas rayitas <strong>de</strong>l milímetro tiene como<br />
anchura ese espacio <strong>de</strong>l milímetro tendría mitad, es que cuando uno mi<strong>de</strong> con la<br />
regla uno <strong>de</strong> verdad no da una medida… por ejemplo cuando uno dice, a no pues<br />
si usted la da con milímetro la da mas exacta, pero ¿eso es cierto?.<br />
51
ESTUDIANTE: En todo triangulo si se prolonga uno <strong>de</strong> los lados el triangulo<br />
externo es igual a los dos (2) ángulos internos y opuestos los tres (3) ángulos<br />
internos el triangulo son iguales a los vértices. [ESTUDIANTE DESCRIBE<br />
UN PROCESO]<br />
ESTUDIANTE: Si dos triángulos tienen dos lados <strong>de</strong>l uno iguales a 2 lados <strong>de</strong>l<br />
otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales tendrán<br />
también las respectivas bases iguales, y un triangulo será igual a otro y los<br />
ángulos restantes serán también iguales respectivamente[ESTUDIANTE<br />
DESCRIBE UN PROCESO]<br />
Javier: Cuando dos ángulos adyacentes entre si, cada uno <strong>de</strong> los suyos se llama<br />
ángulo recto y la recta se llama perpendicular[ESTUDIANTE DESCRIBE UN<br />
PROCESO]<br />
Roció: Para hallar eso... ósea... el lo toma y hay como mirar <strong>de</strong> R y a H <strong>de</strong>be<br />
haber la misma distancia que R a E entonces partiendo <strong>de</strong> hay, entonces se <strong>de</strong>be<br />
trazar la perpendicular <strong>de</strong> R al segmento AB, entonces hay es don<strong>de</strong> pues,<br />
¿como trazar esa perpendicular a la recta dada?, entonces pues pue<strong>de</strong>, por<br />
ejemplo, se podría hacer <strong>de</strong> dos maneras, una <strong>de</strong> ella s es como alargar el<br />
segmento RH prolongarlo e igual el compas <strong>de</strong> H suponiendo que esta<br />
prolongación <strong>de</strong> la línea la llamamos R a M y el otro RET entonces se toma con<br />
el compas, un punto tomado en la recta REM, igual en la misma distancia <strong>de</strong>l<br />
otro lado y luego <strong>de</strong> ese punto que tomamos hay que trazar una recta AT y <strong>de</strong>l<br />
otro lado AH y así obtuvimos el punto medio. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN<br />
PROCESO]Entonces hay po<strong>de</strong>mos trazar AR ahí don<strong>de</strong> se corta las dos rectas o<br />
si no como lo hicimos en el primer punto <strong>de</strong>l taller, en el que era hallar el punto<br />
medio en la circunferencia <strong>de</strong> las 2 circunferencias.<br />
Necesidad <strong>de</strong> rectificación en comprensión <strong>de</strong> enunciado. En ocasiones, es<br />
necesario realizar un ajuste a las posibles soluciones planteadas en el aula<br />
teniendo en cuenta que durante el proceso <strong>de</strong> comprensión <strong>de</strong>l enunciado se<br />
presentan errores o inconsistencias que alteren la solución <strong>de</strong> la situación<br />
problema.<br />
52
Estudiante Alejandro: ¿Por qué 44 dividido en 3 es igual a 44.6 o 44.66 o<br />
cuarenta… o 14.666, habíamos contestado que … para nosotros , pues creo, en<br />
que es un <strong>de</strong>cimal periódico que siempre <strong>de</strong>l ultimo numero va tomar seis partes<br />
iguales no? ¡No pues si no!. Para nosotros lo entendimos <strong>de</strong> lo que habíamos<br />
averiguado, que fue un <strong>de</strong>cimal periódico que no es un… es un entero ser<br />
averiguada, entonces digamos cuanto división 100 en 3, dividido 3 entonces<br />
vamos a obtener 33… siempre va haber un 3, pero porque ese 3, porque siempre<br />
<strong>de</strong> ese número va a tomar 3 partes el siguiente <strong>de</strong>cimal y así va a ser sucesiva y<br />
sucesivamente… ¿no? ¿Sí? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Estudiante: ¿A que es igual 1003 dividido en 3?<br />
Estudiante Alejandro: 33.3 o 33.33... Es igual se pue<strong>de</strong> expresar así, o<br />
simplemente con una ramita encima, que da un <strong>de</strong>cimal periódico, que da, que no<br />
todas las divisiones eran exactas, que cada vez que un <strong>de</strong>cimal da así se pue<strong>de</strong><br />
poner eso. Eso fue lo que averiguamos pero[NECESIDAD DE<br />
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Estudiante Cristian Camilo: Estábamos hablando en el grupo supongamos<br />
nosotros tenemos y pues Trazamos un segmento <strong>de</strong> recta llamado m1, y para<br />
utilizar Tales. Lo que el haríamos para utilizar seria trazar una diagonal que<br />
inicia en m1 para hacer que concuer<strong>de</strong> el lado <strong>de</strong> arriba y sea recto tomando un<br />
ángulo <strong>de</strong> 90° pegue con el final <strong>de</strong> m1, para trazar mas rectas y que están sean<br />
paralelas. Porque si empezamos a hacerlo <strong>de</strong> otra forma, pues entonces siempre<br />
trataríamos <strong>de</strong> buscar que pegara; así se podría. <strong>La</strong> i<strong>de</strong>a es que hacerlo es que no<br />
importa la diagonal que se haga tocaría bajarla totalmente por acá para hacer así<br />
las paralelas. Si entien<strong>de</strong>n lo que intento <strong>de</strong>cir[NECESIDAD DE<br />
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Estudiante Alejandro: <strong>La</strong> diagonal; con cualquier unidad <strong>de</strong> medida que...<br />
53
Ese es el problema que están ellos y yo. Y creo que pudieron haber hecho para<br />
trazar la medida transportarla no mas, o hacerla así hacer un circulito, entonces<br />
acá corta un punto, y como esto va, la distancia, como supuestamente esto es un<br />
circulo, la distancia que hay acá y <strong>de</strong> acá a acá, tiene que tener la misma<br />
distancia ¿si?, [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN<br />
DE ENUNCIADO]Entonces como ya tenemos este punto, con la regla que tenia<br />
sin marcar, trazamos, trazarla… trazaba la…<br />
Alumna 6: Empezamos diciendo que teníamos que medir en base 5, entonces,<br />
que 3 en base 5 <strong>de</strong> m2 era mayor que 1<br />
(se confun<strong>de</strong> con los signos <strong>de</strong> mayor que y menor que),<br />
Menor, menor que la longitud… ¡que pena!, era menor a la longitud pero la<br />
longitud era menor a esto que estaba entre 3 y 4 cordones, la longitud se<br />
encuentra entre 3 o 4 cordones <strong>de</strong> m2 ¿si? Pero nosotros dijimos no, 3 o 4<br />
cordones es mucho, eso nos sobra un pedazo pequeñito entonces y miramos que<br />
se encontraba en la primera división <strong>de</strong> m2, si el pedacito que sobra se<br />
encontraba sobre esta, en 1/5, nosotros medimos y nos sobra como un centímetro<br />
mas o menos, entonces dijimos que se encontraba entre… 3/5 <strong>de</strong> m2 era menor<br />
que esto peo la longitud a la vez era menor porque todavía era menor, <strong>de</strong> 3 en<br />
base 5 <strong>de</strong> m2, mas 1 sobre 10 en bases <strong>de</strong> m2 este 1 también esta en base 5 todo<br />
es en base 5 ¿si?, pues ahí también queda aproximado bastante aproximado, pues<br />
nosotros no volvimos a dividir pero allí ya podríamos sacar el numero siguiente<br />
<strong>de</strong> la coma, si volviéramos a dividir en 5 partes nos quedarían mas o menos<br />
como <strong>de</strong> a… quedaba así ¿cierto? ¿Si? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN<br />
EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]Si volviéramos a dividir quedaría<br />
otra vez entre la primera quinta parte, este pedazo es bien pequeñito, entonces<br />
volvemos a <strong>de</strong>cir que 3 por el 5 <strong>de</strong> m al cuadrado tan… ¿si? [NECESIDAD DE<br />
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] entonces ahora<br />
yo dije, vamos a <strong>de</strong>sarrollar la suma para que[ así pueda dar el numero<br />
aproximado, la longitud aproximada <strong>de</strong>l objeto, entonces… a no… factor común<br />
¿cierto? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO], entonces ahora yo dije, vamos a <strong>de</strong>sarrollar la suma<br />
54
para que[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA] así pueda dar el numero aproximado, la longitud<br />
aproximada <strong>de</strong>l objeto, entonces… a no… factor común ¿cierto?<br />
[NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO]<br />
Estudiante: Estamos volviendo a reconstruir la primera pregunta, entonces<br />
<strong>de</strong>cimos que esta es una construcción <strong>de</strong> figuras planas por medio <strong>de</strong> puntos,<br />
rectas, segmentos, circunferencias, ángulos basándonos en proporcionalidad y<br />
por medio <strong>de</strong> la experiencia adquirida apropiada <strong>de</strong>l uso. Entonces vamos a <strong>de</strong>cir<br />
en el punto tres, <strong>de</strong> acuerdo a lo propuesto pensamos que es necesario la<br />
adquisición <strong>de</strong> este conocimiento, y la otra ¿Cómo trata el libro? Entonces en<br />
base a las <strong>de</strong>finiciones y postulados y nociones comunes las cuales sirven para<br />
las <strong>de</strong>mostraciones <strong>de</strong> las proposiciones entonces que pasa con esto <strong>de</strong> acuerdo<br />
con las nociones tien<strong>de</strong> a realizar un caso particular. [NECESIDAD DE<br />
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Estudiante <strong>La</strong>ura: por eso ese es el problema, nosotros no lo estamos tomando<br />
don<strong>de</strong> el principio, entonces o sea no sabemos, si es exacta o no[NECESIDAD<br />
DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Planteamiento <strong>de</strong> posible solución a situación problémica. Después <strong>de</strong> leer,<br />
compren<strong>de</strong>r, analizar y poner en común el problema, algún estudiante plantea una<br />
alternativa que permita la consecución <strong>de</strong>l objetivo. Sin embargo, está sujeta a<br />
validación. Se plantea una alternativa <strong>de</strong> solución al problema para que sea discutida<br />
y puesta en común.<br />
Estudiante 2: Nosotros lo representamos <strong>de</strong> la siguiente forma: 2m1 < 1 < 103m1<br />
y realizamos la subdivisión <strong>de</strong> m1 en tres [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]y el resultado fue: 2m1 + (2/10)<br />
m1 < 1 < 103 m1 siempre buscando disminuir el lumbral, realizamos otra<br />
subdivisión, esta con color rojo y el resultado fue: 2(3)m1 + (2(3)/10(3))m1 +<br />
(2(3)/100(3))m1 < 1 < 10(3) Como parte <strong>de</strong>l ejercicio era expresarlo en<br />
55
fraccionario, entonces lo expresamos así: (2000(3)m1 + 200(3)m1 +<br />
20(3)m1)/1000(3) = (2220(3) m1)/1000(3) = 222(3)/100(3). <strong>La</strong> respuesta <strong>de</strong> la<br />
expresión en fraccionario: 222(3)/100(3) m1 < 1 < 10(3) m1 <strong>La</strong> respuesta <strong>de</strong> la<br />
expresión con comas: 2,22(3) m1 < 1 < 10(3) m1 Seguir limitando el intervalo<br />
resulta imposible, por los requerimientos <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> Thales.<br />
Estudiante 5: Vamos hacer el procedimiento, se realizo una cuadricula para el<br />
trabajo y esta estaba subdividida en 44 segmentos con respecto a la longitud <strong>de</strong><br />
m1. Trazamos las diagonales según el teorema <strong>de</strong> Thales y trasladamos la<br />
medida <strong>de</strong>l segmento sobre la diagonal y luego formamos grupos <strong>de</strong> los 44<br />
segmentos, para formar los tres que requería el ejercicio[PLANTEAMIENTO<br />
DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Alejandro: Lo que hicimos mal ¿si profe? ¿Po<strong>de</strong>mos hacerlo? Para<br />
hacerlo bien ¿si?<br />
Pegan unas hojas en el tablero, mientras sus compañeros esperan, toman hilo<br />
para medir m1<br />
Entonces tenemos m1 ¿si? Entonces ahora lo vamos a comparar con la<br />
cuadricula. Miren acá nos da, entonces, pues hagamos <strong>de</strong> cuenta que acá hay una<br />
línea que nos va representar a m1 ¿si? [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Andres: yo me atrevo a pasar hasta que no lea el teorema <strong>de</strong> Tales y<br />
el libro <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s. No lo <strong>de</strong>jo solo, tranquilo.<br />
Entonces acá la pregunta… acá viene el problema si, porque Tales hacia eso,<br />
¿pero como hacía, como carajo hacia? Para que lo que iba hacer acá, o no sé<br />
don<strong>de</strong> va a hacer en que punto <strong>de</strong> esta línea va a caer, entonces como… yo creo<br />
que con el compas, eso hay una teoría con compases y todo, como hallar ese<br />
ángulo, colocar la otra cosita, para que se diera bien la otra longitud en cuestión.<br />
[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Alejandro: <strong>La</strong> diagonal; con cualquier unidad <strong>de</strong> medida que...<br />
56
Ese es el problema que están ellos y yo. Y creo que pudieron haber hecho para<br />
trazar la medida transportarla no mas, o hacerla así hacer un circulito, entonces<br />
acá corta un punto, y como esto va, la distancia, como supuestamente esto es un<br />
circulo, la distancia que hay acá y <strong>de</strong> acá a acá, tiene que tener la misma<br />
distancia [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]¿si? Entonces como ya tenemos este punto, con la regla que<br />
tenia sin marcar, trazamos, trazarla… trazaba la…<br />
Alumna 5: Nosotras tomamos así el rayado <strong>de</strong> Tales pero, pues utilizamos unas<br />
hojas milimetradas entonces acá tomamos la referencia, acá contamos cuadritos,<br />
ósea que pasara la transversal por otro punto <strong>de</strong>l otro cuadrito, ósea, dos, tres,<br />
cuatro, cinco, seis cuadritos, igual para todos, entonces otros seis cuadritos,<br />
entonces ahí si <strong>de</strong>spués empezamos a… trazamos <strong>de</strong> acá <strong>de</strong> este punto al punto<br />
final <strong>de</strong> la unidad <strong>de</strong> medida… entonces trazamos la paralela entonces ya<br />
<strong>de</strong>spués teníamos que trazar las <strong>de</strong>más sin necesidad <strong>de</strong> utilizar el … como<br />
tomar la escuadra así para medir, hay unos puntos que coinci<strong>de</strong>n en el mismo<br />
rayado, tenemos un punto que nos coincidió en el punto <strong>de</strong>l cuadrito, entonces<br />
contamos los seis cuadritos hacia abajo y lo mismo hacia la otra posición,<br />
entonces trazamos el puntito y sabemos que también la paralela que vamos a<br />
trazar, <strong>de</strong> aquí a acá va ir por ese punto <strong>de</strong> la misma manera , seguimos<br />
buscando los puntos que coincidan y aquí nos coincida otro y entonces igual,<br />
contábamos los seis cuadritos y también la paralela tenia que pasar por este<br />
punto. [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Alumna 6: Empezamos diciendo que teníamos que medir en base 5,<br />
entonces, que 3 en base 5 <strong>de</strong> m2 era mayor que 1<br />
(se confun<strong>de</strong> con los signos <strong>de</strong> mayor que y menor que),<br />
menor, menor que la longitud… ¡que pena!, era menor a la longitud pero<br />
la longitud era menor a esto que estaba entre 3 y 4 cordones, la longitud<br />
se encuentra entre 3 o 4 cordones <strong>de</strong> m2 ¿si? Pero nosotros dijimos no,<br />
3 o 4 cordones es mucho, eso nos sobra un pedazo pequeñito entonces<br />
y miramos que se encontraba en la primera división <strong>de</strong> m2, si el pedacito<br />
57
que sobra se encontraba sobre esta, en 1/5, nosotros medimos y nos<br />
sobra como un centímetro mas o menos, entonces dijimos que se<br />
encontraba entre… 3/5 <strong>de</strong> m2 era menor que esto peo la longitud a la<br />
vez era menor porque todavía era menor, <strong>de</strong> 3 en base 5 <strong>de</strong> m2, mas 1<br />
sobre 10 en bases <strong>de</strong> m2 este 1 también esta en base 5 todo es en base<br />
5 ¿si?, pues ahí también queda aproximado bastante aproximado, pues<br />
nosotros no volvimos a dividir pero allí ya podríamos sacar el numero<br />
siguiente <strong>de</strong> la coma, si volviéramos a dividir en 5 partes nos quedarían<br />
mas o menos como <strong>de</strong> a… quedaba así ¿cierto? ¿Si? Si volviéramos a<br />
dividir quedaría otra vez entre la primera quinta parte, este pedazo es<br />
bien pequeñito, entonces volvemos a <strong>de</strong>cir que 3 por el 5 <strong>de</strong> m al<br />
cuadrado tan… [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA] ¿si? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
Escribe 5m sin explicar, corrige un error<br />
entonces ahora yo dije, vamos a <strong>de</strong>sarrollar la suma para<br />
que[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA] así pueda dar el numero aproximado, la longitud<br />
aproximada <strong>de</strong>l objeto, entonces… a no… factor común ¿cierto?<br />
[NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO] Aunque yo lo venia haciendo mal, [CONCIENCIA DE<br />
ERROR EN POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA] que<br />
primero pa´ sacar el numero con coma, yo recordé mas o menos que<br />
cuando tenia aquí abajo, lo podía pasar arriba con un exponente<br />
negativo, teníamos 3 a la 5 menos 2 mas 1 por 10 a la -1 en base 5 <strong>de</strong><br />
m2 mas uno cero en base 5, entonces como estábamos trabajando en<br />
base 5 yo colocaba así…<br />
ALUMNA 6 Miremos el valor posicional ¿si? Y le voy a dar la respuesta que<br />
quiere. Tenemos la cuerdita ¿no? Cuando medimos <strong>de</strong> nuevo al colocar el cuarto<br />
cordón nos queda aquí, por eso colocamos ¿si? Vamos a dividir este, este<br />
pedacito <strong>de</strong> nuevo, cinco, ahí ya va a cambiar el valor posicional porque va a ser<br />
58
una división <strong>de</strong> la subdivisión, lo que pasa es que yo les dije no lo dividí, pero<br />
aparentemente nos va a quedar en el primer pedacito[PLANTEAMIENTO DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Yesid: vean, este es objeto 0 entonces tiene el medidor, si, lo divi<strong>de</strong> en tres, si en<br />
tres, está dividido en tres partecitas, entonces cuando fueron a medir el objeto<br />
con el medidor quedaba una partecita sin medir, si el objeto 0, entonces fue<br />
don<strong>de</strong> ella[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Javier: pues no, no ayer no teníamos una construcción así como <strong>de</strong><br />
muy bien <strong>de</strong>finida por que la estábamos <strong>de</strong>finiendo que habíamos hecho ahí<br />
entonces estaba obviamente mal redactada, ayer la estuvimos mirando y pues<br />
había que empezar <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo inicial para empezar a <strong>de</strong>finir que fue lo que hicimos<br />
bien, digamos nosotros ayer <strong>de</strong>finimos que, que, que empezamos hablar <strong>de</strong> los<br />
triangulo equilátero que se <strong>de</strong>scribían entre las dos circunferencias y tendríamos<br />
que haber empezado primero hablar <strong>de</strong> los dos puntos A y B que Iban ha ser un<br />
segmento y pero.. A su vez cada uno <strong>de</strong> esos punto Iban a significar el centro <strong>de</strong><br />
una circunferencia[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Cristian: nosotros nos dimos cuenta que si no tendríamos el dibujo<br />
entonces como a través <strong>de</strong> las palabras podíamos construir todo lo que hicimos<br />
en el tablero, entonces eso fue lo que tratamos <strong>de</strong> hacer, nosotros pues en ese<br />
tiempo, para po<strong>de</strong>r construir lo que una persona que viera todo lo que escribimos<br />
pudiera construir las mismas cosas y que quedara pues así como quedo en el<br />
tablero; que <strong>de</strong> lo verbal pasara alo concreto, era como eso.<br />
[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Sergio: profe pues yo creo que la actividad planteado sea plantea en<br />
sí, algo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo concreto o sea <strong>de</strong>s<strong>de</strong> uno, que <strong>de</strong>s<strong>de</strong>… su hacer compruebe que<br />
las pruebas que planteo Eucli<strong>de</strong>s o sea son…por <strong>de</strong>cir así comprobables que se<br />
59
pue<strong>de</strong>n realizar y que tiene un sentido, entones creo que es una actividad para<br />
que se pueda tomar como algo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo concreto; o sea creo que tomando lo que<br />
dice Eucli<strong>de</strong>s se pue<strong>de</strong> tomar algo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo concreto por que uno hace y se da<br />
cuenta <strong>de</strong> algunos <strong>de</strong> los planteamientos o sea uno los <strong>de</strong>scubre por que ya los<br />
vio entonces por su cuenta los mira, los verifica y mira que si eso es cierto <strong>de</strong>l<br />
por que ya les da un poco mas es en todo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la parte<br />
concreta[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Rocio: En esta línea no tiene puntos extremos, ya que la recta es<br />
infinita. [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Planteamiento <strong>de</strong> situación problémica. Se expone la situación que se<br />
preten<strong>de</strong> resolver para alcanzar el objetivo. Esta pue<strong>de</strong> ser planteada por el<br />
docente o los estudiantes.<br />
Estudiante Cristian Camilo: Estábamos hablando en el grupo<br />
supongamos nosotros tenemos y pues Trazamos un segmento <strong>de</strong><br />
recta llamado m1, y para utilizar Tales. Lo que el haríamos para<br />
utilizar seria trazar una diagonal que inicia en m1 para hacer que<br />
concuer<strong>de</strong> el lado <strong>de</strong> arriba y sea recto tomando un ángulo <strong>de</strong> 90°<br />
pegue con el final <strong>de</strong> m1, para trazar mas rectas y que están sean<br />
paralelas. [PLANTEAMIENTO DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Andres: yo me atrevo a pasar hasta que no lea el teorema <strong>de</strong> Tales<br />
y el libro <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s. No lo <strong>de</strong>jo solo, tranquilo.<br />
Entonces acá la pregunta… acá viene el problema si, porque Tales hacia eso,<br />
¿pero como hacia, como carajo hacia? Para que lo que iba hacer acá, o no se<br />
don<strong>de</strong> va a hacer en que punto <strong>de</strong> esta línea va a caer, entonces como… yo<br />
creo que con el compas, eso hay una teoría con compases y todo, como hallar<br />
ese ángulo, colocar la otra cosita, para que se diera bien la otra longitud en<br />
cuestión. [PLANTEAMIENTO DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
60
Propuesta alterna para solución <strong>de</strong> situación problémica. En esta fase el<br />
estudiante plantea diferentes alternativas para la resolución <strong>de</strong> la situación<br />
problémica.<br />
<strong>La</strong>ura: no, fijamos los puntos, luego trazamos la recta y <strong>de</strong>spués si le<br />
sacamos la mitad, lo que pasa es que los puntos que fijamos,<br />
digamos con <strong>de</strong>terminada medida <strong>de</strong>l compás, lo que hicimos fue,<br />
tomamos un punto como digamos el centro pero no lo establecimos<br />
<strong>de</strong> una vez, ni nada. Como la mitad, si no trazamos el punto acá y<br />
luego volteamos y trazamos el punto aquí. Ahora sí trazamos la recta,<br />
recta con esos dos puntos ya dados y <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> trazar con esta<br />
misma medida hay si colocamos otra vez el compás <strong>de</strong> la punta,<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> este punto y marcamos aquí y comprobamos que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> este<br />
punto hubiera el mismo. [PROPUESTA ALTERNA PARA<br />
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Cabello largo: que ellas están a mi parecer<br />
pre<strong>de</strong>terminando, una medida que va a ser la mitad o digamos que<br />
va a hacer, la abertura <strong>de</strong>l compás, que va a ser la mitad o digamos<br />
que va a ser don<strong>de</strong> termina uno <strong>de</strong> los extremos una <strong>de</strong> la punta va a<br />
ser el punto medio <strong>de</strong> esa recta, entonces me parece más a<strong>de</strong>cuada<br />
la <strong>de</strong> éste lado porque están trazando y según esa recta hay si<br />
estaría buscando el punto medio con los dos Arcos... si me hago<br />
enten<strong>de</strong>r? [PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Javier: no, pues no es una pregunta, si no que la proposición no se<br />
que era lo que planteaba la concepción <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong>l<br />
cuestionario que <strong>de</strong>cía, que si se traza una recta perpendicular a una<br />
recta infinita dada <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto dado no esta en el que era uno <strong>de</strong><br />
los puntos y hay esta la concepción <strong>de</strong> cómo se encuentra la<br />
perpendicular atreves <strong>de</strong> la regla y el compas con las construcciones<br />
61
que hace Eucli<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que hay salida <strong>de</strong> la perpendicular,<br />
entonces también se podría tomar como si fuera un punto medio <strong>de</strong><br />
un segmento <strong>de</strong>l que estaba inscrito al circulo. [PROPUESTA<br />
ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 2: Profesora no estoy <strong>de</strong> acuerdo ese no es el resultado,<br />
sino una aproximación <strong>de</strong>l resultado. [[PROPUESTA ALTERNA<br />
PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 9: <strong>La</strong>s <strong>de</strong>finiciones, los postulados, luego las nociones<br />
¿Si? [PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Janeth: Esta línea es paralela, ya que por más que se<br />
prolongue nunca se va interceptar y eso basándose en Euclí<strong>de</strong>s.<br />
[PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Camisa roja: ¿Y sí son segmentos <strong>de</strong> recta?<br />
Estudiante Milena: No son segmentos, son rectas [PROPUESTA<br />
ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Buso blanco cabello largo: ¿Cómo hicieron la<br />
construcción y cómo se pue<strong>de</strong> afirmar que no se cortan?<br />
[PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Síntesis <strong>de</strong> posible solución a situación problémica. Este proceso se efectúa<br />
con el fin <strong>de</strong> optimizar y clarificar todo el proceso <strong>de</strong> solución al problema. Es<br />
análogo a reducir la solución en extensión pero no en su contenido y esencia, sin<br />
alterar la consecución <strong>de</strong>l objetivo.<br />
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la<br />
medida, puesto que la elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la<br />
medición [CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el<br />
62
papel procedimos a hacer las correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2<br />
para <strong>de</strong>spués sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2<br />
se encontraban tres veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Profesora: pero muéstrenos el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l primer punto, recuer<strong>de</strong>n lo que<br />
dice; medir la longitud <strong>de</strong>l objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida<br />
en base tres, con un número fraccionario, cociente entero <strong>de</strong> forma a sobre<br />
b y con un número con coma.<br />
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:<br />
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la<br />
elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel<br />
procedimos a hacer las correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués<br />
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres<br />
veces sobre el objeto O”<br />
m1 = 10(3)<br />
m1 = 10,0(3)<br />
m1 = 10(3) / 1(3)<br />
m2 = 3(5)<br />
m2 = 3,0(5)<br />
m2 = 3(5) / 1(5)<br />
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Profesora: Borren todo lo <strong>de</strong>l tablero menos, la pregunta que está en el<br />
tablero. Escriben en el tablero.<br />
63
2(3)m1 < L < 20(3)m1<br />
2(3)m1 + (2/10) m1 < L<br />
2(3)m1 + (2/10)(3)m1 + (2/100)(3)m1 < L < 10(3)<br />
(2000(3)m1 + 200(3)m1 + 20(3)m1)/1000(3) = (2220(3)<br />
m1)/1000(3)<br />
= (222/100)(3)m1<br />
222(3)/100(3) m1 < L < 10(3) m1<br />
2,22(3) m1 < L < 10(3) m1<br />
¿Por qué aseguran<br />
que m1 = m2?<br />
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Francy: Tengo las tres partes [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Francy: Pues es muy parecido lo que dice Natalia sino que a mi medio un<br />
pedacito más pequeño osea este pedacito solamente, entonces inicialmente<br />
hice, observe que me daba tres y que la longitud <strong>de</strong>l objeto era mayor a<br />
esas tres partes, <strong>de</strong>spués que era la longitud era mayor a tres y menor que<br />
cuatro, luego hice la primera subdivisión entonces era menor a tres M sub<br />
Dos y menor a tres más la primera subdivisión <strong>de</strong> esta menor a tres mas<br />
una parte uno sobre uno cero <strong>de</strong> M sub dos mirando lo que hizo Natalia,<br />
Pues también hizo lo que ella realizo que era subdividir esto en otras cinco<br />
partes ahí estoy confundida, la longitud es menor a tres perdón mayor a tres<br />
y está entre tres más uno sobre uno cero que pertenecería a esta parte,<br />
entonces volví a hacer otra subdivisión ya que el punto era muy muy<br />
pequeño y lo mejor era llegar a una mejor aproximación entonces volví a<br />
realizar la subdivisión se me cayeron los hilos volví a subdividir esto, y en<br />
esta subdivisión ya en una ya me daba un segmento en el último segmento<br />
<strong>de</strong> esta subdivisión entonces ahí lo que hice fue que la longitud es tres<br />
64
aproximadamente tres más uno sobre uno cero cero, cero, cero, cero, que<br />
pertenece a esta parte es aproximadamente por eso coloque, no coloque al<br />
igual que Natalia allá que está entre tres y entre tres más uno sobre uno<br />
cero, cero por que la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> medir es llegar a una mejor aproximación y si<br />
siempre nos quedara entre un segmento y el otro segmento pues no<br />
tendríamos una medida entonces por eso lo coloque así, entonces nos daría<br />
tres partes la parte completa es tres partes más cero partes, cero partes <strong>de</strong><br />
uno cero, cero partes <strong>de</strong> uno sobre cero, cero y una partecita <strong>de</strong> uno sobre<br />
uno cero, cero, cero quedándome el numero con, tres coma cero ¡ahí! Me<br />
falta un cero, espérate cero, espérate cero, me sobra es un cero aquí cero<br />
cero uno en base cinco <strong>de</strong> M2…. Bueno es que aquí no la escribí, no le<br />
había escrito M2 el M sub dos aparece <strong>de</strong> que es mi unidad <strong>de</strong> medida. 6<br />
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Eduar: Yo le cuento como saque las paralelas por que lo <strong>de</strong> Thales no lo<br />
conocemos y las paralelas las sacamos al estilo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s con regla y<br />
compas. Bien vamos a ver como sacamos el, inicialmente nosotros<br />
tomamos el objeto a nuestra medida entonces medimos por primera vez<br />
aquí. Tengo las medidas, entonces medimos por primera vez <strong>de</strong>s<strong>de</strong> aquí, en<br />
si nos dieron dos <strong>de</strong> estas osea dos M sub dos y no alcanzamos a dar tres<br />
M sub dos entonces vamos a llamar, ya están están las convenciones, ya<br />
las tenemos la longitud <strong>de</strong>l objeto L. va a dar entre dos y tres inicialmente,<br />
osea inicialmente po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir que nos dan dos y tres, pero como esto es<br />
una medida continua la longitud entonces queremos ser entre comillas mas<br />
exactos, entonces dividimos lo que nos dio <strong>de</strong> dos a tres dividimos nuestra<br />
unidad en cinco partes, por que estamos trabajando en base cinco y al<br />
dividir nos dimos cuenta que no alcanzaba a dar las tres completas, no<br />
alcanzaban a ser M sub dos , sino que estaba en un rango menor entonces,<br />
nos dio una dos tres bueno aquí fue don<strong>de</strong> se cayó el hilo, pero cuando lo<br />
hicimos en nuestra casa, porque no alcanzamos a hacerla por hacer la<br />
cuadricula, entonces cuando lo hicimos con Fercho, hacer esto con Fercho,<br />
6 PRECATEGORIA RESOLUCION DE PROBLEMAS USO DE DIVERSAS REPRESENTACIONES<br />
65
sobraba un pedacito osea no alcanzaba a completar las tres M sub dos,<br />
entonces las dividimos en cinco partes y nos daba por aquí, entonces<br />
vamos a expresar esto que hicimos inicialmente lo vamos a hacer con<br />
fraccionarios, entonces <strong>de</strong>cimos que dos m sub dos allá la dividimos entre<br />
cinco y cuando la dividimos entre cinco lo vamos a hacer con números con<br />
coma, entonces teníamos nosotros dos unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> M sub dos y ya cuando<br />
dividíamos en cinco y luego tomar entre cuatro <strong>de</strong> esas divisiones que<br />
hicimos y la quinta que da entre M sub dos, <strong>de</strong>cimos que colocamos esto…<br />
aquí <strong>de</strong>cimos que tenemos el 2 M sub dos y entonces al hacer esa división<br />
nos dieron cuatro unida<strong>de</strong>s, profe eso toca aclarar.. Toca aclarar porque<br />
sería a la menos uno, listo ahí nos da como cuatro entonces nos dimos<br />
cuenta que se podía aproximar la medida, entonces dijimos que estaba<br />
entre dos coma cuatro y tres base cinco y lo dividimos en cinco partes mas<br />
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Eduar: “<strong>de</strong>cíamos que para que fuera la misma unidad <strong>de</strong> medida partíamos<br />
<strong>de</strong> la misma que estaba pegada en el tablero, pero viendo, si es la misma<br />
unidad <strong>de</strong> medida ya que lo que varia es la construcción <strong>de</strong>l medidor, que si<br />
un poquito mas corrido, mas cerrado, ya que la unidad <strong>de</strong> medida seria<br />
diferente <strong>de</strong> acuerdo con lo que hicimos…… y <strong>de</strong>spués viene la pregunta<br />
que nos contradice como son los números obtenidos y <strong>de</strong>spués ahí viene la<br />
contradicción <strong>de</strong> que que es lo igual y que lo distinto , si dijéramos que la<br />
unidad <strong>de</strong> medida son iguales y nos fallaran por un poquito son diferentes,<br />
entonces son iguales aproximadamente, ya vendría que cuando nos dan<br />
estos números como son fracciones continuas van a variar mucho <strong>de</strong> base<br />
tres a base cinco, por que estamos trabajando con esto, entonces al variar”.<br />
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Eduar:”si la tercera cifra <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> la coma a ver yo tengo aquí los<br />
resultados en una daba punto ochenta y seis a no pero era por centésimas<br />
por el segundo numero una daba coma ochenta y seis y la otra daba coma<br />
ochenta y ocho era por dos centésimas, si dos cifra <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> la coma<br />
entonces ahí dijimos son aproximadamente la po<strong>de</strong>mos tomar como lo<br />
66
mismo o no”. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Eduar:”armamos las dos opciones con respecto a la unidad <strong>de</strong> medida si<br />
<strong>de</strong>cimos que si entonces nos contra<strong>de</strong>cimos <strong>de</strong> que cuando hacemos<br />
nuestra unidad <strong>de</strong> medida varia un poco entonces ya no es la misma unidad<br />
<strong>de</strong> medida, por este lado <strong>de</strong>cíamos que si pero por este no, llegamos a una<br />
contradicción aquí <strong>de</strong>cíamos que no y aquí tampoco, y pues en este libro<br />
estábamos mirando todo esto <strong>de</strong> la aproximación “. [SÍNTESIS DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Eduar:”si la aproximación dice que es medida continua para tomar una<br />
longitud como medida exacta no … eso, entre menos sea la unidad <strong>de</strong><br />
medida la aproximación va a ser mayor ósea en lo concreto tal cosa y si<br />
miro lo abstracto “.[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Eduar:”teóricamente que son iguales si porque no varía la unidad <strong>de</strong><br />
medida, si no se va a mirar mas exacto y por la construcción ya varia,<br />
incluso llegan momentos en que con este intervalo se podrían hacer mas<br />
divisiones pero en concreto no”… [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Cristian: Pues en cambio yo si empecé trazando una recta y <strong>de</strong>spués<br />
cogiendo y colocando la punta <strong>de</strong>l compas en A por <strong>de</strong>cir y trazo un arco por<br />
arriba y otro por abajo así yo creo, pues así no tanto basándome en las<br />
copias si no lo aprendí cuando estaba viendo dibujo técnico. [SÍNTESIS DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Gladis: teniendo un punto P trazar un segmento con extremos A y B,<br />
don<strong>de</strong> su punto P sea su centro o punto medio. [SÍNTESIS DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante chaqueta negra: exactamente y el numero que hicieron ellas<br />
por lo cual no se da con ese enunciado y no abría un enunciado para po<strong>de</strong>r<br />
67
<strong>de</strong>cir, por que pues igual aquí se esta cometiendo ese error 7 [SÍNTESIS DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante <strong>La</strong>ura: ya nos dimos cuenta <strong>de</strong>l error [CONCIENCIA DE ERROR<br />
EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] que teníamos en el<br />
procedimiento, es que estábamos utilizando, entonces estamos aplicando el<br />
segundo procedimiento pero entonces hasta ahora estamos buscando la<br />
argumentación para aplicarlo pero que todavía no tenemos 8 . [SÍNTESIS DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Edison: A partir <strong>de</strong> estos dos puntos trazamos un segmento <strong>de</strong><br />
recta. Luego nos pedía hallar el punto medio, entonces <strong>de</strong> esta manera<br />
nosotros utilizamos el compás para hallar el punto medio lo que hicimos fue<br />
tomar el compás primero lo colocamos en el punto A y trazamos una<br />
circunferencia con radio al punto B igualmente utilizamos el mismo<br />
procedimiento con respecto al punto B, esto lo realizamos en referencia a lo<br />
que observamos en el libro <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s en la proposición 1, el punto medio<br />
lo trazamos inicialmente mas bien a ojo, pero por lo observado en Eucli<strong>de</strong>s,<br />
y trazadas las dos circunferencias, tomando los puntos que se interceptan y<br />
con una regla trazamos una recta que pase por esos puntos y confirmamos<br />
el punto medio <strong>de</strong>l segmento AB. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Edison: Pues esa es la manera que por medio <strong>de</strong>l compás y la<br />
recta obtuvimos el punto medio y ahí no le vimos mayor problema pasamos<br />
hacer el segundo punto, y al comprobar con la regla nos efectivamente nos<br />
daba el punto medio.El segundo punto <strong>de</strong>l taller nos <strong>de</strong>cía que teníamos<br />
que hallar un triángulo equilátero, recor<strong>de</strong>mos que este triángulo tiene los<br />
tres lados <strong>de</strong> igual medida, entonces la manera que lo hicimos fue que<br />
usando las mismas circunferencias y procedimiento ya hecho, a partir <strong>de</strong>l<br />
punto A trazamos una recta al punto F y <strong>de</strong>l punto B trazar otra recta al<br />
7 Letra amarilla subrayado gris construir y reconstruir conceptos matemáticos<br />
8 Letra amarilla subrayado rojo comunicación <strong>de</strong> resultados.<br />
68
punto F formando así el triángulo. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Edison: Entonces lo que hay que mostrar era que el segmento<br />
AB era equivalente al segmento AF, y el segmento AB y era equivalente al<br />
BF, entonces el segmento AF es equivalente al segmento BF, por lo cual se<br />
dice que el triángulo es equilátero. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D<br />
construya el lugar geométrico <strong>de</strong> todos los puntos equidistantes <strong>de</strong> C y D,<br />
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] vamos a utilizar la construcción que<br />
estaba en el tablero que consistía en un segmento <strong>de</strong> recta con extremos C<br />
y D y dos circunferencias con radio CD y centros en C y en D<br />
respectivamente, luego trazaron las rectas que pasa por los puntos <strong>de</strong> corte<br />
<strong>de</strong> los círculos y dijeron que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> hay todos lo puntos<br />
equidistaban…[ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO] terminamos<br />
diciendo que una línea perpendicular a la recta imaginaria que establece la<br />
distancia entre los dos puntos talque pase por la mitad <strong>de</strong> la misma, sería el<br />
lugar geométrico don<strong>de</strong> se encuentran todos los puntos equidistantes <strong>de</strong> C y<br />
D, esta perpendicular estaría dada por la construcción antes hecha por el<br />
compañero Edinson: [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Alejandro: Y su lugar geométrico estaría en los dos círculos que<br />
habrían con el radio <strong>de</strong>l segmento CD, tomando como puntos centros <strong>de</strong><br />
estos, los puntos C y D, más luego establece unos puntos haciendo rectas<br />
que serian los diferentes diámetros <strong>de</strong> los círculos haciéndoles pasar por<br />
algunos puntos específicos como lo son dos puntos don<strong>de</strong> se corta la<br />
circunferencia <strong>de</strong> los dos puntos extremos por don<strong>de</strong> pasa esta recta,<br />
perpendicular a la recta que pasa por los puntos C y D, el punto <strong>de</strong> corte<br />
seria el punto equidistante a los dos puntos C y D. Después haciendo un<br />
diámetro arbitrariamente a un círculo cuyo diámetro era exacto entre los<br />
69
puntos C y D, puedo afirmar que con esta recta se ocuparía la respuesta A.<br />
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
ESTUDIANTE 1: m1 <strong>de</strong> m2 ósea <strong>de</strong>cimos m1 es a m2 como 1 es a 1 fue la<br />
proporción que hicimos y pues al contrario lo mismo m2 es a m1 como 1 es<br />
a 1 ya cuando dijimos a m3 dijimos que m1 es a m3 como 1 es a 6… ¿o 6<br />
es a 1? (bueno si m3 Es la sexta parte <strong>de</strong> m1 igual que m2 ósea m1 es a<br />
m3 como 1 1es a 6… ¿si? [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Rocio: Hay muestra que para levantar esa recta los 2 ángulos que se<br />
muestran para H gamma R y E gamma R ambos ángulos van a ser<br />
adyacentes entre si, iguales a un si, 2 ángulos iguales que, ósea rectos, y la<br />
recta que se levanta se pue<strong>de</strong> llamar perpendicular <strong>de</strong> acuerdo a la<br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> eso hay <strong>de</strong>cía que si se levanta una recta sobre otra recta los<br />
ángulos adyacentes entre si, <strong>de</strong> los cuales cada uno, que si cada uno <strong>de</strong> los<br />
ángulos en recto.[ SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Solución a situación problémica. Dentro <strong>de</strong>l ambiente <strong>de</strong> aprendizaje se llega<br />
a una solución final para la solución problémica por medio <strong>de</strong> la cual se alcanza<br />
el objetivo planteado <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el comienzo <strong>de</strong>l proceso.<br />
Estudiante Camilo Ocampo: El punto uno, nos pedía medir la longitud<br />
<strong>de</strong>l objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base tres, con un<br />
número fraccionario, cociente entero <strong>de</strong> forma a sobre b y con un número<br />
con coma……Con esto se pudo <strong>de</strong>finir que la longitud <strong>de</strong> O se<br />
encontraba entre las dos terceras partes <strong>de</strong> la colocación <strong>de</strong>l tercer<br />
m1, y el termino <strong>de</strong> m1 ya disminuido el lumbral, po<strong>de</strong>mos expresar<br />
esto <strong>de</strong> la siguiente manera: 2m1 < 1 < 103m1 en la segunda división<br />
2m1, 2/3 m1 < 1 < 103m1 Vuelve a realizarse la subdivisión <strong>de</strong><br />
segmentos, buscando mayor exactitud, para evitar confusiones en el<br />
veredicto <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong> O, se procedió a escribir esta segunda<br />
división <strong>de</strong> la siguiente forma: 1/3 <strong>de</strong> 1/3 <strong>de</strong> m1, es <strong>de</strong>cir 1/9 m1, es el<br />
70
Longitud <strong>de</strong> O = L<br />
segmento resultante, para saber la longitud aproximada <strong>de</strong>l objeto O,<br />
se proce<strong>de</strong> a realizar la suma <strong>de</strong> magnitu<strong>de</strong>s.[SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA] Segundo, Medir la longitud <strong>de</strong>l objeto<br />
O, con el medidor m2 y expresar su medida en base cinco.<br />
Profesora: por favor escriba los datos en el tablero.<br />
2m1 + (2/3)m1 < L < 103<br />
2m1 + (2/3)m1 + (2/9)m1 < L < 103<br />
2223 / 1003<br />
Longitud <strong>de</strong> O era igual a L, quedando así; 2m1 + (2/3)m1 < L <<br />
103, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> una segunda división lo <strong>de</strong>jamos así, 2m1 +<br />
(2/3)m1 + (2/9)m1 < L < 103, este fue el valor que pasamos<br />
fraccionarios, que quedo <strong>de</strong> la siguiente manera; 2223 / 1003, en<br />
base 3 <strong>de</strong> m1 [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 4: Primero, medir la longitud <strong>de</strong>l objeto O, con el<br />
medidor m1 y expresar su medida en base tres, con un número<br />
fraccionario, cociente entero <strong>de</strong> forma a sobre b y con un número<br />
con coma. Nosotros…... cosa que no ocurre con el papel<br />
contribuyendo a que la medición sea más precisa. A<strong>de</strong>más en<br />
papel nos dimos cuenta que m1 y m2 son iguales.[SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA] Desarrollamos el teorema trazando<br />
la diagonal y luego las paralelas, usando el cáñamo como compás<br />
para trazar los cortes.<br />
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a<br />
la medida, puesto que la elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y<br />
afecta la medición [CONCIENCIA DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel procedimos a hacer las<br />
correspondientes divisiones <strong>de</strong> m1 y m2 para <strong>de</strong>spués sobre el<br />
71
papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban<br />
tres veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 2: Vamos a mostrar la parte practica ya que Camilo, ya<br />
hablo <strong>de</strong> la parte teórica.<br />
Camilo muestra el cáñamo con tiritas <strong>de</strong> hilo <strong>de</strong> diferentes colores<br />
mientras su compañero explica lo realizado por ellos 9 .<br />
Lo que hicimos fue segmentar las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida con el<br />
método <strong>de</strong> Thales y a las inserciones las realizar con hilo <strong>de</strong> color<br />
ver<strong>de</strong>, luego medimos el objeto con el cáñamo [SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]y encontraron que dos veces m1 no<br />
eran suficientes, pero que tres veces m1 sobrepasaba la longitud<br />
<strong>de</strong>l objeto [CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA].<br />
¿Po<strong>de</strong>mos borrar el tablero?<br />
Estudiante Alberto: No es que <strong>de</strong>penda <strong>de</strong>l ángulo lo que pasa<br />
es que no nos sirve para medir el ángulo que hay. 10 [SOLUCIÓN<br />
A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Javier: Si el punto don<strong>de</strong> esa recta se corta con el segmento AB<br />
entonces va hacer la mitad <strong>de</strong> ese mismo<br />
Profesora: ¿va a ser la mitad?<br />
Javier: Si [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Johan: concluyendo que 2APm=AB por lo que Pm es<br />
el punto medio.<br />
9 Letra ver<strong>de</strong> <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> la imagen<br />
10 PRECATEGORÍA OBJETIVOS CONCEPTUALES: ENTENDER IDEAS MATEMÁTICAS<br />
72
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Javier: Es para crear un segmento no mes <strong>de</strong> la línea que hay en<br />
esos dos puntos don<strong>de</strong> corta la circunferencia <strong>de</strong> la línea dada<br />
pasa el triangulo. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 1: para realizar la segmentación <strong>de</strong>l cáñamo, tuvimos<br />
que realizar la división <strong>de</strong> la cuadricula según Thales, pero no nos<br />
cuadra la cuadricula <strong>de</strong> esa forma y como alternativa utilizamos<br />
las diagonales <strong>de</strong> la cuadricula, <strong>de</strong> la hoja <strong>de</strong> block y muestra el<br />
cua<strong>de</strong>rno y el block a la cámara. 11 [ESTUDIANTE EN<br />
CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA], [SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Esta es la imagen que capta la cámara.<br />
<br />
<strong>La</strong>s diagonales que están <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l triángulo, son las guías <strong>de</strong><br />
las otras paralelas, en cambio el otro no tiene ninguna guía y se<br />
pue<strong>de</strong> una equivocar, el grupo está en discusión <strong>de</strong> que método<br />
<strong>de</strong>bemosseguir. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLEMICA]<br />
En ese momento llega un compañero anunciado que encontró el<br />
error <strong>de</strong>l primer trazo.<br />
11 PRECATEGORIA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:COMUNICACIÓN DE RESULTADOS<br />
(ORAL Y ESCRITA)<br />
73
Para encontrar la medida <strong>de</strong> O y buscando <strong>de</strong>limitar el lumbral <strong>de</strong><br />
diferencia se procedió a usar las divisiones, <strong>de</strong>finiendo que cada<br />
una <strong>de</strong> ellas era 1/3 <strong>de</strong> m1, y cada división la realizamos con un<br />
color sobre el cáñamo, es <strong>de</strong>cir, la primera partición <strong>de</strong> un color, la<br />
segunda <strong>de</strong> otro y así sucesivamente, hasta que en lo concreto no<br />
pudimos seguir dividiendo.[SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Camilo Ocampo: Nosotros nos dimos cuenta que en la<br />
primera medida el lumbral <strong>de</strong> duda era muy gran<strong>de</strong> y se busco<br />
disminuirlo realizando la subdivisión <strong>de</strong>l m1 con el teorema <strong>de</strong><br />
Thales. [CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante 6: Si, área <strong>de</strong> paralelogramos y esta sirve para<br />
<strong>de</strong>mostrar lo que es la congruencia geométrica [SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante (2): Lo que hice yo fue trazar una recta en mi hoja y<br />
pues ahí con el compas, se supone que con esta yo voy a trazar<br />
un arco hasta aquí [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Cristian: Y que la distancia iba a hacer la misma[SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Javier: Entonces ahí el punto medio como había dicho seria<br />
don<strong>de</strong> daba la otra punta <strong>de</strong>l compas, aquí marcaba un punto y<br />
aquí el otro y <strong>de</strong> una vez teníamos el punto medio, y esta seria A y<br />
esta seria B y el <strong>de</strong> la mitad el punto medio<br />
74
Entonces como Cristian igual nos parece que en los dos nos daba<br />
lo que pedía el enunciado la recta con A y B y el punto viene<br />
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Freddy: Pues a mi parecer ahí dice trace un segmento con<br />
extremo Ay B ahí no le están diciendo que trace otra recta para<br />
po<strong>de</strong>r <strong>de</strong>terminar el punto medio <strong>de</strong> la otra recta entonces ahí dice<br />
trace un segmento <strong>de</strong> recta A y B y <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> esas ósea lo que yo<br />
entiendo <strong>de</strong> ese enunciado[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]<br />
hallar su punto medio ósea es razonable lo que esta haciendo<br />
Cristian por que es que al hacer lo que dice Javier el tiene la recta<br />
Ay B y lo que va a hacer es crear otra recta CA al otro lado y<br />
entonces va a hacer el punto medio entonces ya se sabe que es A<br />
entonces lo que me están pidiendo es el punto medio <strong>de</strong> A y B<br />
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Carlos: Pues como <strong>de</strong>cía que lo hiciera con regla y compas<br />
entonces era como llevarse como a la circunferencia no se y los<br />
puntos <strong>de</strong> intersección que se veían ahí cuando hicimos los<br />
círculos completos entonces vimos que si se podía ósea que <strong>de</strong><br />
pronto al tratar <strong>de</strong> bueno…. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Carlos: Pues como <strong>de</strong>cía que lo hiciera con regla y compas<br />
entonces era como llevarse como a la circunferencia no se y los<br />
puntos <strong>de</strong> intersección que se veían ahí cuando hicimos los<br />
círculos completos entonces vimos que si se podía ósea que <strong>de</strong><br />
pronto al tratar <strong>de</strong> bueno…. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Cristian: nosotros nos dimos cuenta que si no<br />
tendríamos el dibujo entonces como a través <strong>de</strong> las palabras<br />
podíamos construir todo lo que hicimos en el tablero, entonces<br />
eso fue lo que tratamos <strong>de</strong> hacer, nosotros pues en ese tiempo,<br />
75
para po<strong>de</strong>r construir lo que una persona que viera todo lo que<br />
escribimos pudiera construir las mismas cosas y que quedara<br />
pues así como quedo en el tablero; que <strong>de</strong> lo verbal pasara a lo<br />
concreto, era como eso. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Andrés: pues bueno yo diría que el objetivo <strong>de</strong> la clase es como<br />
aplicar lo que nos plantea el libro nuevo Eucli<strong>de</strong>s es...si aplicar lo<br />
que el nos dice en sus postulaciones en sus <strong>de</strong>mostraciones<br />
como que darle un sentido a eso y saber para que nos sirve eso...<br />
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]<br />
Estudiante <strong>La</strong>ura: voy a hacer, voy hacer un ejemplo aquí, si yo<br />
estuviera haciendo fijando el punto medio, lo que estaría, digamos<br />
yo estoy tomando ya la medida con el punto medio y el con el<br />
compás, ya la tengo pero no la he marcado, el punto medio<br />
porque no me daría una ... no estaría segura que me diera una<br />
línea recta, porque si yo hiciera esto, Marco este punto, entonces<br />
digo que es <strong>de</strong> acá marcó un punto y acá marco otro, no estoy<br />
Segura que estos tres puntos me vayan a dar una línea recta,<br />
precisamente en este momento no lo marco, tengo la medida pero<br />
<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> que yo marco estos dos puntos que me dé una recta<br />
hay si tomo don<strong>de</strong> era él. Pero en la línea recta, no estaría segura<br />
que fuera una línea <strong>de</strong> 180...180º[SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
Estudiante Cristian: Profe… pues yo pensaría que no utilizaran<br />
esa, que trazaran una recta sin ayudarse compás primero porque<br />
pues el compás yo creo que para trazar una recta no hay<br />
necesidad <strong>de</strong> utilizar un compás. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA]<br />
76
Estudiante comunicando i<strong>de</strong>as acerca <strong>de</strong> un texto. El estudiante comunica<br />
<strong>de</strong> manera oral las i<strong>de</strong>as extraídas <strong>de</strong> un texto a sus compañeros, docentes o a<br />
cualquier otro estamento.<br />
Estudiante 5: El libro se trata sobre la teoría <strong>de</strong> la geometría<br />
plana[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 6: Algunos <strong>de</strong> los postulados nos dan breve entrenamiento <strong>de</strong><br />
la utilización <strong>de</strong> la regla no marcada y el compás[ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 5: Hay otras que nos hablan <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> paralelismo <strong>de</strong> la<br />
regla <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s, algunos nos permiten ser la unicidad en la<br />
perpendicular, por un punto exterior solo cabe trazar una perpendicular <strong>de</strong><br />
ella. [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 6: <strong>La</strong>s restantes <strong>de</strong>terminan áreas <strong>de</strong> paralelogramos, triángulos<br />
y cuadrados [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE<br />
UN TEXTO]<br />
Estudiante 7: Para nosotros el libro trata <strong>de</strong> las <strong>de</strong>finiciones,<br />
construcciones y <strong>de</strong>mostraciones <strong>de</strong> los objetos, nociones y elementos<br />
geométricos planos con abstracciones a las superficies figuras y ángulos.<br />
[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 8: ¿Cómo esta estructurado este tratamiento? Básicamente por<br />
postulados, nociones comunes y proposiciones don<strong>de</strong> las primeras se<br />
aciertan como verda<strong>de</strong>s, los postulados son tratamientos comprobables,<br />
las nociones comunes son empíricas y las proposiciones son trabajos para<br />
hacer una clase, entre comillas [ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 9: Definición <strong>de</strong> líneas puntos, segmentos, ángulos<br />
construcciones <strong>de</strong> figuras geométricas planas, muestran las proposiciones<br />
que <strong>de</strong>muestran la verdad las nociones comunes y <strong>de</strong>finiciones que<br />
77
utiliza el autor [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA<br />
DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 11: habla sobre <strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> punto, líneas, segmentos,<br />
superficies, círculos y semicírculos, y construcción <strong>de</strong> figuras geométricas<br />
planas, también nos habla <strong>de</strong> nociones comunes que son líneas en las<br />
cuales todos estamos <strong>de</strong> acuerdo, habla <strong>de</strong>l pie <strong>de</strong> pagina que son axiomas,<br />
y también hay preposiciones para comprobar las nociones comunes y las<br />
<strong>de</strong>finiciones que plantea el autor [ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 13: Inicialmente con <strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> punto, línea, recta,<br />
círculo, figura, a partir <strong>de</strong> dichas <strong>de</strong>finiciones comienza a construir<br />
triángulos que se forman a partir <strong>de</strong> estos y otras figuras geométricas<br />
[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 14: El libro inicialmente da <strong>de</strong>finiciones y posteriormente se<br />
dan proposiciones[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 15: Trata sobre las <strong>de</strong>finiciones, puntos, ángulos con las que se<br />
construyen figuras geométricas planas exponiendo también lo que piensa<br />
el autor[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 17: habla <strong>de</strong> las nociones básicas <strong>de</strong> la geometría plana<br />
mediante propuestas, <strong>de</strong>finiciones, <strong>de</strong>mostraciones, y construcciones <strong>de</strong><br />
figuras punto <strong>de</strong> la geometría plana [ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 18: la construcción, ahí se pue<strong>de</strong> ver la construcción <strong>de</strong> dos<br />
ángulos congruentes [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 7: Definiciones y construcciones [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
78
Estudiante 13: Inicialmente con <strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> punto, línea, recta,<br />
círculo, figura, a partir <strong>de</strong> dichas <strong>de</strong>finiciones comienza a construir<br />
triángulos que se forman a partir <strong>de</strong> estos y otras figuras geométricas<br />
[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 14: El libro inicialmente da <strong>de</strong>finiciones y posteriormente se<br />
dan proposiciones[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 15: Trata sobre las <strong>de</strong>finiciones, puntos, ángulos con las que se<br />
construyen figuras geométricas planas exponiendo también lo que piensa<br />
el autor[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante 17: habla <strong>de</strong> las nociones básicas <strong>de</strong> la geometría plana<br />
mediante propuestas, <strong>de</strong>finiciones, <strong>de</strong>mostraciones, y construcciones <strong>de</strong><br />
figuras punto <strong>de</strong> la geometría plana [ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 18: la construcción, ahí se pue<strong>de</strong> ver la construcción <strong>de</strong> dos<br />
ángulos congruentes [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 7: Definiciones y construcciones [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 7: Pues en la segunda dice <strong>de</strong> cómo está estructurado este<br />
tratamiento, <strong>de</strong>cimos que se inicia con <strong>de</strong>finiciones los postulados para<br />
luego llegar a la aplicación <strong>de</strong> esa geometría plana, tomando en cuenta lo<br />
que anteriormente ellos escribían [ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 19: la primera trata sobre geometría <strong>de</strong> una manera mas<br />
especifica que cada una <strong>de</strong> sus palabras son sustentadas por medio <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>finiciones y a su vez encontramos implícita la construcción <strong>de</strong> la misma<br />
geometría explicando <strong>de</strong> una manera argumentada [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
79
Estudiante 19: Y a la segunda, está constituido por <strong>de</strong>finiciones y<br />
postulados los cuales están argumentados y posteriormente esta explicito<br />
las <strong>de</strong>finiciones por medio <strong>de</strong> proposiciones [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante 21: Vemos que el libro contiene <strong>de</strong>finiciones tales como punto,<br />
línea, superficie, extremo y posteriormente la construcción <strong>de</strong> figuras es<br />
<strong>de</strong>cir parte <strong>de</strong> lo particular a lo general [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Estudiante: <strong>La</strong> pregunta tres don<strong>de</strong> dice ¿Es útil la teoría propuesta en el<br />
libro I para el trabajo <strong>de</strong> clase? ¿Por qué? , Nosotros dijimos que sí,<br />
porque gracias a esto po<strong>de</strong>mos construir figuras en el plano<br />
[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Estudiante: <strong>La</strong> estructura <strong>de</strong>l libro viene <strong>de</strong> la siguiente forma, las<br />
<strong>de</strong>finiciones las cuales hablan <strong>de</strong> rectas, círculos, triángulos, y<br />
especificaciones <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas entonces cogemos que la superficie<br />
y la longitud ¿si? Ahora <strong>de</strong>cimos que los postulados dan cuenta <strong>de</strong> lo que<br />
pasa cuando se propone, se prolonga una recta, cuando se construye una<br />
circunferencia por medio <strong>de</strong> una recta, y la característica <strong>de</strong> los ángulos en<br />
ella; luego ya viene hablando <strong>de</strong> las nociones comunes que se pue<strong>de</strong>n ver<br />
como unos axiomas o verda<strong>de</strong>s in<strong>de</strong>mostrables y ya vendríamos que en<br />
base a esto po<strong>de</strong>mos pasar a las proposiciones que dice: [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
En sus 48 proposiciones argumentan en un nivel <strong>de</strong> complejidad que<br />
aumenta a medida que se va <strong>de</strong>mostrando proposiciones que antece<strong>de</strong>n lo<br />
que se va a <strong>de</strong>mostrar, ósea todo se ve como un proceso[ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Fernando: Construcciones geométricas[ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
80
Cecilia: De la geometría plana, son conceptos, <strong>de</strong>finiciones y aplicaciones<br />
[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Edwin: Punto y recta, ángulo, triangulo, acerca <strong>de</strong> la igualdad,<br />
circunferencia [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA<br />
DE UN TEXTO]<br />
Edwin: Paralelismo Euclidiano, congruencia geométrica [ESTUDIANTE<br />
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Edwin: Planos [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA<br />
DE UN TEXTO]<br />
Edwin: Superficies [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Milena: Es que nosotras consi<strong>de</strong>ramos que todo eso que acabaron <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir<br />
es más una <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> lo que trae el libro mas no <strong>de</strong><br />
la…[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN<br />
TEXTO]<br />
Yaneli: Estructura [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Milena: Es los diferentes procedimientos que habla el libro para construir<br />
Quinta y Sexta Etapa<br />
las figuras, a partir <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> esos elementos que puedo utilizar,<br />
rectas, ángulos, puntos[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS<br />
ACERCA DE UN TEXTO]<br />
Finalizada la etapa en la cual se enlistaron los <strong>de</strong>scriptores y se substrajeron <strong>de</strong> las<br />
transcripciones cada uno <strong>de</strong> los párrafos en los cuales aparecía cada uno <strong>de</strong> ellos se<br />
realizó una lista para todos los vi<strong>de</strong>os respecto a las palabras o frases recurrentes o<br />
81
elevantes, el número <strong>de</strong> veces que aparecen en las transcripciones, las palabras claves<br />
<strong>de</strong>l <strong>de</strong>scriptor el vi<strong>de</strong>o en don<strong>de</strong> se encuentran y la página.<br />
Este proceso permitió encontrar constantes o elementos con elevada frecuencia <strong>de</strong><br />
repetición para brindar una jerarquía y organizarlos <strong>de</strong> acuerdo a las precategorías<br />
establecidas en la tercera etapa, ubicarlos <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las mismas y realizando una última<br />
<strong>de</strong>puración don<strong>de</strong> se eliminaron o se fusionaron algunas que apuntaban a la misma<br />
intencionalidad.<br />
Listado <strong>de</strong> Palabras o Frases Recurrentes<br />
Comprensión <strong>de</strong> enunciado.<br />
“Nosotros enten<strong>de</strong>mos…… es algo que” (Vi<strong>de</strong>o 3, Pagina 2)<br />
“Lo que yo entiendo <strong>de</strong> ese enunciado…” (Vi<strong>de</strong>o 6, Pagina 11)<br />
“Yo creo que…. po<strong>de</strong>mos darnos cuenta que…” (Vi<strong>de</strong>o 7, Pagina 2)<br />
“Yo creo que…” (Vi<strong>de</strong>o 7, Pagina 3)<br />
“Un enunciado para…. Sería…” (Vi<strong>de</strong>o 7,Pagina 29)<br />
“El enunciado que consiste en…” (Vi<strong>de</strong>o 8, Pagina 11)<br />
“Así pues ahí que…” (Vi<strong>de</strong>o 9,Pagina 14)<br />
Conciencia <strong>de</strong> error en la solución <strong>de</strong> la situación problémica.<br />
“<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error…” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 5)<br />
“Si qué pena me equivoque…” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 5)<br />
“El error radica en la escritura…”(Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 7)<br />
82
“Lo hicimos mal…” (Vi<strong>de</strong>o 3, Pagina 1)<br />
“Habíamos tenido un gran error…” (Vi<strong>de</strong>o 3, Pagina 1)<br />
“Lo volvimos a hacer mal…” (Vi<strong>de</strong>o 3, Pagina 7)<br />
“Yo lo venía haciendo mal…” (Vi<strong>de</strong>o 3, Pagina 19)<br />
“Entonces acá esta el error…” (Vi<strong>de</strong>o 4, Pagina 7)<br />
“Yo me di cuenta <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l error” (Vi<strong>de</strong>o 4, Pagina 8)<br />
“Ahí está el error” (Vi<strong>de</strong>o 4, Pagina 14)<br />
“Ahí fue un error” (Vi<strong>de</strong>o 4, Pagina 14)<br />
“No nos habíamos dado cuenta <strong>de</strong>l error” (Vi<strong>de</strong>o 7, Pagina 26)<br />
“Pues el error esta en…” (Vi<strong>de</strong>o 8, Pagina 4)<br />
“Ya nos dimos cuenta <strong>de</strong>l error…” (Vi<strong>de</strong>o 8, Pagina 4)<br />
“Esa respuesta es equivoca…” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 5)<br />
“El error radica en…” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 7)<br />
“Ellos lo sacaron por…. pero tocaba por…” (Vi<strong>de</strong>o 8, pág. 9)<br />
Conciencia <strong>de</strong> situación problémica.<br />
“Tuvimos en cuenta que…… (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 2)<br />
“Fue evi<strong>de</strong>nte que…… (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 2)<br />
“Argumentan que… porque…. (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 3)<br />
“Este fenómeno crea un margen <strong>de</strong> error… (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 3)<br />
“<strong>La</strong> elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la…” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 4)<br />
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que…” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 7)<br />
“Este es el objeto cero, me va a dar tres <strong>de</strong> esto ¿Sera que este es igual?“ (Vi<strong>de</strong>o<br />
4, Pagina 4)<br />
“Cuando realizamos la…Cambiamos…” (Vi<strong>de</strong>o 1, página 6)<br />
“Nosotros nos dimos cuenta que…” (Vi<strong>de</strong>o 2, página 2)<br />
“Éste fenómeno crea un margen <strong>de</strong> error…”(Vi<strong>de</strong>o 2, página 3)<br />
“Varía mucho y afecta el…”(Vi<strong>de</strong>o 2, página 4)<br />
83
“Como parte <strong>de</strong>l ejercicio era …”(Vi<strong>de</strong>o 2, página 4)<br />
“No eran suficientes…” (Vi<strong>de</strong>o 2, página 7)<br />
“Es confuso para…” (Vi<strong>de</strong>o 2, página 8)<br />
“ Ya que se pue<strong>de</strong> mal interpretar”…..(Vi<strong>de</strong>o 2, página 8)<br />
“No es posible…” (Vi<strong>de</strong>o 6, página 1).<br />
Estudiante <strong>de</strong>scribe un proceso.<br />
“Debíamos construir con base en….” (Vi<strong>de</strong>o 1, Pagina 7)<br />
“Utilizamos el hilo para…” (Vi<strong>de</strong>o 1, Pagina 7)<br />
“Nos estaban hablando <strong>de</strong>…” se podían sacar con…. (Vi<strong>de</strong>o 5, Pagina 6)<br />
“Lo que yo hacía…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pagina 19)<br />
“Entonces si yo tomo…” (Vi<strong>de</strong>o 7, página 19)<br />
“Si yo marco…” (Vi<strong>de</strong>o 7, página 19)<br />
“Si yo trazo…” (Vi<strong>de</strong>o 7, página 19)<br />
“Aseguro que…” (Vi<strong>de</strong>o 7, página 19)<br />
“Primero, construimos el…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 9)<br />
“Trazamos una…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 9)<br />
“Entonces para saber si…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 9)<br />
“Construyendo una…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 10)<br />
“Para hallar la…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 10)<br />
“Se podría usar…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 10)<br />
“Vamos a utilizar la…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 11)<br />
“Luego trazaron las…” (Vi<strong>de</strong>o 8, página 11)<br />
“Cogimos el…” (Vi<strong>de</strong>o 9, página 11)<br />
“Trazamos una…” (Vi<strong>de</strong>o 9, página 11)<br />
“Trazando una…” (Vi<strong>de</strong>o 9, página 11)<br />
“Podríamos empezar…” (Vi<strong>de</strong>o 9, página 11)<br />
“Se podría <strong>de</strong>s<strong>de</strong>...” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 4)<br />
84
“En todo triangulo si...” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 8)<br />
“Una que dice que...” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 8)<br />
“Cuando dos…... cada uno <strong>de</strong> los…” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 10)<br />
“Para hallar eso…” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 13)<br />
“Entonces se <strong>de</strong>be…” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 13)<br />
“Se podría hacer <strong>de</strong>…” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 13)<br />
“Luego <strong>de</strong> es...” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 13)<br />
“Así obtuvimos el…” (Vi<strong>de</strong>o 10, página 13)<br />
Necesidad <strong>de</strong> rectificación en comprensión <strong>de</strong> enunciado.<br />
“Para nosotros significa…”(Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 3)<br />
“¿Cierto? …” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 9)<br />
“Si empezamos a hacerlo <strong>de</strong> otra forma…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 9)<br />
“Siempre trataríamos <strong>de</strong>……..(Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 9)<br />
“Creo que pudieron haber hecho……..” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 15)<br />
“¿Sí? “ (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 15)<br />
“Empezamos diciendo que…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 19)<br />
“¿Sí? …….. (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 19)<br />
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? ……..” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 19)<br />
“Estamos volviendo a reconstruir……..” (Vi<strong>de</strong>o 5, pág. 9)<br />
“De acuerdo a lo propuesto pensamos……..” (Vi<strong>de</strong>o 5, pág. 9)<br />
“Nosotros no lo estamos tomando don<strong>de</strong> el principio……..” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 26)<br />
“Es evi<strong>de</strong>nte que……..” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 26)<br />
85
Planteamiento <strong>de</strong> posible solución a situación problémica.<br />
“Nosotros lo representamos <strong>de</strong> la siguiente forma…” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 7)<br />
“Realizamos la……” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 7)<br />
“Vamos a hacer el procedimiento…” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 8)<br />
“Lo vamos a comparar con…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 5)<br />
“Hagamos <strong>de</strong> cuenta que…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 5)<br />
“Yo creo que…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág.12)<br />
“Pues utilizamos unas…… entonces acá tomamos…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 18)<br />
“Empezamos diciendo que …. Entonces,…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 19)<br />
“Vamos a <strong>de</strong>sarrollar…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 19)<br />
“Miremos el valor ….. le voy a dar la respuesta…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 20)<br />
“Este es objeto 0 entonces….si lo divi<strong>de</strong> en…” (Vi<strong>de</strong>o 4, pág. 3)<br />
“Nosotros ayer <strong>de</strong>finimos que…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 2)<br />
“Tendríamos que haber empezado primero…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 2)<br />
“Nosotros nos dimos cuenta que …” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 3)<br />
“Podíamos construir todo lo que …” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 3)<br />
“Vamos a resolver…” (Vi<strong>de</strong>o 9, pág. 9)<br />
Planteamiento <strong>de</strong> situación problémica.<br />
“Supongamos nosotros tenemos… (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 9)<br />
“Lo que el haríamos…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 9)<br />
“… yo creo que,…” (Vi<strong>de</strong>o 3, pág. 12)<br />
“Entonces pues viendo que…” (Vi<strong>de</strong>o 4, pág. 6)<br />
“Entonces este valor…” (Vi<strong>de</strong>o 4, pág. 6)<br />
86
Propuesta alterna para solución <strong>de</strong> situación problémica.<br />
“Lo que hicimos fue,… (Vi<strong>de</strong>o 7 pág. 8)<br />
“Ahora sí…” (Vi<strong>de</strong>o 7 pág. 8)<br />
“me parece más a<strong>de</strong>cuada…” (Vi<strong>de</strong>o 7 pág. 14)<br />
“También se podría tomar como…” (Vi<strong>de</strong>o 10 pág. 12)<br />
“Ese no es el resultado, sino una aproximación….” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 6)<br />
“<strong>La</strong>s <strong>de</strong>finiciones, los postulados, luego las nociones” (Vi<strong>de</strong>o 5, Pagina 3)<br />
“ Esta línea es paralela, ya que por más que se prolongue nunca se va interceptar<br />
y eso basándose en Eucli<strong>de</strong>s” (Vi<strong>de</strong>o 9, Pagina 9)<br />
“No son segmentos, son rectas” (Vi<strong>de</strong>o 9, Pagina 9)<br />
“Cómo hicieron la…cómo se pue<strong>de</strong> afirmar que….” (Vi<strong>de</strong>o 9, Pagina 9)<br />
Síntesis <strong>de</strong> posible solución a situación problémica.<br />
“Son iguales por que se obtuvieron…” (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 5)<br />
“Nosotros lo representamos….” (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 7)<br />
“Da la cuarta que le queda a esa parte…” Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 6)<br />
“Inicialmente hice…. Observe que….” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 9)<br />
“Nosotros tomamos el objeto…” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 13)<br />
“Decíamos que ….. si dijéramos que” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 14)<br />
“Estábamos discutiendo no mejor hablando, lo que hicimos fue” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág.<br />
18)<br />
“Ahí dijimos son” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 18)<br />
“Llegamos a una contradicción” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 18)<br />
“Si miro lo abstracto teóricamente son iguales” (Vi<strong>de</strong>o 4 pág. 19)<br />
“Yo si empecé…” (Vi<strong>de</strong>o 6 pág. 10)<br />
“Yo lo colocaría al contrario…” (Vi<strong>de</strong>o 7 pág. 17)<br />
87
“No habría un enunciado…” (Vi<strong>de</strong>o 7 pág. 23)<br />
“Estamos aplicando el segundo procedimiento…” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 4)<br />
“Confirmamos el …” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 7)<br />
“Entonces la manera que lo hicimos fue … formando así …” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 8)<br />
“Lo que hay que mostrar…” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 8)<br />
“Terminamos diciendo que …” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 11)<br />
“Puedo afirmar que…” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 13)<br />
“Fue la proporción que hicimos…” Dijimos que…. (Vi<strong>de</strong>o 10 pág. 2)<br />
“Hay muestra que para…” (Vi<strong>de</strong>o 10 pág. 14)<br />
Solución a situación problémica.<br />
“Con esto se pudo <strong>de</strong>finir…… (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 2)<br />
“Este fue el valor que pasamos fraccionarios, que quedo <strong>de</strong> la siguiente manera<br />
…” (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 3)<br />
“Dimos cuenta que m1 y m2 son iguales…” (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 4)<br />
“Lo que hicimos fue……” (Vi<strong>de</strong>o 2 pág. 6)<br />
“Lo que pasa es que no nos sirve para ……” (Vi<strong>de</strong>o 3 pág. 6)<br />
“Si el punto don<strong>de</strong> esa entonces……” (Vi<strong>de</strong>o 6 pág. 16)<br />
“Concluyendo que……” (Vi<strong>de</strong>o 8 pág. 9)<br />
“Es para crear un…. Entonces hay po<strong>de</strong>mos……” (Vi<strong>de</strong>o 10 pág. 13)<br />
“<strong>La</strong>s... son las... En cambio el otro….y se pue<strong>de</strong> equivocar…” (Vi<strong>de</strong>o 1, pág 6).<br />
“Para encontrar la medida <strong>de</strong>… y buscando… <strong>de</strong>finiendo que…. es <strong>de</strong>cir…. la<br />
primera…. la segunda <strong>de</strong>…. Con esto se pudo <strong>de</strong>finir que….” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág 2).<br />
“Nosotros copiamos las…. Luego se…. Pasamos las medidas a….. y allí<br />
utilizamos el método <strong>de</strong>…” (Vi<strong>de</strong>o 2, pág. 3).<br />
“Esta sirve para <strong>de</strong>mostrar lo que es…” (Vi<strong>de</strong>o 5, pág. 5).<br />
“Lo que hice yo fue….. y pues ahí con…” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág. 8).<br />
“Se supone que…” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág. 8).<br />
88
“Por lo menos yo lo hice así:… yo me di cuenta que…” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág. 9)<br />
“Nos parece que” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág. 9)<br />
“Pues a mi parecer…” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág. 11)<br />
“Pues como <strong>de</strong>cía que…. era como llevarse Entonces vimos…” (Vi<strong>de</strong>o 6, pág.<br />
12)<br />
“Nosotros ayer <strong>de</strong>finimos que…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 2)<br />
“Nosotros nos dimos cuenta…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 2)<br />
“Lo que tratamos <strong>de</strong> hacer…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 3)<br />
“El objetivo <strong>de</strong> la clase es…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 3)<br />
“Si yo estuviera haciendo…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 12)<br />
“A mi parecer…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 14)<br />
“Entonces me parece más a<strong>de</strong>cuada…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 14)<br />
“Yo pensaría que …” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 14)<br />
“Yo creo que para…” (Vi<strong>de</strong>o 7, pág. 14)<br />
“Yo pensé que <strong>de</strong>s<strong>de</strong>…” (Vi<strong>de</strong>o 10, pág. 4)<br />
Estudiante comunicando i<strong>de</strong>as acerca <strong>de</strong> un texto.<br />
“El libro se trata sobre…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 4)<br />
“Algunos <strong>de</strong> los postulados nos dan…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 4)<br />
“Hay otras que nos hablan <strong>de</strong> …” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 4)<br />
“Para nosotros el libro trata <strong>de</strong>…”(Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 5)<br />
“Demuestran la verdad las nociones comunes y <strong>de</strong>finiciones que utiliza el<br />
autor…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 5)<br />
“Hay proposiciones para comprobar las nociones comunes y las <strong>de</strong>finiciones que<br />
plantea el autor…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 5)<br />
“El libro inicialmente da…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 6)<br />
“Se va <strong>de</strong>mostrando…” (Vi<strong>de</strong>o 5 pág. 9)<br />
89
“Nosotras consi<strong>de</strong>ramos que todo eso que acabaron <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir es más una<br />
<strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> lo que trae el libro mas no……” (Vi<strong>de</strong>o 6 pág. 3)<br />
“Los diferentes procedimientos que habla el libro……” (Vi<strong>de</strong>o 6 pág. 5)<br />
Séptima Etapa<br />
Se <strong>de</strong>finieron las oposiciones entre los <strong>de</strong>scriptores listados, Estos elementos brindan<br />
material conciso para diseñar un CAMPO SEMÁNTICO que es herramienta<br />
fundamental para establecer conclusiones a partir <strong>de</strong> los resultados.<br />
Oposiciones<br />
Primera oposición.<br />
*Comprensión <strong>de</strong> situación problémica / planteamiento <strong>de</strong> posible solución<br />
Segunda oposición.<br />
*Planteamiento <strong>de</strong> posible solución a situación problémica / conciencia <strong>de</strong> error<br />
Tercera oposición.<br />
*Planteamiento <strong>de</strong> posible solución a situación problémica / planteamiento <strong>de</strong><br />
solución alterna<br />
Cuarta oposición.<br />
*Comprensión <strong>de</strong> situación problémica / necesidad <strong>de</strong> rectificación <strong>de</strong><br />
comprensión <strong>de</strong> la situación problémica<br />
90
Campo Semántico<br />
7) 5. SÍNTESIS DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
8) “Son iguales por que se obtuvieron….”.<br />
9) “Nosotros lo representamos…. “<br />
10) “Da la cuarta que le queda a esa parte…”<br />
“Inicialmente hice…. Observe que…. “<br />
“Nosotros tomamos el objeto…”<br />
“Yo si empecé…. “<br />
“Yo lo colocaría al contrario……”<br />
“No habría un enunciado…. “<br />
4. SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
“Con esto se pudo <strong>de</strong>finir……”<br />
“Este fue el valor que pasamos fraccionarios, que<br />
quedo <strong>de</strong> la siguiente manera……”<br />
“Nos dimos cuenta que m1 y m2 son iguales…… “<br />
“Nosotros copiamos las…. Luego se…. Pasamos las<br />
medidas a….. y allí utilizamos el método <strong>de</strong>….”<br />
“Esta sirve para <strong>de</strong>mostrar lo que es….. “<br />
“Lo que hice yo fue….. Y pues ahí con…..”<br />
NECESIDAD DE<br />
RECTIFICACIÓN EN<br />
COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO<br />
“Para nosotros significa……..”<br />
“¿Cierto? ……..”<br />
“si empezamos a hacerlo <strong>de</strong> otra<br />
"forma……..siempre trataríamos <strong>de</strong>……..”<br />
“creo que pudieron haber hecho……..”<br />
“¿sí? …….”.<br />
“Empezamos diciendo que……..”<br />
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? …”<br />
“Estamos volviendo a reconstruir…”<br />
1. CONCIENCIA DE<br />
SITUACION PROBLÉMICA.<br />
“Este fenómeno crea un margen <strong>de</strong> error…”<br />
“<strong>La</strong> elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la<br />
medición.”<br />
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que….<br />
“<br />
“Es confuso para….. ya que se pue<strong>de</strong> mal interpretar<br />
No es posible…”<br />
“varía mucho y afecta el….”.<br />
RESOLUCIÓN DE<br />
PROBLEMAS<br />
6. ERROR COMO OBJETO DE<br />
APRENDIZAJE<br />
91<br />
6) 2. PLANTEAMIENTO DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
“Realizamos la…”<br />
“Vamos a hacer el procedimiento”<br />
“Lo vamos a comparar con… hagamos <strong>de</strong> cuenta que…”<br />
“Yo creo que…”<br />
3. PROPUESTA ALTERNA PARA<br />
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
“Lo que hicimos fue,… Ahora sí…”<br />
“Me parece más a<strong>de</strong>cuada… “<br />
“También se podría tomar como… “<br />
1) CONCIENCIA DE ERROR EN<br />
LA SOLUCIÓN DE LA<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA:<br />
“<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error… si qué pena<br />
me equivoque…”<br />
“ El error radica en la escritura…”<br />
“lo hicimos mal… “<br />
“ habíamos tenido un gran error…”<br />
“lo volvimos a hacer mal… “<br />
“yo lo venía haciendo mal….”<br />
“entonces acá esta el error….”
En el siguiente campo semántico se plantean los <strong>de</strong>scriptores y las expresiones asociadas<br />
para el tema <strong>de</strong> RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, don<strong>de</strong> observamos una secuencia<br />
lógica que inicia en la conciencia <strong>de</strong> una situación problémica, y el planteamiento <strong>de</strong><br />
una posible solución, <strong>de</strong> lo cual se <strong>de</strong>spren<strong>de</strong> una propuesta alterna para la solución <strong>de</strong> la<br />
situación problémica, evi<strong>de</strong>nciando el error como herramienta para <strong>de</strong>terminar posibles<br />
soluciones y finaliza con la síntesis <strong>de</strong> una posible solución a la situación problémica<br />
planteada.<br />
5. SÍNTESIS DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
“Son iguales por que se<br />
obtuvieron…..”<br />
“Nosotros lo<br />
representamos…. “<br />
“Da la cuarta que le queda a<br />
esa parte…”<br />
“Inicialmente hice….<br />
Observe que…. “<br />
“Nosotros tomamos el<br />
objeto…”<br />
“Yo si empecé….”<br />
“Yo lo colocaría al<br />
contrario……”<br />
“No habría un enunciado…. “<br />
4. SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
“Con esto se pudo <strong>de</strong>finir……”<br />
“Este fue el valor que pasamos<br />
“fraccionarios, que quedo <strong>de</strong> la<br />
siguiente manera……”<br />
“Nos dimos cuenta que m1 y<br />
m2 son iguales…… “<br />
“Nosotros copiamos las….”<br />
“Luego se…. Pasamos las<br />
medidas a….. y allí utilizamos<br />
el método <strong>de</strong>….”<br />
“Esta sirve para <strong>de</strong>mostrar lo<br />
que es…..”<br />
“Lo que hice yo fue….. Y pues<br />
ahí con…..”<br />
1. CONCIENCIA DE<br />
SITUACION PROBLÉMICA.<br />
“Este fenómeno crea un<br />
margen <strong>de</strong> error…”<br />
“<strong>La</strong> elongación <strong>de</strong>l cáñamo<br />
varía mucho y afecta la<br />
medición.”<br />
“Encontraron que… no eran<br />
suficientes, pero que….”<br />
“Es confuso para….. ya que<br />
se pue<strong>de</strong> mal interpretar<br />
No es posible…”<br />
“varía mucho y afecta el….”.<br />
RESOLUCIÓN DE<br />
PROBLEMAS<br />
6. ERROR<br />
“<strong>La</strong> escritura está mal, hay un<br />
error”<br />
“habíamos tenido un gran error… “<br />
“ lo volvimos a hacer mal…”<br />
“entonces acá esta el error….”<br />
“yo me di cuenta <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l error<br />
pues el error esta en…”<br />
“El error radica en …”<br />
92<br />
7) 2. PLANTEAMIENTO DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
“Realizamos la…”<br />
“Vamos a hacer el<br />
procedimiento”<br />
“Lo vamos a comparar con…”<br />
“hagamos <strong>de</strong> cuenta que…”<br />
“Yo creo que…”<br />
3. PROPUESTA ALTERNA<br />
PARA SOLUCIÓN DE<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA:<br />
“Lo que hicimos fue,… Ahora<br />
sí…”<br />
“Me parece más a<strong>de</strong>cuada…”<br />
“También se podría tomar<br />
como…”
En el siguiente campo semántico se plantean los <strong>de</strong>scriptores y las expresiones asociadas<br />
para el tema <strong>de</strong> ERROR, ya que este surge como categoría emergente a la resolución <strong>de</strong><br />
problemas, <strong>de</strong>bido a que como herramienta <strong>de</strong> aprendizaje permite que el estudiante<br />
comprenda la situación problémica, y genere propuestas alternas a dicha situación. En<br />
algunos casos el error surge <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la no comprensión <strong>de</strong>l enunciado lo cual conlleva a la<br />
necesidad <strong>de</strong> rectificación <strong>de</strong>l mismo.<br />
ERROR COMO<br />
OBJETO DE<br />
APRENDIZAJE<br />
2) CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
PROPUESTA ALTERNA PARA<br />
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
“lo que hicimos fue, … Ahora sí…”<br />
“me parece más a<strong>de</strong>cuada …”<br />
93<br />
“<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error… si”<br />
“qué pena me equivoque…”<br />
“El error radica en la escritura…”<br />
“lo hicimos mal…”<br />
“habíamos tenido un gran error…”<br />
“lo volvimos a hacer mal…”<br />
“yo lo venía haciendo mal….”<br />
“entonces acá esta el error….”<br />
“También se podría tomar como…”<br />
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO<br />
“Para nosotros significa……..”<br />
“¿Cierto? ……..”<br />
“si empezamos a hacerlo <strong>de</strong> otra<br />
forma”……..”siempre trataríamos<br />
<strong>de</strong>……..”<br />
“creo que pudieron haber hecho……..<br />
¿sí? ……..”<br />
“Empezamos diciendo que……..”<br />
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? …”<br />
Estamos volviendo a reconstruir…
Octava Etapa<br />
Se <strong>de</strong>terminaron criterios y se obtuvieron las categorías.<br />
Categoría 1: Resolución <strong>de</strong> problemas<br />
8) PLANTEAMIENTO DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
CONCIENCIA DE<br />
SITUACION PROBLÉMICA.<br />
RESOLUCIÓN DE<br />
PROBLEMAS<br />
SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN<br />
A SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
PROPUESTA ALTERNA PARA<br />
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA:<br />
94
Categoría 2: Soluciones y Representaciones <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as propias.<br />
SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓNPROBLÉMICA<br />
SÍNTESIS DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
Soluciones y Representaciones<br />
<strong>de</strong> conceptos multiplicativos a<br />
partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as propias.<br />
ESTUDIANTE DESCRIBE UN<br />
PROCESO<br />
PLANTEAMIENTO DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
PROPUESTA ALTERNA<br />
PARA SOLUCIÓN DE<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
95
Categoría 3: Aprehensión <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong>l error y la rectificación.<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO<br />
Aprehensión <strong>de</strong> conceptos<br />
multiplicativos a partir <strong>de</strong>l error<br />
y la rectificación.<br />
CONCIENCIA DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
PLANTEAMIENTO DE<br />
POSIBLE SOLUCIÓN A<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO<br />
CONCIENCIA DE ERROR EN<br />
LA SOLUCIÓN DE LA<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
96
TABLA 2. Recopilación <strong>de</strong> resultados.<br />
Encontramos a continuación un resumen en paralelo <strong>de</strong> lo realizado en las etapas concernientes a establecer precategorías,<br />
<strong>de</strong>scriptores, palabras o frases recurrentes, oposiciones, campo semántico, y categorías finales.<br />
ETAPA 3<br />
PRECATEGORIAS<br />
Resolución <strong>de</strong><br />
Problemas<br />
Utilización y<br />
exploración <strong>de</strong><br />
hipótesis<br />
(Conjeturas).<br />
Uso <strong>de</strong> diversas<br />
representaciones.<br />
Comunicación <strong>de</strong><br />
resultados.<br />
ETAPA 4<br />
DESCRIPTORES<br />
ENCONTRADOS<br />
CONCIENCIA DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA.<br />
PLANTEAMIENDO DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA.<br />
PROPUESTA ALTERNA PARA<br />
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA.<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
SÍNTESIS DE POSIBLE<br />
SOLUCIÓN A SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
ETAPA 5 Y 6<br />
PALABRAS O FRASES<br />
RECURRENTES O RELEVANTES POR<br />
DESCRIPTORES<br />
Tuvimos en cuenta que……<br />
Fue evi<strong>de</strong>nte que……<br />
Argumentan que… porque….<br />
Nosotros lo representamos <strong>de</strong> la siguiente<br />
forma…<br />
realizamos la……<br />
Vamos a hacer el procedimiento …<br />
lo vamos a comparar con…..<br />
Hagamos <strong>de</strong> cuenta que ….<br />
lo que hicimos fue, …<br />
Ahora sí…<br />
me parece más a<strong>de</strong>cuada …<br />
También se podría tomar como …<br />
Con esto se pudo <strong>de</strong>finir……<br />
este fue el valor que pasamos fraccionarios,<br />
que quedo <strong>de</strong> la siguiente manera ……<br />
son iguales por que se obtuvieron….<br />
Nosotros lo representamos….<br />
Da la cuarta que le queda a esa parte…<br />
Inicialmente hice…. Observe que…<br />
<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error<br />
si qué pena me equivoque<br />
El error radica en la escritura<br />
lo hicimos mal…<br />
ETAPA 7<br />
OPOSICIONES Y CAMPO<br />
SEMANTICO<br />
Comprensión <strong>de</strong> situación<br />
problémica /<br />
planteamiento <strong>de</strong> posible<br />
solución<br />
Planteamiento <strong>de</strong> posible<br />
solución a situación<br />
problémica / conciencia<br />
<strong>de</strong> error<br />
ETAPA 8<br />
CATEGORIAS FINALES<br />
Resolución <strong>de</strong> problemas.<br />
97
Objetivos<br />
Metodológicos<br />
Comunicar y<br />
argumentar i<strong>de</strong>as.<br />
Aceptar críticas<br />
Objetivos<br />
Conceptuales<br />
Enten<strong>de</strong>r i<strong>de</strong>as<br />
matemáticas.<br />
Construir y<br />
reconstruir<br />
conceptos<br />
matemáticos.<br />
ESTUDIANTE DESCRIBE UN<br />
PROCESO<br />
PLANTEAMIENTO DE<br />
SITUACIÓN PROBLÉMICA<br />
ESTUDIANTE COMUNICANDO<br />
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO<br />
CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO<br />
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN<br />
EN COMPRENSIÓN DE<br />
ENUNCIADO<br />
CONCIENCIA DE ERROR EN LA<br />
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN<br />
PROBLÉMICA<br />
Debíamos construir con base en….<br />
Utilizamos el hilo para…<br />
nos estaban hablando <strong>de</strong>…. se podían sacar<br />
con………<br />
Supongamos nosotros tenemos…<br />
Lo que el haríamos …<br />
… yo creo que,….<br />
entonces pues viendo que …<br />
entonces este valor …<br />
El libro se trata sobre…<br />
Algunos <strong>de</strong> los postulados nos dan…<br />
Para nosotros el libro trata <strong>de</strong>…<br />
Los diferentes procedimientos que habla el<br />
libro…<br />
<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error<br />
si qué pena me equivoque<br />
El error radica en la escritura<br />
lo hicimos mal<br />
Nosotros enten<strong>de</strong>mos…… es algo que<br />
lo que yo entiendo <strong>de</strong> ese enunciado<br />
Para nosotros significa …<br />
¿Cierto? …….<br />
si empezamos a hacerlo <strong>de</strong> otra forma…….<br />
<strong>La</strong> escritura está mal, hay un error<br />
si qué pena me equivoque<br />
El error radica en la escritura<br />
lo hicimos mal<br />
Planteamiento <strong>de</strong> posible<br />
solución a situación<br />
problémica /<br />
planteamiento <strong>de</strong> solución<br />
alterna<br />
Comprensión <strong>de</strong> situación<br />
problémica / necesidad <strong>de</strong><br />
rectificación <strong>de</strong><br />
comprensión <strong>de</strong> la<br />
situación problémica<br />
Soluciones y<br />
Representaciones <strong>de</strong><br />
conceptos multiplicativos a<br />
partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as propias.<br />
Aprehensión <strong>de</strong> conceptos<br />
multiplicativos a partir <strong>de</strong>l<br />
error y la rectificación.<br />
98
Novena Etapa.<br />
Por último se redactó el documento que acompaña y explica cada categoría con fines<br />
aclaratorios, dicho procedimiento permitió la obtención <strong>de</strong> fundamentos para el análisis<br />
final <strong>de</strong>l trabajo.<br />
El pensamiento multiplicativo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la resolución <strong>de</strong> problemas. (Resultados)<br />
A continuación se <strong>de</strong>scriben cada una <strong>de</strong> las categorías finales que se obtuvieron a partir<br />
<strong>de</strong> un proceso <strong>de</strong> análisis propio, <strong>de</strong>puración <strong>de</strong> información suministrada por el grupo<br />
MESCUD y fuentes alternas que apoyaron el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la investigación.<br />
Resolución <strong>de</strong> problemas.<br />
Es una constante durante todo el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l proyecto teniendo en cuenta que el<br />
material base son filmaciones <strong>de</strong> clases en las que intervienen docentes y estudiantes <strong>de</strong>l<br />
programa <strong>de</strong> licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas, durante las<br />
cuales se busca resolver problemas constantemente para conseguir el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l<br />
pensamiento multiplicativo, objetivo fundamental <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollo en el aula. Su<br />
importancia radica en la obtención y análisis <strong>de</strong> resultados para establecer conclusiones.<br />
Los aspectos más relevantes <strong>de</strong> esta categoría son la utilización y exploración <strong>de</strong><br />
hipótesis, el uso <strong>de</strong> diversas representaciones y la comunicación <strong>de</strong> resultados,<br />
precategorias que surgieron en la tercera etapa <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> esta investigación.<br />
De allí resaltar la necesidad <strong>de</strong> la resolución <strong>de</strong> problemas en diferentes ciencias y<br />
disciplinas, pero en este caso nos atañe hablar <strong>de</strong> la matemática misma. M. <strong>de</strong> Guzmán<br />
99
(1984) comenta que “lo que sobre todo <strong>de</strong>beríamos proporcionar a nuestros alumnos a<br />
través <strong>de</strong> las matemáticas es la posibilidad <strong>de</strong> hacerse con hábitos <strong>de</strong> pensamiento<br />
a<strong>de</strong>cuados para la resolución <strong>de</strong> problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les<br />
pue<strong>de</strong> servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y<br />
propieda<strong>de</strong>s relativas a entes con poco significado si luego van a <strong>de</strong>jarlos allí<br />
herméticamente emparedados? A la resolución <strong>de</strong> problemas se le ha llamado, con<br />
razón, el corazón <strong>de</strong> las matemáticas, pues ahí es don<strong>de</strong> se pue<strong>de</strong> adquirir el verda<strong>de</strong>ro<br />
sabor que ha traído y atrae a los matemáticos <strong>de</strong> todas las épocas. Del enfrentamiento<br />
con problemas a<strong>de</strong>cuados es <strong>de</strong> don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong>n resultar motivaciones, actitu<strong>de</strong>s, hábitos,<br />
i<strong>de</strong>as para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> herramientas, en una palabra, la vida propia <strong>de</strong> las<br />
matemáticas”.<br />
Existe una secuencia para la resolución <strong>de</strong> problemas que se percibe en los vi<strong>de</strong>os: parte<br />
<strong>de</strong> la conciencia <strong>de</strong> la situación problémica <strong>de</strong> los estudiantes, pasando por el<br />
planteamiento <strong>de</strong> la situación problémica, la propuesta alterna a dicha situación una<br />
solución a la misma y por último la síntesis. En algunas ocasiones surge el error en<br />
alguna <strong>de</strong> las etapas <strong>de</strong> este proceso posibilitando el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l aprendizaje en el<br />
campo <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo.<br />
Se evi<strong>de</strong>ncia en el análisis <strong>de</strong> los procesos <strong>de</strong> aula que la resolución <strong>de</strong> problemas se<br />
logra <strong>de</strong> diferentes maneras, unos realizando el proceso en su totalidad.<br />
Conciencia <strong>de</strong> situación problémica: Esta subcategoría se evi<strong>de</strong>ncia en frases como;<br />
“<strong>La</strong> elongación <strong>de</strong>l cáñamo varía mucho y afecta la medición” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 4);<br />
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que….” (Vi<strong>de</strong>o 2, Pagina 7) (Apreciación<br />
<strong>de</strong> un compañero); “Este es el objeto cero, me va a dar tres <strong>de</strong> esto ¿Será que este es<br />
igual?” (Vi<strong>de</strong>o 4, Pagina 4). Aquí se pue<strong>de</strong> ver que el estudiante se apropia <strong>de</strong> la<br />
situación planteada por el docente o por sus compañeros <strong>de</strong> aula y reconoce la existencia<br />
<strong>de</strong> un problema <strong>de</strong> tipo matemático.<br />
<strong>La</strong>s discusiones sobre las estrategias (o heurísticas) <strong>de</strong> resolución <strong>de</strong> problemas en<br />
matemáticas, comienzan con Polya, quien plantea cuatro etapas en la resolución <strong>de</strong><br />
problemas matemáticos:<br />
100
Primero: Compren<strong>de</strong>r el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?,<br />
¿cuáles son las condiciones?, ¿es posible satisfacerlas?, ¿son suficientes para <strong>de</strong>terminar<br />
la incógnita, o no lo son? ¿son irrelevantes, o contradictorias?, entre otros. Todos estos<br />
cuestionamientos permiten que tanto estudiante como docente obtengan hipótesis sobre<br />
la naturaleza <strong>de</strong>l problema o el problema en si, que al ser reconocido permite un avance<br />
o el diseño <strong>de</strong> un plan que posibilite formular una solución así no sea <strong>de</strong>l todo<br />
inmediata.<br />
Ser consciente <strong>de</strong> la situación problémica también permite <strong>de</strong>purar la información que<br />
no se ha clasificado sino que simplemente, se obtuvo por preconceptos, hipótesis,<br />
fuentes bibliográficas, tradición oral e incluso opiniones en emitidas por otros<br />
estudiantes o docentes.<br />
Soluciones y Representaciones <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as<br />
propias.<br />
Esta categoría <strong>de</strong>scribe los procesos que implementan los estudiantes <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su propia<br />
creatividad para <strong>de</strong>sarrollar conceptos multiplicativos significativos en el aula y en su<br />
entorno. Dicho proceso surge a partir <strong>de</strong>l planteamiento <strong>de</strong> posibles soluciones a<br />
situaciones problémicas, y continua en la propuesta alterna etapa en la cual el estudiante<br />
<strong>de</strong>scribe un proceso y posibilita la solución a la situación problémica.<br />
Des<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong>l observador, entonces, el punto principal es tratar <strong>de</strong> <strong>de</strong>linear<br />
el conocimiento <strong>de</strong> base <strong>de</strong> los sujetos que se enfrentan a la situación <strong>de</strong> resolución <strong>de</strong><br />
problemas. Es importante señalar que en estos contextos, el conocimiento <strong>de</strong> base pue<strong>de</strong><br />
contener información incorrecta. <strong>La</strong>s personas arrastran sus concepciones previas o sus<br />
limitaciones conceptuales a la resolución <strong>de</strong> problemas y esas son las herramientas con<br />
las que cuentan.<br />
101
Los aspectos <strong>de</strong>l conocimiento relevantes para el rendimiento en resolución <strong>de</strong><br />
problemas incluyen: el conocimiento intuitivo e informal sobre el dominio <strong>de</strong>l problema,<br />
los hechos, las <strong>de</strong>finiciones y los procedimientos algorítmicos, los procedimientos<br />
rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca <strong>de</strong> las reglas <strong>de</strong>l<br />
lenguaje en ese dominio (Schoenfeld, 1985).<br />
Esta categoría se evi<strong>de</strong>ncia constantemente en el material objeto <strong>de</strong> análisis<br />
proporcionado por el grupo MESCUD, <strong>de</strong>bido a que los estudiantes constantemente<br />
proponen alternativas <strong>de</strong> solución sin ningún tipo <strong>de</strong> información más que la que sus<br />
preconceptos le indican en el momento <strong>de</strong> solucionar el problema relacionado con el<br />
<strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l pensamiento multiplicativo; en muchos casos las i<strong>de</strong>as base ya contienen<br />
elementos asociados a este tipo <strong>de</strong> pensamiento pero en otras, se basan en la simple<br />
experiencia o en una reconstrucción intuitiva apoyada en lo que se ha observado durante<br />
la sesión. El aporte principal radica en que en la mayoría <strong>de</strong> casos la reunión <strong>de</strong> las i<strong>de</strong>as<br />
básicas posibilita una unificación concreta para establecer un plan y resolver el<br />
problema.<br />
Aprehensión <strong>de</strong> conceptos multiplicativos a partir <strong>de</strong>l error y la rectificación.<br />
El error <strong>de</strong>s<strong>de</strong> tiempos muy antiguos era consi<strong>de</strong>rado como un impedimento o un evento<br />
no favorable en ningún tipo <strong>de</strong> procedimiento, para los medievales en su generalidad el<br />
error era objeto <strong>de</strong> castigo o <strong>de</strong> muestra <strong>de</strong> incompetencia en la disciplina o arte en el<br />
que las personas se <strong>de</strong>sempeñaran, sin embargo, el surgimiento <strong>de</strong> la nueva filosofía <strong>de</strong>l<br />
siglo XX parte la historia y la creencia con nuevos exponentes que ubican el error <strong>de</strong>ntro<br />
<strong>de</strong> las alternativas más viables para acce<strong>de</strong>r al conocimiento en cualquier disciplina.<br />
De manera asociada, en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> este trabajo fue una constante la aparición <strong>de</strong>l<br />
error en el momento <strong>de</strong> proce<strong>de</strong>r para solucionar un problema, o para llegar a los<br />
conceptos multiplicativos en el aula.<br />
102
Paralelo a la aparición <strong>de</strong>l llamado Circulo <strong>de</strong> Viena en comienzos <strong>de</strong>l siglo XX,<br />
apareció un exponente <strong>de</strong>l Falsacionismo llamado Karl Popper quien ya no veía el error<br />
como un obstáculo sino como una valiosa oportunidad.<br />
“Un falsacionista consi<strong>de</strong>ra que la ciencia es un conjunto <strong>de</strong> hipótesis que se proponen a<br />
modo <strong>de</strong> ensayo con el propósito <strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir o explicar <strong>de</strong> manera precisa el<br />
comportamiento <strong>de</strong> algún aspecto <strong>de</strong> la naturaleza. Sin embargo, no todas las hipótesis<br />
lo consiguen. Hay una condición fundamental que cualquier hipótesis (o sistema <strong>de</strong><br />
hipótesis) <strong>de</strong>be cumplir con vistas a conseguir el estatus <strong>de</strong> teoría o ley científica. Si ha<br />
<strong>de</strong> formar parte <strong>de</strong> la ciencia, una hipótesis ha <strong>de</strong> ser falsable o refutable<br />
Una hipótesis es falsable si existe un enunciado observacional (o un conjunto <strong>de</strong><br />
enunciados observacionales), lógicamente posibles, que sean incompatibles con ella,<br />
esto es: que en caso <strong>de</strong> ser establecidos como verda<strong>de</strong>ros, refutarían tal propuesta. El<br />
falsacionista exige que las hipótesis científicas sean falsables, se <strong>de</strong>cir que puedan<br />
obtenerse enunciados (datos científicos) que la contradigan. Insiste en ello porque una<br />
ley o teoría es informativa solamente en el caso <strong>de</strong> que excluya un conjunto <strong>de</strong><br />
enunciados observacionales lógicamente posibles. Si un enunciado no es falsable,<br />
entonces el mundo pue<strong>de</strong> tener cualquier propiedad y comportarse <strong>de</strong> cualquier manera<br />
sin entrar en conflicto con el enunciado”. 12<br />
Lo anterior nos lleva a proponer que el docente <strong>de</strong>be conocer, in ves ti gar y trabajar a<br />
partir <strong>de</strong>l error para llegar al cambio conceptual, éste cambio, no va a su ce<strong>de</strong>r <strong>de</strong> un día<br />
para el otro ya que necesita un proceso <strong>de</strong> construcción que en ocasiones pue<strong>de</strong> basarse<br />
o fundamentarse n el error como alternativa <strong>de</strong> aprendizaje, aún más en un tema tan<br />
complejo como el pensamiento multiplicativo teniendo en cuenta que hace parte <strong>de</strong> la<br />
estructura <strong>de</strong> los números reales que son importantes para individuos que incluso no<br />
pertenezcan a la población <strong>de</strong> esta investigación por su uso común o especializado.<br />
12 Popper, Karl (1994) las teorías científicas según Karl Popper: <strong>La</strong> falsabilidad.<br />
Recuperado en 10 <strong>de</strong> Febrero <strong>de</strong> 2007 Disponible en<br />
http://weblogs.madrimasd.org/universo/archive/2007/02/10/59009.aspx<br />
103
"Apren<strong>de</strong>mos muchísimo por medio <strong>de</strong> una falsación. No sólo apren<strong>de</strong>mos que una<br />
teoría es falsa, sino que también apren<strong>de</strong>mos por qué es falsa. Y sobre todo, obtenemos<br />
un nuevo problema, más rigurosamente formulado; y un nuevo problema es, como ya<br />
sabemos, el verda<strong>de</strong>ro punto <strong>de</strong> partida <strong>de</strong> un nuevo <strong>de</strong>sarrollo científico”. (Popper,<br />
1994)<br />
104
CONCLUSIONES<br />
Después <strong>de</strong> haber realizado los pasos pertinentes para la <strong>de</strong>stilación <strong>de</strong> la información <strong>de</strong><br />
los vi<strong>de</strong>os entregados por el grupo MESCUD, hemos encontrado una serie <strong>de</strong> puntos<br />
que nos permitirán <strong>de</strong>mostrar, la importancia en el seguimiento que se <strong>de</strong>be hacer al<br />
proceso <strong>de</strong> formación <strong>de</strong> docentes en el área <strong>de</strong> matemáticas.<br />
1) Los estudiantes presentan diversidad en sus i<strong>de</strong>as en torno a un mismo<br />
105<br />
ejercicio: En la observación y transcripción <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os hemos observado que<br />
existen diferentes interpretaciones a un mismo enunciado o concepto, esto a<br />
pesar <strong>de</strong> parecer una resistencia garantiza varios elementos que resultan valiosos<br />
en el proceso <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje:<br />
Discusión: Este proceso permite el intercambio <strong>de</strong> información e interacción<br />
entre estudiantes y docentes, garantizando la extracción <strong>de</strong> varias conclusiones<br />
sujetas a aprobación y <strong>de</strong>stilación para obtener la o las finales con aprobación y<br />
participación <strong>de</strong> los actores <strong>de</strong>l proceso.<br />
Soluciones: En cuanto se presentan varias interpretaciones es natural que se<br />
presenten <strong>de</strong> igual manera varias soluciones a la situación planteada, lo cual,<br />
permite que se analice con mayor profundidad cada proposición e incluso, se<br />
<strong>de</strong>scubran alternativas <strong>de</strong> solución diferentes a las que se tenían como objetivo<br />
inicial.<br />
Duda: <strong>La</strong> duda en las ciencias exactas pue<strong>de</strong> llegar a ser una herramienta que<br />
<strong>de</strong>spierte curiosidad en cualquier ser humano ávido <strong>de</strong> aprendizaje, siempre y<br />
cuando se maneje <strong>de</strong> manera a<strong>de</strong>cuada por el docente para no ser vista como un<br />
obstáculo.<br />
2) Los estudiantes utilizan diferentes representaciones para comunicar<br />
resultados
106<br />
De igual manera estamos en capacidad <strong>de</strong> hablar sobre el uso <strong>de</strong> herramientas<br />
que le permiten al estudiante comunicar sus i<strong>de</strong>as.<br />
En los vi<strong>de</strong>os encontramos el método grafico y el uso <strong>de</strong>l tablero como la fuente<br />
principal para plasmar y explicar resultados, <strong>de</strong> igual manera observamos como<br />
los estudiantes en ocasiones difieren entre lo que dicen y lo que comunican, no<br />
necesariamente por confusión o falta <strong>de</strong> dominio <strong>de</strong> las temáticas sino por la<br />
dificultad para expresarse <strong>de</strong> manera a<strong>de</strong>cuada y la falta <strong>de</strong> algunos recursos.<br />
En este mismo nivel, el uso <strong>de</strong> materiales rústicos dificultó en parte el proceso<br />
para que los estudiantes obtuvieran los resultados esperados en muchos casos,<br />
teniendo en cuenta, que el criterio principal para la resolución <strong>de</strong> problemas se<br />
basaba en la no utilización <strong>de</strong> elementos con unida<strong>de</strong>s métricas <strong>de</strong>finidas,<br />
haciendo que la exploración <strong>de</strong> posibles soluciones no se diera numéricamente ni<br />
por aproximación si no con la certeza <strong>de</strong> haber realizado una <strong>de</strong>mostración para<br />
cada uno <strong>de</strong> los temas planteados; un ejemplo <strong>de</strong> este caso se refiere al <strong>de</strong>sarrollo<br />
<strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s o en el teorema <strong>de</strong> Thales temas tratados durante los<br />
distintos vi<strong>de</strong>os <strong>de</strong> manera reiterativa.<br />
Esto sugiere que en el ejercicio profesional es importante valorar las diferentes<br />
maneras que se tienen para llegar a un mismo objetivo matemático sin que esto<br />
afecte los resultados, sin embargo es necesario revisar la lógica y pertinencia <strong>de</strong><br />
los procesos ya que muchas veces es necesario refinarlos para brindarles vali<strong>de</strong>z<br />
y sean valorados como un aporte positivo al proceso <strong>de</strong> enseñanza aprendizaje.<br />
3) Rectificación y conciencia <strong>de</strong> error: Se observó que los estudiantes muchas<br />
veces no son consientes <strong>de</strong> los errores cometidos y sostienen soluciones no<br />
acor<strong>de</strong>s con lo propuesto, como es natural en procesos <strong>de</strong> aprendizaje,<br />
diversificando en algunos casos el enunciado <strong>de</strong>l planteamiento original. Sin<br />
embargo encontramos que en algunas ocasiones se observa que se rectifican<br />
errores cometidos durante el proceso <strong>de</strong> solución y se establece una conciencia<br />
que permite analizar las pre concepciones <strong>de</strong> los estudiantes.
Es importante resaltar que la importancia <strong>de</strong>l error no está en si mismo sino en el<br />
107<br />
reconocimiento y transformación para generar soluciones viables en contexto, en<br />
ocasiones no es un proceso inmediato sino que requiere procesos <strong>de</strong> reflexión<br />
tanto para el docente como para los estudiantes en cualquier nivel, aún más en<br />
ciencias exactas.<br />
<strong>La</strong> única resistencia que posee el error radica en que el sujeto que lo comete no<br />
sea consciente <strong>de</strong>l mismo o que en caso contrario, no sienta la necesidad <strong>de</strong><br />
corregirlo o transformarlo. En los ambientes educativos como las aulas, esta<br />
resistencia se minimiza por la necesidad común <strong>de</strong> adquirir y crear conocimiento<br />
constantemente.<br />
4) Planteamientos a posibles soluciones: Una <strong>de</strong> las observaciones más<br />
importantes <strong>de</strong> los vi<strong>de</strong>os, es el establecer cuando el estudiante realmente está<br />
comprendiendo conceptos matemáticos y los aplica a la solución <strong>de</strong> problemas;<br />
para ello el estudiante plantea posibles soluciones, dando una explicación <strong>de</strong>l<br />
proceso que se llevó a cabo en el cual evi<strong>de</strong>nciamos diferencias entre el<br />
planteamiento <strong>de</strong>l enunciado y la solución propuesta, aunque también,<br />
resaltamos la manera acertada con que se realiza la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l enunciado<br />
claramente establecido bajo la supervisión <strong>de</strong>l docente, quien cumple la función<br />
<strong>de</strong> guía al mantener a los estudiantes enfocados en el problema y evitar que se<br />
pierdan en las ramas <strong>de</strong>l ejercicio.<br />
Sin embargo estos planteamientos requieren una revisión seria que se evi<strong>de</strong>ncia<br />
<strong>de</strong> manera informal durante las sesiones <strong>de</strong> clase, es posible que se vea<br />
enriquecida con aportes <strong>de</strong> varias fuentes, incluidos los estudiantes mismos y el<br />
docente, esto garantiza la viabilidad <strong>de</strong> las soluciones y la consecución <strong>de</strong> los<br />
objetivos esperados.<br />
5) Síntesis <strong>de</strong> posible solución a una situación: Observamos que una <strong>de</strong> las<br />
mayores dificulta<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los estudiantes es plantear la solución a la situación<br />
problémica, <strong>de</strong>bido a que en algunas ocasiones, no se compren<strong>de</strong> lo expuesto y
108<br />
la hipótesis que se sugiere proviene <strong>de</strong> un error <strong>de</strong> entendimiento <strong>de</strong>l enunciado.<br />
Pero esto no es <strong>de</strong>l todo perjudicial para el proceso, <strong>de</strong> hecho, pue<strong>de</strong> resultar<br />
benéfico si se genera discusión como se planteó anteriormente en la primera<br />
conclusión.<br />
6) Posibles soluciones: Es evi<strong>de</strong>nte que los planteamientos propuestos por los<br />
estudiantes a las situaciones expuestas por los docentes evi<strong>de</strong>ncian un proceso<br />
formativo en el área, sin embargo surgen algunas inconsistencias en la resolución<br />
<strong>de</strong> problemas y en la sustentación matemática que pue<strong>de</strong>n ser superadas<br />
<strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> las fuentes <strong>de</strong> información a las que se tenga acceso para<br />
brindarles la vali<strong>de</strong>z pertinente sin alejarse <strong>de</strong>l concepto matemático ni <strong>de</strong> la<br />
lógica algorítmica.<br />
7) <strong>La</strong>s categorías <strong>de</strong> análisis planteadas al inicio <strong>de</strong> la investigación fueron<br />
variando <strong>de</strong> acuerdo al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l proyecto: A pesar que el grupo<br />
MESCUD planteaba unas categorías iniciales base en cuanto al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l<br />
pensamiento multiplicativo se refiere, se evi<strong>de</strong>nció la aparición <strong>de</strong> nuevas<br />
categorías que se fueron mo<strong>de</strong>lando <strong>de</strong> acuerdo a las etapas <strong>de</strong> <strong>de</strong>stilación <strong>de</strong> la<br />
información. El planteamiento y uso <strong>de</strong> las mismas para la consecución <strong>de</strong> los<br />
objetivos propuestos en este proyecto, se dieron a partir <strong>de</strong> nuevas fuentes <strong>de</strong><br />
consulta bibliográfica y eventos empíricos como la transcripción y observación<br />
analítica <strong>de</strong>l material aportado por el grupo <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Distrital.<br />
8) El diseño <strong>de</strong> un mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Organización <strong>de</strong> la información adquirida en el<br />
proceso <strong>de</strong> enseñanza-aprendizaje en cuanto al pensamiento multiplicativo<br />
se refiere, posibilita la creación <strong>de</strong> nuevos conocimientos: Este planteamiento<br />
se centra en la necesidad <strong>de</strong> enriquecer los procesos en el aula con base en las<br />
observaciones <strong>de</strong>l material audiovisual, ya que, normalmente se suele pensar que<br />
el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> una clase <strong>de</strong> matemáticas requiere únicamente la orientación <strong>de</strong>l<br />
docente y en el aporte <strong>de</strong> las fuentes bibliográficas; si bien son importantes estos<br />
elementos, se hace pertinente resaltar que si se busca explícitamente <strong>de</strong>sarrollar<br />
el pensamiento multiplicativo influyen muchos factores que normalmente no se
tienen en cuenta o se pue<strong>de</strong> pensar que carecen <strong>de</strong> utilidad. Un ejemplo claro es:<br />
109<br />
El error como objeto <strong>de</strong> aprendizaje en los procesos matemáticos, <strong>de</strong>bido a la<br />
percepción común que se tiene que en una “ciencia exacta” el error es una<br />
limitación o que no hace parte <strong>de</strong> la consecución <strong>de</strong> los resultados que se<br />
esperan.<br />
9) El surgimiento <strong>de</strong> nuevas alternativas didácticas aporta elementos <strong>de</strong> apoyo<br />
a la educación matemática y posibilita un aprendizaje significativo en<br />
nuestro <strong>de</strong>sempeño profesional: A pesar <strong>de</strong>l surgimiento <strong>de</strong> nuevas<br />
investigaciones en educación matemática durante los últimos años, ha sido<br />
complejo eliminar algunas secuelas <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo tradicional que generaban cierto<br />
“temor” o “prevención” frente a la adquisición y aplicación <strong>de</strong> conceptos<br />
matemáticos, esto sin mencionar también la visión que se tiene sobre el “elevado<br />
grado <strong>de</strong> dificultad” <strong>de</strong> la Matemática en cualquiera <strong>de</strong> sus niveles.<br />
Al plantearse nuevas alternativas se genera reflexión sobre los procesos y su<br />
pertinente aplicación en el aula o fuera <strong>de</strong> ella, esto con el fin <strong>de</strong> que tengan<br />
inci<strong>de</strong>ncia en el entorno <strong>de</strong>l docente y el estudiante aprovechando al máximo<br />
cada situación emergente sin verla como limitación o impedimento para la<br />
creación <strong>de</strong> conocimiento. Lo i<strong>de</strong>al es que estas nuevas alternativas, puedan ser<br />
aplicables a cualquier entorno <strong>de</strong> enseñanza-aprendizaje <strong>de</strong> la matemática y<br />
puedan ser modificadas <strong>de</strong> acuerdo a eventos emergentes.
RECOMENDACIONES<br />
Con el fin <strong>de</strong> obtener claridad respecto a los participantes <strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong> investigación y<br />
su impacto en la misma <strong>de</strong>cidimos dar recomendaciones a los próximos Investigadores y<br />
a las instituciones implicadas; en este caso: <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> la <strong>Salle</strong> y <strong>Universidad</strong><br />
Distrital Francisco José <strong>de</strong> Caldas.<br />
PRÓXIMOS INVESTIGADORES<br />
Una <strong>de</strong> las fases principales <strong>de</strong>l proyectó consistió en transcribir textualmente los<br />
110<br />
vi<strong>de</strong>os <strong>de</strong> las 10 clases aportadas por el grupo MESCUD. Este documento anexo,<br />
a esta investigación es válido y necesario para continuar con la fase restante <strong>de</strong>l<br />
proceso la cual, consiste en realizar el análisis <strong>de</strong> los aspectos que tienen que ver<br />
con el docente.<br />
El análisis <strong>de</strong> los aspectos relacionados con el docente correspondía a otro<br />
estudiante Investigador que continuaría con el proceso, sin embargo, no le fue<br />
posible llevar a cabo la investigación, por tanto, se sugiere a los aspirantes a<br />
Licenciados en Matemáticas o afines que estudien la posibilidad <strong>de</strong> utilizarlo<br />
como opción <strong>de</strong> grado y así enriquecer el aporte al grupo MESCUD y a sus<br />
propios conocimientos.<br />
En caso <strong>de</strong> emplear las transcripciones o cualquier otra fase <strong>de</strong> esta<br />
investigación, se recomienda utilizar las mismas convenciones como colores o<br />
símbolos para darle continuidad al trabajo y a<strong>de</strong>más evitar inconsistencias y<br />
confusiones para lectores, revisores y jurados.
INSTITUCIONES IMPLICADAS EN LA INVESTIGACIÓN<br />
Recomendamos a las <strong>Universidad</strong>es implicadas en la investigación que sigan<br />
111<br />
promoviendo este tipo <strong>de</strong> investigaciones interinstitucionales ya que permiten<br />
compartir información y obtener nuevos enfoques y resultados que generan<br />
conocimiento pertinente en la comunidad educativa.<br />
Es importante resaltar la importancia <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> trabajos <strong>de</strong> investigación y<br />
el impacto que generan en la comunidad educativa <strong>de</strong> cualquiera <strong>de</strong> las dos<br />
instituciones implicadas, por esta razón es recomendable publicar por algún<br />
medio interno o externo los resultados <strong>de</strong> este análisis para dar a conocer el<br />
producto final y plantearlo como una herramienta importante en posteriores<br />
investigaciones.<br />
Motivar a los estudiantes aspirantes a Licenciados en Matemáticas a continuar<br />
con el trabajo que correspon<strong>de</strong> al docente <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la investigación con el fin <strong>de</strong><br />
dar apoyo total al grupo MESCUD y culminar así hasta conseguir los objetivos<br />
en su totalidad.
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APENDICES<br />
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